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2021-2022学年贵州省铜仁市玉屏县九年级（上）期中数学试卷
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这是一份2021-2022学年贵州省铜仁市玉屏县九年级（上）期中数学试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年贵州省铜仁市玉屏县九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分。每小题均有A、B、C、D四个备选答案，其中只有一个是正确的，请你将正确答案的序号填涂在答题卡相应的位置上）
1．（4分）方程（m2﹣1）x2+mx﹣5＝0是关于x的一元二次方程，则m的值不能是（ ）
A．0 B．1 C．±1 D．﹣1
2．（4分）下列各点中，在反比例函数y＝图象上的是（ ）
A．（3，1） B．（﹣3，1） C．（3，） D．（，3）
3．（4分）若关于x的方程2x2﹣ax+a﹣2＝0有两个相等的实根，则a的值是（ ）
A．﹣4 B．4 C．4或﹣4 D．2
4．（4分）如图，下列条件中不能判定△ACD∽△ABC的是（ ）
A． B．∠ADC＝∠ACB C．∠ACD＝∠B D．AC2＝AD•AB
5．（4分）如图，AB∥CD，AC、BD交于点O，若DO＝2，BO＝5，DC＝3，则AB长为（ ）
A．6 B． C． D．
6．（4分）某商品原价200元，连续两次降价a%后售价为148元，下列所列方程正确的是（ ）
A．200（1+a%）2＝148 B．200（1﹣a%）2＝148
C．200（1﹣2a%）＝148 D．200（1﹣a2%）＝148
7．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝5：2，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（ ）
A．5：7 B．10：4 C．25：4 D．25：49
8．（4分）已知△ABC中，DE∥BC，AD＝5，DB＝7，AE＝4，则AC的值是（ ）
A．7.6 B．9.6 C．8.5 D．5.6
9．（4分）若ab＜0，则正比例函数y＝ax与反比例函数y＝在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B． C． D．
10．（4分）如图，在平面直角坐标系中，一条直线与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于两点A、B，与x轴交于点C，且点B是AC的中点，分别过两点A、B作x轴的平行线，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于两点D、E，连接DE，则四边形ABED的面积为（ ）
A．4 B． C． D．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）
11．（4分）若关于x的方程x2+2x+k＝0的一个根是0，则方程的另一个根是 ．
12．（4分）设＝，则＝ ．
13．（4分）在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b＝a2﹣b2，根据这个规则，方程（x+2）*5＝0的解为 ．
14．（4分）若一元二次方程ax2﹣bx﹣2021＝0有一根为x＝﹣1，则a+b＝ ．
15．（4分）如图，DE是△ABC的中位线，M是DE的中点，那么＝ ．
16．（4分）如图，反比例函数y＝的图象位于第一、三象限，其中第一象限内的图象经过点A（2，3），请在第三象限内的图象上找一个你喜欢的点P，你选择的P点坐标为 ．
17．（4分）已知反比例函数y＝的图象在第一、第三象限，则m的取值范围是 ．
18．（4分）如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC＝8，BC＝3，点D在AB边上，点E在CB的延长线上，已知AD＝3，BE＝2，连接ED并延长交AC于点F，则线段AF的长为 ．
三、解答题（本题共7个题，共78分，要有解题的主要过程）
19．（10分）向阳中学数学兴趣小组对关于x的方程（m+1）+（m﹣2）x﹣1＝0提出了下列问题：
（1）是否存在m的值，使方程为一元二次方程？若存在，求出m的值，并解此方程；
（2）是否存在m的值，使方程为一元一次方程？若存在，求出m的值，并解此方程．
20．（10分）（1）计算：+（1﹣sin60°）0﹣|﹣4|；
（2）先化简，再求值：（），其中x是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的解．
21．（10分）两棵树的高度分别是AB＝16.6米，CD＝13.6米，两棵树的根部之间的距离AC＝7米．小强沿着正对这两棵树的方向从右向左前进，如果小强的眼睛与地面的距离为1.6米，当小强与树CD的距离等于多少时，小强的眼睛与树AB、CD的顶部B、D恰好在同一条直线上，请说明理由．
22．（10分）已知函数y＝的图象经过点（﹣2，3）．
（1）求k的值，并在正方形网格中画出这个函数的图象；
（2）当x取什么值时，函数的值小于0？
23．（12分）已知：如图，在菱形ABCD中，E为BC边上一点，∠AED＝∠B．
（1）求证：△ABE∽△DEA；
（2）若AB＝9，求AE•DE的值．
24．（12分）全民健身和医疗保健是社会普遍关注的问题．2019年，某社区共投入30万元用于购买健身器材和药品．
（1）若2019年社区购买健身器材的费用为总投入的，问2019年投入多少万元购买药品？
（2）2020年，该社区购买健身器材的费用比上一年增加50%，购买药品的费用比上一年减少，但社区在这两方面的总投入仍与2019年相同．
①求2019年社区购买药品的总费用．
②据统计，2019年该社区积极健身的家庭达到200户，社区用于这些家庭的药品费用明显减少，只占当年购买药品总费用的，与2019年相比，如果2020年社区内健身家庭户数增加的百分数与平均每户健身家庭的药品费用降低的百分数都是m，那么，2020年该社区用于健身家庭的药品费用就是当年购买健身器材费用的，请用含m的代数式表示该社区2020年购买健身器材的费用．
25．（14分）如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝的图象交于第一象限C，D两点，与坐标轴交于A、B两点，连接OC，OD（O是坐标原点）．
（1）利用图中条件，求反比例函数的解析式和m的值；
（2）求△DOC的面积．
（3）双曲线上是否存在一点P，使得△POC和△POD的面积相等？若存在，给出证明并求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
2021-2022学年贵州省铜仁市玉屏县九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分。每小题均有A、B、C、D四个备选答案，其中只有一个是正确的，请你将正确答案的序号填涂在答题卡相应的位置上）
1．（4分）方程（m2﹣1）x2+mx﹣5＝0是关于x的一元二次方程，则m的值不能是（ ）
A．0 B．1 C．±1 D．﹣1
【分析】一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式m2﹣1≠0，再解不等式即可．
【解答】解：∵（m2﹣1）x2+mx﹣5＝0是关于x的一元二次方程，
∴m2﹣1≠0，
解得：m≠±1，
故选：C．
2．（4分）下列各点中，在反比例函数y＝图象上的是（ ）
A．（3，1） B．（﹣3，1） C．（3，） D．（，3）
【分析】根据反比例函数y＝中xy＝3对各选项进行逐一判断即可．
【解答】解：A、∵3×1＝3，∴此点在反比例函数的图象上，故A正确；
B、∵（﹣3）×1＝﹣3≠3，∴此点不在反比例函数的图象上，故B错误；
C、∵3×＝1≠3，∴此点不在反比例函数的图象上，故C错误；
D、∵×3＝1≠3，∴此点不在反比例函数的图象上，故D错误．
故选：A．
3．（4分）若关于x的方程2x2﹣ax+a﹣2＝0有两个相等的实根，则a的值是（ ）
A．﹣4 B．4 C．4或﹣4 D．2
【分析】根据△的意义由题意得Δ＝0，即（﹣a）2﹣4×2×（a﹣2）＝0，整理得a2﹣8a+16＝0，然后解关于a的一元二次方程即可．
【解答】解：∵关于x的方程2x2﹣ax+a﹣2＝0有两个相等的实根，
∴Δ＝0，即（﹣a）2﹣4×2×（a﹣2）＝0，整理得a2﹣8a+16＝0，
∴a1＝a2＝4．
故选：B．
4．（4分）如图，下列条件中不能判定△ACD∽△ABC的是（ ）
A． B．∠ADC＝∠ACB C．∠ACD＝∠B D．AC2＝AD•AB
【分析】根据相似三角形的判定逐一判断可得．
【解答】解：若，结合∠B＝∠B可判定△BCD∽△BAC，不能判定△ACD与△ABC相似；
若∠ADC＝∠ACB，结合∠A＝∠A可得△ACD∽△ABC；
若∠ACD＝∠B，结合∠A＝∠A可得△ACD∽△ABC；
若AC2＝AD•AB，即＝，结合∠A＝∠A可得△ACD∽△ABC；
故选：A．
5．（4分）如图，AB∥CD，AC、BD交于点O，若DO＝2，BO＝5，DC＝3，则AB长为（ ）
A．6 B． C． D．
【分析】根据AB∥CD得△AOB∽△COD，根据相似三角形的性质即可求解．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴△AOB∽△COD，
∴DO：BO＝CD：AB，即2：5＝3：AB，
∴AB＝．
故选：B．
6．（4分）某商品原价200元，连续两次降价a%后售价为148元，下列所列方程正确的是（ ）
A．200（1+a%）2＝148 B．200（1﹣a%）2＝148
C．200（1﹣2a%）＝148 D．200（1﹣a2%）＝148
【分析】主要考查增长率问题，本题可用降价后的价格＝降价前的价格×（1﹣降价率），首先用x表示两次降价后的售价，然后由题意可列出方程．
【解答】解：依题意得两次降价后的售价为200（1﹣a%）2，
∴200（1﹣a%）2＝148．
故选：B．
7．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝5：2，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（ ）
A．5：7 B．10：4 C．25：4 D．25：49
【分析】设DE＝5k，EC＝2k，则CD＝7k，由四边形ABCD是平行四边形，推出AB＝CD＝7k，DE∥AB，推出△DEF∽△BAF，利用相似三角形的性质即可解决问题．
【解答】解：设DE＝5k，EC＝2k，则CD＝7k，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝7k，DE∥AB，
∴△DEF∽△BAF，
∴＝＝＝，
故选：D．
8．（4分）已知△ABC中，DE∥BC，AD＝5，DB＝7，AE＝4，则AC的值是（ ）
A．7.6 B．9.6 C．8.5 D．5.6
【分析】根据DE∥BC，可得，再根据AD＝5，DB＝7，AE＝4，进而可选出答案．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴，
∵AD＝5，DB＝7，AE＝4．
∴，
CE＝，
∴AC＝AE+EC＝4+＝9.6．
故选：B．
9．（4分）若ab＜0，则正比例函数y＝ax与反比例函数y＝在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据ab＜0及正比例函数与反比例函数图象的特点，可以从a＞0，b＜0和a＜0，b＞0两方面分类讨论得出答案．
【解答】解：∵ab＜0，∴分两种情况：
（1）当a＞0，b＜0时，正比例函数y＝ax数的图象过原点、第一、三象限，反比例函数图象在第二、四象限，无此选项；
（2）当a＜0，b＞0时，正比例函数的图象过原点、第二、四象限，反比例函数图象在第一、三象限，选项B符合．
故选：B．
10．（4分）如图，在平面直角坐标系中，一条直线与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于两点A、B，与x轴交于点C，且点B是AC的中点，分别过两点A、B作x轴的平行线，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于两点D、E，连接DE，则四边形ABED的面积为（ ）
A．4 B． C． D．
【分析】根据点A、B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，可设点B的坐标为（，m），再根据B为线段AC的中点可用m表示出来A点的坐标，由AD∥x轴、BE∥x轴，即可用m表示出来点D、E的坐标，结合梯形的面积公式即可得出结论．
【解答】解：∵点A、B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
设点B的坐标为（，m），
∵点B为线段AC的中点，且点C在x轴上，
∴点A的坐标为（，2m）．
∵AD∥x轴、BE∥x轴，且点D、E在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴点D的坐标为（，2m），点E的坐标为（，m）．
∴S梯形ABED＝（﹣+﹣）×（2m﹣m）＝．
故选：B．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）
11．（4分）若关于x的方程x2+2x+k＝0的一个根是0，则方程的另一个根是 ﹣2 ．
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系x1+x2＝﹣2，来求方程的另一个根．
【解答】解：设x1•x2是关于x的一元二次方程x2+2x+k＝的两个根，
∵关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0的一个根是0，
∴由韦达定理，得x1+x2＝﹣2，即x2＝﹣2，
即方程的另一个根是﹣2．
故答案为：﹣2．
12．（4分）设＝，则＝ 16 ．
【分析】根据比例的性质，可得y用x表示的式子，根据代数式求值，可得答案．
【解答】解；由＝，得
y＝．
当y＝时，＝＝＝10，
故答案为：10．
13．（4分）在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b＝a2﹣b2，根据这个规则，方程（x+2）*5＝0的解为 x＝3或x＝﹣7 ．
【分析】此题考查学生的分析问题和探索问题的能力．解题的关键是理解题意，在此题中x+2＝a，5＝b，代入所给公式得：（x+2）*5＝（x+2）2﹣52，则可得一元二次方程，解方程即可求得．
【解答】解：据题意得，
∵（x+2）*5＝（x+2）2﹣52
∴x2+4x﹣21＝0，
∴（x﹣3）（x+7）＝0，
∴x＝3或x＝﹣7．
故答案为：x＝3或x＝﹣7
14．（4分）若一元二次方程ax2﹣bx﹣2021＝0有一根为x＝﹣1，则a+b＝ 2021 ．
【分析】由方程有一根为﹣1，将x＝﹣1代入方程，整理后即可得到a+b的值．
【解答】解：把x＝﹣1代入一元二次方程ax2﹣bx﹣2021＝0得：a+b﹣2021＝0，
即a+b＝2021．
故答案是：2021．
15．（4分）如图，DE是△ABC的中位线，M是DE的中点，那么＝ ．
【分析】先根据三角形中位线定理求出，再根据M是DE的中点可求出，再根据DE是△ABC的中位线可知DE∥BC，则△NDM∽△NBC，其相似比为＝，故＝．
【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，
∴，DE∥BC，
∵M是DE的中点，
∴，
∵DE∥BC，
∴△NDM∽△NBC，
∴＝，
∴＝．
故答案为：．
16．（4分）如图，反比例函数y＝的图象位于第一、三象限，其中第一象限内的图象经过点A（2，3），请在第三象限内的图象上找一个你喜欢的点P，你选择的P点坐标为 （﹣2，﹣3）答案不唯一 ．
【分析】根据“第一象限内的图象经过点A（2，3）”先求出函数解析式，取x的一个负数值，求出y值即可得到坐标．
【解答】解：∵图象经过点A（2，3），
∴k＝2×3＝6，
∴函数解析式为y＝，
当x＝﹣2时，y＝＝﹣3，
∴P点坐标为（﹣2，﹣3），
故答案为：（﹣2，﹣3）答案不唯一．
17．（4分）已知反比例函数y＝的图象在第一、第三象限，则m的取值范围是 m＜2 ．
【分析】直接利用反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线；当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，进而得出答案．
【解答】解：∵反比例函数y＝的图象在第一、第三象限，
∴2﹣m＞0，
解得：m＜2．
故答案为：m＜2．
18．（4分）如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC＝8，BC＝3，点D在AB边上，点E在CB的延长线上，已知AD＝3，BE＝2，连接ED并延长交AC于点F，则线段AF的长为 ．
【分析】作BG∥EF交AC于G，可得△ADF∽△ABG，由相似三角形的性质得，因此AF＝AG，则AF＝FG，由平行线分线段成比例定理得，可得CG＝FG，得出AC＝AF+FG+CG＝8，FG＝，即可得出AF的长．
【解答】解：作BG∥EF交AC于G，
∵BG∥EF，
∴△ADF∽△ABG，
∴，
∴AF＝AG，
∴AF＝FG，
∵BG∥EF，
∴＝，
∴CG＝FG，
∴AC＝AF+FG+CG＝8，即FG+FG+FG＝8，
∴FG＝，
∴AF＝FG＝．
故答案为：．
三、解答题（本题共7个题，共78分，要有解题的主要过程）
19．（10分）向阳中学数学兴趣小组对关于x的方程（m+1）+（m﹣2）x﹣1＝0提出了下列问题：
（1）是否存在m的值，使方程为一元二次方程？若存在，求出m的值，并解此方程；
（2）是否存在m的值，使方程为一元一次方程？若存在，求出m的值，并解此方程．
【分析】（1）根据一元二次方程的定义可得，可求得m的值，进一步可求出方程的解；
（2）当m2+1＝1或m+1＝0时方程为一元一次方程，求出m的值，进一步解方程即可．
【解答】解：（1）根据一元二次方程的定义可得，解得m＝1，此时方程为2x2﹣x﹣1＝0，解得x1＝1，x2＝﹣；
（2）由题可知m2+1＝1或m+1＝0或m2+1＝0时方程可能为一元一次方程
当m2+1＝1时，解得m＝0，此时方程为﹣x﹣1＝0，解得x＝﹣1，
当m+1＝0时，解得m＝﹣1，此时方程为﹣3x﹣1＝0，解得x＝﹣．
当m2+1＝0时，方程无解．
20．（10分）（1）计算：+（1﹣sin60°）0﹣|﹣4|；
（2）先化简，再求值：（），其中x是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的解．
【分析】（1）先计算乘方、零指数幂和绝对值，再计算加减即可；
（2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再利用因式分解法解一元二次方程，选择是分式有意义的x的值代入计算即可．
【解答】解：（1）原式＝4+1﹣4
＝1；
（2）原式＝（+）÷
＝•
＝，
∵x2﹣5x+6＝0，
∴（x﹣2）（x﹣3）＝0，
则x﹣2＝0或x﹣3＝0，
解得x1＝3，x2＝2（不符合题意，舍去），
所以，原式＝．
21．（10分）两棵树的高度分别是AB＝16.6米，CD＝13.6米，两棵树的根部之间的距离AC＝7米．小强沿着正对这两棵树的方向从右向左前进，如果小强的眼睛与地面的距离为1.6米，当小强与树CD的距离等于多少时，小强的眼睛与树AB、CD的顶部B、D恰好在同一条直线上，请说明理由．
【分析】先过O点作平行于地面的线段交CD于E，交AB于F，再根据△ODE∽△OBF，列出方程即可求出结果．
【解答】解：设小强的眼睛位置为O，过O点做平行于地面的线段交CD于E，交AB于F
连接O、D、E得△ODE和△OBF，
设OE＝x，OF＝6+x，
∵△ODE∽△OBF，
∴，
即＝，
解得x＝24．
∴小强与树CD的距离等于24米时，小强的眼睛与树AB、CD的顶部B、D恰好在同一条直线上．
22．（10分）已知函数y＝的图象经过点（﹣2，3）．
（1）求k的值，并在正方形网格中画出这个函数的图象；
（2）当x取什么值时，函数的值小于0？
【分析】（1）把点（﹣2，3）代入反比例函数解析式可得k的值；
（2）看x轴下方的函数图象所对应的自变量的取值即可．
【解答】解：（1）把（﹣2，3）代入y＝，得k＝﹣2×3＝﹣6，
∴y＝﹣，
x
﹣6
﹣3
﹣2
﹣1
1
2
3
6
…
y
1
2
3
6
﹣6
﹣3
﹣2
﹣1
…
；
（2）由图象可以看出，当x＞0时，函数的值小于0．
23．（12分）已知：如图，在菱形ABCD中，E为BC边上一点，∠AED＝∠B．
（1）求证：△ABE∽△DEA；
（2）若AB＝9，求AE•DE的值．
【分析】（1）根据菱形的对边平行，可得出∠AEB＝∠DAE，结合∠AED＝∠B即可证明两三角形都得相似．
（2）根据（1）的结论可得出，进而代入可得出AE•DE的值．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC．
∴∠AEB＝∠DAE，
又∵∠B＝∠AED，
∴△ABE∽△DEA．
（2）解：∵△ABE∽△DEA，
∴，
∴AE•DE＝AB•DA．
∵四边形ABCD是菱形，AB＝9，
∴AB＝DA＝9．
∴AE•DE＝92＝81．
24．（12分）全民健身和医疗保健是社会普遍关注的问题．2019年，某社区共投入30万元用于购买健身器材和药品．
（1）若2019年社区购买健身器材的费用为总投入的，问2019年投入多少万元购买药品？
（2）2020年，该社区购买健身器材的费用比上一年增加50%，购买药品的费用比上一年减少，但社区在这两方面的总投入仍与2019年相同．
①求2019年社区购买药品的总费用．
②据统计，2019年该社区积极健身的家庭达到200户，社区用于这些家庭的药品费用明显减少，只占当年购买药品总费用的，与2019年相比，如果2020年社区内健身家庭户数增加的百分数与平均每户健身家庭的药品费用降低的百分数都是m，那么，2020年该社区用于健身家庭的药品费用就是当年购买健身器材费用的，请用含m的代数式表示该社区2020年购买健身器材的费用．
【分析】（1）设2019年投入x万元购买药品，根据2019年社区购买健身器材的费用为总投入的，列出方程，求出方程的解即可得到结果；
（2）①设2019年社区购买药品的总费用为y万元，则购买健身器材的费用为（30﹣y）万元，2020年购买健身器材的费用为（1+50%）（30﹣y）万元，购买药品的费用为（1﹣）y万元，根据题意列出方程，求出方程的解得到y的值，即可得到结果；
②可得2020年健身家庭的户数为200（1+m），根据2020年该社区用于健身家庭的药品费用就是当年购买健身器材费用的，列出代数式即可得到结果．
【解答】解：（1）设2019年投入x万元购买药品，
根据题意得：30﹣x＝30×，
解得：x＝10，
则2019年投入10万元购买药品；
（2）①设2019年社区购买药品的费用为y万元，则购买健身器材的费用为（30﹣y）万元，
2020年购买健身器材的费用为（1+50%）（30﹣y）万元，购买药品的费用为（1﹣）y万元，
根据题意得：（1+50%）（30﹣y）+（1﹣）y＝30，
解得：y＝16，
则30﹣y＝14，
则2019年社区购买药品的总费用为16万元；
②依题意有，2020年健身家庭的户数为200（1+m），
2020年平均每户健身家庭的药品费用为（1﹣m）万元，
则该社区2020年购买健身器材的费用为：200÷（1+m）•（1﹣m）＝28（1﹣m2）（万元）．
25．（14分）如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝的图象交于第一象限C，D两点，与坐标轴交于A、B两点，连接OC，OD（O是坐标原点）．
（1）利用图中条件，求反比例函数的解析式和m的值；
（2）求△DOC的面积．
（3）双曲线上是否存在一点P，使得△POC和△POD的面积相等？若存在，给出证明并求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）把C（1，4）代入y＝求出k＝4，把（4，m）代入y＝求出m即可；
（2）把C（1，4），D（4，1）代入y＝ax+b得出解析式，求出a＝﹣1，b＝5，得出一次函数的解析式，把y＝0代入y＝﹣x+5求出x＝5，得出OA＝5，根据△OCD的面积S＝S△COA﹣S△DOA代入求出即可；
（3）双曲线上存在点P，使得S△POC＝S△POD，这个点就是∠COD的平分线与双曲线的y＝交点，易证△POC≌△POD，则S△POC＝S△POD．
【解答】解：（1）把C（1，4）代入y＝，
得k＝4，
把（4，m）代入y＝，得m＝1；
∴反比例函数的解析式为，m＝1；
（2）把C（1，4），D（4，1）代入y＝ax+b得出，
解得a＝﹣1，b＝5，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x+5，
把y＝0代入y＝﹣x+5，得x＝5，
∴OA＝5，
∴S△DOC＝S△COA﹣S△DOA＝×5×4﹣×5×1＝7.5；
（3）双曲线上存在点P（2，2），使得S△POC＝S△POD，理由如下：
∵C点坐标为：（1，4），D点坐标为：（4，1），
∴OD＝OC＝，
∴当点P在∠COD的平分线上时，∠COP＝∠POD，又OP＝OP，
∴△POC≌△POD，
∴S△POC＝S△POD．
∵C点坐标为：（1，4），D点坐标为：（4，1），
可得∠COB＝∠DOA，
又∵这个点是∠COD的平分线与双曲线的y＝交点，
∴∠BOP＝∠POA，
∴P点横纵坐标坐标相等，
即xy＝4，x2＝4，
∴x＝±2，
∵x＞0，
∴x＝2，y＝2，
故P点坐标为（2，2），使得△POC和△POD的面积相等
利用点CD关于直线y＝x对称，P（2，2）或P（﹣2，﹣2）．
2021-2022学年贵州省铜仁市玉屏县九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分。每小题均有A、B、C、D四个备选答案，其中只有一个是正确的，请你将正确答案的序号填涂在答题卡相应的位置上）
1．（4分）方程（m2﹣1）x2+mx﹣5＝0是关于x的一元二次方程，则m的值不能是（ ）
A．0 B．1 C．±1 D．﹣1
2．（4分）下列各点中，在反比例函数y＝图象上的是（ ）
A．（3，1） B．（﹣3，1） C．（3，） D．（，3）
3．（4分）若关于x的方程2x2﹣ax+a﹣2＝0有两个相等的实根，则a的值是（ ）
A．﹣4 B．4 C．4或﹣4 D．2
4．（4分）如图，下列条件中不能判定△ACD∽△ABC的是（ ）
A． B．∠ADC＝∠ACB C．∠ACD＝∠B D．AC2＝AD•AB
5．（4分）如图，AB∥CD，AC、BD交于点O，若DO＝2，BO＝5，DC＝3，则AB长为（ ）
A．6 B． C． D．
6．（4分）某商品原价200元，连续两次降价a%后售价为148元，下列所列方程正确的是（ ）
A．200（1+a%）2＝148 B．200（1﹣a%）2＝148
C．200（1﹣2a%）＝148 D．200（1﹣a2%）＝148
7．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝5：2，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（ ）
A．5：7 B．10：4 C．25：4 D．25：49
8．（4分）已知△ABC中，DE∥BC，AD＝5，DB＝7，AE＝4，则AC的值是（ ）
A．7.6 B．9.6 C．8.5 D．5.6
9．（4分）若ab＜0，则正比例函数y＝ax与反比例函数y＝在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B． C． D．
10．（4分）如图，在平面直角坐标系中，一条直线与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于两点A、B，与x轴交于点C，且点B是AC的中点，分别过两点A、B作x轴的平行线，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于两点D、E，连接DE，则四边形ABED的面积为（ ）
A．4 B． C． D．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）
11．（4分）若关于x的方程x2+2x+k＝0的一个根是0，则方程的另一个根是 ．
12．（4分）设＝，则＝ ．
13．（4分）在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b＝a2﹣b2，根据这个规则，方程（x+2）*5＝0的解为 ．
14．（4分）若一元二次方程ax2﹣bx﹣2021＝0有一根为x＝﹣1，则a+b＝ ．
15．（4分）如图，DE是△ABC的中位线，M是DE的中点，那么＝ ．
16．（4分）如图，反比例函数y＝的图象位于第一、三象限，其中第一象限内的图象经过点A（2，3），请在第三象限内的图象上找一个你喜欢的点P，你选择的P点坐标为 ．
17．（4分）已知反比例函数y＝的图象在第一、第三象限，则m的取值范围是 ．
18．（4分）如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC＝8，BC＝3，点D在AB边上，点E在CB的延长线上，已知AD＝3，BE＝2，连接ED并延长交AC于点F，则线段AF的长为 ．
三、解答题（本题共7个题，共78分，要有解题的主要过程）
19．（10分）向阳中学数学兴趣小组对关于x的方程（m+1）+（m﹣2）x﹣1＝0提出了下列问题：
（1）是否存在m的值，使方程为一元二次方程？若存在，求出m的值，并解此方程；
（2）是否存在m的值，使方程为一元一次方程？若存在，求出m的值，并解此方程．
20．（10分）（1）计算：+（1﹣sin60°）0﹣|﹣4|；
（2）先化简，再求值：（），其中x是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的解．
21．（10分）两棵树的高度分别是AB＝16.6米，CD＝13.6米，两棵树的根部之间的距离AC＝7米．小强沿着正对这两棵树的方向从右向左前进，如果小强的眼睛与地面的距离为1.6米，当小强与树CD的距离等于多少时，小强的眼睛与树AB、CD的顶部B、D恰好在同一条直线上，请说明理由．
22．（10分）已知函数y＝的图象经过点（﹣2，3）．
（1）求k的值，并在正方形网格中画出这个函数的图象；
（2）当x取什么值时，函数的值小于0？
23．（12分）已知：如图，在菱形ABCD中，E为BC边上一点，∠AED＝∠B．
（1）求证：△ABE∽△DEA；
（2）若AB＝9，求AE•DE的值．
24．（12分）全民健身和医疗保健是社会普遍关注的问题．2019年，某社区共投入30万元用于购买健身器材和药品．
（1）若2019年社区购买健身器材的费用为总投入的，问2019年投入多少万元购买药品？
（2）2020年，该社区购买健身器材的费用比上一年增加50%，购买药品的费用比上一年减少，但社区在这两方面的总投入仍与2019年相同．
①求2019年社区购买药品的总费用．
②据统计，2019年该社区积极健身的家庭达到200户，社区用于这些家庭的药品费用明显减少，只占当年购买药品总费用的，与2019年相比，如果2020年社区内健身家庭户数增加的百分数与平均每户健身家庭的药品费用降低的百分数都是m，那么，2020年该社区用于健身家庭的药品费用就是当年购买健身器材费用的，请用含m的代数式表示该社区2020年购买健身器材的费用．
25．（14分）如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝的图象交于第一象限C，D两点，与坐标轴交于A、B两点，连接OC，OD（O是坐标原点）．
（1）利用图中条件，求反比例函数的解析式和m的值；
（2）求△DOC的面积．
（3）双曲线上是否存在一点P，使得△POC和△POD的面积相等？若存在，给出证明并求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
2021-2022学年贵州省铜仁市玉屏县九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分。每小题均有A、B、C、D四个备选答案，其中只有一个是正确的，请你将正确答案的序号填涂在答题卡相应的位置上）
1．（4分）方程（m2﹣1）x2+mx﹣5＝0是关于x的一元二次方程，则m的值不能是（ ）
A．0 B．1 C．±1 D．﹣1
【分析】一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式m2﹣1≠0，再解不等式即可．
【解答】解：∵（m2﹣1）x2+mx﹣5＝0是关于x的一元二次方程，
∴m2﹣1≠0，
解得：m≠±1，
故选：C．
2．（4分）下列各点中，在反比例函数y＝图象上的是（ ）
A．（3，1） B．（﹣3，1） C．（3，） D．（，3）
【分析】根据反比例函数y＝中xy＝3对各选项进行逐一判断即可．
【解答】解：A、∵3×1＝3，∴此点在反比例函数的图象上，故A正确；
B、∵（﹣3）×1＝﹣3≠3，∴此点不在反比例函数的图象上，故B错误；
C、∵3×＝1≠3，∴此点不在反比例函数的图象上，故C错误；
D、∵×3＝1≠3，∴此点不在反比例函数的图象上，故D错误．
故选：A．
3．（4分）若关于x的方程2x2﹣ax+a﹣2＝0有两个相等的实根，则a的值是（ ）
A．﹣4 B．4 C．4或﹣4 D．2
【分析】根据△的意义由题意得Δ＝0，即（﹣a）2﹣4×2×（a﹣2）＝0，整理得a2﹣8a+16＝0，然后解关于a的一元二次方程即可．
【解答】解：∵关于x的方程2x2﹣ax+a﹣2＝0有两个相等的实根，
∴Δ＝0，即（﹣a）2﹣4×2×（a﹣2）＝0，整理得a2﹣8a+16＝0，
∴a1＝a2＝4．
故选：B．
4．（4分）如图，下列条件中不能判定△ACD∽△ABC的是（ ）
A． B．∠ADC＝∠ACB C．∠ACD＝∠B D．AC2＝AD•AB
【分析】根据相似三角形的判定逐一判断可得．
【解答】解：若，结合∠B＝∠B可判定△BCD∽△BAC，不能判定△ACD与△ABC相似；
若∠ADC＝∠ACB，结合∠A＝∠A可得△ACD∽△ABC；
若∠ACD＝∠B，结合∠A＝∠A可得△ACD∽△ABC；
若AC2＝AD•AB，即＝，结合∠A＝∠A可得△ACD∽△ABC；
故选：A．
5．（4分）如图，AB∥CD，AC、BD交于点O，若DO＝2，BO＝5，DC＝3，则AB长为（ ）
A．6 B． C． D．
【分析】根据AB∥CD得△AOB∽△COD，根据相似三角形的性质即可求解．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴△AOB∽△COD，
∴DO：BO＝CD：AB，即2：5＝3：AB，
∴AB＝．
故选：B．
6．（4分）某商品原价200元，连续两次降价a%后售价为148元，下列所列方程正确的是（ ）
A．200（1+a%）2＝148 B．200（1﹣a%）2＝148
C．200（1﹣2a%）＝148 D．200（1﹣a2%）＝148
【分析】主要考查增长率问题，本题可用降价后的价格＝降价前的价格×（1﹣降价率），首先用x表示两次降价后的售价，然后由题意可列出方程．
【解答】解：依题意得两次降价后的售价为200（1﹣a%）2，
∴200（1﹣a%）2＝148．
故选：B．
7．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝5：2，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（ ）
A．5：7 B．10：4 C．25：4 D．25：49
【分析】设DE＝5k，EC＝2k，则CD＝7k，由四边形ABCD是平行四边形，推出AB＝CD＝7k，DE∥AB，推出△DEF∽△BAF，利用相似三角形的性质即可解决问题．
【解答】解：设DE＝5k，EC＝2k，则CD＝7k，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝7k，DE∥AB，
∴△DEF∽△BAF，
∴＝＝＝，
故选：D．
8．（4分）已知△ABC中，DE∥BC，AD＝5，DB＝7，AE＝4，则AC的值是（ ）
A．7.6 B．9.6 C．8.5 D．5.6
【分析】根据DE∥BC，可得，再根据AD＝5，DB＝7，AE＝4，进而可选出答案．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴，
∵AD＝5，DB＝7，AE＝4．
∴，
CE＝，
∴AC＝AE+EC＝4+＝9.6．
故选：B．
9．（4分）若ab＜0，则正比例函数y＝ax与反比例函数y＝在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据ab＜0及正比例函数与反比例函数图象的特点，可以从a＞0，b＜0和a＜0，b＞0两方面分类讨论得出答案．
【解答】解：∵ab＜0，∴分两种情况：
（1）当a＞0，b＜0时，正比例函数y＝ax数的图象过原点、第一、三象限，反比例函数图象在第二、四象限，无此选项；
（2）当a＜0，b＞0时，正比例函数的图象过原点、第二、四象限，反比例函数图象在第一、三象限，选项B符合．
故选：B．
10．（4分）如图，在平面直角坐标系中，一条直线与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于两点A、B，与x轴交于点C，且点B是AC的中点，分别过两点A、B作x轴的平行线，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于两点D、E，连接DE，则四边形ABED的面积为（ ）
A．4 B． C． D．
【分析】根据点A、B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，可设点B的坐标为（，m），再根据B为线段AC的中点可用m表示出来A点的坐标，由AD∥x轴、BE∥x轴，即可用m表示出来点D、E的坐标，结合梯形的面积公式即可得出结论．
【解答】解：∵点A、B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
设点B的坐标为（，m），
∵点B为线段AC的中点，且点C在x轴上，
∴点A的坐标为（，2m）．
∵AD∥x轴、BE∥x轴，且点D、E在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴点D的坐标为（，2m），点E的坐标为（，m）．
∴S梯形ABED＝（﹣+﹣）×（2m﹣m）＝．
故选：B．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）
11．（4分）若关于x的方程x2+2x+k＝0的一个根是0，则方程的另一个根是 ﹣2 ．
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系x1+x2＝﹣2，来求方程的另一个根．
【解答】解：设x1•x2是关于x的一元二次方程x2+2x+k＝的两个根，
∵关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0的一个根是0，
∴由韦达定理，得x1+x2＝﹣2，即x2＝﹣2，
即方程的另一个根是﹣2．
故答案为：﹣2．
12．（4分）设＝，则＝ 16 ．
【分析】根据比例的性质，可得y用x表示的式子，根据代数式求值，可得答案．
【解答】解；由＝，得
y＝．
当y＝时，＝＝＝10，
故答案为：10．
13．（4分）在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b＝a2﹣b2，根据这个规则，方程（x+2）*5＝0的解为 x＝3或x＝﹣7 ．
【分析】此题考查学生的分析问题和探索问题的能力．解题的关键是理解题意，在此题中x+2＝a，5＝b，代入所给公式得：（x+2）*5＝（x+2）2﹣52，则可得一元二次方程，解方程即可求得．
【解答】解：据题意得，
∵（x+2）*5＝（x+2）2﹣52
∴x2+4x﹣21＝0，
∴（x﹣3）（x+7）＝0，
∴x＝3或x＝﹣7．
故答案为：x＝3或x＝﹣7
14．（4分）若一元二次方程ax2﹣bx﹣2021＝0有一根为x＝﹣1，则a+b＝ 2021 ．
【分析】由方程有一根为﹣1，将x＝﹣1代入方程，整理后即可得到a+b的值．
【解答】解：把x＝﹣1代入一元二次方程ax2﹣bx﹣2021＝0得：a+b﹣2021＝0，
即a+b＝2021．
故答案是：2021．
15．（4分）如图，DE是△ABC的中位线，M是DE的中点，那么＝ ．
【分析】先根据三角形中位线定理求出，再根据M是DE的中点可求出，再根据DE是△ABC的中位线可知DE∥BC，则△NDM∽△NBC，其相似比为＝，故＝．
【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，
∴，DE∥BC，
∵M是DE的中点，
∴，
∵DE∥BC，
∴△NDM∽△NBC，
∴＝，
∴＝．
故答案为：．
16．（4分）如图，反比例函数y＝的图象位于第一、三象限，其中第一象限内的图象经过点A（2，3），请在第三象限内的图象上找一个你喜欢的点P，你选择的P点坐标为 （﹣2，﹣3）答案不唯一 ．
【分析】根据“第一象限内的图象经过点A（2，3）”先求出函数解析式，取x的一个负数值，求出y值即可得到坐标．
【解答】解：∵图象经过点A（2，3），
∴k＝2×3＝6，
∴函数解析式为y＝，
当x＝﹣2时，y＝＝﹣3，
∴P点坐标为（﹣2，﹣3），
故答案为：（﹣2，﹣3）答案不唯一．
17．（4分）已知反比例函数y＝的图象在第一、第三象限，则m的取值范围是 m＜2 ．
【分析】直接利用反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线；当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，进而得出答案．
【解答】解：∵反比例函数y＝的图象在第一、第三象限，
∴2﹣m＞0，
解得：m＜2．
故答案为：m＜2．
18．（4分）如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC＝8，BC＝3，点D在AB边上，点E在CB的延长线上，已知AD＝3，BE＝2，连接ED并延长交AC于点F，则线段AF的长为 ．
【分析】作BG∥EF交AC于G，可得△ADF∽△ABG，由相似三角形的性质得，因此AF＝AG，则AF＝FG，由平行线分线段成比例定理得，可得CG＝FG，得出AC＝AF+FG+CG＝8，FG＝，即可得出AF的长．
【解答】解：作BG∥EF交AC于G，
∵BG∥EF，
∴△ADF∽△ABG，
∴，
∴AF＝AG，
∴AF＝FG，
∵BG∥EF，
∴＝，
∴CG＝FG，
∴AC＝AF+FG+CG＝8，即FG+FG+FG＝8，
∴FG＝，
∴AF＝FG＝．
故答案为：．
三、解答题（本题共7个题，共78分，要有解题的主要过程）
19．（10分）向阳中学数学兴趣小组对关于x的方程（m+1）+（m﹣2）x﹣1＝0提出了下列问题：
（1）是否存在m的值，使方程为一元二次方程？若存在，求出m的值，并解此方程；
（2）是否存在m的值，使方程为一元一次方程？若存在，求出m的值，并解此方程．
【分析】（1）根据一元二次方程的定义可得，可求得m的值，进一步可求出方程的解；
（2）当m2+1＝1或m+1＝0时方程为一元一次方程，求出m的值，进一步解方程即可．
【解答】解：（1）根据一元二次方程的定义可得，解得m＝1，此时方程为2x2﹣x﹣1＝0，解得x1＝1，x2＝﹣；
（2）由题可知m2+1＝1或m+1＝0或m2+1＝0时方程可能为一元一次方程
当m2+1＝1时，解得m＝0，此时方程为﹣x﹣1＝0，解得x＝﹣1，
当m+1＝0时，解得m＝﹣1，此时方程为﹣3x﹣1＝0，解得x＝﹣．
当m2+1＝0时，方程无解．
20．（10分）（1）计算：+（1﹣sin60°）0﹣|﹣4|；
（2）先化简，再求值：（），其中x是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的解．
【分析】（1）先计算乘方、零指数幂和绝对值，再计算加减即可；
（2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再利用因式分解法解一元二次方程，选择是分式有意义的x的值代入计算即可．
【解答】解：（1）原式＝4+1﹣4
＝1；
（2）原式＝（+）÷
＝•
＝，
∵x2﹣5x+6＝0，
∴（x﹣2）（x﹣3）＝0，
则x﹣2＝0或x﹣3＝0，
解得x1＝3，x2＝2（不符合题意，舍去），
所以，原式＝．
21．（10分）两棵树的高度分别是AB＝16.6米，CD＝13.6米，两棵树的根部之间的距离AC＝7米．小强沿着正对这两棵树的方向从右向左前进，如果小强的眼睛与地面的距离为1.6米，当小强与树CD的距离等于多少时，小强的眼睛与树AB、CD的顶部B、D恰好在同一条直线上，请说明理由．
【分析】先过O点作平行于地面的线段交CD于E，交AB于F，再根据△ODE∽△OBF，列出方程即可求出结果．
【解答】解：设小强的眼睛位置为O，过O点做平行于地面的线段交CD于E，交AB于F
连接O、D、E得△ODE和△OBF，
设OE＝x，OF＝6+x，
∵△ODE∽△OBF，
∴，
即＝，
解得x＝24．
∴小强与树CD的距离等于24米时，小强的眼睛与树AB、CD的顶部B、D恰好在同一条直线上．
22．（10分）已知函数y＝的图象经过点（﹣2，3）．
（1）求k的值，并在正方形网格中画出这个函数的图象；
（2）当x取什么值时，函数的值小于0？
【分析】（1）把点（﹣2，3）代入反比例函数解析式可得k的值；
（2）看x轴下方的函数图象所对应的自变量的取值即可．
【解答】解：（1）把（﹣2，3）代入y＝，得k＝﹣2×3＝﹣6，
∴y＝﹣，
x
﹣6
﹣3
﹣2
﹣1
1
2
3
6
…
y
1
2
3
6
﹣6
﹣3
﹣2
﹣1
…
；
（2）由图象可以看出，当x＞0时，函数的值小于0．
23．（12分）已知：如图，在菱形ABCD中，E为BC边上一点，∠AED＝∠B．
（1）求证：△ABE∽△DEA；
（2）若AB＝9，求AE•DE的值．
【分析】（1）根据菱形的对边平行，可得出∠AEB＝∠DAE，结合∠AED＝∠B即可证明两三角形都得相似．
（2）根据（1）的结论可得出，进而代入可得出AE•DE的值．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC．
∴∠AEB＝∠DAE，
又∵∠B＝∠AED，
∴△ABE∽△DEA．
（2）解：∵△ABE∽△DEA，
∴，
∴AE•DE＝AB•DA．
∵四边形ABCD是菱形，AB＝9，
∴AB＝DA＝9．
∴AE•DE＝92＝81．
24．（12分）全民健身和医疗保健是社会普遍关注的问题．2019年，某社区共投入30万元用于购买健身器材和药品．
（1）若2019年社区购买健身器材的费用为总投入的，问2019年投入多少万元购买药品？
（2）2020年，该社区购买健身器材的费用比上一年增加50%，购买药品的费用比上一年减少，但社区在这两方面的总投入仍与2019年相同．
①求2019年社区购买药品的总费用．
②据统计，2019年该社区积极健身的家庭达到200户，社区用于这些家庭的药品费用明显减少，只占当年购买药品总费用的，与2019年相比，如果2020年社区内健身家庭户数增加的百分数与平均每户健身家庭的药品费用降低的百分数都是m，那么，2020年该社区用于健身家庭的药品费用就是当年购买健身器材费用的，请用含m的代数式表示该社区2020年购买健身器材的费用．
【分析】（1）设2019年投入x万元购买药品，根据2019年社区购买健身器材的费用为总投入的，列出方程，求出方程的解即可得到结果；
（2）①设2019年社区购买药品的总费用为y万元，则购买健身器材的费用为（30﹣y）万元，2020年购买健身器材的费用为（1+50%）（30﹣y）万元，购买药品的费用为（1﹣）y万元，根据题意列出方程，求出方程的解得到y的值，即可得到结果；
②可得2020年健身家庭的户数为200（1+m），根据2020年该社区用于健身家庭的药品费用就是当年购买健身器材费用的，列出代数式即可得到结果．
【解答】解：（1）设2019年投入x万元购买药品，
根据题意得：30﹣x＝30×，
解得：x＝10，
则2019年投入10万元购买药品；
（2）①设2019年社区购买药品的费用为y万元，则购买健身器材的费用为（30﹣y）万元，
2020年购买健身器材的费用为（1+50%）（30﹣y）万元，购买药品的费用为（1﹣）y万元，
根据题意得：（1+50%）（30﹣y）+（1﹣）y＝30，
解得：y＝16，
则30﹣y＝14，
则2019年社区购买药品的总费用为16万元；
②依题意有，2020年健身家庭的户数为200（1+m），
2020年平均每户健身家庭的药品费用为（1﹣m）万元，
则该社区2020年购买健身器材的费用为：200÷（1+m）•（1﹣m）＝28（1﹣m2）（万元）．
25．（14分）如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝的图象交于第一象限C，D两点，与坐标轴交于A、B两点，连接OC，OD（O是坐标原点）．
（1）利用图中条件，求反比例函数的解析式和m的值；
（2）求△DOC的面积．
（3）双曲线上是否存在一点P，使得△POC和△POD的面积相等？若存在，给出证明并求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）把C（1，4）代入y＝求出k＝4，把（4，m）代入y＝求出m即可；
（2）把C（1，4），D（4，1）代入y＝ax+b得出解析式，求出a＝﹣1，b＝5，得出一次函数的解析式，把y＝0代入y＝﹣x+5求出x＝5，得出OA＝5，根据△OCD的面积S＝S△COA﹣S△DOA代入求出即可；
（3）双曲线上存在点P，使得S△POC＝S△POD，这个点就是∠COD的平分线与双曲线的y＝交点，易证△POC≌△POD，则S△POC＝S△POD．
【解答】解：（1）把C（1，4）代入y＝，
得k＝4，
把（4，m）代入y＝，得m＝1；
∴反比例函数的解析式为，m＝1；
（2）把C（1，4），D（4，1）代入y＝ax+b得出，
解得a＝﹣1，b＝5，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x+5，
把y＝0代入y＝﹣x+5，得x＝5，
∴OA＝5，
∴S△DOC＝S△COA﹣S△DOA＝×5×4﹣×5×1＝7.5；
（3）双曲线上存在点P（2，2），使得S△POC＝S△POD，理由如下：
∵C点坐标为：（1，4），D点坐标为：（4，1），
∴OD＝OC＝，
∴当点P在∠COD的平分线上时，∠COP＝∠POD，又OP＝OP，
∴△POC≌△POD，
∴S△POC＝S△POD．
∵C点坐标为：（1，4），D点坐标为：（4，1），
可得∠COB＝∠DOA，
又∵这个点是∠COD的平分线与双曲线的y＝交点，
∴∠BOP＝∠POA，
∴P点横纵坐标坐标相等，
即xy＝4，x2＝4，
∴x＝±2，
∵x＞0，
∴x＝2，y＝2，
故P点坐标为（2，2），使得△POC和△POD的面积相等
利用点CD关于直线y＝x对称，P（2，2）或P（﹣2，﹣2）．
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