2021-2022学年重庆市渝中区九年级（上）期中数学试卷

这是一份2021-2022学年重庆市渝中区九年级（上）期中数学试卷，共38页。
2021-2022学年重庆市渝中区九年级（上）期中数学试卷
一．选择题：（每小题4分，共48分）
1．（4分）数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（4分）在下列二次函数中，图象以直线x＝﹣2为对称轴，且经过点（0，﹣1）的是（　　）
A．y＝（x+2）2﹣1 B．y＝（x﹣2）2﹣1 C．y＝（x+2）2﹣5 D．y＝（x﹣2）2﹣5
3．（4分）若关于x的一元二次方程ax2+bx+5＝0（a≠0）的一个解是x＝1，则2021﹣a﹣b的值是（　　）
A．2016 B．2020 C．2025 D．2026
4．（4分）将抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3先向左平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到的抛物线的函数表达式是（　　）
A．y＝﹣2（x+3）2﹣2 B．y＝﹣2（x+3）2+8
C．y＝﹣2（x﹣5）2﹣2 D．y＝﹣2（x﹣5）2+8
5．（4分）在圆内接正六边形ABCDEF中，正六边形的边长为2，则这个正六边形的中心角和边心距分别是（　　）
A．30°，1 B．45°， C．60°， D．120°，2
6．（4分）如图，电路图上有4个开关A、B、C、D和1个小灯泡，在所有的元件和线路都正常的前提下．下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是随机事件的是（　　）

A．只闭合1个开关 B．只闭合2个开关
C．只闭合3个开关 D．闭合4个开关
7．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝50°，点D在斜边AB上，如果△ABC绕点B旋转后与△EBD重合，连接AE，那么∠EAB的度数是（　　）

A．80° B．70° C．60° D．50°
8．（4分）一次函数y＝cx﹣b与二次函数y＝ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
9．（4分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上．若∠ABD＝15°，则∠BCD的大小是（　　）

A．100° B．105° C．110° D．115°
10．（4分）欧几里得的《原本》记载，方程x2+ax＝b2的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC＝，AC＝b，再在斜边AB上截取BD＝BC．则该方程的一个正根是（　　）

A．AC的长 B．CD的长 C．AD的长 D．BC的长
11．（4分）如图，点E在边长为5的正方形ABCD的边CD上，将△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，连接EF，过点A作FE的垂线，垂足为点H，与BC交于点G．若CG＝2，则CE的长为（　　）

A． B． C．4 D．
12．（4分）如图，正方形ABCD的边长为4，点P、Q分别是CD、AD的中点，动点E从点A向点B运动，到点B时停止运动；同时，动点F从点P出发，沿P→D→Q运动，点E、F的运动速度相同．设点E的运动路程为x，△AEF的面积为y，能大致刻画y与x的函数关系的图象是（　　）

A． B．
C． D．
二．填空题（每题4分，共24分）
13．（4分）大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用．如图是刘军老师的健康码示意图，用打印机打印在边长为2cm的正方形区域内．为了估计图中阴影部分的总面积，刘军老师在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在阴影部分的频率稳定在0.65左右，由此可估计阴影部分的总面积约为 　 　cm2．

14．（4分）二次函数y＝kx2﹣3x+1的图象与x轴有公共点，则常数k的取值范围是 　 　．
15．（4分）在一次聚会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯36次，则参加聚会的有 　 　人．
16．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点E在AC上，以AE为直径的⨀O经过点D．若∠C＝30°，且CD＝3，则阴影部分的面积是 　 　．

17．（4分）某幢建筑物，从5米高的窗口A用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线，抛物线所在平面与墙面垂直（如图所示），如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面米，则水流下落点B离墙距离OB是 　 　m．

18．（4分）如图，将小正方形AEFG绕大正方形ABCD的顶点A顺时针旋转一定的角度α（0°≤a≤90°），连接BG，DE相交于点O，再连接AO、BE、DG．以下四个结论：①BG＝DE；②BG⊥DE；③∠DOA＝∠GOA；④S△ADG＝S△ABE．其中结论正确的是 　 　．

三．解答题．（19到25题每题10分，26题8分，共78分）
19．（10分）解方程：
（1）2x2﹣2x﹣1＝0；
（2）（x﹣5）2＝2x﹣10．
20．（10分）某校准备从八年级（1）班、（2）班的团员中选取两名同学作为十四运的志愿者，已知（1）班有5名团员（其中男生3人，女生2人），（2）班有4名团员（其中男生1人，女生3人）．
（1）如果从这两个班的全体团员中随机选取一名同学作为志愿者的组长，则这名同学是男生的概率为 　 　；
（2）如果分别从（1）班、（2）班的团员中随机各选取一人，请用画树状图或列表的方法求这两名同学恰好是一名男生、一名女生的概率．
21．（10分）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），与y轴的交点坐标为（0，3）．
（1）求出b、c的值，并写出此二次函数的解析式；
（2）当函数值y＞﹣5时，求自变量x的取值范围；
（3）当﹣1≤x≤2时，求y的取值范围．

22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，BD平分∠ABC交⊙O于点D，DE⊥BC．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若CE＝2，DE＝4，求⊙O的半径．

23．（10分）我们可以通过列表、描点、连线等步骤作出所学函数的图象，另外，我们也学过绝对值的定义|a|＝，结合上面的学习经历，解决下面的问题：已知函数y＝|x2+bx+c|，当x＝﹣3时，y＝0；当x＝1时，y＝0．
（1）求这个函数的解析式；
（2）求出表中m，n的值：m＝　 　，n＝　 　．结合以下表格，在坐标系中画出该函数的图象，观察函数图象，写出该函数的一条性质：　 　．
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
5
0
3
m
n
0
5
…

（3）若关于x的方程|x2+bx+c|＝t有4个不同实数根，请根据函数图象，直接写出t的取值范围．
24．（10分）新冠病毒肆虐全球，在以习近平为核心的党中央的英明领导下，我国的疫情很快得到了控制，并且研发出安全性有效性均非常高的疫苗．今年七月，国家发布通知，12﹣17岁未成年人也可接种新冠疫苗，海航医院为某镇定点疫苗接种医院，第一批未成年人接种疫苗时间定为8月1日至8月3日．
（1）已知在海航医院投放第一批“智飞”和“科兴”两种疫苗共1800支，两种疫苗每天按定量接种．其中，“智飞”疫苗可供接种3天；“科兴”疫苗可供接种2天，“智飞”疫苗每天接种比“科兴”多100支，则海航医院每天接种“智飞”和“科兴”疫苗各多少支？
（2）疫情情况直接影响各企业生产与销售情况，某镇某家具厂有甲、乙两个车间，甲车间生产一种实木椅子，乙车间生产一种实木床．今年6月，该厂生产的椅子数量为床的数量的20倍，椅子售价为每把75元，床售价为每个1000元．今年7月，椅子的生产数量比6月少a%，床的生产数量比6月少4a%．在售卖这批产品时，椅子价格不变，床的价格比6月增加a%．全部售完后，发现7月生产的产品销售额比6月生产的产品销售额少a%，求a的值．
25．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，且B点的坐标为（3，0），经过A点的直线交抛物线于点D（2，3）．
（1）求抛物线的解析式和直线AD的解析式；
（2）点E为x轴上一点，点F为抛物线上一点，是否存在点E，使得以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出满足条件的点E的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）点M为直线AD上方抛物线上一点，求当△AMD的面积最大时M点的坐标，及最大的面积．

26．（8分）如图1，在△ACB和△AED中，AC＝BC，AE＝DE，∠ACB＝∠AED＝90°，点E在AB上，F是线段BD的中点，连接CE、FE．
（1）请你探究线段CE与FE之间的数量关系（直接写出结果，不需说明理由）；
（2）将图1中的△AED绕点A顺时针旋转，使△AED的一边AE恰好与△ACB的边AC在同一条直线上（如图2），连接BD，取BD的中点F，问（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由；
（3）将图1中的△AED绕点A顺时针旋转任意的角度（如图3），连接BD，取BD的中点F，问（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．


2021-2022学年重庆市渝中区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题：（每小题4分，共48分）
1．（4分）数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．
【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
2．（4分）在下列二次函数中，图象以直线x＝﹣2为对称轴，且经过点（0，﹣1）的是（　　）
A．y＝（x+2）2﹣1 B．y＝（x﹣2）2﹣1 C．y＝（x+2）2﹣5 D．y＝（x﹣2）2﹣5
【分析】根据各个选项中的函数解析式，可以写出它们的对称轴，并写出当x＝0时对应的y的值，从而可以判断哪个选项符合题意．
【解答】解：函数y＝（x+2）2﹣1的对称轴为直线x＝﹣2，过点（0，3），故选项A不符合题意；
函数y＝（x﹣2）2﹣1的对称轴为直线x＝2，过点（0，3），故选项B不符合题意；
函数y＝（x+2）2﹣5的对称轴为直线x＝﹣2，过点（0，﹣1），故选项C符合题意；
函数y＝（x﹣2）2﹣5的对称轴为直线x＝2，过点（0，﹣1），故选项D不符合题意；
故选：C．
3．（4分）若关于x的一元二次方程ax2+bx+5＝0（a≠0）的一个解是x＝1，则2021﹣a﹣b的值是（　　）
A．2016 B．2020 C．2025 D．2026
【分析】利用一元二次方程解的定义得到a+b＝﹣1，然后把2021﹣a﹣b变形为2021﹣（a+b），再利用整体代入的方法计算．
【解答】解：把x＝1代入方程ax2+bx+5＝0得a+b+5＝0，
所以a+b＝﹣5，
所以2021﹣a﹣b＝2021﹣（a+b）＝2021+5＝2026．
故选：D．
4．（4分）将抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3先向左平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到的抛物线的函数表达式是（　　）
A．y＝﹣2（x+3）2﹣2 B．y＝﹣2（x+3）2+8
C．y＝﹣2（x﹣5）2﹣2 D．y＝﹣2（x﹣5）2+8
【分析】直接根据二次函数图象平移的法则即可得出结论．
【解答】解：按照“左加右减，上加下减”的规律，向左平移4个单位，将抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3先变为y＝﹣2（x+3）2+3，
再沿y轴方向向下平移5个单位抛物线y＝﹣2（x+3）2+3﹣5，即变为：y＝﹣2（x+3）2﹣2．
故所得抛物线的解析式是：y＝﹣2（x+3）2﹣2．
故选：A．
5．（4分）在圆内接正六边形ABCDEF中，正六边形的边长为2，则这个正六边形的中心角和边心距分别是（　　）
A．30°，1 B．45°， C．60°， D．120°，2
【分析】由正六边形的性质得∠COD＝60°，再证△OCD是等边三角形，得BC＝CD＝OC＝2，再由垂径定理和含30°角的直角三角形的性质求出OG即可．
【解答】解：在圆内接正六边形ABCDEF中，∠COD＝＝60°，
∵OC＝OD，
∴△OCD是等边三角形，
∴BC＝CD＝OC＝2，
∵OG⊥BC，
∴CG＝BC＝1，
∵∠COG＝∠COD＝30°，
∴OG＝CG＝，
故选：C．

6．（4分）如图，电路图上有4个开关A、B、C、D和1个小灯泡，在所有的元件和线路都正常的前提下．下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是随机事件的是（　　）

A．只闭合1个开关 B．只闭合2个开关
C．只闭合3个开关 D．闭合4个开关
【分析】根据题意分别判断能否发光，进而判断属于什么事件即可．
【解答】解：A、只闭合1个开关，小灯泡不会发光，属于不可能事件，不符合题意；
B、只闭合2个开关，小灯泡可能发光也可能不发光，是随机事件，符合题意；
C、只闭合3个开关，小灯泡一定会发光，是必然事件，不符合题意；
D、闭合4个开关，小灯泡一定会发光，是必然事件，不符合题意；
故选：B．
7．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝50°，点D在斜边AB上，如果△ABC绕点B旋转后与△EBD重合，连接AE，那么∠EAB的度数是（　　）

A．80° B．70° C．60° D．50°
【分析】先根∠CAB＝50°，求出∠ABC，再结合图形，根据旋转的性质确定出△ABC旋转后与△EBD重合的过程，然后得出答案即可．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠CAB＝50°，
∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝90°﹣50°＝40°．
∵△ABC经过旋转后与△EBD重合，
∴这一旋转的旋转中心是点B，旋转角是40°．BE＝BA，
∴∠BAE＝（180°﹣40°）＝70°，
故选：B．
8．（4分）一次函数y＝cx﹣b与二次函数y＝ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】先由二次函数y＝ax2+bx+c的图象得到字母系数的正负，再与一次函数y＝cx﹣b的图象相比较看是否一致．
【解答】解：A、由抛物线可知，a＞0，b＜0，c＞0，由直线可知，c＜0，b＜0，故本选项不合题意；
B、由抛物线可知，a＞0，b＞0，c＞0，由直线可知，c＞0，b＜0，故本选项不合题意；
C、由抛物线可知，a＜0，b＞0，c＞0，由直线可知，c＜0，b＞0，故本选项不合题意；
D、由抛物线可知，a＜0，b＜0，c＞0，由直线可知，c＞0，b＜0，故本选项符合题意．
故选：D．
9．（4分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上．若∠ABD＝15°，则∠BCD的大小是（　　）

A．100° B．105° C．110° D．115°
【分析】根据圆周角定理及直径所对圆周角为90°求解．
【解答】解：∵AB为直径，
∴∠BCA＝90°，
∵∠ABD＝15°，
∴∠ACD＝∠ABD＝15°，
∴∠BCD＝∠ACD+∠ACB＝105°，
故选：B．
10．（4分）欧几里得的《原本》记载，方程x2+ax＝b2的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC＝，AC＝b，再在斜边AB上截取BD＝BC．则该方程的一个正根是（　　）

A．AC的长 B．CD的长 C．AD的长 D．BC的长
【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理可得出AC2+BC2＝AB2，结合AB＝AD+BD，AC＝b，BD＝BC＝，即可得出AD2+aAD＝b2，进而可得出AD的长是方程x2+ax＝b2的一个正根．
【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC2+BC2＝AB2．
∵AC＝b，BD＝BC＝，
∴b2+（）2＝（AD+）2＝AD2+aAD+（）2，
∴AD2+aAD＝b2．
∵AD2+aAD＝b2与方程x2+ax＝b2相同，且AD的长度为正数，
∴AD的长是方程x2+ax＝b2的一个正根．
故选：C．

11．（4分）如图，点E在边长为5的正方形ABCD的边CD上，将△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，连接EF，过点A作FE的垂线，垂足为点H，与BC交于点G．若CG＝2，则CE的长为（　　）

A． B． C．4 D．
【分析】连接EG，根据AG垂直平分EF，即可得出EG＝FG，设CE＝x，则DE＝5﹣x＝BF，FG＝EG＝8﹣x，再根据Rt△CEG中，CE2+CG2＝EG2，即可得到CE的长．
【解答】解：如图所示，连接EG，

由旋转可得，△ADE≌△ABF，
∴AE＝AF，DE＝BF，
又∵AG⊥EF，
∴H为EF的中点，
∴AG垂直平分EF，
∴EG＝FG，
设CE＝x，则DE＝5﹣x＝BF，FG＝8﹣x，
∴EG＝8﹣x，
∵∠C＝90°，
∴Rt△CEG中，CE2+CG2＝EG2，即x2+22＝（8﹣x）2，
解得x＝，
∴CE的长为，
故选：B．
12．（4分）如图，正方形ABCD的边长为4，点P、Q分别是CD、AD的中点，动点E从点A向点B运动，到点B时停止运动；同时，动点F从点P出发，沿P→D→Q运动，点E、F的运动速度相同．设点E的运动路程为x，△AEF的面积为y，能大致刻画y与x的函数关系的图象是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】分F在线段PD上，以及线段DQ上两种情况，表示出y与x的函数解析式，即可做出判断．
【解答】解：当F在PD上运动时，△AEF的面积为y＝AE•AD＝2x（0≤x≤2），
当F在AD上运动时，△AEF的面积为y＝AE•AF＝x（6﹣x）＝﹣x2+3x（2＜x≤4），
图象为：

故选：A．
二．填空题（每题4分，共24分）
13．（4分）大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用．如图是刘军老师的健康码示意图，用打印机打印在边长为2cm的正方形区域内．为了估计图中阴影部分的总面积，刘军老师在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在阴影部分的频率稳定在0.65左右，由此可估计阴影部分的总面积约为 　2.6　cm2．

【分析】根据频率可以估计阴影部分占正方形的65%，求出正方形面积即可求．
【解答】解：因为经过大量重复试验，发现点落在阴影部分的频率稳定在0.65左右，
所以，估计阴影部分面积大约占正方形面积的65%，
正方形的面积为：2×2＝4（cm2），
由此可估计阴影部分的总面积约为：4×65%＝2.6（cm2），
故答案为：2.6．
14．（4分）二次函数y＝kx2﹣3x+1的图象与x轴有公共点，则常数k的取值范围是 　k≤且k≠0　．
【分析】先根据二次函数的定义得到k≠0，再根据抛物线与x轴的交点问题得到△＝（﹣3）2﹣4k×1≥0，然后解不等式即可得到k的值．
【解答】解：∵二次函数y＝kx2﹣3x+1的图象与x轴有公共点，
∴△＝（﹣3）2﹣4k×1≥0，
解得：k≤，
又∵y＝kx2﹣4x+2是二次函数，
∴k≠0，
∴k的取值范围是k≤且k≠0．
故答案为：k≤且k≠0．
15．（4分）在一次聚会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯36次，则参加聚会的有 　9　人．
【分析】设参加聚会的有x人，根据“每两人都只碰一次杯，且一共碰杯36次”，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设参加聚会的有x人，
依题意，得：x（x﹣1）＝36，
整理，得：x2﹣x﹣72＝0，
解得：x1＝9，x2＝﹣8（不合题意，舍去）．
故答案为：9．
16．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点E在AC上，以AE为直径的⨀O经过点D．若∠C＝30°，且CD＝3，则阴影部分的面积是 　　．

【分析】证明△OFD、△OFA是等边三角形，S阴影＝S扇形DFO，即可求解．
【解答】解：连接OD，连接DE、OD、DF、OF，设圆的半径为R，

∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠DAB＝∠DAO，
∵OD＝OA，
∴∠DAO＝∠ODA，
则∠DAB＝∠ODA，
∴DO∥AB，而∠B＝90°，
∴∠ODB＝90°，
∵∠C＝30°，CD＝3，
∴OD＝CD•tan30°＝3×＝3，
∵∠DAB＝∠DAE＝30°，
∴＝，
∵∠DOE＝60°，
∴∠DOF＝60°，
∴∠FOA＝60°，
∴△OFD、△OFA是等边三角形，
∴DF∥AC，
∴S阴影＝S扇形DFO＝＝．
故答案为：．
17．（4分）某幢建筑物，从5米高的窗口A用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线，抛物线所在平面与墙面垂直（如图所示），如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面米，则水流下落点B离墙距离OB是 　3　m．

【分析】以地面，墙面所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，把题中已知点代入，求出解析式后，令y＝0，即可解答．
【解答】解：地面，墙面所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，

设抛物线解析式：y＝a（x﹣1）2+，
把点A（0，5）代入抛物线解析式得：
a＝﹣，
∴抛物线解析式：
y＝﹣（x﹣1）2+．
当y＝0时，x1＝﹣1（舍去），x2＝3．
∴OB＝3（m）．
故答案为3．
18．（4分）如图，将小正方形AEFG绕大正方形ABCD的顶点A顺时针旋转一定的角度α（0°≤a≤90°），连接BG，DE相交于点O，再连接AO、BE、DG．以下四个结论：①BG＝DE；②BG⊥DE；③∠DOA＝∠GOA；④S△ADG＝S△ABE．其中结论正确的是 　①②③　．

【分析】由“SAS”可证△DAE≌△BAG，可得BG＝DE，∠ADE＝∠ABG，S△DAE＝S△BAG，即可判断①②③，过点G作GH⊥AD，过点E作EQ⊥EQ，由“AAS”可证△AEQ≌△GAH，可得AQ＝GH，可得S△ADG＝S△ABE，可判断④即可求解．
【解答】解：∵∠DAB＝∠EAG＝90°，
∴∠DAE＝∠BAG，且AD＝AB，AG＝AE，
∴△DAE≌△BAG（SAS）
∴BG＝DE，∠ADE＝∠ABG，故①符合题意，
如图，设点DE与AB交于点P，过点A作AM⊥DE，AN⊥BG，

∵∠ADE＝∠ABG，∠DPA＝∠BPO，
∴∠DAP＝∠BOP＝90°，
∴BG⊥DE，故②符合题意，
∵△DAE≌△BAG，
∴S△DAE＝S△BAG，
∴DE×AM＝×BG×AN，且DE＝BG，
∴AM＝AN，且AM⊥DE，AN⊥BG，
∴AO平分∠DOG，
∴∠AOD＝∠AOG，故③符合题意，
如图2，过点G作GH⊥AD于H，过点E作EQ⊥DQ于Q，

∴∠EAQ+∠AEQ＝90°，且∠EAQ+∠GAQ＝90°，
∴∠AEQ＝∠GAQ，且AE＝AG，∠EQA＝∠AHG＝90°，
∴△AEQ≌△GAH（AAS）
∴AQ＝GH，
∴AD×GH＝×AB×AQ，
∴S△ADG＝S△ABE，
故④不符合题意，
故答案为：①②③．
三．解答题．（19到25题每题10分，26题8分，共78分）
19．（10分）解方程：
（1）2x2﹣2x﹣1＝0；
（2）（x﹣5）2＝2x﹣10．
【分析】（1）方程利用公式法求出解即可；
（2）根据提公因式法解方程即可．
【解答】解：（1）∵a＝2，b＝﹣2，c＝﹣1，
∴b2﹣4ac＝12﹣4×2×（﹣1）＝20＞0，
∴x＝＝＝＝，
∴；
（2）（x﹣5）2＝2x﹣10，
（x﹣5）2﹣2（x﹣5）＝0，
（x﹣5）（x﹣5﹣2）＝0，
x﹣5＝0或x﹣7＝0，
解得x1＝5，x2＝7．
20．（10分）某校准备从八年级（1）班、（2）班的团员中选取两名同学作为十四运的志愿者，已知（1）班有5名团员（其中男生3人，女生2人），（2）班有4名团员（其中男生1人，女生3人）．
（1）如果从这两个班的全体团员中随机选取一名同学作为志愿者的组长，则这名同学是男生的概率为 　　；
（2）如果分别从（1）班、（2）班的团员中随机各选取一人，请用画树状图或列表的方法求这两名同学恰好是一名男生、一名女生的概率．
【分析】（1）一共有9名团员，其中男生4人，可得随机选取1人是男生的概率；
（2）用列表法表示所有考查垂线的结果情况，再求出相应的概率即可．
【解答】解：（1）一共有9名团员，其中男生有4人，
所以随机选取一名同学是男生的概率为，
故答案为：；
（2）所有可能出现的结果情况如下：

共有20种可能出现的结果情况，其中一男一女的有11种，
所以两人是一男一女的概率为．
21．（10分）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），与y轴的交点坐标为（0，3）．
（1）求出b、c的值，并写出此二次函数的解析式；
（2）当函数值y＞﹣5时，求自变量x的取值范围；
（3）当﹣1≤x≤2时，求y的取值范围．

【分析】（1）由二次函数图象与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），与y轴的交点坐标为（0，3），分别把横坐标和纵坐标代入二次函数解析式，得到关于b与c的方程组，求出方程组的解得到b与c的值，进而确定出二次函数的解析式；
（2）令二次函数解析式中的y＝﹣5得到关于x的方程，求出方程的解，根据图象可得出y大于﹣5时x的范围；
（3）当﹣1≤x≤2时，y在x＝﹣1和顶点处取得最小和最大值，即可求解．
【解答】解：（1）∵二次函数图象与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），与y轴的交点坐标为（0，3），
∴x＝﹣1，y＝0代入y＝﹣x2+bx+c得：﹣1﹣b+c＝0①，
把x＝0，y＝3代入y＝﹣x2+bx+c得：c＝3，
把c＝3代入①，解得b＝2，
则二次函数解析式为y＝﹣x2+2x+3；

（2）令二次函数解析式中的y＝﹣5得：﹣x2+2x+3＝﹣5，
可化为：（x﹣4）（x+2）＝0，
解得：x1＝4，x2＝﹣2，
由函数图象可知：当﹣2＜x＜4时，y＞﹣5；

（3）由抛物线的表达式知，抛物线的对称轴为直线x＝1，
当﹣1≤x≤2时，y在x＝﹣1和顶点处取得最小和最大值，
当x＝﹣1时，y＝0，
当x＝1时，y＝﹣x2+2x+3＝4，
故当﹣1≤x≤2时，求y的取值范围0≤y≤4．
22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，BD平分∠ABC交⊙O于点D，DE⊥BC．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若CE＝2，DE＝4，求⊙O的半径．

【分析】（1）连接OD，根据等腰三角形的性质和角平分线得出OD∥BE，再根据垂线和平行线的性质得出OD⊥DE，进而得出DE是⊙O的切线；
（2）根据圆周角定理和垂径定理得出AF＝FC＝DE＝4，在Rt△OAF中，由勾股定理列方程求解即可．
【解答】解：（1）如图，连接OD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
又∵OB＝OD，
∴∠ABD＝∠ODB，
∴∠ODB＝∠DBC，
∴OD∥BE，
∵DE⊥BE，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（2）如图，连接AC，交OD于F，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
又∵∠FDE＝90°，∠DEC＝90°，
∴四边形FDEC是矩形，
∴DF＝CE＝2，FC＝DE＝4．
设⊙O的半径为r，
在Rt△OAF中，由勾股定理得，
（r﹣2）2+42＝r2，
解得r＝5．
即半径为5．

23．（10分）我们可以通过列表、描点、连线等步骤作出所学函数的图象，另外，我们也学过绝对值的定义|a|＝，结合上面的学习经历，解决下面的问题：已知函数y＝|x2+bx+c|，当x＝﹣3时，y＝0；当x＝1时，y＝0．
（1）求这个函数的解析式；
（2）求出表中m，n的值：m＝　4　，n＝　3　．结合以下表格，在坐标系中画出该函数的图象，观察函数图象，写出该函数的一条性质：　函数的对称轴为x＝﹣1（答案不唯一）　．
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
5
0
3
m
n
0
5
…

（3）若关于x的方程|x2+bx+c|＝t有4个不同实数根，请根据函数图象，直接写出t的取值范围．
【分析】（1）当x＝﹣3时，y＝0；当x＝1时，y＝0，则，解得，即可求解；
（2）当x＝﹣1时，y＝|x2+2x﹣3|＝|1﹣2﹣3|＝4＝m，同理可得n＝3，根据表格数据，通过描点、连线绘制函数图象，即可求解；
（3）观察函数图象，当0＜t＜4时，y＝t和y＝|x2+2x﹣3|有4个交点，即可求解．
【解答】解：（1）当x＝﹣3时，y＝0；当x＝1时，y＝0，则，解得，
故函数的表达式为y＝|x2+2x﹣3|；

（2）当x＝﹣1时，y＝|x2+2x﹣3|＝|1﹣2﹣3|＝4＝m，
同理可得n＝3，
根据表格数据，通过描点、连线绘制函数图象如下：

从图象看，函数的对称轴为x＝﹣1（答案不唯一）；
故答案为：4，3，函数的对称轴为x＝﹣1（答案不唯一）；

（3）观察函数图象知，当0＜t＜4时，y＝t和y＝|x2+2x﹣3|有4个交点，即关于x的方程|x2+bx+c|＝t有4个不同实数根．
24．（10分）新冠病毒肆虐全球，在以习近平为核心的党中央的英明领导下，我国的疫情很快得到了控制，并且研发出安全性有效性均非常高的疫苗．今年七月，国家发布通知，12﹣17岁未成年人也可接种新冠疫苗，海航医院为某镇定点疫苗接种医院，第一批未成年人接种疫苗时间定为8月1日至8月3日．
（1）已知在海航医院投放第一批“智飞”和“科兴”两种疫苗共1800支，两种疫苗每天按定量接种．其中，“智飞”疫苗可供接种3天；“科兴”疫苗可供接种2天，“智飞”疫苗每天接种比“科兴”多100支，则海航医院每天接种“智飞”和“科兴”疫苗各多少支？
（2）疫情情况直接影响各企业生产与销售情况，某镇某家具厂有甲、乙两个车间，甲车间生产一种实木椅子，乙车间生产一种实木床．今年6月，该厂生产的椅子数量为床的数量的20倍，椅子售价为每把75元，床售价为每个1000元．今年7月，椅子的生产数量比6月少a%，床的生产数量比6月少4a%．在售卖这批产品时，椅子价格不变，床的价格比6月增加a%．全部售完后，发现7月生产的产品销售额比6月生产的产品销售额少a%，求a的值．
【分析】（1）设海航医院每天接种“智飞”疫苗x支，每天接种“科兴”疫苗y支，根据第一批投放两种疫苗共1800支且“智飞”疫苗每天接种比“科兴”多100支，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出海航医院每天接种“智飞”和“科兴”疫苗的数量；
（2）设今年6月该厂生产实木床m个，则生产椅子20m把，利用销售额＝销售单价×销售数量，结合7月生产的产品销售额比6月生产的产品销售额少a%，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：（1）设海航医院每天接种“智飞”疫苗x支，每天接种“科兴”疫苗y支，
依题意得：，
解得：．
答：海航医院每天接种“智飞”疫苗400支，每天接种“科兴”疫苗300支．
（2）设今年6月该厂生产实木床m个，则生产椅子20m把，
依题意得：1000（1+a%）m（1﹣4a%）+75×20m（1﹣a%）＝（1000m+75×20m）（1﹣a%），
整理得：a2﹣10a＝0，
解得：a1＝10，a2＝0（不合题意，舍去）．
答：a的值为10．
25．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，且B点的坐标为（3，0），经过A点的直线交抛物线于点D（2，3）．
（1）求抛物线的解析式和直线AD的解析式；
（2）点E为x轴上一点，点F为抛物线上一点，是否存在点E，使得以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出满足条件的点E的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）点M为直线AD上方抛物线上一点，求当△AMD的面积最大时M点的坐标，及最大的面积．

【分析】（1）利用待定系数法即可求得结论；
（2）分三种情况讨论解答：①当四边形ADFE为平行四边形时，求出DF，利用平行四边形对边相等，求得线段AE的长，进而得出OE的长即可得出结论；②当四边形AEDF为平行四边形时，利用平行四边形对边相等，求得线段AE的长，进而得出OE的长即可得出结论；③当四边形AFED为平行四边形时，F在x轴的下方，过点D作DH⊥AB于点H，过点F作FG⊥AE于点G，通过证明△ADH≌△EFG得到FG＝DH＝3，GE＝AH＝3，设OE＝a，则OG＝OG﹣GE＝a﹣3，则F（a﹣3，﹣3）．利用点F为抛物线y＝﹣x2+2x+3上一点，列出方程即可求得结论；
（3）过点M作MN⊥AB于点N，交AD于点C，过点D作DK⊥AB于点K，设M（m，﹣m2+2m+3），则点C（m，m+1），MN＝﹣m2+2m+3，CN＝m+1，MC＝（﹣m2+2m+3）﹣（m+1）＝﹣m2+m+2，利用S△AMD＝S△AMC+S△DMC，得到用m表示△AMD的面积的关系式，利用二次函数的性质即可得出结论．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B（3，0）和点D（2，3），
，
解得：．
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；
令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，
解得：x＝3或x＝﹣1．
∴A（﹣1，0）．
设直线AD的解析式为y＝kx+n，
∴，
解得：．
∴直线AD的解析式为：y＝x+1．
（2）存在点E，使得以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形．
①当四边形ADFE为平行四边形时，如下图，

令x＝0，则y＝3，
∴F（0，3）．
∵D（2，3），
∴DF＝2，且DF∥x轴．
∴AE＝DF＝2．
∵A（﹣1，0），
∴OA＝1，
∴OE＝OA+AE＝2+1＝3，
∴E（﹣3，0）．
②当四边形AEDF为平行四边形时，如下图，

令x＝0，则y＝3，
∴F（0，3）．
∵D（2，3），
∴DF＝2，且DF∥x轴．
∴AE＝DF＝2．
∵A（﹣1，0），
∴OA＝1，
∴OE＝AE﹣OA＝2﹣1＝1．
∴E（1，0）．
③当四边形AFED为平行四边形时，F在x轴的下方，
过点D作DH⊥AB于点H，过点F作FG⊥AE于点G，如下图，

∵D（2，3），
∴OH＝2，DH＝3．
∵OA＝1，
∴AH＝OA+OH＝3．
∵四边形AFED为平行四边形，
∴AD＝EF，AD∥EF．
∴∠DAH＝∠FEH．
在△ADH和△EFG中，
，
∴△ADH≌△EFG（AAS）．
∴FG＝DH＝3，GE＝AH＝3．
设OE＝a，则OG＝OG﹣GE＝a﹣3，
∴F（a﹣3，﹣3）．
∵点F为抛物线y＝﹣x2+2x+3上一点，
∴﹣（a﹣3）2+2（a﹣3）+3＝﹣3，
解得：a＝4±．
∴E（4+，0）或（4﹣，0）．
综上，存在点E，使得以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
点E的坐标为（﹣3，0）或（1，0）或（4+，0）或（4﹣，0）．
（3）过点M作MN⊥AB于点N，交AD于点C，过点D作DK⊥AB于点K，如下图，

则AK＝OA+OK＝1+2＝3．
∵点M为抛物线y＝﹣x2+2x+3上一点，
∴设M（m，﹣m2+2m+3），则点C（m，m+1），
∴MN＝﹣m2+2m+3，CN＝m+1，
∴MC＝（﹣m2+2m+3）﹣（m+1）＝﹣m2+m+2．
∵S△AMD＝S△AMC+S△DMC，
∴
＝×MC×（AN+NK）
＝×（﹣m2+m+2）×3
＝﹣+m+3
＝．
∵＜0，
∴当m＝时，△AMD的面积最大，最大值为，
此时，点M的坐标为（，）．
∴当△AMD的面积最大时M点的坐标为（，），最大的面积为．
26．（8分）如图1，在△ACB和△AED中，AC＝BC，AE＝DE，∠ACB＝∠AED＝90°，点E在AB上，F是线段BD的中点，连接CE、FE．
（1）请你探究线段CE与FE之间的数量关系（直接写出结果，不需说明理由）；
（2）将图1中的△AED绕点A顺时针旋转，使△AED的一边AE恰好与△ACB的边AC在同一条直线上（如图2），连接BD，取BD的中点F，问（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由；
（3）将图1中的△AED绕点A顺时针旋转任意的角度（如图3），连接BD，取BD的中点F，问（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．

【分析】（1）连接CF，直角△DEB中，EF是斜边BD上的中线，因此EF＝DF＝BF，∠FEB＝∠FBE，同理可得出CF＝DF＝BF，∠FCB＝∠FBC，因此CF＝EF，由于∠DFE＝∠FEB+∠FBE＝2∠FBE，同理∠DFC＝2∠FBC，因此∠EFC＝∠EFD+∠DFC＝2（∠EBF+∠CBF）＝90°，因此△EFC是等腰直角三角形，CF＝EF；
（2）思路同（1）也要通过证明△EFC是等腰直角三角形来求解．连接CF，延长EF交CB于点G，先证△EFC是等腰三角形，可通过证明CF是斜边上的中线来得出此结论，那么就要证明EF＝FG，就需要证明△DEF和△FGB全等．这两个三角形中，已知的条件有一组对顶角，DF＝FB，只要再得出一组对应角相等即可，我们发现DE∥BC，因此∠EDB＝∠CBD，由此构成了两三角形全等的条件．EF＝FG，那么也就能得出△CFE是个等腰三角形了，下面证明△CFE是个直角三角形．由上面的全等三角形可得出ED＝BG＝AD，又由AC＝BC，因此CE＝CG，∠CEF＝45°，在等腰△CFE中，∠CEF＝45°，那么这个三角形就是个等腰直角三角形，因此就能得出（1）中的结论了；
（3）思路同（2）通过证明△CFE来得出结论，通过全等三角形来证得CF＝FE，取AD的中点M，连接EM，MF，取AB的中点N，连接FN、CN、CF．那么关键就是证明△MEF和△CFN全等，利用三角形的中位线和直角三角形斜边上的中线，我们不难得出EM＝PN＝AD，EC＝MF＝AB，我们只要再证得两对应边的夹角相等即可得出全等的结论．我们知道PN是△ABD的中位线，那么我们不难得出四边形AMPN为平行四边形，那么对角就相等，于是90°+∠CNF＝90°+∠MEF，因此∠CNF＝∠MEF，那么两三角形就全等了．证明∠CFE是直角的过程与（1）完全相同．那么就能得出△CEF是个等腰直角三角形，于是得出的结论与（1）也相同．
【解答】解：（1）如图1，连接CF，线段CE与FE之间的数量关系是CE＝FE；
解法1：
∵∠AED＝∠ACB＝90°
∴B、C、D、E四点共圆
且BD是该圆的直径，
∵点F是BD的中点，
∴点F是圆心，
∴EF＝CF＝FD＝FB，
∴∠FCB＝∠FBC，∠ECF＝∠CEF，
由圆周角定理得：∠DCE＝∠DBE，
∴∠FCB+∠DCE＝∠FBC+∠DBE＝45°
∴∠ECF＝45°＝∠CEF，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴CE＝EF．
解法2：
易证∠BED＝∠ACB＝90°，
∵点F是BD的中点，
∴CF＝EF＝FB＝FD，
∵∠DFE＝∠ABD+∠BEF，∠ABD＝∠BEF，
∴∠DFE＝2∠ABD，
同理∠CFD＝2∠CBD，
∴∠DFE+∠CFD＝2（∠ABD+∠CBD）＝90°，
即∠CFE＝90°，
∴CE＝EF．

（2）（1）中的结论仍然成立．

解法1：如图2﹣1，连接CF，延长EF交CB于点G，
∵∠ACB＝∠AED＝90°，
∴DE∥BC，
∴∠EDF＝∠GBF，
又∵∠EFD＝∠GFB，DF＝BF，
∴△EDF≌△GBF，
∴EF＝GF，BG＝DE＝AE，
∵AC＝BC，
∴CE＝CG，
∴∠EFC＝90°，CF＝EF，
∴△CEF为等腰直角三角形，
∴∠CEF＝45°，
∴CE＝FE；
解法2：如图2﹣2，连接CF、AF，
∵∠BAD＝∠BAC+∠DAE＝45°+45°＝90°，
又点F是BD的中点，
∴FA＝FB＝FD，
而AC＝BC，CF＝CF，
∴△ACF≌△BCF，
∴∠ACF＝∠BCF＝∠ACB＝45°，
∵FA＝FB，CA＝CB，
∴CF所在的直线垂直平分线段AB，
同理，EF所在的直线垂直平分线段AD，
又DA⊥BA，
∴EF⊥CF，
∴△CEF为等腰直角三角形，
∴CE＝EF．

（3）（1）中的结论仍然成立．

解法1：如图3﹣1，取AD的中点M，连接EM，MF，取AB的中点N，连接FN、CN、CF，
∵DF＝BF，
∴FM∥AB，且FM＝，
∵AE＝DE，∠AED＝90°，
∴AM＝EM，∠AME＝90°，
∵CA＝CB，∠ACB＝90°
∴，∠ANC＝90°，
∴MF∥AN，FM＝AN＝CN，
∴四边形MFNA为平行四边形，
∴FN＝AM＝EM，∠AMF＝∠FNA，
∴∠EMF＝∠FNC，
∴△EMF≌△FNC，
∴FE＝CF，∠EFM＝∠FCN，
由MF∥AN，∠ANC＝90°，可得∠CPF＝90°，
∴∠FCN+∠PFC＝90°，
∴∠EFM+∠PFC＝90°，
∴∠EFC＝90°，
∴△CEF为等腰直角三角形，
∴∠CEF＝45°，
∴CE＝FE．

解法2：如图3﹣2，连接CF，延长EF到点G，使FG＝EF，连接BG、CG．易证△DEF≌△BGF，
∴BG＝DE，∠FBG＝FDE，
∴DE∥BG，
∵△ADE是等腰直角三角形，AE＝DE，
∴BG＝AE，
延长AE分别交BC于点P、交BG延长
线于点H，
∴∠BHA＝∠AED＝90°＝∠ACB，
∵∠CAP+∠APC＝∠CBH+∠BPH＝90°，
∠APC＝∠BPH，
∴∠CAP＝∠CBH，
在△ACE与△BCG中，
，
∴△ACE≌△BCG（SAS），
∴CE＝CG，∠ACE＝∠BCG，
∴∠BCG+∠BCE＝∠ACE+∠BCE＝90°，
即∠ECG＝90°，
∴△CEG为等腰直角三角形，
而EF＝FG，
∴∠ECF＝45°，CF⊥EG，
即△CEF为等腰直角三角形，
∴CE＝EF．


解法3：如图3﹣3，连接CF，延长DE到点G，使EG＝
DE，连接BG，延长BC到点H，使CH＝BC
，连接DH，连接AG，AH，
∵AE⊥DE，EG＝DE，AC⊥BC，CH＝BC，
∴AD＝AG，AH＝AB，
∵∠DAH+∠DAB＝∠BAH＝90°，∠BAG+∠DAB＝∠DAG＝90°
∴∠DAH＝∠BAG，
∴△DAH≌△GAB，
∴DH＝BG，
∵点F是BD的中点，且CH＝BC，EG＝DE，
∴CF∥DH，CF＝DH，EF∥BG，EF＝BG，
∴CF＝EF，
∵∠CAE+∠DAC＝∠DAE＝45°，∠DAH+∠DAC＝∠CAH＝45°，
∴∠CAE＝∠DAH，
又AH：AC＝AD：AE，
∴△ACE∽△AHD，
∴∠ACE＝∠AHD，
而∠BCF＝∠BHD，
∴∠ACE+∠BCF＝∠AHD+∠BHD＝∠AHB＝45°，
∴∠ECF＝45°，
∴△CEF为等腰直角三角形，
∴CE＝EF．