2021-2022学年辽宁省大连市甘井子区九年级（上）期中数学试卷

这是一份2021-2022学年辽宁省大连市甘井子区九年级（上）期中数学试卷，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年辽宁省大连市甘井子区九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）下列图形，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．平行四边形 D．矩形
2．（3分）将方程x（x﹣1）＝5（x+2）化成ax2+bx+c＝0的形式，则a，b，c的值分别为（　　）
A．1，6，10 B．1，﹣6，﹣10 C．1，﹣6，10 D．1，6，﹣10
3．（3分）抛物线y＝﹣3（x﹣1）2﹣2的顶点坐标为（　　）
A．（﹣1，﹣2） B．（1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（1，﹣2）
4．（3分）如图，△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，＝，则的值为（　　）

A． B． C． D．
5．（3分）用配方法解方程x2+6x+4＝0，下列变形正确的是（　　）
A．（x+3）2＝﹣4 B．（x﹣3）2＝4 C．（x+3）2＝5 D．（x+3）2＝±
6．（3分）若点P（2，﹣3），则点P关于原点的对称点的坐标是（　　）
A．（2，3） B．（﹣2，﹣3） C．（﹣2，3） D．（2，﹣3）
7．（3分）把抛物线y＝x2先向右平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线的函数表达式为（　　）
A．y＝（x+6）2+3 B．y＝（x+6）2﹣3
C．y＝（x﹣6）2+3 D．y＝（x﹣6）2﹣3
8．（3分）如图，△ABC中，点D是AB上一点，补充下列条件后，仍不能判定△ADC∽△ACB的是（　　）

A．∠ADC＝∠ACB B．∠ACD＝∠ABC C．＝ D．＝
9．（3分）足球联赛实行主客场的循环赛，即每两个球队都要在主场和客场各踢一场，某个赛季共举行比赛210场．设共有x个队参赛，可列方程为（　　）
A．x（x﹣1）＝210 B．x（x+1）＝210
C．x（x﹣1）＝210 D．x（x+1）＝210
10．（3分）关于函数y＝﹣x2﹣2x的图象，有下列说法：①对称轴为直线x＝﹣1；②抛物线开口向上；③从图象可以判断出，当x＞﹣1时，y随着x的增大而减小．其中正确的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）关于x的一元二次方程5x2﹣4x+m＝0的一个根是1，则m的值是 　 　．
12．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为　 　．
13．（3分）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝30t﹣5t2，图象如图所示，则小球从抛出到落地共用时为 　 　s．

14．（3分）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系，其“勾股”章中记载了一个数学问题：“今有户高多于广六尺，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”译文为：“已知有一扇矩形门的高比宽多6尺，门的对角线长为1丈（1丈＝10尺），那么门的高和宽各是多少？”如果设门的宽为x尺，则可列方程为 　 　．
15．（3分）如图，在直角坐标系xOy中，点A，点B的坐标分别为（2，﹣1）和（4，2），以O为位似中心，将△AOB缩小为△A′OB′，且△A′OB′与△AOB的相似比为，则点B的对应点B′的坐标为 　 　．

16．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E在边BC上，点F在边CD上，∠AEF＝90°，设BE＝x，CF＝y，当0＜x＜4时，y关于x的函数解析式是 　 　．

三、解答题（本题共4小题，其中第17、18、20题各10分，第19题9分，共39分）
17．（10分）解方程：
（1）3x2﹣2x＝0；
（2）x2+4x﹣10＝0．
18．（10分）已知二次函数y＝x2+bx+c，画此函数图象时，列表如下：
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
3
0
﹣1
0
3
…
（1）求出b，c的值；
（2）当0＜x＜3时，y的取值范围是 　 　．
19．（9分）如图，为了估计河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，使AB与河岸垂直，在近岸取点C，E，使BC⊥AB，CE⊥BC，AE与BC交于点D．已测得BD＝40m，DC＝20m，EC＝24m，求河宽AB．

20．（10分）如图，平面直角坐标系xOy中，点A，点B的坐标分别为（﹣2，1）和（1，2），将线段AB绕点P逆时针方向旋转90°得到线段A′B′，点A的对应点为点A′，点B的对应点为点B′，点A′，B′的坐标分别为（﹣2，﹣1）和（﹣3，2）．
（1）点P的坐标是 　 　（填写选项）；
A．（0，0）
B．（1，0）
C．（﹣1，0）
（2）线段BA的延长线与线段A'B′相交于点M，连接AP，BP，A′P，B′P，请补全图形并求出∠BMA′的度数．

四、解答题（本题共3小题，其中第21题9分，第22、23题各10分，共29分）
21．（9分）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠C＝90°，AB＝AD，AE⊥BC，垂足为E，AE＝3，求四边形ABCD的面积．

22．（10分）如图，利用一面墙（墙的长度为12m），用22m长的篱笆，围成一个矩形场地．
（1）当BC是多少米时，场地的面积最大？
（2）若场地的面积为48m2，求BC的长．

23．（10分）如图，平面直角坐标系xOy中，抛物线y1＝﹣x2+x+的顶点为C，与x轴交于点A，B．抛物线y2与y1关于原点对称，y2的顶点为D，与x轴交于点E，F．
（1）求y2的解析式；
（2）连接BC，CE，DE，BD，判断四边形BCED的形状，并说明理由．

五、解答题（本题共3小题，其中24、25题各11分，第26题12分，共34分）
24．（11分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，以AC为边向右作正方形ACDE，点P从点C出发，沿射线CD以1cm/s的速度向右运动，过点P作直线l与射线BA交于点Q，使得∠BPQ＝∠B，设运动时间为t（s），△BPQ与正方形ACDE重合部分的面积为S（cm2）．
（1）当直线l经过点E时，t的值为 　 　．
（2）求S关于t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围．

25．（11分）如图，△ABC中，点D，E在边AB上，点F在边BC上，且AD＝AC，EF＝EC，∠CEF＝∠A，连接DF．
（1）在图1中找出与∠ACE相等的角，并证明；

（2）求证：∠BDF＝∠EFC；
（3）如图2，延长FD，CA交于点G，连接EG，若EG＝AG，DE＝kAE，求的值（用含k的代数式表示）．


26．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣（m﹣2）x﹣2m，其中m为常数，点A（﹣2，n）在此抛物线上．
（1）n的值为 　 　；
（2）若当﹣1≤x≤1时，函数的最大值与最小值的差为3，求m的值．
（3）抛物线与直线x＝2m+1交于点B，连接AB，过点A作AB的垂线，与y轴交于点C，当AB＝AC时，求m的值．

2021-2022学年辽宁省大连市甘井子区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）下列图形，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．平行四边形 D．矩形
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．不是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．既是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
2．（3分）将方程x（x﹣1）＝5（x+2）化成ax2+bx+c＝0的形式，则a，b，c的值分别为（　　）
A．1，6，10 B．1，﹣6，﹣10 C．1，﹣6，10 D．1，6，﹣10
【分析】先化成一元二次方程的一般形式，再求出a、b、c的值即可．
【解答】解：x（x﹣1）＝5（x+2），
x2﹣x＝5x+10，
x2﹣x﹣5x﹣10＝0，
x2﹣6x﹣10＝0，
所以a＝1，b＝﹣6，c＝﹣10，
故选：B．
3．（3分）抛物线y＝﹣3（x﹣1）2﹣2的顶点坐标为（　　）
A．（﹣1，﹣2） B．（1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（1，﹣2）
【分析】由抛物线解析式可求得答案．
【解答】解：
∵y＝﹣3（x﹣1）2﹣2，
∴顶点坐标为（1，﹣2），
故选：B．
4．（3分）如图，△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，＝，则的值为（　　）

A． B． C． D．
【分析】利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴＝＝，
故选：A．
5．（3分）用配方法解方程x2+6x+4＝0，下列变形正确的是（　　）
A．（x+3）2＝﹣4 B．（x﹣3）2＝4 C．（x+3）2＝5 D．（x+3）2＝±
【分析】把常数项4移到等号的右边，再在等式的两边同时加上一次项系数6的一半的平方，配成完全平方的形式，从而得出答案．
【解答】解：∵x2+6x+4＝0，
∴x2+6x＝﹣4，
∴x2+6x+9＝5，即（x+3）2＝5．
故选：C．
6．（3分）若点P（2，﹣3），则点P关于原点的对称点的坐标是（　　）
A．（2，3） B．（﹣2，﹣3） C．（﹣2，3） D．（2，﹣3）
【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案．
【解答】解：点P（2，﹣3），则点P关于原点的对称点的坐标是（﹣2，3），
故选：C．
7．（3分）把抛物线y＝x2先向右平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线的函数表达式为（　　）
A．y＝（x+6）2+3 B．y＝（x+6）2﹣3
C．y＝（x﹣6）2+3 D．y＝（x﹣6）2﹣3
【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．
【解答】解：将抛物线y＝x2先向右平移6个单位长度，得：y＝（x﹣6）2；再向上平移3个单位长度，得：y＝（x﹣6）2+3．
故选：C．
8．（3分）如图，△ABC中，点D是AB上一点，补充下列条件后，仍不能判定△ADC∽△ACB的是（　　）

A．∠ADC＝∠ACB B．∠ACD＝∠ABC C．＝ D．＝
【分析】根据三角形相似的判定方法一一判断即可．
【解答】解：A、根据题意可知：∠CAD＝∠BAC，∠ADC＝∠ACB，由两角对应相等两三角形相似．本选项不符合题意．
B、根据题意可知：∠CAD＝∠BAC，∠ACD＝∠ABC，由两角对应相等两三角形相似．本选项不符合题意．
C、根据题意可知：∠CAD＝∠BAC，＝，根据两边成比例夹角相等两三角形相似，本选项不符合题意．
D、根据题意可知：由条件无法判断两三角形相似．本选项符合题意，
故选：D．
9．（3分）足球联赛实行主客场的循环赛，即每两个球队都要在主场和客场各踢一场，某个赛季共举行比赛210场．设共有x个队参赛，可列方程为（　　）
A．x（x﹣1）＝210 B．x（x+1）＝210
C．x（x﹣1）＝210 D．x（x+1）＝210
【分析】设参加比赛的球队共有x支，则每支球队都要与余下的（x﹣1）支球队进行比赛，又每两支球队都要在自己的主场和客场踢一场，即每两支球队相互之间都要比赛两场，故这x支球队一共需要比赛x（x﹣1）场，而这个场次又是210场，据此列出方程．
【解答】解：设参加比赛的球队共有x支，每一个球队都与剩余的（x﹣1）队打球，即共打x（x﹣1）场
∵每两支球队都要在自己的主场和客场踢一场，即每两支球队相互之间都要比赛两场，
∴每两支球队相互之间都要比赛两场，
即x（x﹣1）＝210，
故选：C．
10．（3分）关于函数y＝﹣x2﹣2x的图象，有下列说法：①对称轴为直线x＝﹣1；②抛物线开口向上；③从图象可以判断出，当x＞﹣1时，y随着x的增大而减小．其中正确的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【分析】利用抛物线的顶点式和二次函数的性质分别进行判断．
【解答】解：∵a＝﹣1＜0，
∴抛物线开口向下，所以②错误；
∵y＝﹣x2﹣2x＝﹣（x+1）2+1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，所以①正确；
当x＞﹣1时，y随x的增大而减小，所以③正确；
综上所述，正确的说法有①③2个．
故选：B．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）关于x的一元二次方程5x2﹣4x+m＝0的一个根是1，则m的值是 　﹣1　．
【分析】直接利用一元二次方程的解的意义将x＝1代入求出答案．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程5x2﹣4x+m＝0的一个根是1，
∴5×12﹣4×1+m＝0，
解得：m＝﹣1．
故答案是：﹣1．
12．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为　m＜4　．
【分析】根据判别式的意义得到Δ＝（﹣4）2﹣4m＞0，然后解不等式即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4m＞0，
解得：m＜4．
故答案为：m＜4．
13．（3分）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝30t﹣5t2，图象如图所示，则小球从抛出到落地共用时为 　6　s．

【分析】令h＝0，解一元二次方程即可．
【解答】解：令h＝0，则30t﹣5t2＝0，
解得：t＝0或t＝6，
∴小球从抛出到落地共用时为6s，
故答案为：6．
14．（3分）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系，其“勾股”章中记载了一个数学问题：“今有户高多于广六尺，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”译文为：“已知有一扇矩形门的高比宽多6尺，门的对角线长为1丈（1丈＝10尺），那么门的高和宽各是多少？”如果设门的宽为x尺，则可列方程为 　x2+（x+6）2＝102　．
【分析】直接利用勾股定理进而得出等式方程即可．
【解答】解：设门的宽为x尺，那么这个门的高为（x+6）尺，根据题意得方程：
x2+（x+6）2＝102，
故答案为：x2+（x+6）2＝102．
15．（3分）如图，在直角坐标系xOy中，点A，点B的坐标分别为（2，﹣1）和（4，2），以O为位似中心，将△AOB缩小为△A′OB′，且△A′OB′与△AOB的相似比为，则点B的对应点B′的坐标为 　（2，1）或（﹣2，﹣1）　．

【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案．
【解答】解：∵以O为位似中心，将△AOB缩小为△A′OB′，且△A′OB′与△AOB的相似比为，点B的坐标为（4，2），
∴点B的对应点B′的坐标为（4×，2×）或（4×（﹣），2×（﹣）），即（2，1）或（﹣2，﹣1），
故答案为：（2，1）或（﹣2，﹣1）．
16．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E在边BC上，点F在边CD上，∠AEF＝90°，设BE＝x，CF＝y，当0＜x＜4时，y关于x的函数解析式是 　y＝﹣x　．

【分析】证明△ABE∽△ECF，由相似三角形的性质得出，则可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，
∵∠AEF＝90°，
∴∠AEB+∠FEC＝90°，
∴∠BAE＝∠FEC，
∴△ABE∽△ECF，
∴，
∵AB＝3，BC＝4，BE＝x，CF＝y，
∴，
∴y＝﹣x（0＜x＜4）．
故答案为：y＝﹣x．
三、解答题（本题共4小题，其中第17、18、20题各10分，第19题9分，共39分）
17．（10分）解方程：
（1）3x2﹣2x＝0；
（2）x2+4x﹣10＝0．
【分析】（1）分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）移项、配方，再开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：（1）3x2﹣2x＝0，
x（3x﹣2）＝0，
∴x＝0或3x﹣2＝0，
∴x1＝0，x2＝；

（2）x2+4x﹣10＝0，
x2+4x＝10，
x2+4x+4＝10+4，即（x+2）2＝14，
∴x+2＝，
∴x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣．
18．（10分）已知二次函数y＝x2+bx+c，画此函数图象时，列表如下：
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
3
0
﹣1
0
3
…
（1）求出b，c的值；
（2）当0＜x＜3时，y的取值范围是 　﹣1≤y＜3　．
【分析】（1）根据抛物线的对称性求得对称轴，即可求得b的值，由抛物线过点（0，3），即可求得c＝3；
（2）根据图象即可求得．
【解答】解：（1）∵x＝1、x＝3时的函数值相等，都是0，
∴﹣＝，
∴b＝﹣4，
∵二次函数y＝x2+bx+c图象经过点（0，3），
∴c＝3；
（2）描点、连线画出函数图象如图：

∴0＜x＜3时，y的取值范围是﹣1≤y＜3．
故答案为：﹣1≤y＜3．
19．（9分）如图，为了估计河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，使AB与河岸垂直，在近岸取点C，E，使BC⊥AB，CE⊥BC，AE与BC交于点D．已测得BD＝40m，DC＝20m，EC＝24m，求河宽AB．

【分析】求出△ABD和△ECD相似，根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解．
【解答】解：∵AB⊥BC，CE⊥BC，
∴∠ABD＝∠ECD＝90°，
又∵∠ADB＝∠EDC（对顶角相等），
∴△ABD∽△ECD，
∴，
即，
解得AB＝12．
答：河的宽度AB为12m．
20．（10分）如图，平面直角坐标系xOy中，点A，点B的坐标分别为（﹣2，1）和（1，2），将线段AB绕点P逆时针方向旋转90°得到线段A′B′，点A的对应点为点A′，点B的对应点为点B′，点A′，B′的坐标分别为（﹣2，﹣1）和（﹣3，2）．
（1）点P的坐标是 　C　（填写选项）；
A．（0，0）
B．（1，0）
C．（﹣1，0）
（2）线段BA的延长线与线段A'B′相交于点M，连接AP，BP，A′P，B′P，请补全图形并求出∠BMA′的度数．

【分析】（1）线段AA′，BB′的垂直平分线的交点P即为所求；
（2）根据要求作出图形，即可解决问题．
【解答】解：（1）如图，旋转中心P的坐标为（﹣1，0）．

故答案为：C；

（2）图形如图所示，∠BMA′＝90°．
四、解答题（本题共3小题，其中第21题9分，第22、23题各10分，共29分）
21．（9分）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠C＝90°，AB＝AD，AE⊥BC，垂足为E，AE＝3，求四边形ABCD的面积．

【分析】过A点作AF⊥CD交CD的延长线于F点，由AE⊥BC，AF⊥CF，∠C＝90°可得四边形AECF为矩形，则∠2+∠3＝90°，而∠BAD＝90°，根据等角的余角相等得∠1＝∠3，加上∠AEB＝∠AFD＝90°和AB＝AD，根据全等三角形的判定可得△ABE≌△ADF，由全等三角形的性质有AE＝AF＝5，S△ABE＝S△ADF，则S四边形ABCD＝S正方形AECF，然后根据正方形的面积公式计算即可．
【解答】解：过A点作AF⊥CD交CD的延长线于F点，如图，

∵AE⊥BC，AF⊥CF，
∴∠AEC＝∠CFA＝90°，
而∠C＝90°，
∴四边形AECF为矩形，
∴∠2+∠3＝90°，
又∵∠BAD＝90°，
∴∠1＝∠3，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（AAS），
∴AE＝AF＝3，S△ABE＝S△ADF，
∴四边形AECF是边长为3的正方形，
∴S四边形ABCD＝S正方形AECF＝32＝9．
22．（10分）如图，利用一面墙（墙的长度为12m），用22m长的篱笆，围成一个矩形场地．
（1）当BC是多少米时，场地的面积最大？
（2）若场地的面积为48m2，求BC的长．

【分析】（1）设BC＝x米，场地的面积为y平方米，根据场地的面积＝AB•BC可得关系式，再利用二次函数的性质可得答案；
（2）将y＝48代入（1）所得的关系式，然后解出x的值后判断，即可得出答案．
【解答】解：（1）设BC＝x米，场地的面积为y平方米，
由题意得，y＝x•＝﹣2+11x＝﹣（x﹣11）2+60.5，
所以当BC＝11米时，场地是面积最大是60.5平方米；
（2）当y＝48时，
﹣2+11x＝48，
解得x＝6或16（舍），
答：BC的长是6米．
23．（10分）如图，平面直角坐标系xOy中，抛物线y1＝﹣x2+x+的顶点为C，与x轴交于点A，B．抛物线y2与y1关于原点对称，y2的顶点为D，与x轴交于点E，F．
（1）求y2的解析式；
（2）连接BC，CE，DE，BD，判断四边形BCED的形状，并说明理由．

【分析】（1）利用关于原点对称得到点D，E，F的坐标，再利用待定系数法即可求得函数解析式；
（2）分别计算出线段BC，CE，DE，BD，BE的长度利用矩形的判定定理即可得出结论．
【解答】解：（1）对于抛物线y1＝﹣x2+x+，
令y＝0，则﹣x2+x+＝0，
解得：x1＝3，x2＝﹣1．
∴A（﹣1，0），B（3，0）．
∵抛物线y1＝﹣x2+x+＝﹣，
∴C（1，2）．
∵抛物线y2与y1关于原点对称，
∴D（﹣1，﹣2），E（﹣3，0），F（1，0）．
设抛物线y2的解析式为y2＝a（x+1）2﹣2，由题意得：
（1+1）2a﹣2＝0．
解得：a＝．
∴抛物线y2的解析式为y2＝+x﹣．
（2）四边形BCED是矩形，理由：
连接CF，DA，如图，

∵C（1，2），F（1，0），
∴CF⊥AB．
同理：AD⊥EF．
∵C（1，2），D（﹣1，﹣2），
∴CF＝AD＝2．
∵A（﹣1，0），B（3，0），E（﹣3，0），F（1，0），
∴OA＝OF＝1，OE＝OB＝3．
∴EF＝AB＝4，EB＝OE+OB＝6．
∴EC＝＝2，
BD＝＝2，
∴EC＝BD．
同理：DE＝BC＝2．
∴四边形BCED是平行四边形．
∵CE2+BC2＝24+12＝36，
EB2＝62＝36，
∴CE2+BC2＝EB2．
∴∠ECB＝90°．
∴四边形BCED是矩形．
五、解答题（本题共3小题，其中24、25题各11分，第26题12分，共34分）
24．（11分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，以AC为边向右作正方形ACDE，点P从点C出发，沿射线CD以1cm/s的速度向右运动，过点P作直线l与射线BA交于点Q，使得∠BPQ＝∠B，设运动时间为t（s），△BPQ与正方形ACDE重合部分的面积为S（cm2）．
（1）当直线l经过点E时，t的值为 　7　．
（2）求S关于t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围．

【分析】（1）根据正方形的性质可证得△EPD≌△ABC（AAS），即可求得答案；
（2）分三种情况：①当0≤t≤3时，如图2，设PQ与AC交于点F，由△FPC∽△ABC，可求得FC＝t，再运用三角形面积公式即可；
②当3＜t≤4时，如图3，设PQ与AE交于点G，过点A作AF∥PQ交CD于点F，先证明四边形AFPG是平行四边形，再证明△AFC≌△ABC（AAS），即可求得答案；
③当4＜t≤7时，如图4，PQ交AE于G，交DE于H，由△PHD∽△GHE，△ABC∽△HPD，S＝S正方形ACDE﹣S△EGH，即可求得答案；
④当t＞7时，S＝16．
【解答】解：（1）∵四边形ACDE是正方形，CP＝tcm，
∴∠ACD＝∠CDE＝90°，AC＝CD＝DE＝4cm，
∵直线l经过点E，∠BPQ＝∠B，
∴△EPD≌△ABC（AAS），
∴PD＝BC＝3cm，
∴CP＝CD+PD＝4+3＝7（cm），
∴t＝7，
故答案为：7；
（2）①当0≤t≤3时，如图2，设PQ与AC交于点F，
∵∠FCP＝∠ACB＝90°，∠FPC＝∠ABC，
∴△FPC∽△ABC，
∴＝，即＝，
∴FC＝t，
∴S＝•CP•FC＝×t×t＝t2；
②当3＜t≤4时，如图3，设PQ与AE交于点G，
过点A作AF∥PQ交CD于点F，
∵四边形ACDE是正方形，
∴AE∥CD，
∴四边形AFPG是平行四边形，
∵AF∥PQ，
∴∠AFC＝∠BPQ，
∵∠BPQ＝∠ABC，∠ACF＝∠ACB＝90°，AC＝AC，
∴△AFC≌△ABC（AAS），
∴CF＝CB＝3cm，
∴FP＝CP﹣CF＝（t﹣3）cm，
∴S＝S△AFC+S▱AFPG＝CF•AC+FP•AC＝×3×4+4（t﹣3）＝4t﹣6；
③当4＜t≤7时，如图4，PQ交AE于G，交DE于H，
∵四边形ACDE是正方形，
∴∠PDH＝∠E＝90°，∠PHD＝∠GHE，
∴△PHD∽△GHE，
∴＝，即＝，
∵∠ACB＝∠HDP＝90°，∠ABC＝∠HPD，
∴△ABC∽△HPD，
∴＝，即＝，
∴DH＝（t﹣4），
∴EH＝DE﹣DH＝4﹣（t﹣4）＝﹣t+，
∵＝＝，
∴GE＝（﹣t+）＝﹣t+7，
∴S＝S正方形ACDE﹣S△EGH＝16﹣×（﹣t+7）（﹣t+）＝﹣t+t﹣；
④当t＞7时，S＝16；
综上所述，S＝．




25．（11分）如图，△ABC中，点D，E在边AB上，点F在边BC上，且AD＝AC，EF＝EC，∠CEF＝∠A，连接DF．
（1）在图1中找出与∠ACE相等的角，并证明；

（2）求证：∠BDF＝∠EFC；
（3）如图2，延长FD，CA交于点G，连接EG，若EG＝AG，DE＝kAE，求的值（用含k的代数式表示）．


【分析】（1）由三角形外角的性质可得出答案；
（2）连接CD，过点E作AC的平行线与CD交于点M，证明△DEF≌△MEC（SAS），由全等三角形的性质可得出∠EDF＝∠EMC，证出∠EMD＝∠EFC，则可得出结论；
（3）连接CD，过点E作AC的平行线与CD交于点M，证明△EFG≌△ECD（ASA），由全等三角形的性质可得出GF＝DC，证出GD＝DM，则可得出答案．
【解答】解：（1）∠DEF＝∠ACE．
证明：∵∠DEC是△ACE的外角，
∴∠DEC＝∠A+∠ACE，
∵∠DEC＝∠DEF+∠CEF，
∴∠DEC+∠CEF＝∠A+∠ACE，
∵∠CEF＝∠A，
∴∠DEF＝∠ACE；
（2）证明：连接CD，过点E作AC的平行线与CD交于点M，

∵AD＝AC，
∴∠ADC＝∠ACD，
∵EM∥AC，
∴∠EMD＝∠ACD，∠CEM＝∠ACE，
∴∠EDM＝∠EMD，∠DEF＝∠CEM，
∴ED＝EM，
又∵EF＝EC，
∴△DEF≌△MEC（SAS），
∴∠EDF＝∠EMC，
∵∠BDF+∠EDF＝∠EMD+∠EMC＝180°，
∴∠BDF＝∠EMC，
∵EM∥AC，
∴∠DEM＝∠A，
∵∠A＝∠CEF，
∴∠DEM＝∠CEF，
∵△DEM中，∠EMD＝，△FEC中，∠EFC＝，
∴∠EMD＝∠EFC，
∴∠BDF＝∠EFC；
（3）连接CD，过点E作AC的平行线与CD交于点M，

∵EG＝AG，
∴∠GAE＝∠GEA，
∵∠DAC+∠GAE＝∠GEA+∠GED＝180°，
∴∠DAC＝∠GED，
∵∠CEF＝∠DAC，
∴∠DEG＝∠CEF，
∴∠DEG+∠DEF＝∠CEF+∠DEF，
即∠GEF＝∠DEC，
∵△DEF≌△MEC，
∴∠EFG＝∠ECD，DF＝MC，
又∵EF＝EC，
∴△EFG≌△ECD（ASA），
∴GF＝DC，
∴DC﹣MC＝GF﹣DF，
即GD＝DM，
∵EM∥AC，
∴，
∴．
26．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣（m﹣2）x﹣2m，其中m为常数，点A（﹣2，n）在此抛物线上．
（1）n的值为 　0　；
（2）若当﹣1≤x≤1时，函数的最大值与最小值的差为3，求m的值．
（3）抛物线与直线x＝2m+1交于点B，连接AB，过点A作AB的垂线，与y轴交于点C，当AB＝AC时，求m的值．
【分析】（1）将点A（﹣2，n）代入y＝x2﹣（m﹣2）x﹣2m，即可求m的值；
（2）分别求出当x＝1时，y＝3﹣3m，当x＝﹣1时，y＝﹣1﹣m，抛物线的对称轴为直线x＝，当x＝时，y＝﹣m2﹣m﹣1，再分五种情况讨论：①当≤﹣1时，m＝（舍）；②当﹣2＜≤﹣1时，m＝（舍）；③当﹣1＜≤0时，m＝4﹣2；④当0＜≤1时，m＝2；⑤当＞1时，m＝（舍）；
（3）设直线x＝2m+1与x轴的交点为E，可证明△BAE≌△ACO（AAS），再由AO＝BE＝2，B（2m+1，2m2+5m+3），可得2m2+5m+3＝±2，即可求出m＝．
【解答】解：（1）∵点A（﹣2，n）在此抛物线y＝x2﹣（m﹣2）x﹣2m上，
∴n＝4+2（m﹣2）﹣2m，
解得n＝0，
故答案为：0；
（2）当x＝1时，y＝1﹣m+2﹣2m＝3﹣3m，
当x＝﹣1时，y＝1+m﹣2﹣2m＝﹣1﹣m，
抛物线的对称轴为直线x＝，
当x＝时，y＝﹣m2﹣m﹣1，
①当≤﹣1时，即m≤﹣2，
∴3﹣3m﹣（﹣1﹣m）＝4﹣2m＝3，
∴m＝（舍）；
②当﹣2＜≤﹣1时，即﹣2＜m≤0，
∴3﹣3m﹣（﹣1﹣m）＝4﹣2m＝3，
∴m＝（舍）；
③当﹣1＜≤0时，即0＜m≤2，
∴3﹣3m﹣（﹣m2﹣m﹣1）＝3，
∴m＝4±2，
∴m＝4﹣2；
④当0＜≤1时，即2＜m≤4，
∴﹣1﹣m﹣（﹣m2﹣m﹣1）＝3，
∴m＝±2，
∴m＝2；
⑤当＞1时，即m＞4，
∴﹣1﹣m﹣（3﹣3m）＝3，
∴m＝（舍）；
综上所述：m的值为4﹣2或2；
（3）设直线x＝2m+1与x轴的交点为E，
∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∵∠BAE+∠CAO＝90°，∠BAE+∠ABE＝90°，
∴∠ABE＝∠CAO，
∵AB＝AC，
∴△BAE≌△ACO（AAS），
∴AO＝BE，
∵A（﹣2，0），
∴AO＝BE＝2，
∵抛物线与直线x＝2m+1交于点B，
∴B（2m+1，2m2+5m+3），
∴2m2+5m+3＝±2，
∴m＝．