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2021-2022学年江西省赣州市章贡区九年级(上)期中数学试卷 解析版
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这是一份2021-2022学年江西省赣州市章贡区九年级(上)期中数学试卷 解析版,共27页。试卷主要包含了选择题,填空题等内容,欢迎下载使用。
2021-2022学年江西省赣州市章贡区九年级(上)期中数学试卷
一、选择题(每题3分,共18分)
1.(3分)下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标,其中不属于中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.(3分)在平面直角坐标系中,将抛物线y=2(x﹣1)2+3先向左平移2个单位,再向下平移1个单位,得到的抛物线解析式为( )
A.y=2(x+1)2+2 B.y=2(x﹣3)2+2
C.y=2(x+1)2+4 D.y=2(x﹣3)2+4
3.(3分)如图,将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°,得到△A1B1C,连接AA1,若∠AA1B1=15°,则∠B的度数是( )
A.75° B.60° C.50° D.45°
4.(3分)若△ABC的两边长分别为2和3,第三边的长是方程x2﹣9x+20=0的根,则△ABC的周长是( )
A.9 B.10 C.9或10 D.7或10
5.(3分)若关于x的一元二次方程(m+1)x2﹣2x﹣1=0有实数根,则m的取值范围是( )
A.m>﹣2 B.m≥﹣2 C.m>﹣2且m≠﹣1 D.m≥﹣2且m≠﹣1
6.(3分)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示,图象过点(﹣1,0),对称轴为直线x=2,系列结论:(1)4a+b=0;(2)4a+c>2b;(3)5a+3c>0;(4)方程a(x﹣1)2+b(x﹣1)+c=0的两根是x1=0,x2=6.其中正确的结论有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题(每题3分,共18分)
7.(3分)点(4,﹣1)关于原点对称的点的坐标是 .
8.(3分)已知m是方程x2﹣2x﹣1=0的一个根,则代数式2m2﹣4m+2020的值为 .
9.(3分)若点A(﹣2,y1)、B(1,y2)和C(4,y3)是二次函数y=x2﹣4x﹣3图象上的三点,则y1,y2,y3的大小关系为 .
10.(3分)教练对小明推铅球的录像进行技术分析,发现铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系为y=﹣(x﹣4)2+3,由此可知铅球推出的距离是 m.
11.(3分)如图,在△ABC中,AB=AC,∠B=70°,把△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC,若点B恰好落在AB边上D处,则∠1= °.
12.(3分)如图,点O是等边△ABC内一点,∠AOB=110°.将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC,连接OD.当α为 度时,△AOD是等腰三角形?
三、(每题6分,共30分)
13.(6分)解方程:(x﹣5)2=2x﹣10.
14.如图,P是正方形ABCD内一点,△ABP绕着点B旋转后能到达△CBE的位置.
(1)旋转的角度是多少度?
(2)若BP=3cm,求线段PE的长.
15.(6分)已知关于x的一元二次方程x2﹣(m+2)x+m=0(m为常数).
(1)求证:不论m为何值,方程总有两个不相等的实数根;
(2)若x1,x2满足,求实数m的值.
16.(6分)如图,已知在△ABC中,∠A=60°,∠C=90°,将△ABC绕点B顺时针旋转150°,得到△DBE.请仅用无刻度的直尺,按要求画图(保留画图痕迹,在图中标出字母,并在图下方表示出所画图形).
(1)在图①中,画一个等边三角形;
(2)在图②中,画一个等腰直角三角形.
17.(6分)某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为30000个,1月底因突然爆发新冠肺炎疫情,市场对口罩需求量大增,为满足市场需求,厂决定从2月份起扩大产量,3月份平均日产量达到36300个.
(1)求口罩日产量的月平均增长率;
(2)按照这个增长率,预计4月份平均日产量为多少?
18.(6分)如图,已知一次函数y1=﹣x+m与二次函数y2=ax2+bx﹣3的图象交于A(﹣1,0)、B(2,﹣3)两点.
(1)求m的值和二次函数的表达式.
(2)当y1>y2时,直接写出自变量x的取值范围.
四、(每题8分,共24分)
19.(8分)如图,△BAD是由△BEC在平面内绕点B旋转60°而得,且AB⊥BC,BE=CE,连接DE.
(1)求证:△BDE≌△BCE;
(2)试判断四边形ABED的形状,并说明理由.
20.(8分)已知关于x的一元二次方程(a+c)x2﹣2bx+(a﹣c)=0,其中a、b、c分别为△ABC三边的长.
(1)如果x=1是方程的根,试判断△ABC的形状,并说明理由;
(2)如果方程有两个相等的实数根,试判断△ABC的形状,并说明理由;
(3)如果△ABC是等边三角形,试求这个一元二次方程的根.
21.(8分)在8×8的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系,已知A(2,﹣4),B(4,﹣2).C是第四象限内的一个格点,由点C与线段AB组成一个以AB为底,且腰长为无理数的等腰三角形.
(1)填空:C点的坐标是 ,△ABC的面积是 ;
(2)将△ABC绕点C旋转180°得到△A1B1C1,连接AB1、BA1,则四边形AB1A1B的形状是何特殊四边形? .
(3)请探究:在坐标轴上是否存在这样的点P,使四边形ABOP的面积等于△ABC面积的2倍?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
五、(每题9分,共18分)
22.(9分)某矩形工艺品长60cm,宽40cm,中间镶有宽度相同的三条丝绸花边.
(1)若丝绸花边的面积为768cm2,求丝绸花边的宽度.
(2)已知该工艺品的成本是40元/件,如果以单价100元/件销售,那么每天可售出200件,根据销售经验,销售单价每降低2元,每天可多售出40件,设销售单价降低x元/件(x为偶数),每天的销售量为y件.
①直接写出y与x的函数关系式.
②设每天的销售利润为W元,为了让利于顾客,请问应该把销售单价定为多少元,能使每天所获利润最大?最大利润是多少元?
23.(9分)如图1,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,点D,E分别在边AB,AC上,AD=AE,连接DC,点M,P,N分别为DE,DC,BC的中点.
(1)观察猜想:图1中,线段PM与PN的数量关系是 ,位置关系是 ;
(2)探究证明:把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置,连接MN,BD,CE,判断△PMN的形状,并说明理由;
(3)拓展延伸:把△ADE绕点A在平面内自由旋转,若AD=4,AB=10,请直接写出△PMN面积的最大值.
六、(共12分)
24.(12分)如图,直线y=x﹣3与x轴、y轴分别交于点B、点C,经过B、C两点的抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴的另一个交点为A,顶点为P.
(1)求3m+n的值;
(2)在该抛物线的对称轴上是否存在点Q,使以C,P,Q为顶点的三角形为等腰三角形?若存在,求出所有符合条件的点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)将该抛物线在x轴上方的部分沿x轴向下翻折,图象的其余部分保持不变,翻折后的图象与原图象x轴下方的部分组成一个“M“形状的新图象,若直线y=x+b与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点,求b的值.
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参考答案与试题解析
一、选择题(每题3分,共18分)
1.(3分)下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标,其中不属于中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形就叫做中心对称图形,这个点叫做对称中心进行分析即可.
【解答】解:A、不是中心对称图形,故此选项正确;
B、是中心对称图形,故此选项错误;
C、是中心对称图形,故此选项错误;
D、是中心对称图形,故此选项错误;
故选:A.
2.(3分)在平面直角坐标系中,将抛物线y=2(x﹣1)2+3先向左平移2个单位,再向下平移1个单位,得到的抛物线解析式为( )
A.y=2(x+1)2+2 B.y=2(x﹣3)2+2
C.y=2(x+1)2+4 D.y=2(x﹣3)2+4
【分析】找出抛物线的顶点坐标,将其按要求平移后可得出新抛物线的顶点坐标,进而即可得出抛物线的解析式.
【解答】解:∵抛物线y=2(x﹣1)2+3的顶点坐标为(1,3),
∴平移后抛物线的顶点坐标为(﹣1,2),
∴平移后抛物线的解析式为y=2(x+1)2+2.
故选:A.
3.(3分)如图,将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°,得到△A1B1C,连接AA1,若∠AA1B1=15°,则∠B的度数是( )
A.75° B.60° C.50° D.45°
【分析】根据旋转的性质可得AC=A1C,然后判断出△ACA1是等腰直角三角形,根据等腰直角三角形的性质可得∠CAA1=45°,再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠A1B1C,然后根据旋转的性质可得∠B=∠A1B1C.
【解答】解:∵Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△A1B1C,
∴AC=A1C,
∴△ACA1是等腰直角三角形,
∴∠CAA1=15°,
∴∠A1B1C=∠1+∠CAA1=15°+45°=60°,
由旋转的性质得∠B=∠A1B1C=60°,
故选:B.
4.(3分)若△ABC的两边长分别为2和3,第三边的长是方程x2﹣9x+20=0的根,则△ABC的周长是( )
A.9 B.10 C.9或10 D.7或10
【分析】利用因式分解法解出方程,根据三角形的三边关系确定第三边的长,根据三角形的周长公式计算,得到答案.
【解答】解:x2﹣9x+20=0,
则(x﹣4)(x﹣5)=0,
∴x﹣4=0或x﹣5=0,
则x1=4,x2=5,
∵2+3=5,
∴第三边的长为4,
∴△ABC的周长=2+3+4=9,
故选:A.
5.(3分)若关于x的一元二次方程(m+1)x2﹣2x﹣1=0有实数根,则m的取值范围是( )
A.m>﹣2 B.m≥﹣2 C.m>﹣2且m≠﹣1 D.m≥﹣2且m≠﹣1
【分析】利用二元一次方程的定义和判别式的意义得到m+1≠0且Δ=(﹣2)2﹣4(m+1)×(﹣1)≥0,然后求出两不等式的公共部分即可.
【解答】解:根据题意得m+1≠0且Δ=(﹣2)2﹣4(m+1)×(﹣1)≥0,
解得m≥﹣2且m≠﹣1.
故选:D.
6.(3分)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示,图象过点(﹣1,0),对称轴为直线x=2,系列结论:(1)4a+b=0;(2)4a+c>2b;(3)5a+3c>0;(4)方程a(x﹣1)2+b(x﹣1)+c=0的两根是x1=0,x2=6.其中正确的结论有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【分析】根据对称轴可判断(1);根据当x=﹣2时y<0可判断(2);由图象过点(﹣1,0)知a﹣b+c=0,即c=﹣a+b=﹣a﹣4a=﹣5a,从而得5a+3c=5a﹣15a=﹣10a,再结合开口方向可判断(3);方程ax2+bx+c(a≠0)=0的两根为x1=﹣1,x2=5,可判断(4).
【解答】解:由对称轴为直线x=2,得到﹣=2,即b=﹣4a,
∴4a+b=0,故(1)正确;
当x=﹣2时,y=4a﹣2b+c<0,即4a+c<2b,故(2)错误;
当x=﹣1时,y=a﹣b+c=0,
∴b=a+c,
∴﹣4a=a+c,
∴c=﹣5a,
∴5a+3c=5a﹣15a=﹣10a,
∵抛物线的开口向下
∴a<0,
∴﹣10a>0,
∴5a+3c>0;故(3)正确;
∵方程ax2+bx+c(a≠0)=0的两根为x1=﹣1,x2=5,
∴方程a(x﹣1)2+b(x﹣1)+c=0的两根是x1=0,x2=6,故(4)正确.
故选:C.
二、填空题(每题3分,共18分)
7.(3分)点(4,﹣1)关于原点对称的点的坐标是 (﹣4,1) .
【分析】利用两个点关于原点对称时,它们的坐标符号相反,即点P(x,y)关于原点O的对称点是P′(﹣x,﹣y),进而得出答案.
【解答】解:点(4,﹣1)关于原点对称的点的坐标为:(﹣4,1).
故答案是:(﹣4,1).
8.(3分)已知m是方程x2﹣2x﹣1=0的一个根,则代数式2m2﹣4m+2020的值为 2022 .
【分析】根据一元二次方程的解的定义得到m2﹣2m=1,再把2m2﹣4m表示为2(m2﹣2m),然后利用整体代入的方法计算.
【解答】解:∵m是方程x2﹣2x﹣1=0的一个根,
∴m2﹣2m﹣1=0,
∴m2﹣2m=1,
∴2m2﹣4m+2020=2(m2﹣2m)+2020=2+2020=2022.
故答案为:2022.
9.(3分)若点A(﹣2,y1)、B(1,y2)和C(4,y3)是二次函数y=x2﹣4x﹣3图象上的三点,则y1,y2,y3的大小关系为 y1>y3>y2 .
【分析】二次函数抛物线向上,且对称轴为x=2.根据图象上的点的横坐标距离对称轴的远近来判断纵坐标的大小.
【解答】解:∵二次函数y=x2﹣4x﹣3=(x﹣2)2﹣7,
∴该二次函数的抛物线开口向上,且对称轴为:x=2.
∵点A(﹣2,y1)、B(1,y2)和C(4,y3)是二次函数y=x2﹣4x﹣3图象上的三点,
而三点横坐标离对称轴x=2的距离按由远到近为:A、C、B,
∴y1>y3>y2.
故答案为:y1>y3>y2.
10.(3分)教练对小明推铅球的录像进行技术分析,发现铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系为y=﹣(x﹣4)2+3,由此可知铅球推出的距离是 10 m.
【分析】根据铅球落地时,高度y=0,把实际问题可理解为当y=0时,求x的值即可.
【解答】解:令函数式y=﹣(x﹣4)2+3中,y=0,
0=﹣(x﹣4)2+3,
解得x1=10,x2=﹣2(舍去),
即铅球推出的距离是10m.
故答案为:10.
11.(3分)如图,在△ABC中,AB=AC,∠B=70°,把△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC,若点B恰好落在AB边上D处,则∠1= 100 °.
【分析】根据等腰三角形的性质和旋转的性质是解题的关键.
【解答】解:∵AB=AC,∠B=70°,
∴∠ACB=∠B=70°,
∴∠A=180°﹣70°﹣70°=40°,
∵△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC,
∴∠CDE=∠B=70°,BC=CD,
∴∠B=∠BDC=70°,
∴∠ADE=180°﹣70°﹣70°=40°,
∴∠1=180°﹣40°﹣40°=100°,
故答案为:100.
12.(3分)如图,点O是等边△ABC内一点,∠AOB=110°.将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC,连接OD.当α为 110、125、140 度时,△AOD是等腰三角形?
【分析】根据旋转前后图形不发生变化,得出三角形COD是等边△OCD,从而表示出∠AOD与∠ADO,进而求出∠OAD,再根据等腰三角形的性质,分别假设AO=AD,OA=OD,OD=AD,从而求出α.
【解答】解:∵△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC,
∴∠OCD=60°,OC=CD,∠ADC=α,
∴三角形COD是等边△OCD,
∴∠COD=∠60°,∠CDO=60°,
∠ADO=∠ADC﹣∠CDO=α﹣60°,
∵∠AOD=360°﹣110°﹣60°﹣α=190°﹣α,
∴∠OAD=180°﹣(∠AOD+∠ADO)=180°﹣(190°﹣α+α﹣60°)=50°;
∵△AOD为等腰三角形,
当AO=OD时,∠AOD+2∠ODA=180°,
即190°﹣α+2×(α﹣60°)=180°,
解得α=110°,
当AO=AD时,∠AOD=∠ODA,即190°﹣α=α﹣60°,
解得α=125°,
当OD=AD时,2×(190°﹣α)+α﹣60°=180°,
解得α=140°
所以当α为110°、125°、140°时,△AOD是等腰三角形;
故答案为:110°、125°、140°.
三、(每题6分,共30分)
13.(6分)解方程:(x﹣5)2=2x﹣10.
【分析】方程移项后分解因式,根据ab=0,得到a=0或b=0,求出解即可.
【解答】解:移项得:(x﹣5)2﹣2(x﹣5)=0,
分解得:(x﹣5)(x﹣5﹣2)=0,
所以x﹣5=0或x﹣7=0,
解得:x1=5,x2=7.
14.如图,P是正方形ABCD内一点,△ABP绕着点B旋转后能到达△CBE的位置.
(1)旋转的角度是多少度?
(2)若BP=3cm,求线段PE的长.
【分析】(1)找出对应边AB、BC的夹角的度数就是旋转角的度数;
(2)根据旋转变换的性质可知BP=BE,∠PBE=∠ABC,再根据勾股定理列式求解即可得到PE的长度.
【解答】解:(1)∵△ABP绕着点B旋转后能到达△CBE的位置,
∴∠ABC为旋转角,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ABC=90°,
即旋转的角度是90度;
(2)∵△ABP绕着点B旋转后能到达△CBE的位置,
∴BP=BE=3cm,∠PBE=∠ABC=90°,
∴PE===3cm.
故答案为:(1)90°,(2)3cm.
15.(6分)已知关于x的一元二次方程x2﹣(m+2)x+m=0(m为常数).
(1)求证:不论m为何值,方程总有两个不相等的实数根;
(2)若x1,x2满足,求实数m的值.
【分析】(1)根据方程的系数结合根的判别式△≥0,即可得出关于m的一元一次不等式,解之即可得出实数m的取值范围;
(2)根据根与系数的关系可得出x1+x2=(m+1),x1•x2=m,结合x12+x22=16+x1x2可得出关于m的一元二次方程,解之即可得出m的值,再结合(1)的结论即可确定m的值.
【解答】解(1)证明:△=(m+2)2−4×1⋅m=m2+4,
∵无论m为何值时m2≥0,
∴m2+4≥4>0,
即Δ>0,
所以无论m为何值,方程总有两个不相等的实数根;
(2)∵关于x的方程x2﹣(m+2)x+m=0有两个实数根x1,x2
∴x1+x2=m+2,x1x2=m.
∵,
∴(m+2)2﹣2m=16+m,
即m2+m﹣12=0,
解得:m=﹣4或m=3
∴实数m的值为﹣4或3.
16.(6分)如图,已知在△ABC中,∠A=60°,∠C=90°,将△ABC绕点B顺时针旋转150°,得到△DBE.请仅用无刻度的直尺,按要求画图(保留画图痕迹,在图中标出字母,并在图下方表示出所画图形).
(1)在图①中,画一个等边三角形;
(2)在图②中,画一个等腰直角三角形.
【分析】(1)如图①中,延长EB交AC的延长线于F.△ABF即为所求.
(2)如图②中,连接AD交BE于点F,△EFD即为所求.
【解答】解:(1)如图①中,延长EB交AC的延长线于F.△ABF即为所求.
(2)如图②中,连接AD交BE于点F,△EFD即为所求.
17.(6分)某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为30000个,1月底因突然爆发新冠肺炎疫情,市场对口罩需求量大增,为满足市场需求,厂决定从2月份起扩大产量,3月份平均日产量达到36300个.
(1)求口罩日产量的月平均增长率;
(2)按照这个增长率,预计4月份平均日产量为多少?
【分析】(1)设口罩日产量的月平均增长率为x,利用3月份的平均日产量=1月份的平均日产量×(1+月平均增长率)2,即可得出关于x的一元二次方程,解之取其正值即可得出口罩日产量的月平均增长率为10%;
(2)利用4月份平均日产量=3月份的平均日产量×(1+月平均增长率),即可预计出4月份平均日产量.
【解答】解:(1)设口罩日产量的月平均增长率为x,
依题意得:30000(1+x)2=36300,
解得:x1=﹣2.1(不合题意,舍去),x2=0.1=10%.
答:口罩日产量的月平均增长率为10%.
(2)36300×(1+10%)=39930(个).
答:预计4月份平均日产量为39930个.
18.(6分)如图,已知一次函数y1=﹣x+m与二次函数y2=ax2+bx﹣3的图象交于A(﹣1,0)、B(2,﹣3)两点.
(1)求m的值和二次函数的表达式.
(2)当y1>y2时,直接写出自变量x的取值范围.
【分析】(1)将点A(﹣1,0)、B(2,﹣3)代入y2=ax2+bx﹣3,将点A(﹣1,0)代入y1=﹣x+m分别求解即可;
(2)由图象可得,y1>y2时,﹣1<x<2.
【解答】解:(1)将点A(﹣1,0)代入y1=﹣x+m,
则m=﹣1,
∴y1=﹣x﹣1,
将点A(﹣1,0)、B(2,﹣3)代入y2=ax2+bx﹣3,
∴a=1,b=﹣2,
∴y2=x2﹣2x﹣3;
(2)由图象可得,y1>y2时,﹣1<x<2.
四、(每题8分,共24分)
19.(8分)如图,△BAD是由△BEC在平面内绕点B旋转60°而得,且AB⊥BC,BE=CE,连接DE.
(1)求证:△BDE≌△BCE;
(2)试判断四边形ABED的形状,并说明理由.
【分析】(1)根据旋转的性质可得DB=CB,∠ABD=∠EBC,∠ABE=60°,然后根据垂直可得出∠DBE=∠CBE=30°,继而可根据SAS证明△BDE≌△BCE;
(2)根据(1)以及旋转的性质可得,△BDE≌△BCE≌△BDA,继而得出四条棱相等,证得四边形ABED为菱形.
【解答】(1)证明:∵△BAD是由△BEC在平面内绕点B旋转60°而得,
∴DB=CB,∠ABD=∠EBC,∠ABE=60°,
∵AB⊥BC,
∴∠ABC=90°,
∴∠DBE=∠CBE=30°,
在△BDE和△BCE中,
,
∴△BDE≌△BCE(SAS);
(2)四边形ABED为菱形;
由(1)得△BDE≌△BCE,
∵△BAD是由△BEC旋转而得,
∴△BAD≌△BEC,
∴BA=BE,AD=EC=ED,
又∵BE=CE,
∴AB=BE=ED=AD,
∴四边形ABED为菱形.
20.(8分)已知关于x的一元二次方程(a+c)x2﹣2bx+(a﹣c)=0,其中a、b、c分别为△ABC三边的长.
(1)如果x=1是方程的根,试判断△ABC的形状,并说明理由;
(2)如果方程有两个相等的实数根,试判断△ABC的形状,并说明理由;
(3)如果△ABC是等边三角形,试求这个一元二次方程的根.
【分析】(1)把x=1代入方程得a+c﹣2b+a﹣c=0,整理得a=b,从而可判断三角形的形状;
(2)根据判别式的意义得Δ=(﹣2b)2﹣4(a+c)(a﹣c)=0,即b2+c2=a2,然后根据勾股定理可判断三角形的形状;
(3)利用等边三角形的性质得a=b=c,方程化为x2﹣x=0,然后利用因式分解法解方程.
【解答】解:(1)把x=1代入方程得a+c﹣2b+a﹣c=0,则a=b,所以△ABC为等腰三角形;
(2)根据题意得Δ=(﹣2b)2﹣4(a+c)(a﹣c)=0,即b2+c2=a2,所以△ABC为直角三角形;
(3)∵△ABC为等边三角形,
∴a=b=c,
∴方程化为x2﹣x=0,解得x1=0,x2=1.
21.(8分)在8×8的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系,已知A(2,﹣4),B(4,﹣2).C是第四象限内的一个格点,由点C与线段AB组成一个以AB为底,且腰长为无理数的等腰三角形.
(1)填空:C点的坐标是 (1,﹣1) ,△ABC的面积是 4 ;
(2)将△ABC绕点C旋转180°得到△A1B1C1,连接AB1、BA1,则四边形AB1A1B的形状是何特殊四边形? 矩形 .
(3)请探究:在坐标轴上是否存在这样的点P,使四边形ABOP的面积等于△ABC面积的2倍?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【分析】(1)根据题意点C在线段AB的垂直平分线上,且腰长为无理数,所以C(1,﹣1),利用分割法求出△ABC的面积即可;
(2)如图2,根据旋转的性质得到A1,C,A在同一直线上,B1,C,B在同一直线上,A1C=AC,B1C=BC,推出四边形AB1A1B是平行四边形,根据矩形的判定定理即可得到结论;
(3)由(1)知S△ABC=4,则S四边形ABOP=8.同(1)中的方法得S△ABO=16﹣4﹣4﹣2=6;当P在x轴负半轴时,当P在y轴负半轴时,而当P在x轴正半轴及y轴正半轴时均不能形成四边形ABOP;于是得到结论.
【解答】解:(1)根据题意点C坐标为(1,﹣1),如图1.
S△ABC=3×3﹣×3×1﹣×3×1﹣×2×2=4.
故答案为:(1,﹣1),4
(2)如图2,
∵将△ABC绕点C旋转180°得到△A1B1C1,
∴A1,C,A在同一直线上,B1,C,B在同一直线上,A1C=AC,B1C=BC,
∴四边形AB1A1B是平行四边形,
∵AC=BC,
∴A1A=B1B,
∴平行四边形AB1A1B是矩形,
故答案为:矩形;
(3)存在.
由(1)知S△ABC=4,则S四边形ABOP=8.同(1)中的方法得S△ABO=16﹣4﹣4﹣2=6;
当P在x轴负半轴时,S△APO=2,高为4,那么底边长为1,所以P(﹣1,0);
当P在y轴负半轴时,S△APO=2,高为2,所以底边长为2,此时P(0,﹣2);
而当P在x轴正半轴及y轴正半轴时均不能形成四边形ABOP;
故点P的坐标为(﹣1,0),(0,﹣2).
五、(每题9分,共18分)
22.(9分)某矩形工艺品长60cm,宽40cm,中间镶有宽度相同的三条丝绸花边.
(1)若丝绸花边的面积为768cm2,求丝绸花边的宽度.
(2)已知该工艺品的成本是40元/件,如果以单价100元/件销售,那么每天可售出200件,根据销售经验,销售单价每降低2元,每天可多售出40件,设销售单价降低x元/件(x为偶数),每天的销售量为y件.
①直接写出y与x的函数关系式.
②设每天的销售利润为W元,为了让利于顾客,请问应该把销售单价定为多少元,能使每天所获利润最大?最大利润是多少元?
【分析】(1)设出花边的宽,然后表示出花边的长,利用面积公式表示出其面积即可列出方程求解;
(2)根据题意即可得到结论;
②依题意得每天的销售利润,根据二次函数的性质即可得到结论.
【解答】解:(1)设丝绸花边的宽度为x cm,
由题意得:(60﹣2x)(40﹣x)=40×60﹣768,
即x2﹣70x+384=0,
解得x=6或x=64(舍去),
答:丝绸花边的宽度为6cm;
(2)①根据题意得,y=200+20x;
②依题意得每天的销售利润为W=(200+20x)(100﹣40﹣x)=﹣20(x﹣25)2+24500,
故当x=25时,最大销售利润为W=24500,
∵x为偶数,
∴当x=24或x=26时,有最大利润,
为了让利于顾客,
∴x=26,符合题意,此时w=24480,
故销售单价定为100﹣26=74,
答:每件商品的销售单价定为74元时,每天获得的利润最大,最大利润是24480元.
23.(9分)如图1,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,点D,E分别在边AB,AC上,AD=AE,连接DC,点M,P,N分别为DE,DC,BC的中点.
(1)观察猜想:图1中,线段PM与PN的数量关系是 PM=PN ,位置关系是 PM⊥PN ;
(2)探究证明:把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置,连接MN,BD,CE,判断△PMN的形状,并说明理由;
(3)拓展延伸:把△ADE绕点A在平面内自由旋转,若AD=4,AB=10,请直接写出△PMN面积的最大值.
【分析】(1)利用三角形的中位线得出PM=CE,PN=BD,进而判断出BD=CE,即可得出结论,再利用三角形的中位线得出PM∥CE得出∠DPM=∠DCA,最后用互余即可得出结论;
(2)先判断出△ABD≌△ACE,得出BD=CE,同(1)的方法得出PM=BD,PN=BD,即可得出PM=PN,同(1)的方法即可得出结论;
(3)方法1:先判断出MN最大时,△PMN的面积最大,进而求出AN,AM,即可得出MN最大=AM+AN,最后用面积公式即可得出结论.方法2:先判断出BD最大时,△PMN的面积最大,而BD最大是AB+AD=14,即可得出结论.
【解答】解:(1)∵点P,N是BC,CD的中点,
∴PN∥BD,PN=BD,
∵点P,M是CD,DE的中点,
∴PM∥CE,PM=CE,
∵AB=AC,AD=AE,
∴BD=CE,
∴PM=PN,
∵PN∥BD,
∴∠DPN=∠ADC,
∵PM∥CE,
∴∠DPM=∠DCA,
∵∠BAC=90°,
∴∠ADC+∠ACD=90°,
∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCA+∠ADC=90°,
∴PM⊥PN,
故答案为:PM=PN,PM⊥PN;
(2)△PMN是等腰直角三角形.
由旋转知,∠BAD=∠CAE,
∵AB=AC,AD=AE,
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴∠ABD=∠ACE,BD=CE,
利用三角形的中位线得,PN=BD,PM=CE,
∴PM=PN,
∴△PMN是等腰三角形,
同(1)的方法得,PM∥CE,
∴∠DPM=∠DCE,
同(1)的方法得,PN∥BD,
∴∠PNC=∠DBC,
∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC,
∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC
=∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC
=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC,
∵∠BAC=90°,
∴∠ACB+∠ABC=90°,
∴∠MPN=90°,
∴△PMN是等腰直角三角形;
(3)方法1:如图2,同(2)的方法得,△PMN是等腰直角三角形,
∴MN最大时,△PMN的面积最大,
∴DE∥BC且DE在顶点A上面,
∴MN最大=AM+AN,
连接AM,AN,
在△ADE中,AD=AE=4,∠DAE=90°,
∴AM=2,
在Rt△ABC中,AB=AC=10,AN=5,
∴MN最大=2+5=7,
∴S△PMN最大=PM2=×MN2=×(7)2=.
方法2:由(2)知,△PMN是等腰直角三角形,PM=PN=BD,
∴PM最大时,△PMN面积最大,
∴点D在BA的延长线上,
∴BD=AB+AD=14,
∴PM=7,
∴S△PMN最大=PM2=×72=.
六、(共12分)
24.(12分)如图,直线y=x﹣3与x轴、y轴分别交于点B、点C,经过B、C两点的抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴的另一个交点为A,顶点为P.
(1)求3m+n的值;
(2)在该抛物线的对称轴上是否存在点Q,使以C,P,Q为顶点的三角形为等腰三角形?若存在,求出所有符合条件的点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)将该抛物线在x轴上方的部分沿x轴向下翻折,图象的其余部分保持不变,翻折后的图象与原图象x轴下方的部分组成一个“M“形状的新图象,若直线y=x+b与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点,求b的值.
【分析】(1)求出B、C的坐标,将点B、C的坐标分别代入抛物线表达式,即可求解;
(2)分CP=PQ、CP=CQ、CQ=PQ,分别求解即可;
(3)分两种情况,分别求解即可.
【解答】解:(1)直线y=x﹣3,令y=0,则x=3,令x=0,则y=﹣3,
故点B、C的坐标分别为(3,0)、(0,﹣3),
将点B、C的坐标分别代入抛物线表达式得:,解得:,
则抛物线的表达式为:y=﹣x2+4x﹣3,则点A坐标为(1,0),顶点P的坐标为(2,1),
3m+n=12﹣3=9;
(2)①当CP=CQ时,
C点纵坐标为PQ中点的纵坐标相同为﹣3,
故此时Q点坐标为(2,﹣7);
②当CP=PQ时,
同理可得:点Q的坐标为(2,1﹣2)或(2,1+2);
同理可得:过该中点与CP垂直的直线方程为:y=﹣x﹣,
当x=2时,y=﹣,即点Q的坐标为(2,﹣);
③当CQ=PQ时,
由②知,点Q的坐标为(2,﹣),
故:点Q的坐标为(2,1﹣2)或(2,1+2)或(2,﹣)或(2,﹣7);
(3)图象翻折后的点P对应点P′的坐标为(2,﹣1),
①在如图所示的位置时,直线y=x+b与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点,
此时C、P′、B三点共线,b=﹣3;
②当直线y=x+b与翻折后的图象只有一个交点时,
此时,直线y=x+b与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点;
即:x2﹣4x+3=x+b,△=52﹣4(3﹣b)=0,解得:b=﹣.
即:b=﹣3或﹣.
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