八年级（上）月考数学试卷（12月）

这是一份八年级（上）月考数学试卷（12月），共20页。试卷主要包含了 下列图形中是轴对称图形的是， 下列运算正确的是， 计算的结果为， 下列分解因式正确的是等内容，欢迎下载使用。

1. 下列图形中是轴对称图形的是（ ）
A.B.C.D.

2. 下列运算正确的是（ ）
A.(2a3)2=2a6B.a3÷a3=1(a≠0)
C.(a2)3=a5D.a5÷a=a5

3. 如图，AB与CD相交于点E，AD=CB，若使△AED≅△CEB，则应补充的条件是（ ）

A.∠A=∠CB.AE=CEC.DE=BED.不用补充条件

4. 已知△ABC在直角坐标系中的位置如图所示，如果△A′B′C′与△ABC关于y轴对称，那么点A的对应点A′的坐标为（ ）

A.(−4, 2)B.(−4, −2)C.(4, −2)D.(4, 2)

5. 计算(−2x−3y)(2x−3y)的结果为（ ）
A.3y2−2x2B.4x2−9y2
C.4x2−12xy+9y2D.9y2−4x2

6. 将一副三角板按图中方式叠放，则∠m的度数为（ ）

A.30∘B.45∘C.60∘D.75∘

7. 下列分解因式正确的是（ ）
A.3x2−6x=x(3x−6)B.−a2+b2=(b+a)(b−a)
C.4x2−y2=(4x+y)(4x−y)D.4x2−2xy+y2=(2x−y)2

8. (x2+px−2)(x2−5x+q)的展开式中，不含x3和x2项，则p−q的值是（ ）
A.22B.−22C.32D.−32

9. 如图，∠BAC=30∘，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF // AB，已知AF=4cm，则DE的长为（ ）
A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm

10. 如图，将30∘的直角三角尺ABC绕直角顶点A逆时针旋转到ADE的位置，使B点的对应点D落在BC边上，连接EB、EC，则下列结论：①∠DAC=∠DCA；②ED为AC的垂直平分线；③∠BED=30∘；④ED=2AB．其中正确的是（ ）
A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④
二．填空题（每小题3分，共18分）：

分解因式：4x2−1＝________．

若x+y=5，xy=−4，则x2+y2=________．

若4x2−2(m−1)x+9是完全平方式，则m=________．

在实数范围内因式分解：x4−4=________．

如图，A、B、C在一条直线上，△ABD、△BCE均为等边三角形，连接CD、AE交于点P，并分别交BE、BD于N、M，连接MN，下列结论中：①AE=CD；②AM=DP；③MN // AC； ④若AB=2BC，连接DE，则DE⊥BE；⑤BP平分∠APC．正确的结论有：________（填写出所有正确的序号）

已知a+1a=3，则a2+1a2的值是________．
三.解答（共8题，共72分）

计算：
(1)(ab2)2•(−a3b)3÷(−5ab)；

（2）3a(2a2−9a+3)−4a(2a−1)

运用乘法公式计算：
(1)(2a−3b)(−2a+3b)−(2a+3b)2

(2)(2a−b−3c)(−2a+b−3c)．

分解因式：
（1）3x−12x3；

（2）9a2(x−y)+4b2(y−x)．

如图，已知：在△AFD和△CEB中，点A，E，F，C在同一直线上，AE=CF，∠B=∠D，AD // BC．求证：AD=BC．


已知：a，b，c为△ABC的三边长，且2a2+2b2+2c2=2ab+2ac+2bc，试判断△ABC的形状，并证明你的结论．

如图，△ABC的两条高AD、BF交于E，连EC，∠AEB=105∘，∠ABC=45∘．
（1）求∠DEC的度数；

（2）求证：AB−BE=CE．

如图1，在Rt△ACB中，∠ACB=90∘，∠ABC=30∘AC=1点D为AC上一动点，连接BD，以BD为边作等边△BDE，EA的延长线交BC的延长线于F，设CD=n，
（1）当n=1时，则AF=________；

（2）当0PD，
∴ AM>PD，故②错误；
∵ BM=BN，∠MBN=60∘，
∴ △BMN是等边三角形，
∴ ∠MNB=60∘，
∴ ∠MNB=∠NBC，
∴ MN // AC，故③正确；
取BD的中点O，连接EO，DE，
∵ AB=2BC，
∴ BD=2BE，
∴ BE=BM=DM，
∵ ∠MBE=60∘，
∴ △BEM是等边三角形，
∴ EM=BM=DM，
∴ ∠BED=90∘，
∴ DE⊥BE；故④正确；
过B作BG⊥CD于G，BH⊥AE于H，
∴ ∠AHB=∠DGB=90∘，
在△ABH与△DBG中，
∠BAH=∠BDG∠AHB=∠DGBAB=BD，
∴ △ABH≅△DBG，
∴ BH=BG，
∴ BP平分∠APC；故⑤正确；
∵ 当A、B、C在一条直线上时，∠ABM=∠DBN=60∘，
∠DBE≠60∘，则∠ABM≠∠DBN，
∴ △ABM与△DBN不全等，
∴ AM≠DN，故⑥错误．
故答案为：①③④⑤．
【答案】
7
【考点】
完全平方公式
【解析】
把已知条件两边平方，然后整理即可求解．完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2．
【解答】
解：∵ a+1a=3，
∴ a2+2+1a2=9，
∴ a2+1a2=9−2=7．
故答案为：7．
三.解答（共8题，共72分）
【答案】
解：（1）原式=a2b4•(−a9b3)÷(−5ab)=15a10b6；
（2）原式=6a3−27a2+9a−8a+4a=6a3−35a2+13a；
【考点】
整式的混合运算
【解析】
（1）原式利用积的乘方与幂的乘方运算法则计算，再利用乘除法则计算即可得到结果；
（2）原式先利用单项式乘多项式法则计算，去括号合并即可得到结果．
【解答】
解：（1）原式=a2b4•(−a9b3)÷(−5ab)=15a10b6；
（2）原式=6a3−27a2+9a−8a+4a=6a3−35a2+13a；
【答案】
解：（1）原式=−(2a−3b)(2a−3b)−(2a+3b)2
=−(4a2−12ab+9b2)−(4a2+12ab+9b2)
=−8a2−18b2；
（2）原式=−(2a−b−3c)(2a−b+3c)
=−[(2a−b)−3c][(2a−b)+3c]
=−(2a−b)2+9c2
=9c2−4a2+4ab−b2
【考点】
平方差公式
完全平方公式
【解析】
根据乘法公式即可求出答案．
【解答】
解：（1）原式=−(2a−3b)(2a−3b)−(2a+3b)2
=−(4a2−12ab+9b2)−(4a2+12ab+9b2)
=−8a2−18b2；
（2）原式=−(2a−b−3c)(2a−b+3c)
=−[(2a−b)−3c][(2a−b)+3c]
=−(2a−b)2+9c2
=9c2−4a2+4ab−b2
【答案】
解：（1）原式=−3x(4x2−1)=−3x(2x+1)(2x−1)；
（2）原式=9a2(x−y)−4b2(x−y)=(x−y)(9a2−4b2)=(x−y)(3a+2b)(3a−2b)．
【考点】
提公因式法与公式法的综合运用
【解析】
（1）原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可；
（2）原式变形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】
解：（1）原式=−3x(4x2−1)=−3x(2x+1)(2x−1)；
（2）原式=9a2(x−y)−4b2(x−y)=(x−y)(9a2−4b2)=(x−y)(3a+2b)(3a−2b)．
【答案】
证明：∵ AD // BC，
∴ ∠A=∠C，
∵ AE=CF，
∴ AE+EF=CF+EF，
即AF=CE，
∵ 在△ADF和△CBE中
∠B=∠D，∠A=∠C，AF=CE，
∴ △ADF≅△CBE(AAS)，
∴ AD=BC．
【考点】
平行线的性质
全等三角形的性质与判定
【解析】
根据平行线求出∠A=∠C，求出AF=CE，根据AAS证出△ADF≅△CBE即可．
【解答】
证明：∵ AD // BC，
∴ ∠A=∠C，
∵ AE=CF，
∴ AE+EF=CF+EF，
即AF=CE，
∵ 在△ADF和△CBE中
∠B=∠D，∠A=∠C，AF=CE，
∴ △ADF≅△CBE(AAS)，
∴ AD=BC．
【答案】
解：△ABC是等边三角形．
证明如下：
因为2a2+2b2+2c2=2ab+2ac+2bc，
所以2a2+2b2+2c2−2ab−2ac−2bc=0，
a2−2ab+b2+a2−2ac+c2+b2−2bc+c2=0，
(a−b)2+(a−c)2+(b−c)2=0，
所以(a−b)2=0，(a−c)2=0，(b−c)2=0，
得a=b且a=c且b=c，即a=b=c，
所以△ABC是等边三角形．
【考点】
因式分解的应用
等边三角形的判定
因式分解-运用公式法
【解析】
由2a2+2b2+2c2=2ab+2ac+2bc分组因式分解，利用非负数的性质得到三边关系，从而判定三角形形状．
【解答】
解：△ABC是等边三角形．
证明如下：
因为2a2+2b2+2c2=2ab+2ac+2bc，
所以2a2+2b2+2c2−2ab−2ac−2bc=0，
a2−2ab+b2+a2−2ac+c2+b2−2bc+c2=0，
(a−b)2+(a−c)2+(b−c)2=0，
所以(a−b)2=0，(a−c)2=0，(b−c)2=0，
得a=b且a=c且b=c，即a=b=c，
所以△ABC是等边三角形．
【答案】
（1）解：如图1中，
∵ △ABC的两条高AD、BF交于E，
∴ ∠ADB=∠ADC=∠AFE=90∘，
∵ ∠ABC=45∘，
∴ ∠BAD=90∘−∠ABC=45∘，
∴ ∠ABD=∠ADB，
∴ BD=AD，
∵ ∠DBE+∠ACB=90∘，∠DAC+∠ACD=90∘，
∴ ∠DBE=∠DAC，
在△BDE和△DAC中，
∠DBE=∠DACBD=AD∠BDE=∠ADC，
∴ △BDE≅△ADC，
∴ DE=DC，
∴ ∠DEC=∠DCE=45∘．
（2）证明：如图2中，延长EF到M使得FM=EF．
∵ ∠AEB=105∘，∴ ∠AEF=∠BED=75∘，
∴ ∠DBE=∠DAC=15∘，
∴ ∠MEC=∠EBC+∠ECD=60∘，
∵ AC⊥EM，EF=FM，
∴ AE=AM，CE=CM，
∴ △ECM是等边三角形，
∴ EC=EM，
∴ ∠AEM=∠AMB=75∘，∠FAE=∠FAM=15∘，
∴ ∠BAM=∠BAD+∠DAM=75∘，
∴ ∠BAM=∠BMA，
∴ BA=BM，
∴ AB=BE+EM=BE+EC，
∴ AB−BE=EC．
【考点】
全等三角形的性质
【解析】
（1）首先证明△BDE≅△ADC，推出DE=EC，延长即可解决问题．
（2）如图2中，延长EF到M使得FM=EF．只要证明△ECM是等边三角形，BA=BM即可证明．
【解答】
（1）解：如图1中，
∵ △ABC的两条高AD、BF交于E，
∴ ∠ADB=∠ADC=∠AFE=90∘，
∵ ∠ABC=45∘，
∴ ∠BAD=90∘−∠ABC=45∘，
∴ ∠ABD=∠ADB，
∴ BD=AD，
∵ ∠DBE+∠ACB=90∘，∠DAC+∠ACD=90∘，
∴ ∠DBE=∠DAC，
在△BDE和△DAC中，
∠DBE=∠DACBD=AD∠BDE=∠ADC，
∴ △BDE≅△ADC，
∴ DE=DC，
∴ ∠DEC=∠DCE=45∘．
（2）证明：如图2中，延长EF到M使得FM=EF．
∵ ∠AEB=105∘，∴ ∠AEF=∠BED=75∘，
∴ ∠DBE=∠DAC=15∘，
∴ ∠MEC=∠EBC+∠ECD=60∘，
∵ AC⊥EM，EF=FM，
∴ AE=AM，CE=CM，
∴ △ECM是等边三角形，
∴ EC=EM，
∴ ∠AEM=∠AMB=75∘，∠FAE=∠FAM=15∘，
∴ ∠BAM=∠BAD+∠DAM=75∘，
∴ ∠BAM=∠BMA，
∴ BA=BM，
∴ AB=BE+EM=BE+EC，
∴ AB−BE=EC．
【答案】
（1）解：∵ △BDE是等边三角形，
∴ ∠EDB=60∘，
∵ ∠ACB=90∘，∠ABC=30∘，
∴ ∠BAC=180∘−90∘−30∘=60∘，
∴ FAC=180∘−60∘−60∘=60∘，
∴ ∠F=180∘−90∘−60∘=30∘，
∵ ∠ACB=90∘，
∴ ∠ACF=180∘−90∘，
∴ AF=2AC=2×1=2；
（2）证明：∵ △BDE是等边三角形，
∴ BE=BD，∠EDB=∠EBD=60∘，
在△BCD中，∠ADE+∠EDB=∠CBD+∠C，
即∠ADE+60∘=∠CBD+90∘，
∴ ∠ADE=30∘+∠CBD，
∵ ∠HBE+∠ABD=60∘，∠CBD+∠ABD=30∘，
∴ ∠HBE=30∘+∠CBD，
∴ ∠ADE=∠HBE，
在△ADE与△HBE中，
BH=AD∠ADE=∠HBEBE=BD，
∴ △ADE≅△HBE(SAS)，
∴ AE=HE，∠AED=∠HEB，
∴ ∠AED+∠DEH=∠DEH+∠HEB，
即∠AEH=∠BED=60∘，
∴ △AEH为等边三角形．
【考点】
含30度角的直角三角形
全等三角形的性质
等边三角形的判定方法
【解析】
（1）根据三角形内角和定理求出∠BAC=60∘，再根据平角等于180∘求出∠FAC=60∘，然后求出∠F=30∘，根据30∘角所对的直角边等于斜边的一半求解即可；
（2）根据三角形的任意一个外角等于与它不相邻的两个内角的和利用∠CBD表示出∠ADE=30∘+∠CBD，又∠HBE=30∘+∠CBD，从而得到∠ADE=∠HBE，然后根据边角边证明△ADE与△HBE全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=HE，对应角相等可得∠AED=∠HEB，然后推出∠AEH=∠BED=60∘，再根据等边三角形的判定即可证明．
【解答】
（1）解：∵ △BDE是等边三角形，
∴ ∠EDB=60∘，
∵ ∠ACB=90∘，∠ABC=30∘，
∴ ∠BAC=180∘−90∘−30∘=60∘，
∴ FAC=180∘−60∘−60∘=60∘，
∴ ∠F=180∘−90∘−60∘=30∘，
∵ ∠ACB=90∘，
∴ ∠ACF=180∘−90∘，
∴ AF=2AC=2×1=2；
（2）证明：∵ △BDE是等边三角形，
∴ BE=BD，∠EDB=∠EBD=60∘，
在△BCD中，∠ADE+∠EDB=∠CBD+∠C，
即∠ADE+60∘=∠CBD+90∘，
∴ ∠ADE=30∘+∠CBD，
∵ ∠HBE+∠ABD=60∘，∠CBD+∠ABD=30∘，
∴ ∠HBE=30∘+∠CBD，
∴ ∠ADE=∠HBE，
在△ADE与△HBE中，
BH=AD∠ADE=∠HBEBE=BD，
∴ △ADE≅△HBE(SAS)，
∴ AE=HE，∠AED=∠HEB，
∴ ∠AED+∠DEH=∠DEH+∠HEB，
即∠AEH=∠BED=60∘，
∴ △AEH为等边三角形．
【答案】
解：（1）∵ a+1+b−3+(2−d)2=0，
∴ a=−1，b=3，d=2，
∴ A(0, 3)，B(−1, 0)，D(2, 0)；
（2）∵ A(0, 3)，B(−1, 0)，D(2, 0)，
∴ OB=1，OD=2，OA=3，
∴ AO=BD，
在△ABO和△BED中，
∠ABO=∠BED∠AOB=∠BDE=90∘AO=BD，
∴ △ABO≅△BED(AAS)，
∴ DE=BO=1，
∴ E(2, 1)，
设直线AE解析式为y=kx+b，如图1，
把A、E坐标代入可得3=b1=2k+b，解得k=−1b=3，
∴ 直线AE的解析式为y=−x+3，
令y=0，可解得x=3，
∴ F(3, 0)；
（3）过E作EG⊥OA，EH⊥PQ，垂足分别为G、H，在GA上截取GI=QH，如图2，
∵ E(2, 1)，P(−1, 0)，
∴ GE=GP=GE=PH=2，
∴ 四边形GEHP为正方形，
∴ ∠IGE=∠EHQ=90∘，
在Rt△IGE和Rt△QHE中，
GE=HEIG=QH，
∴ △IGE≅△QHE(HL)，
∴ IE=EQ，∠1=∠2，
∵ ∠QEM=45∘，
∴ ∠2+∠3=45∘，
∴ ∠1+∠3=45∘，
∴ ∠IEM=∠QEM，
在△EIM和△EQM中，
IE=QE∠IEM=∠QEMME=ME，
∴ △EIM=EQM(SAS)，
∴ IM=MQ，
∴ AM−MQ=AM−IM=AI，
由（2）可知OA=OF=3，∠AOF=90∘，
∴ ∠A=∠AEG=45∘，
∴ PH=GE=GA=IG+AI，
∴ AI=GA−IG=PH−QH=PQ，
∴ AM−MQPQ=AIPQ=1．
【考点】
一次函数的综合题
【解析】
（1）由非负数的性质可求得a、b、d的值，可求得A、B、D的坐标；
（2）由条件可证明△ABO≅△BED，可求得DE和BD的长，可求得E点坐标，再求得直线AE的解析式，可求得F点坐标；
（3）过E作EG⊥OA于点G，EH⊥PQ于点Q，可证明四边形GEHP为正方形，在GA上截GI=QH，可证明△IGE≅△QHE，可证得∠IEM=∠MEQ=45∘，可证明△EIM≅△EQM，可得到IM=MQ，再结合条件可求得PH=AI=PQ，可求得答案．
【解答】
解：（1）∵ a+1+b−3+(2−d)2=0，
∴ a=−1，b=3，d=2，
∴ A(0, 3)，B(−1, 0)，D(2, 0)；
（2）∵ A(0, 3)，B(−1, 0)，D(2, 0)，
∴ OB=1，OD=2，OA=3，
∴ AO=BD，
在△ABO和△BED中，
∠ABO=∠BED∠AOB=∠BDE=90∘AO=BD，
∴ △ABO≅△BED(AAS)，
∴ DE=BO=1，
∴ E(2, 1)，
设直线AE解析式为y=kx+b，如图1，
把A、E坐标代入可得3=b1=2k+b，解得k=−1b=3，
∴ 直线AE的解析式为y=−x+3，
令y=0，可解得x=3，
∴ F(3, 0)；
（3）过E作EG⊥OA，EH⊥PQ，垂足分别为G、H，在GA上截取GI=QH，如图2，
∵ E(2, 1)，P(−1, 0)，
∴ GE=GP=GE=PH=2，
∴ 四边形GEHP为正方形，
∴ ∠IGE=∠EHQ=90∘，
在Rt△IGE和Rt△QHE中，
GE=HEIG=QH，
∴ △IGE≅△QHE(HL)，
∴ IE=EQ，∠1=∠2，
∵ ∠QEM=45∘，
∴ ∠2+∠3=45∘，
∴ ∠1+∠3=45∘，
∴ ∠IEM=∠QEM，
在△EIM和△EQM中，
IE=QE∠IEM=∠QEMME=ME，
∴ △EIM=EQM(SAS)，
∴ IM=MQ，
∴ AM−MQ=AM−IM=AI，
由（2）可知OA=OF=3，∠AOF=90∘，
∴ ∠A=∠AEG=45∘，
∴ PH=GE=GA=IG+AI，
∴ AI=GA−IG=PH−QH=PQ，
∴ AM−MQPQ=AIPQ=1．