初中数学人教版九年级下册28.1 锐角三角函数第1课时综合训练题

初中数学·人教版·九年级下册——第二十八章　锐角三角函数

28.1　锐角三角函数

第1课时　正弦

测试时间:15分钟

一、选择题

1.(2020广西河池中考)在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=5,AC=12,则sin B的值是 (　　)

A.　　　B.　　　C.　　　D.

2.(2021广东佛山禅城期末)在Rt△ABC中,∠C=90°,若△ABC的三边都缩小为原来的,则sin A的值              (　　)

A.放大为原来的5倍　　　B.缩小为原来的　　　C.不变　　　D.无法确定

3.如图所示,△ABC的顶点是正方形网格的格点,则sin B的值为 (　　)

A.　　　B.　　　C.　　　D.1

4.如图,在Rt△ABC中,D是AB的中点,BC=5,AC=12,则sin∠DCA的值为 (　　)

A.　　　B.　　　C. 　　　D.

5.(2020山东滨州博兴模拟)如图,△ABC中,CD⊥AB,BE⊥AC,=,则sin A的值为 (　　)

A.　　　B.　　　C.　　　D.

二、填空题

6.如图,将一张矩形纸片ABCD沿CE折叠,B点恰好落在AD边上,设此点为F,若AB∶BC=4∶5,则sin∠CFD=　　　　. 

7.(2021江苏南通海门模拟)如图所示,方格纸中每个小正方形的边长为1,其中有三个格点A、B、C,则sin∠ABC=　　　　. 

8.已知△ABC的三边长a、b、c满足等式(2b)2=4(c+a)(c-a),且有5a-3c=0,则sin A+sin B的值为　　　　. 

三、解答题

9.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,求sin A和sin B的值.

10.在△ABC中,∠B、∠C 均为锐角,其对边分别为b、c,求证:=.

答案全解全析

一、选择题

1.答案　D　如图,∵∠C=90°,BC=5,AC=12,∴AB==13,∴sin B==.故选D.

2.答案　C　∵∠C=90°,∴sin A=,

∵△ABC的三边都缩小为原来的,∴∠A的对边与斜边的比不变,

∴sin A的值不变.故选C.

3.答案　B　过点A作AD⊥BC,交BC的延长线于点D,则∠ADB=90°,设每个小正方形的边长均为1,则AD=3,BD=3,由勾股定理得AB==3,所以sin B==.故选B.

4.答案　B　过点D作DE⊥AC于点E,在Rt△ABC中,AB==13.∵点D是AB的中点,∴CD=AB=,∵DE⊥AC,∠ACB=90°,∴∠DEA=∠BCA=90°,∴DE∥BC,∴DE=BC=,∴sin∠DCA==.故选B.

5.答案　B　∵CD⊥AB,BE⊥AC,∴∠AEB=∠ADC,又∠A=∠A,∴△ABE∽△ACD,∴=,∴=,又∵∠A=∠A,∴△AED∽△ABC,∴==,设AD=2a,则AC=5a,根据勾股定理得到CD=a,因而sin A==.故选B.

二、填空题

6.答案　

解析　由折叠可知,CB=CF.在矩形ABCD中,∵AB=CD,AB∶BC=4∶5,∴sin∠CFD===.

7.答案　

解析　如图所示,过点A作AD⊥BC于点D,连接AC.∵S△ABC=4×5-×2×5-×2×4-×1×4=9,∴S△ABC=BC·AD=9,由勾股定理得BC==2,AB==,∴×2AD=9,解得AD=,故sin∠ABC==.

8.答案　

解析　∵a、b、c满足等式(2b)2=4(c+a)(c-a),∴b2=c2-a2,即b2+a2=c2,∴△ABC是以c为斜边长的直角三角形,∵5a-3c=0,∴=,∴设a=3k,则c=5k,∴b==4k,∴sin A==,sin B==,

∴sin A+sin B=+=.

三、解答题

9.解析　(1)∵AC=5,BC=3,∠C=90°,

∴AB=,

∴sin A===,

sin B===.

(2)∵AC=1,BA=,∠C=90°,

∴BC=2,

∴sin A===,sin B===.

10.证明　如图,过A作AD⊥BC于D,

在Rt△ABD中,sin B=,

∴AD=AB·sin B.

在Rt△ADC中,sin C=,

∴AD=AC·sin C,

∴AB·sin B=AC·sin C.

∵AB=c,AC=b,

∴c·sin B=b·sin C,

∴= .