2015-2016学年湖北省武汉市新洲区八年级（上）期末数学试卷

这是一份2015-2016学年湖北省武汉市新洲区八年级（上）期末数学试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2015-2016学年湖北省武汉市新洲区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列手机屏幕解锁图案中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）若分式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＞1 B．x＝1 C．x＜1 D．x≠1
3．（3分）适合下列条件的三角形中是直角三角形的是（　　）
A．∠A＝∠B＝∠C B．∠A：∠B：∠C＝1：2：3
C．∠B＝∠C＝30° D．2∠A＝∠B
4．（3分）已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1：4，则这个等腰三角形顶角的度数为（　　）
A．20°或100° B．120° C．20°或120° D．36°
5．（3分）计算10ab3÷（﹣5ab）的结果为（　　）
A．﹣2 B．﹣2b2 C．﹣2ab2 D．2b2
6．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．m•m2•m3＝m5 B．m2+m2＝m4
C．（m4）2＝m6 D．（﹣2m）2÷2m3＝
7．（3分）如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，AB⊥AD，AD＝3cm，则BC的长为（　　）

A．5cm B．9cm C．6cm D．12cm
8．（3分）下列分解因式中，完全正确的是（　　）
A．x3﹣x＝x（x2﹣1） B．4a2﹣4a+1＝4a（a﹣1）+1
C．x2+y2＝（x+y）2 D．6a﹣9﹣a2＝﹣（a﹣3）2
9．（3分）如图，∠AOB＝30°，点P是∠AOB内的一个定点，OP＝50cm，点C、D分别是OA、OB上的动点，连接CP、DP、CD，则△CPD周长的最小值是（　　）

A．30cm B．40cm C．50cm D．60cm
10．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠CFE等于（　　）

A．55° B．60° C．65° D．70°
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）分解因式：x3y﹣6x2y2+9xy3＝　 　．
12．（3分）若2m＝3，23n＝64，则2m+2n＝　 　．
13．（3分）若一个多边形的每一个内角都等于156°，则这个多边形是　 　边形．
14．（3分）对于非零的两个实数a、b，规定a⊕b＝﹣，若3⊕（2x﹣1）＝1，则x的值是　 　．
15．（3分）把一副三角板如图放置，E是AB的中点，连接CE、DE、CD，F是CD的中点，连接EF．若AB＝8，则S△CEF＝　 　．

16．（3分）如图，四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠ABC＝55°，并且∠BAD+∠CAD＝180°，那么∠ADC的度数为　 　．

三、解答题（共8小题，共72分）
17．（8分）解方程：﹣＝．
18．（8分）计算：
（1）（3xy2）2•x3y
（2）5a2b2c÷（﹣4ab2）
19．（8分）化简：﹣，并解答：
（1）当x＝2时，求原式的值；
（2）原式的值能等于﹣1吗？为什么？
20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线l是第二、四象限的角平分线．
（1）在图中分别标明A（0，2），B（﹣4，2），C（﹣2，﹣4）关于直线l的对称点A′、B′、C′的位置，并写出它们的坐标：A′　 　、B′　 　、C′　 　；
（2）结合图形观察点坐标，你会发现：平面直角坐标系内任意一点P（x，y）关于第二、四象限的角平分线l的对称点P′的坐标为：　 　；
（3）已知点D（5，﹣1），E（4，﹣2），试在x轴上找一点M，在直线l上找一点N，使得四边形EDMN周长最小．请画出图形，并标出点M、点N．

21．（8分）如图，在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，BD交AC于点N，CE与BD相交于点M．试猜想BD与CE有何关系？并证明你的猜想．

22．（10分）某超市决定购进甲、乙两种取暖器，已知甲种取暖器每台进价比乙种取暖器多500元，用40000元购进甲种取暖器的数量与用30000元购进乙种取暖器的数量相同．请解答下列问题：
（1）求甲、乙两种取暖器每台的进价；
（2）若甲种取暖器每台售价2500元，乙种取暖器每台售价1800元，超市欲同时购进两种取暖器20台，且全部售出．设购进甲种取暖器x（台），所获利润为y（元），试用关于x的式子表示y；
（3）在（2）的条件下，若超市计划用不超过36000元购进取暖器，且甲种取暖器至少购进10台，并将所获得的最大利润全部用于为某敬老院购买1100元/台的A型按摩器和700元/台的B型按摩器．求购买按摩器的方案．
23．（10分）如图1，已知点D在线段AB上，在等腰Rt△ABC和Rt△ADE中，AD＝DE，AB＝BC，M为EC的中点．

（1）连接DM并延长交BC于点N，求证：CN＝AD；
（2）如图2，将△ADE绕点A逆时针旋转，使点E在线段CA的延长线上，试判断BM与DM之间的关系，并证明．
24．（12分）在平面直角坐标系中，已知点A在y轴的正半轴上，点B在第二象限，AO＝a，AB＝b，BO与x轴正方向的夹角为150°，且a2﹣b2+a﹣b＝0．

（1）试判定△ABO的形状；
（2）如图1，若BC⊥BO，BC＝BO，点D为CO的中点，AC、BD交于E，求证：AE＝BE+CE；
（3）如图2，若点E为y轴的正半轴上一动点，以BE为边作等边△BEG，延长GA交x轴于点P，问：AP与AO之间有何数量关系？试证明你的结论．

2015-2016学年湖北省武汉市新洲区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列手机屏幕解锁图案中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（3分）若分式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＞1 B．x＝1 C．x＜1 D．x≠1
【分析】根据分式有意义，分母不等于0列不等式求解即可．
【解答】解：由题意得，x﹣1≠0，
解得x≠1．
故选：D．
【点评】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：
（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．
3．（3分）适合下列条件的三角形中是直角三角形的是（　　）
A．∠A＝∠B＝∠C B．∠A：∠B：∠C＝1：2：3
C．∠B＝∠C＝30° D．2∠A＝∠B
【分析】根据等边三角形的判定方法对A进行判断；设∠A＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，利用∠A+∠B+∠C＝180°得到x+2x+3x＝180°，然后解出x得到∠C＝90°，则可对B进行判断；根据∠A+∠B+∠C＝180°，∠B＝∠C＝30°得到∠A＝120°，则可对C进行判断；由于∠A+∠B+∠C＝180°，2∠A＝∠B不能确定三角形内角的度数，所以可对D进行判断．
【解答】解：A、由∠A＝∠B＝∠C，则三角形为等边三角形，所以A选项错误；
B、设∠A＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，由∠A+∠B+∠C＝180°得到x+2x+3x＝180°，解得x＝30°，则∠C＝90°，所以B选项正确；
C、由∠A+∠B+∠C＝180°，∠B＝∠C＝30°得到∠A＝120°，三角形为钝角三角形，所以C选项错误；
D、由∠A+∠B+∠C＝180°，2∠A＝∠B不能确定三角形内角的度数，所以D选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和为180°．
4．（3分）已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1：4，则这个等腰三角形顶角的度数为（　　）
A．20°或100° B．120° C．20°或120° D．36°
【分析】本题难度中等，考查等腰三角形的性质．因为所成比例的内角，可能是顶角，也可能是底角，因此要分类求解．
【解答】解：设两内角的度数为x、4x；
当等腰三角形的顶角为x时，x+4x+4x＝180°，x＝20°；
当等腰三角形的顶角为4x时，4x+x+x＝180°，x＝30，4x＝120；
因此等腰三角形的顶角度数为20°或120°．
故选：C．
【点评】此题是一个两解问题，考生往往只选A或B，而忽视了20°或120°都有做顶角的可能．
5．（3分）计算10ab3÷（﹣5ab）的结果为（　　）
A．﹣2 B．﹣2b2 C．﹣2ab2 D．2b2
【分析】根据单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式进行计算即可．
【解答】解：10ab3÷（﹣5ab）＝﹣2b2，
故选：B．
【点评】此题主要考查了整式的除法，关键是掌握除法法则．
6．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．m•m2•m3＝m5 B．m2+m2＝m4
C．（m4）2＝m6 D．（﹣2m）2÷2m3＝
【分析】分别根据同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方和合并同类项法则求出即可．
【解答】解：A、m•m2•m3＝m6，故此选项错误；
B、m2+m2＝2m2，故此选项错误；
C、（m4）2＝m8，故此选项错误；
D、（﹣2m）2÷2m3＝，此选项正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方和合并同类项法则等知识，熟练应用运算法则是解题关键．
7．（3分）如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，AB⊥AD，AD＝3cm，则BC的长为（　　）

A．5cm B．9cm C．6cm D．12cm
【分析】根据等腰三角形的性质求出∠C和∠BAC，根据直角三角形的性质求出BD，根据等腰三角形的性质求出CD，计算即可．
【解答】解：∵AB＝AC，∠B＝30°，
∴∠C＝∠B＝30°，∠BAC＝120°，
∵∠B＝30°，AB⊥AD，
∴BD＝2AD＝6，∠DAC＝30°，
∴DC＝DA＝3，
∴BC＝BD+CD＝9（cm），
故选：B．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质和等腰三角形的性质，掌握直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
8．（3分）下列分解因式中，完全正确的是（　　）
A．x3﹣x＝x（x2﹣1） B．4a2﹣4a+1＝4a（a﹣1）+1
C．x2+y2＝（x+y）2 D．6a﹣9﹣a2＝﹣（a﹣3）2
【分析】根据分解因式的定义，以及完全平方公式即可作出判断．
【解答】解：A、x3﹣x＝x（x2﹣1）＝x（x+1）（x﹣1），故选项错误；
B、结果不是乘积的形式，故选项错误；
C、x2+y2≠（x+y）2，故选项错误；
D、6a﹣9﹣a2＝﹣（a2﹣6a+9）＝﹣（a﹣3）2，故选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了分解因式的定义，以及利用公式法分解因式，正确理解定义是关键．
9．（3分）如图，∠AOB＝30°，点P是∠AOB内的一个定点，OP＝50cm，点C、D分别是OA、OB上的动点，连接CP、DP、CD，则△CPD周长的最小值是（　　）

A．30cm B．40cm C．50cm D．60cm
【分析】作点P关于OA、OB的对称点P′、P″，连接P′P″分别与OA、OB相交，根据轴对称确定最短路线问题，交点即为所求点C、D，△CPD周长的最小值等于P′P″，根据轴对称的性质可得∠POA＝∠P′OA，∠POB＝∠P″OB，OP′＝OP″＝OP，然后求出∠P′OP″＝60°，从而判断出△OP′P″是等边三角形，根据等边三角形的性质可得PP′＝OP′．
【解答】解：如图，作点P关于OA、OB的对称点P′、P″，连接P′P″，

由轴对称确定最短路线问题，P′P″分别与OA、OB的交点即为C、D，
△CPD周长的最小值＝P′P″，
由轴对称的性质，∠POA＝∠P′OA，∠POB＝∠P″OB，OP′＝OP″＝OP＝20cm，
所以，∠P′OP″＝2∠AOB＝2×30°＝60°，
所以，△OP′P″是等边三角形，
∴PP′＝OP′＝OP＝50cm．
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称确定最短路线问题，轴对称的性质，等边三角形的判定与性质，熟记性质以及周长最小时点C、D的确定方法是解题的关键，作出图形更形象直观．
10．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠CFE等于（　　）

A．55° B．60° C．65° D．70°
【分析】连接OB、OC，根据角平分线的定义求出∠BAO，根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OA＝OB，根据等边对等角可得∠ABO＝∠BAO，再求出∠OBC，然后判断出点O是△ABC的外心，根据三角形外心的性质可得OA＝OC，再根据等边对等角求出∠OCA＝∠OAC，根据翻折的性质可得OF＝CF，然后根据等边对等角求出∠COF，再利用三角形的内角和定理和翻折的性质列式计算即可得解．
【解答】解：如图，连接OB、OC，
∵∠BAC＝40°，AO为∠BAC的平分线，
∴∠BAO＝∠CAO＝∠BAC＝×40°＝20°，
又∵AB＝AC，
∴∠ABC＝（180°﹣∠BAC）＝（180°﹣40°）＝70°，
∵DO是AB的垂直平分线，
∴OA＝OB，
∴∠ABO＝∠BAO＝20°，
∴∠OBC＝∠ABC﹣∠ABO＝70°﹣20°＝50°，
∵AO为∠BAC的平分线，AB＝AC，
∴△AOB≌△AOC（SAS），
∴OB＝OC，
∴点O在BC的垂直平分线上，
又∵DO是AB的垂直平分线，
∴点O是△ABC的外心，
∴OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC＝20°，
根据翻折的性质可得OF＝CF，
∴∠COF＝∠OCF＝20°，
∴∠OFC＝140°，
∴∠CFE＝70°．
故选：D．

【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，以及翻折变换的性质，综合性较强，难度较大，作辅助线，构造出等腰三角形是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）分解因式：x3y﹣6x2y2+9xy3＝　xy（x﹣3y）2　．
【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝xy（x2﹣6xy+9y2）＝xy（x﹣3y）2，
故答案为：xy（x﹣3y）2
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12．（3分）若2m＝3，23n＝64，则2m+2n＝　48　．
【分析】首先根据23n＝64，求出2n的值是多少；然后根据积的乘方的运算方法，求出2m+2n的值是多少即可．
【解答】解：∵23n＝64，
∴2n＝4，
∴2m+2n＝2m•22n＝3×16＝48．
故答案为：48．
【点评】此题主要考查了幂的乘方和积的乘方，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①（am）n＝amn（m，n是正整数）；②（ab）n＝anbn（n是正整数）．
13．（3分）若一个多边形的每一个内角都等于156°，则这个多边形是　十五　边形．
【分析】先求出多边形一个外角的度数，然后根据多边形的外角和为360°，求出边数即可．
【解答】解：∵多边形的每一个内角都等于156°，
∴多边形的每一个外角都等于180°﹣156°＝24°，
∴边数n＝360°÷24°＝15．
故答案为：十五．
【点评】题主要考查了多边形的内角与外角的关系，解题的关键根据外角和定理求出多边形的边数．
14．（3分）对于非零的两个实数a、b，规定a⊕b＝﹣，若3⊕（2x﹣1）＝1，则x的值是　　．
【分析】直接找出公分母进而去分母解方程即可．
【解答】解：由题意可得：
﹣＝1，
去分母得：3﹣2x+1＝6x﹣3，
解得：x＝，
检验：当x＝时，3（2x﹣1）≠0，故x＝是原方程的解．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了分式方程的解法，正确掌握解题方法是解题关键．
15．（3分）把一副三角板如图放置，E是AB的中点，连接CE、DE、CD，F是CD的中点，连接EF．若AB＝8，则S△CEF＝　2　．

【分析】易证△CDE是等腰三角形，∠DEC＝150°，作DG⊥CE于点G，在在直角△DEG中可以求得DG的长，则△CDE的面积即可求解，然后根据S△CEF＝S△CDE即可求解．
【解答】解：作DG⊥CE于点G．
∵AB＝8
∴CE＝BC＝AB＝4，DE＝AB＝4，
∵∠CED＝∠DEB+∠CEB＝90°+60°＝150°，
∴∠DEG＝180°﹣150°＝30°．
在直角△DEG中，DG＝DE＝×4＝2．
∴S△CDE＝CE•DG＝×4×2＝4，
∵F是CD中点．∴S△CEF＝S△CDE＝×4＝2．
故答案是：2

【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，正确作出辅助线，求得△CDE的面积是关键．
16．（3分）如图，四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠ABC＝55°，并且∠BAD+∠CAD＝180°，那么∠ADC的度数为　62.5°　．

【分析】延长BA和BC，作辅助线，构建角平分线的垂线，根据角平分线的性质得：DE＝DF，再证明AD平分∠EAC，同理得：DG＝DE，则DG＝DF，根据角平分线的逆定理可知：CD平分∠ACF，根据三角形的内角和定理，如果两个三角形中有两个角对应相等，则第三个角也相等，得∠ADG+∠GDC＝∠EDF，利用四边形的内角和为360°，求∠EDF的度数可得结论．
【解答】解：延长BA和BC，过D点作DE⊥BA于E点，作DF⊥BC于F点，作DG⊥AC于G点，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴DE＝DF，
又∵∠BAD+∠CAD＝180°，
∠BAD+∠EAD＝180°，
∴∠CAD＝∠EAD，
∴AD为∠EAC的平分线，
∴DE＝DG，
∴DG＝DF．
∴CD平分∠ACF，
∵∠DGC＝∠DFC＝90°，
∴∠GDC＝∠CDF，
同理得：∠EDA＝∠ADG，
∴∠ADG+∠GDC＝∠EDF，
∵∠ABC＝55°，∠BED＝∠BFD＝90°，
∴∠EDF＝360°﹣90°﹣90°﹣55°＝125°，
∴∠ADC＝∠ADG+∠GDC＝∠EDF＝＝62.5°；
故答案为：62.5．

【点评】本题考查的是三角形内角和定理和角平分线的性质定理及逆定理，熟知角平分线的定理是关键，可以不用证明三角形全等，就可以证明两条线段相等．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．（8分）解方程：﹣＝．
【分析】根据等式的性质，可得整式方程，根据解整式方程，可得答案．
【解答】解：两边都乘以（x+1）（x﹣1），得
2（x+1）﹣3（x﹣1）＝4．
解得x＝1
检验：x＝1，（x+1）（x﹣1）＝0，
x＝1不是原分式方程的根，
原方程无解．
【点评】本题考查了解分式方程，根据等式的性质得出整式方程是解题关键，注意要检验方程的根．
18．（8分）计算：
（1）（3xy2）2•x3y
（2）5a2b2c÷（﹣4ab2）
【分析】（1）先算乘方，再算乘法即可；
（2）根据单项式除以单项式法则求出即可．
【解答】解：（1）（3xy2）2•x3y
＝9x2y4•x3y
＝x5y5；

（2）5a2b2c÷（﹣4ab2）
＝﹣ac．
【点评】本题考查了整式的混合运算，能熟练地运用整式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
19．（8分）化简：﹣，并解答：
（1）当x＝2时，求原式的值；
（2）原式的值能等于﹣1吗？为什么？
【分析】（1）先化简原式，然后将x＝2代入原式即可求出答案．
（2）列出方程求出x的值即可．
【解答】解：（1）原式＝﹣×
＝﹣1
＝，
当x＝2时，原式＝2；
（2）若原式的值等于﹣1，即＝﹣1，解得：x＝﹣1
代入原式检验，分母为0，不合题意，
则原式的值不可能等于﹣1．
【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线l是第二、四象限的角平分线．
（1）在图中分别标明A（0，2），B（﹣4，2），C（﹣2，﹣4）关于直线l的对称点A′、B′、C′的位置，并写出它们的坐标：A′　（﹣2，0）　、B′　（﹣2，4）　、C′　（4，2）　；
（2）结合图形观察点坐标，你会发现：平面直角坐标系内任意一点P（x，y）关于第二、四象限的角平分线l的对称点P′的坐标为：　（﹣y，﹣x）　；
（3）已知点D（5，﹣1），E（4，﹣2），试在x轴上找一点M，在直线l上找一点N，使得四边形EDMN周长最小．请画出图形，并标出点M、点N．

【分析】（1）找出点A′、B′、C′的位置，并写出它们的坐标即可；
（2）根据（1）中的规律即可得出结论；
（3）作点D关于x轴的对称点D′，作点E关于直线l的对称点E′，连接D′E′交x轴于点M，交直线l于点N，则点M，N即为所求点．
【解答】解：（1）如图所示，
故答案为：（﹣2，0），（﹣2，4），（4，2）；

（2）由（1）可知，平面直角坐标系内任意一点P（x，y）关于第二、四象限的角平分线l的对称点P′的坐标为（﹣y，﹣x）．
故答案为：（﹣y，﹣x）；

（3）如图所示，四边形EDMN即为所求．

【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知“两点之间，线段最短”是解答此题的关键．
21．（8分）如图，在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，BD交AC于点N，CE与BD相交于点M．试猜想BD与CE有何关系？并证明你的猜想．

【分析】根据等腰直角三角形推出∠BAD＝∠CAE，根据SAS推出△BAD≌△CAE，得出BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，推出∠ACE+∠CBM+∠ACB＝90°，根据三角形的内角和定理求出∠BMC＝90°即可．
【解答】解：BD和CE的关系是BD＝CE，且BD⊥CE．
理由：∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形
∴∠BAC＝∠DAE＝90°
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD
即∠BAD＝∠CAE
在△BAD与△CAE中
，
∴△BAD≌△CAE（SAS）
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE
又∠ANB＝∠MNC
∴∠BMC＝∠BAC＝90°
∴BD⊥CE
即BD＝CE，BD⊥CE．
【点评】本题考查了等腰直角三角形，三角形的内角和定理，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，解此题的关键是求出△BAD≌△CAE和推出∠BMC＝90°，题型较好，难度适中．
22．（10分）某超市决定购进甲、乙两种取暖器，已知甲种取暖器每台进价比乙种取暖器多500元，用40000元购进甲种取暖器的数量与用30000元购进乙种取暖器的数量相同．请解答下列问题：
（1）求甲、乙两种取暖器每台的进价；
（2）若甲种取暖器每台售价2500元，乙种取暖器每台售价1800元，超市欲同时购进两种取暖器20台，且全部售出．设购进甲种取暖器x（台），所获利润为y（元），试用关于x的式子表示y；
（3）在（2）的条件下，若超市计划用不超过36000元购进取暖器，且甲种取暖器至少购进10台，并将所获得的最大利润全部用于为某敬老院购买1100元/台的A型按摩器和700元/台的B型按摩器．求购买按摩器的方案．
【分析】（1）根据题意可以列出相应的方程，从而可以分别求得甲、乙两种空调每台的进价，注意分式方程要检验；
（2）根据题意和（1）中的答案可以得到所获利润y（元）与甲种空调x（台）之间的函数关系式，
（3）根据商场计划用不超过36000元购进空调共20台，可以求得x的取值范围，从而可以求得所能获得的最大利润．
【解答】解：（1）设乙种取暖器每台进价为x元，则甲种取暖器每台进价为（x+500）元．
根据题意得：＝，
解得：x＝1500
经检验x＝1500是分式方程的解，且x+500＝2000
即甲、乙两种取暖器每台进价分别为2000元、1500元；
（2）根据题意得：y＝（2500﹣2000）x+（1800﹣1500）（20﹣x）＝200x+6000；

（3）设购买甲种取暖器n台，则购买乙种取暖器（20﹣n）台．
根据题意得：2000n+1500（20﹣n）≤36000，且n≥10（n为正整数）
解得：10≤n≤12
当n＝12时，最大利润为8400元
设购买A型按摩器a台，购买B型按摩器b台，则1100a+700b＝8400，
故有两种购买方案：①A型0台，B型12台；②A型7台，B型1台．
【点评】本题考查二次函数的应用、分式方程的应用，解答此类问题的关键是明确题意，列出相应的方程，注意分式方程要检验，最后要作答．
23．（10分）如图1，已知点D在线段AB上，在等腰Rt△ABC和Rt△ADE中，AD＝DE，AB＝BC，M为EC的中点．

（1）连接DM并延长交BC于点N，求证：CN＝AD；
（2）如图2，将△ADE绕点A逆时针旋转，使点E在线段CA的延长线上，试判断BM与DM之间的关系，并证明．
【分析】（1）由∠ABC＝∠ADE＝90°可得DE∥BC，再根据平行线的性质，推出∠DEM＝∠MCB，根据ASA推出△EMD≌△CMN，证出CN＝ED，因为AD＝DE，即可得到CN＝AD；
（2）作CN∥DE交DM的延长线于N，连接BN，根据平行线的性质求出∠E＝∠NCM，根据ASA证△DBA≌△NBC，推出△DBN是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可推出△BMD为等腰直角三角形．
【解答】解：（1）如图1，
∵△ABC和△ADE为等腰直角三角形，
∴∠EDA＝∠ABC＝90°，
∴DE∥BC，
∴∠DEM＝∠MCN，

在△EMD和△CMN中
∵
∴△EMD≌△CMN（ASA）
∴CN＝DE
又AD＝DE，
∴CN＝AD；

（2）BM⊥DM，且BM＝DM．理由如下：
如图2，作CN∥DE交DM的延长线于N，连接BN．
∴∠E＝∠MCN＝45°
在△EMD和△CMN中，

∴△EMD≌△CMN（ASA）

∴CN＝DE＝DA，MN＝MD
又∵∠DAB＝180°﹣∠DAE﹣∠BAC＝90°
∠BCN＝∠BCM+∠NCM＝45°+45°＝90°
∴∠DAB＝∠BCN
在△DBA和△NBC中
，
∴△DBA≌△NBC（SAS）
∴∠DBA＝∠NBC，DB＝BN
∴∠DBN＝∠ABC＝90°
∴△DBN是等腰直角三角形，且BM是底边DN的中线，
∴BM⊥DM，且BM＝DM．
【点评】本题综合考查了等腰直角三角形、等腰三角形的性质和判定、平行线的性质和判定、全等三角形的性质和判定；此题综合性比较强，培养了学生分析问题和解决问题的能力，类比思想的运用．
24．（12分）在平面直角坐标系中，已知点A在y轴的正半轴上，点B在第二象限，AO＝a，AB＝b，BO与x轴正方向的夹角为150°，且a2﹣b2+a﹣b＝0．

（1）试判定△ABO的形状；
（2）如图1，若BC⊥BO，BC＝BO，点D为CO的中点，AC、BD交于E，求证：AE＝BE+CE；
（3）如图2，若点E为y轴的正半轴上一动点，以BE为边作等边△BEG，延长GA交x轴于点P，问：AP与AO之间有何数量关系？试证明你的结论．
【分析】（1）△ABO为等边三角形，理由为：根据（a2﹣b2）+（a﹣b）＝0，得到a＝b，再由BO与x轴正方向的夹角为150°得到∠AOB＝60°，即可得证；
（2）在AC上截取AM＝CE，先证∠AEB＝60°，方法是根据题意得到△ABO为等边三角形，△BOC为等腰直角三角形，确定出∠ABD度数，根据AB＝BC，且∠ABC＝120°，得到∠BAE度数，进而确定出∠AEB为60°，再由AM＝CE，得到AE＝CM，再由AB＝CB，且夹角∠BAC＝∠BCA，利用SAS得到△BCM与△BAE全等，利用全等三角形的对应边相等得到BM＝BE，得到△BEM为等边三角形，得到BE＝EM，由AE＝EM+AM，等量代换即可得证；
（3）AP＝2AO，理由为：由题意得到BG＝BE，AB＝OB，利用等式的性质得到∠ABG＝∠OBE，利用SAS得到△ABG与△OBE全等，利用全等三角形的对应角相等得到∠GAB＝∠BOE＝60°，利用外角的性质得到∠APO＝30°，在Rt△AOP中，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半得到AP＝2AO．
【解答】（1）解：结论：△ABO为等边三角形，
理由：∵a2﹣b2+a﹣b＝（a+b）（a﹣b）+（a﹣b）＝（a﹣b）（a+b+1）＝0
∴a﹣b＝0，得到a＝b，即AO＝AB
∵OB与x轴正半轴夹角为150°
∴∠AOB＝150°﹣90°＝60°
∴△AOB为等边三角形；
（2）证明：在AC上截取AM＝EC，可得AM+EM＝CE+EM，即AE＝CM．
∵△AOB为等边三角形，△BOC为等腰直角三角形
∴∠OBC＝90°，∠ABO＝60°
∵D为CO的中点
∴BD平分∠OBC，即∠CBD＝∠OBD＝45°
∴∠ABD＝105°，∠ABC＝150°
∴∠BAC＝∠BCA＝15°
∴∠AEB＝60°
在△ABE和△CBM中
，
∴△ABE≌△CBM（SAS）
∴BM＝BE
∴△BEM为等边三角形
∴BE＝EM
∴AE＝AM+EM＝CE+BE；

（3）解：结论：AP＝2AO，
理由：∵△AOB与△BGE都为等边三角形
∴BE＝BG，AB＝OB，∠EBG＝∠OBA＝60°
∴∠EBG+∠EBA＝∠OBA+∠EBA
即∠ABG＝∠OBE
在△ABG和△OBE中
，
∴△ABG≌△OBE（SAS）
∴∠BAG＝∠BOE＝60°
∴∠GAO＝∠GAB+∠BAO＝120°
∵∠GAO为△AOP的外角
且∠AOP＝90°
∴∠APO＝30°
在Rt△AOP中，∠APO＝30°
∴AP＝2AO．


【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，外角性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
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日期：2021/12/11 15:50:33；用户：13784622801；邮箱：13784622801；学号：37960971