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新人教版六年级上册数学知识点分类汇总
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这是一份新人教版六年级上册数学知识点分类汇总，共44页。主要包含了分数乘法的解决问题，分数除法，圆的面积等内容，欢迎下载使用。
（一）、分数乘法的计算法则：
1、分数与整数相乘：分子与整数相乘的积做分子，分母不变。（整数和分母约分）
2、分数与分数相乘：用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母。
3、为了计算简便，能约分的要先约分，再计算。
注意：当带分数进行乘法计算时，要先把带分数化成假分数再进行计算。
（二）、规律：（乘法中比较大小时）
一个数（0除外）乘大于1的数， 积大于这个数。
一个数（0除外）乘小于1的数（0除外），积小于这个数。
一个数（0除外）乘1， 积等于这个数。
（三）、分数混合运算的运算顺序和整数的运算顺序相同。
（四）、整数乘法的交换律、结合律和分配律，对于分数乘法也同样适用。
乘法交换律： a × b = b × a
乘法结合律： ( a × b )×c = a × ( b × c )
乘法分配律： （ a + b ）×c = a c + b c a c + b c = （ a + b ）×c
常见乘法计算（敏感数字） ：25×4＝100 125×8＝1000
加法交换律简算例子 加法结合律简算例子 乘法交换律简算例子 乘法结合律简算例子
0.875+ EQ \F(2,3) + EQ \F(1,8) EQ \F(2,3) + EQ \F(1,4) +0.8 0.4×33× EQ \F(5,2) 23×0.375× EQ \F(16,3)
= EQ \F(7,8) + EQ \F(2,3) + EQ \F(1,8) = EQ \F(2,3) + EQ \F(1,4) + EQ \F(4,5) = EQ \F(2,5) ×33× EQ \F(5,2) =23× EQ \F(3,8) × EQ \F(16,3)
= EQ \F(7,8) + EQ \F(1,8) + EQ \F(2,3) = EQ \F(2,3) +( EQ \F(1,4) + EQ \F(4,5) ) = EQ \F(2,5) × EQ \F(2,5) ×33 =23 ×( EQ \F(3,8) × EQ \F(16,3) )
=1+ EQ \F(2,3) = EQ \F(2,3) +1 =1×3 =23×2
含加法交换律与结合律 含乘法交换律与结合律 数字换减法式 数字换加法式
0.875+ EQ \F(2,3) + EQ \F(1,8) + EQ \F(1,3) 0.375× EQ \F(29,7) × EQ \F(16,3) × EQ \F(7,29) 35× EQ \F(5,36) 101× EQ \F(9,10)
= EQ \F(7,8) + EQ \F(2,3) + EQ \F(1,8) + EQ \F(1,3) = EQ \F(3,8) × EQ \F(29,7) × EQ \F(16,3) × EQ \F(7,29) = (36-1) × EQ \F(5,36) = (100+1) × EQ \F(9,10)
= EQ \F(7,8) + EQ \F(1,8) + EQ \F(2,3) + EQ \F(1,3) = EQ \F(3,8) × EQ \F(16,3) × EQ \F(29,7) × EQ \F(7,29) =36× EQ \F(5,36) -1× EQ \F(5,36) =100× EQ \F(9,10) +1× EQ \F(9,10)
= ( EQ \F(7,8) + EQ \F(1,8) )+ ( EQ \F(2,3) + EQ \F(1,3) ) = ( EQ \F(3,8) × EQ \F(16,3) )×( EQ \F(29,7) × EQ \F(7,29) ) =5- EQ \F(5,36) =1+ EQ \F(9,10)
=1+1 =2×1
乘法分配律提取式 乘法分配律提取式 乘法分配律(添项) 乘法分配律(添项)
101×0.9- EQ \F(9,10) ×1 95.5÷1.6-15.5÷1.6 101×0.9- EQ \F(9,10) 52× EQ \F(5,8) +29× EQ \F(5,8) -0.625
=101× EQ \F(9,10) - EQ \F(9,10) ×1 =(95.5-15.5)÷1.6 =101× EQ \F(9,10) - EQ \F(9,10) =52× EQ \F(5,8) +29× EQ \F(5,8) - EQ \F(5,8)
=101× EQ \F(9,10) -1× EQ \F(9,10) =80÷1.6 =101× EQ \F(9,10) -1× EQ \F(9,10) =52× EQ \F(5,8) +29× EQ \F(5,8) -1× EQ \F(5,8)
=(101-1) × EQ \F(9,10) =800÷16 =(101-1) × EQ \F(9,10) =(52+29-1)× EQ \F(5,8)
=100× EQ \F(9,10) =100× EQ \F(9,10) =80× EQ \F(5,8)
减法的性质简算例子 减法的性质简算例子 减法的性质简算例子 数字换乘法式
18- EQ \F(5,8) -0.375 1 EQ \F(3,4) - EQ \F(7,16) -0.75 12 EQ \F(2,5) -( EQ \F(7,16) +0.4) 0.56×125
=18- EQ \F(5,8) - EQ \F(3,8) =1 EQ \F(3,4) - EQ \F(7,16) - EQ \F(3,4) =12 EQ \F(2,5) -( EQ \F(7,16) + EQ \F(2,5) ) =0.7×0.8×125
=18-( EQ \F(5,8) + EQ \F(3,8) ) =1 EQ \F(3,4) - EQ \F(3,4) - EQ \F(7,16) =12 EQ \F(2,5) - EQ \F(2,5) - EQ \F(7,16) =0.7×(0.8×125)
=18-1 =1- EQ \F(7,16) =12- EQ \F(7,16) =0.7×100
除法的性质简算例子 除法的性质简算例子 除法的性质简算例子 数字换乘法式
3200÷2.5÷0.4 2700÷2.5÷2.7 5900÷(2.5×5.9) 33333×33333
=3200÷(2.5×0.4) =2700÷2.7÷2.5 =5900÷5.9÷2.5 =11111×3×33333
=3200÷1 =1000÷2.5 =1000÷2.5 =11111×99999
同级运算中，第一个数不能动，后面的数可以带着符号搬家 =11111×(100000-1)
1 EQ \F(2,3) + EQ \F(7,16) - EQ \F(2,3) 250÷0.8×0.4 1 EQ \F(2,3) - EQ \F(7,16) + EQ \F(1,3) 29×0.25÷0.29
=1 EQ \F(2,3) - EQ \F(2,3) + EQ \F(7,16) =250×0.4÷0.8 =1 EQ \F(2,3) + EQ \F(1,3) - EQ \F(7,16) =29÷0.29×0.25
=1+ EQ \F(7,16) =100÷0.8 =2- EQ \F(7,16) =100×0.25
二、分数乘法的解决问题
（如果单位1是已知的, 要求它的几分之几，就用乘法）
1、找单位“1”： 在分率句中分率的前面； 或 “占”、“是”、“比”的后面
2、求一个数的几倍： 一个数×几倍；
求一个数的几分之几是多少： 一个数×几分之几 。
3、写数量关系式技巧：
（1）“的” 相当于 “×” “占”、“是”、“比”相当于“ = ”
（2）分率前是“的”： 单位“1”的量×分率=分率对应量
（3）分率前是“多或少”的意思： 单位“1”的量×（1 + - 分率）=分率对应量
第二单元 位置与方向
1位置是相对的，要指出一个物体的位置，必须以另一个物体为参照物。以谁为参照物，就以谁为观测点。
2东偏北30。也可说成北偏东60。，但在生活中一般先说与物体所在方向离得较近（夹角较小）的方位。
3确定一个物体的准确位置，只知道方向或距离是不可以的，要同时知道这两个条件才行。
4根据方向和距离确定物体位置的方法：
（1）确定好方向并用量角器测量出被测物体所在的方向（角度）；
（2）用直尺测量出被测物体和观测点之间的图上距离，结合单位长度计算出实际距离；
（3）根据方向（角度）和距离准确判断或描述被测物体的位置。
5要标出物体的位置必须先确定方向，再确定在这一方向上的距离。
6绘制平面图时，要根据实际距离确定好单位长度，即 代表多长距离。
7在平面图上标出物体位置的方法：先确定方向，再以选定的单位长度为基准来确定距离，最后找出物体的具体位置，标上名称。
8描述物体的位置与观测点有关，观测点不同，物体位置的描述就不同。两地的位置具有相对性，方向相反（其夹角度数不变），距离相同。
9两地的位置关系具有相对性，以这；两个不同地点为观测点描述对方所在的方向时，方向正好相反（甲在乙东偏南30°100米，则乙在甲西偏北30°100米）
10描述路线图时，要先按行走路线确定每一个观测点，然后以每一个观测点为参照物，再描述到下一个目标所行走的方向和路程。
11在平面图上确定物体的位置与方向关键要做到三点：
（1）确定好观测点及单位长度；
（2）找准方向；
（3）线段上每一段的长度要与单位长度统一。
12以谁为观测点就以谁为中心画出方向标，然后判断出另一点所在的方向和距离
13绘制路线图的步骤
①画出↑北，确定方向标和单位长度比例尺( )
②确定起点的位置。
③根据描述，从起点出发，找好方向和距离，一段一段地画。画每一段都要以每一段新的起点为观测点
④以谁为观测点，就以谁为中心画出“十字”方向标，然后判断下一点的方向和距离。
⑤标出数据、名称、角度。(绘制的路线图只有一条线，所作的线是首尾相连的)
第三单元分数除法
1、倒数的意义： 乘积是1的两个数互为倒数。
强调：互为倒数，即倒数是两个数的关系，它们互相依存，倒数不能单独存在。
（要说清谁是谁的倒数）。
2、求倒数的方法：
（1）、求分数的倒数：交换分子分母的位置。（2）、求整数的倒数：把整数看做分母是1的分数，再交换分子分母的位置。（3）、求带分数的倒数：把带分数化为假分数，再求倒数。
（4）、求小数的倒数： 把小数化为分数，再求倒数。
3、1的倒数是1； 0没有倒数。 因为1×1=1；0乘任何数都得0， （分母不能为0）
4、对于任意数a(a≠0)，它的倒数为 EQ \F(1,a) 。非零整数a的倒数为 EQ \F(1,a) 。分数 EQ \F(b,a) 的倒数是 EQ \F(a,b)
5、真分数的倒数大于1；假分数的倒数小于或等于1；带分数的倒数小于1。
一、分数除法
1、分数除法的意义：
分数除法与整数除法的意义相同，表示已知两个因数的积和其中一个因数，求另一个因数的运算。
2、分数除法的计算法则： 除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数。
3、规律（分数除法比较大小时）：当除数大于 1， 商小于被除数；
当除数小于1（不等于 ０），商大于被除数； 当除数等于 1， 商等于被除数。
4、“[ ] ”叫做中括号。一个算式里，如果既有小括号，又有中括号，要先算小括号里面的，再算中括号里面的。
二、分数除法解决问题
（已知单位“1”的几分之几是多少，单位“1”的量是要求的问题。就用除法）
1、数量关系式和分数乘法解决问题中的关系式相同：
（1）分率前是“的”： 单位“1”的量×分率=分率对应量
（2）分率前是“多或少”的意思： 单位“1”的量×（1 +-分率）=分率对应量
2、解法：（建议：最好用方程解答）
（1）方程： 根据数量关系式设未知量为，用方程解答。
（2）算术（用除法）： 分率对应量÷对应分率 = 单位“1”的量
3、求一个数是另一个数的几分之几：就 一个数÷另一个数
4、求一个数比另一个数多（少）几分之几：
①求多几分之几：大数÷小数 – 1 ② 求少几分之几： 1 - 小数÷大数
或①求多几分之几(大数-小数)÷比后面的数 ② 求少几分之几(大数-小数)÷比后面的数
求的不是单位“1” 单位“1”的量×对应分率 单位“1”的量×对应分率
200 × EQ \F(1,4) 200 × 25%
200 ×( 1+ EQ \F(1,4) ) 200 ×( 1+ 25%)
200 ×( 1- EQ \F(1,4) ) 200 ×( 1-25%)
求的是单位“1” 分率对应量 ÷ 对应分率 分率对应量 ÷ 对应分率
200 ÷ EQ \F(1,4) 200 ÷ 25%
200 ÷( 1+ EQ \F(1,4) ) 200 ÷( 1+ 25%)
200 ÷( 1- EQ \F(1,4) ) 200 ÷( 1-25%)
第四单元 比和比的应用
（一）、比的意义
1、比的意义：两个数相除又叫做两个数的比。
2、在两个数的比中，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商，叫做比值。
例如 15 ：10 = 15÷10= （比值通常用分数表示，也可以用小数或整数表示）
∶ ∶ ∶ ∶
前项 比号 后项 比值
3、比可以表示两个相同量的关系，即倍数关系。也可以表示两个不同量的比，得到一个新量。例： 路程÷速度=时间。
4、区分比和比值
比：表示两个数的关系，可以写成比的形式，也可以用分数表示。
比值：相当于商，是一个数，可以是整数，分数，也可以是小数。
5、根据分数与除法的关系，两个数的比也可以写成分数形式。
6、 比和除法、分数的联系：
比 前 项比 号 “：” 后 项比 值
除 法被除数除 号“÷” 除 数 商
分 数分 子分数线“—”分 母分数值
7、比和除法、分数的区别：除法是一种运算，分数是一个数，比表示两个数的关系。
8、根据比与除法、分数的关系，可以理解比的后项不能为0。
体育比赛中出现两队的分是2：0等，这只是一种记分的形式，不表示两个数相除的关系。
（二）、比的基本性质
1、根据比、除法、分数的关系：
商不变的性质：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。
分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数时（0除外），分数值不变。
比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外)，比值不变。
2、最简整数比：比的前项和后项都是整数，并且是互质数，这样的比就是最简整数比。
3、根据比的基本性质，可以把比化成最简单的整数比。
4.化简比：
①用比的前项和后项同时除以它们的最大公因数。
②两个分数的比：用前项后项同时乘分母的最小公倍数，再按化简整数比的方法来化简。
③两个小数的比：向右移动小数点的位置，先化成整数比再化简。
（2）用求比值的方法。注意: 最后结果要写成比的形式。
如： 15∶10 = 15÷10 = = 3∶2
5．按比例分配：把一个数量按照一定的比来进行分配。这种方法通常叫做按比例分配。
如： 已知两个量之比为a ：b ，则设这两个量分别为 a b
6、路程一定，速度比和时间比成反比。（如：路程相同，速度比是4：5，时间比则为5：4）
工作总量一定，工作效率和工作时间成反比。
（如：工作总量相同，工作时间比是3：2，工作效率比则是2：3）
第五单元圆
1、圆的定义：圆是由曲线围成的一种平面图形。
2、圆心：将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。
一般用字母O表示。它到圆上任意一点的距离都相等．
3、半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。一般用字母r表示。
把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。
4、直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用字母d表示。
直径是一个圆内最长的线段。
5、圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。
6、在同圆或等圆内，有无数条半径，有无数条直径。所有的半径都相等，所有的直径都相等。
7．在同圆或等圆内，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的 EQ \F(1,2)
用字母表示为：d＝2r或r ＝ EQ \F(1,2) d
8、轴对称图形：
如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形是轴对称图形。
折痕所在的这条直线叫做对称轴。（经过圆心的任意一条直线或直径所在的直线）
9、长方形、正方形和圆都是对称图形，都有对称轴。这些图形都是轴对称图形。
10、只有1一条对称轴的图形有： 角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆。
只有2条对称轴的图形是： 长方形
只有3条对称轴的图形是： 等边三角形
只有4条对称轴的图形是： 正方形;
有无数条对称轴的图形是： 圆、圆环。
二、圆的周长
1、圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。用字母C表示。
2、圆周率实验：
在圆形纸片上做个记号，与直尺0刻度对齐，在直尺上滚动一周，求出圆的周长。
发现一般规律，就是圆周长与它直径的比值是一个固定数（π）。
3．圆周率：任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，我们把它叫做圆周率。
用字母π（pai） 表示。
（1）、一个圆的周长总是它直径的3倍多一些，这个比值是一个固定的数。
圆周率π是一个无限不循环小数。在计算时，一般取π ≈ 3.14。
（2）、在判断时，圆周长与它直径的比值是π倍，而不是3.14倍。
（3）、世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。
4、圆的周长公式： C= πd d = C ÷π
或C=2πr r = C÷2÷π
5、在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。
在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。
6、区分周长的一半和半圆的周长：
（1）周长的一半：等于圆的周长÷2 计算方法：2πr ÷ 2 即 πr
（2）半圆的周长：等于圆的周长的一半加直径。 计算方法：πr＋2r
三、圆的面积
1、圆的面积：圆所占平面的大小叫做圆的面积。 用字母S表示。
2、一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。顶点在圆心的角叫做圆心角。
3、圆面积公式的推导：
（1）、用逐渐逼近的转化思想： 体现化圆为方，化曲为直；化新为旧，化未知为已知，化复杂为简单，化抽象为具体。
（2）、把一个圆等分（偶数份）成的扇形份数越多，拼成的图像越接近长方形。
（3）、拼出的图形与圆的周长和半径的关系。
圆的半径 = 长方形的宽
圆的周长的一半 = 长方形的长
因为： 长方形面积 = 长 × 宽
所以： 圆的面积 = 圆周长的一半× 圆的半径
S圆= πr × r
圆的面积公式： S圆= πr²
4、环形的面积：
一个环形，外圆的半径是R，内圆的半径是r。（R＝r＋环的宽度．）
S环 = πR²－πｒ² 或 S环 = π（R²－ｒ²）
5、一个圆，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。
而面积扩大或缩小的倍数是这倍数的平方倍。 例如：
在同一个圆里，半径扩大3倍，那么直径和周长就都扩大3倍，而面积扩大9倍。
6、两个圆： 半径比 = 直径比 = 周长比；而面积比等于这比的平方。 例如：
两个圆的半径比是2∶3，那么这两个圆的直径比和周长比都是2∶3，而面积比是4∶9
7、任意一个正方形与它内切圆的面积之比都是一个固定值，即：4∶π
8、当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆面积最大，正方形居中，长方形面积最小。反之，面积相同时，长方形的周长最长，正方形居中，圆周长最短。
9、确定起跑线：
（1）、每条跑道的长度 = 两个半圆形跑道合成的圆的周长 + 两个直道的长度。
（2）、每条跑道直道的长度都相等，而各圆周长决定每条跑道的总长度。（因此起跑线不同）
（3）、每相邻两个跑道相隔的距离是： 2×π×跑道的宽度
（4）、当一个圆的半径增加ａ厘米时，它的周长就增加２πａ厘米；当一个圆的直径增加ａ厘米时，它的周长就增加πａ厘米。
C长=(a+b)×2 a=C÷2-b b=C÷2-a
C正 =a×4 a=C÷4
S长=a×b a=S÷b b=S÷a
S正 =a×a S圆=πr²
C圆 =πd C圆 =2πr r=d÷2 r=C÷2÷π d=C÷π
圆周长的一半=πr r=圆周长的一半÷π 半圆周长=(π+2)r
r=半圆周长÷(π+2) S环=π(R²－ｒ²)
L弧=πr× EQ \F(n,180) C扇=πr× EQ \F(n,180) +2r S扇= EQ \F(n,360) πr²
11、常用各π值结果：
π = 3.14 2π = 6.28 3π = 9.42 4π = 12.56 5π = 15.7 6π = 18.84 7π = 21.98
8π = 25.12 9π = 28.26 10π = 31.4 16π = 50.24 25π = 78.5 36π = 113.04
49π =153.86 64π = 200.96 81π= 254.34 100π = 314
12、常用平方数结果
11² = 121 12² = 144 13² = 169 14² = 196 15² = 225
16² = 256 17² = 289 18² = 324 19² = 361 20²=400
第六单元 百分数（一）
一、百分数的意义和写法
1、百分数的意义：表示一个数是另一个数的百分之几。
百分数是指两个数的比，因此也叫百分率或百分比。
2、千分数：表示一个数是另一个数的千分之几。
3、百分数和分数的主要联系与区别：
（1）联系：都可以表示两个量的倍比关系。
（2）区别：
①、意义不同：百分数只表示两个数的倍比关系，不能表示具体的数量，所以不能带单位；
分数既可以表示具体的数，又可以表示两个数的关系，表示具本数时可以带单位。
②、百分数的分子可以是整数，也可以是小数；
分数的分子不能是小数，只能是除0以外的自然数。
4、百分数的写法：通常不写成分数形式，而在原来分子后面加上“％”来表示。
二、百分数和分数、小数的互化
（一）百分数与小数的互化：
1、小数化成百分数：把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号。
2. 百分数化成小数：把小数点向左移动两位，同时去掉百分号。
（二）百分数的和分数的互化
1、百分数化成分数：
先把百分数化成分数，先把百分数改写成分母是否100的分数，能约分要约成最简分数。
2、分数化成百分数：
① 用分数的基本性质，把分数分母扩大或缩小成分母是100的分数，再写成百分数形式。
②先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数），再把小数化成百分数。
（三）常见的分数与小数、百分数之间的互化
EQ \F(1,2) = 0.5 = 50% EQ \F(1,4) = 0.25 = 25% EQ \F(3,4) = 0.75 = 75%
EQ \F(1,5) = 0.2 = 20% EQ \F(2,5) = 0.4 = 40% EQ \F(3,5) = 0.6 = 60% EQ \F(4,5) = 0.8 = 80%
EQ \F(1,8) = 0.125 = 12.5% EQ \F(3,8) = 0.375 = 37.5% EQ \F(5,8) = 0.625 = 62.5% EQ \F(7,8) = 0.875 = 87.5%
EQ \F(1,16) = 0.0625 = 6.25% EQ \F(1,20) =0.05= 5﹪ EQ \F(1,25) =0.04= 4﹪ EQ \F(1,50) =0.02=2﹪
三、用百分数解决问题
（一）一般应用题
1、常见的百分率的计算方法：
①合格率 =合格产品数/产品总数×100% ②发芽率 = 发芽种子数/种子总数×100%
③出勤率 =出勤人数/总人数×100% ④达标率 =达标人数/总人数×100%
⑤成活率 =成活数量/总数量×100% ⑥出粉率 =粉的重量/出粉物的重量×100%
⑦出米率=米的数量/出米物的重量 ⑧出油率=油的重量/出油物的重量数×100%
⑨烘干率 =烘干后的重量/烘干前的重量×100% ⑩含水率 =(烘干前的重量-烘干后的重量)/ 烘干前的重量×100% 含水率 =(水的质量/水与物体的总质量)×100% 含糖率=糖的重量/糖水的重量×100% 含盐率=盐的重量/盐水的重量×100% 近视率=近视人数/总人数×100% 命中率=命中的次数/投篮次数×100%
百分率表示两个数的比，是没有单位名称的
一般来讲，出勤率、成活率、合格率、正确率能达到100%，出米率、出油率达不到100%，完成率、增长了百分之几等可以超过100%。（一般出粉率在70、80%，出油率在30、40%。）
2、已知单位“1”的量，求单位“1”的百分之几是多少的问题（用乘法）：
数量关系式和分数乘法解决问题中的关系式相同：
（1）分率前是“的”： 单位“1”的量×分率=分率对应量
（2）分率前是“多或少”的意思： 单位“1”的量×（1+- 分率）=分率对应量
3、未知单位“1”的量（用除法），已知单位“1”的百分之几是多少，求单位“1”。
解法：（建议：最好用方程解答）
（1）方程： 根据数量关系式设未知量为，用方程解答。
（2）算术（用除法）： 分率对应量÷对应分率 = 单位“1”的量
4、求一个数比另一个数多（少）百分之几的问题：
两个数的相差量÷单位“1”的量 × 100%
①求多几分之几(大数-小数)÷比后面的数
②求少几分之几(大数-小数)÷比后面的数
第七单元 扇形统计图
一、扇形统计图的意义：
用整个圆的面积表示总数，用圆内各个扇形面积表示各部分数量同总数之间的关系。
也就是各部分数量占总数的百分比（因此也叫百分比图）。
二、常用统计图的优点：
1、条形统计图：可以清楚的看出各种数量的多少。
2、折线统计图：不仅可以看出各种数量的多少，还可以清晰看出数量的增减变化情况。
3、扇形统计图：能够清楚的反映出各部分数量同总数之间的关系。
三、扇形的面积大小：在同一个圆中，扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关，圆心角越大，扇形越大。（因此扇形面积占圆面积的百分比，同时也是该扇形圆心角度数占圆周角度数的百分比。）
第八单元数学广角——数与形
在解决问题中，计算基于图形，画个图形，关系就变得非常明晰
第九单元补充内容
（一）位置
1、行和列的意义：竖排叫做列，横排叫做行。
2、数对可以表示物体的位置，也可以确定物体的位置。
3、数对表示位置的方法：先表示列，再表示行。用括号把代表列和行的数字或字母括起来，再用逗号隔开。例如：（7，9）表示第七列第九行。
4、两个数对，前一个数相同，说明它们所表示物体位置在同一列上。如：（2，4）和（2，7）都在第2列上。
5、两个数对，后一个数相同，说明它们所表示物体位置在同一行上。如：（3，6）和（1，6）都在第6行上。
6、物体向左、右平移，行数不变，列数减去或加上平移的各数。 物体向下、上平移，列数不变，行数减去或加上平移的各数
（二）数学广角——鸡兔同笼
（1）已知总头数和总脚数，求鸡、兔各多少：
（总脚数-每只鸡的脚数×总头数）÷（每只兔的脚数-每只鸡的脚数）=兔数；
总头数-兔数=鸡数。
或者是（每只兔脚数×总头数-总脚数）÷（每只兔脚数-每只鸡脚数）=鸡数；
总头数-鸡数=兔数。
（2）已知总头数和鸡兔脚数的差数，当鸡的总脚数比兔的总脚数多时，可用公式
（每只鸡脚数×总头数-脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=兔数；
总头数-兔数=鸡数
或（每只兔脚数×总头数+鸡兔脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只免的脚数）=鸡数；
总头数-鸡数=兔数。
（3）已知总头数与鸡兔脚数的差数，当兔的总脚数比鸡的总脚数多时，可用公式
每只鸡的脚数×总头数+鸡兔脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=兔数；
总头数-兔数=鸡数。
或（每只兔的脚数×总头数-鸡兔脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=鸡数；
总头数-鸡数=兔数。
（4）得失问题（鸡兔问题的推广题）的解法，可以用下面的公式：
（1只合格品得分数×产品总数-实得总分数）÷（每只合格品得分数+每只不合格品扣分数）=不合格品数。 或者是 总产品数-（每只不合格品扣分数×总产品数+实得总分数）÷（每只合格品得分数+每只不合格品扣分数）=不合格品数
（“得失问题”也称“运玻璃器皿问题”，运到完好无损者每只给运费××元，破损者不仅不给运费，还需要赔成本××元……。它的解法显然可套用上述公式。）
（5）鸡兔互换问题（已知总脚数及鸡兔互换后总脚数，求鸡兔各多少的问题），可用下面的公式：
〔（两次总脚数之和）÷（每只鸡兔脚数和）+（两次总脚数之差）÷（每只鸡兔脚数之差）〕÷2=鸡数
〔（两次总脚数之和）÷（每只鸡兔脚数之和）-（两次总脚数之差）÷（每只鸡兔脚数之差）〕÷2=兔数 + - × ÷ = ( ) ² ³ πr²
（6）方程解法：假设鸡兔一共8只，设鸡有只，则兔有8－只
解方程方法一：消项(如果消＋3，方程两边就同时－3 ；如果消×3，方程两边就同时÷3)
1：把方程里的“括号”全部去掉，两种去括号的方法任选其一
2：如果两边都有 几 , 要先消去其中一边的 几
(如果有“-几”，就把“-几”消去，如果没有“-几”，就把较小的消去掉)
3：消去 “-几”， 消去“÷”
4：把这边的数字全部消掉，先消“+ -” 再消“÷” 最后消“×”
(注意：无论解到哪一步，数字+几 都要写成 几+数字)
解方程方法二：移项(＋3移到另一边就变成－3，×3移到另一边就变成÷3)
1：把方程里的“括号”全部去掉，两种去括号的方法任选其一
2：如果两边都有 几 ,就把其中一边的 几 移到另一边
(如果有“-几”，就把“-几”移到另一边。如果没有“-几”，就把较小的移到另一边)
3：把“-几”移到另一边，把 “÷”移到另一边”
4：把这边的数字全部移到另一边，先移“+ -” 再移“÷” 最后移“×”
(注意：无论解到哪一步，数字+几 都要写成 几+数字)
高级单位化低级单位： 高级单位的数×它们之间的进率
低级单位聚高级单位： 低级单位的数÷它们之间的进率
长度单位换算 km m dm cm mm
1千米=1000米 1米=10分米 1分米=10厘米 1米=100厘米 1厘米=10毫米
面积单位换算 km² m² dm² cm² mm²
1平方千米=100公顷 1公顷=10000平方米 1平方米=100平方分米
1平方分米=100平方厘米 1平方厘米=100平方毫米
体(容)积单位换算 L mL m³ dm³ cm³
1立方米=1000立方分米 1立方分米=1000立方厘米 1升=1000毫升
1立方米=1000升 1立方分米=1升 1立方厘米=1毫升
质量单位换算 t kɡ ɡ
1吨=1000 千克 1千克=1000克 1千克=1公斤
人民币单位换算
1元=10角 1角=10分 1元=100分
时间单位换算 h min s
1世纪=100年 1年=12月 大月(31天)有:1\3\5\7\8\10\12月 小月(30天)的有:4\6\9\11月
平年2月28天, 闰年2月29天 平年全年365天, 闰年全年366天
1日=24小时 1时=60分 1分=60秒 1时=3600秒
第五单元圆
1、圆的定义：圆是由曲线围成的一种平面图形。
2、圆心：将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。
一般用字母 表示。它到圆上任意一点的距离都相等．
3、半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。一般用字母 表示。
把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。
4、直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用字母 表示。
直径是一个圆内最长的线段。
5、圆心确定圆的 ，半径确定圆的 。
6、在同圆或等圆内，有无数条半径，有无数条直径。所有的半径都相等，所有直径都相等。
7．在同圆或等圆内，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的
用字母表示为：d＝2r或r ＝
8、轴对称图形：
如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形是轴对称图形。
折痕所在的这条直线叫做对称轴。（经过圆心的任意一条直线或直径所在的直线）
9、长方形、正方形和圆都是对称图形，都有对称轴。这些图形都是轴对称图形。
10、只有1一条对称轴的图形有： 角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆。
只有2条对称轴的图形是： 长方形
只有3条对称轴的图形是： 等边三角形
只有4条对称轴的图形是： 正方形;
有无数条对称轴的图形是： 圆、圆环。
二、圆的周长
1、圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。用字母 表示。
2、圆周率实验：
在圆形纸片上做个记号，与直尺0刻度对齐，在直尺上滚动一周，求出圆的周长。
发现一般规律，就是圆周长与它直径的比值是一个固定数（π）。
3．圆周率：任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，我们把它叫做圆周率。
用字母π（pai） 表示。
（1）、一个圆的周长总是它直径的3倍多一些，这个比值是一个固定的数。
圆周率π是一个无限不循环小数。在计算时，一般取π ≈ 。
（2）、在判断时，圆周长与它直径的比值是π倍，而不是3.14倍。
（3）、世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。
4、圆的周长公式： C= πd d =
或C= r =
5、在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。
在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。
6、区分周长的一半和半圆的周长：
（1）周长的一半：等于圆的周长÷2 计算方法： 即 πr
（2）半圆的周长：等于圆的周长的一半加直径。 计算方法：
三、圆的面积
1、圆的面积：圆所占平面的大小叫做圆的面积。 用字母S表示。
2、一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫扇形。顶点在圆心的角叫做圆心角。
3、圆面积公式的推导：
（1）、用逐渐逼近的转化思想： 体现化圆为方，化曲为直；化新为旧，化未知为已知，化复杂为简单，化抽象为具体。
（2）、把一个圆等分（偶数份）成的扇形份数越多，拼成的图像越接近长方形。
（3）、拼出的图形与圆的周长和半径的关系。
圆的半径 = 长方形的宽
圆的周长的一半 = 长方形的长
因为： 长方形面积 = 长 × 宽
所以： 圆的面积 = 圆周长的一半× 圆的半径
S圆=πr × r
圆的面积公式： S圆=πr²
4、环形的面积：
一个环形，外圆的半径是R，内圆的半径是r。（R＝r＋环的宽度．）
S环 = πR²－πｒ² 或 S环 = π（R²－ｒ²）
5、一个圆，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。
而面积扩大或缩小的倍数是这倍数的平方倍。 例如：
在同一个圆里，半径扩大3倍，那么直径和周长就都扩大3倍，而面积扩大9倍。
6、两个圆： 半径比 = 直径比 = 周长比；而面积比等于这比的平方。 例如：
两个圆的半径比是2∶3，那么这两个圆的直径比和周长比都是2∶3，而面积比是 ∶
7、任意一个正方形与它内切圆的面积之比都是一个固定值，即：4∶π
8、当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆面积最大，正方形居中，长方形面积最小。反之，面积相同时，长方形的周长最长，正方形居中，圆周长最短。
公式变形：
C长=(a+b)×2 a= b=
C正 =a×4 a=
S长=a×b a= b=
S正 =a×a S圆=
C圆 =πd C圆 =2πr r= r= d=
圆周长的一半=πr r=圆周长的一半÷
半圆周长=(π+2)r r=半圆周长÷
11、常用各π值结果：
π = 3.14 2π = 6.28 3π = 9.42 4π = 12.56 5π = 15.7
6π = 18.84 7π = 21.98 8π = 25.12 9π = 28.26 10π = 31.4
12、常用平方数结果
11² = 12² = 13² = 14² = 196 15² =
16² = 17² = 289 18² = 19² = 361 20²=
第六单元 百分数（一）
一、百分数的意义和写法
1、百分数的意义：表示一个数是另一个数的百分之几。
百分数是指两个数的比，因此也叫百分率或百分比。
2、千分数：表示一个数是另一个数的千分之几。
3、百分数和分数的主要联系与区别：
（1）联系：都可以表示两个量的倍比关系。
（2）区别：
①、意义不同：百分数只表示两个数的倍比关系，不能表示具体的数量，所以不能带单位；
分数既可以表示具体的数，又可以表示两个数的关系，表示具体数时可以带单位。
②、百分数的分子可以是整数，也可以是小数；
分数的分子不能是小数，只能是除0以外的自然数。
4、百分数的写法：通常不写成分数形式，而在原来分子后面加上“％”来表示。
二、百分数和分数、小数的互化
（一）百分数与小数的互化：
1、小数化成百分数：把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号。
2. 百分数化成小数：把小数点向左移动两位，同时去掉百分号。
（二）百分数的和分数的互化
1、百分数化成分数：
先把百分数化成分数，先把百分数改写成分母是否100的分数，能约分要约成最简分数。
2、分数化成百分数：
① 用分数的基本性质，把分数分母扩大或缩小成分母是100的分数，再写成百分数形式。
②先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数），再把小数化成百分数。
（三）常见的分数与小数、百分数之间的互化
EQ \F(1,2) = 0.5 = 50% EQ \F(1,4) = 0.25 = 25% EQ \F(3,4) = 0.75 = 75%
EQ \F(1,5) = 0.2 = 20% EQ \F(2,5) = 0.4 = 40% EQ \F(3,5) = = % EQ \F(4,5) = 0.8 = 80%
EQ \F(1,8) = = % EQ \F(3,8) = 0.375 = 37.5% EQ \F(5,8) = = % EQ \F(7,8) = 0.875 = 87.5%
EQ \F(1,16) = = % EQ \F(1,20) =0.05= 5﹪ EQ \F(1,25) = = ﹪ EQ \F(1,50) =0.02=2﹪
三、用百分数解决问题
（一）一般应用题
1、常见的百分率的计算方法：
①合格率 =合格产品数/产品总数×100% ②发芽率 = 发芽种子数/种子总数×100%
③出勤率 =出勤人数/总人数×100% ④达标率 =达标人数/总人数×100%
⑤成活率 =成活数量/总数量×100% ⑥出粉率 =粉的重量/出粉物的重量×100%
⑦出米率=米的数量/出米物的重量 ⑧出油率=油的重量/出油物的重量数×100%
⑨烘干率 =烘干后的重量/烘干前的重量×100% ⑩含水率 =(烘干前的重量-烘干后的重量)/ 烘干前的重量×100% 含水率 =(水的质量/水与物体的总质量)×100% 含糖率=糖的重量/糖水的重量×100% 含盐率=盐的重量/盐水的重量×100% 近视率=近视人数/总人数×100% 命中率=命中的次数/投篮次数×100%
百分率表示两个数的比，是没有单位名称的
一般来讲，出勤率、成活率、合格率、正确率能达到100%，出米率、出油率达不到100%，完成率、增长了百分之几等可以超过100%。（一般出粉率在70、80%，出油率在30、40%。）
2、已知单位“1”的量，求单位“1”的百分之几是多少的问题（用乘法）：
数量关系式和分数乘法解决问题中的关系式相同：
（1）分率前是“的”： 单位“1”的量×分率=分率对应量
（2）分率前是“多或少”的意思： 单位“1”的量×（1+- 分率）=分率对应量
3、未知单位“1”的量（用除法），已知单位“1”的百分之几是多少，求单位“1”。
解法：（建议：最好用方程解答）
（1）方程： 根据数量关系式设未知量为，用方程解答。
（2）算术（用除法）： 分率对应量÷对应分率 = 单位“1”的量
4、求一个数比另一个数多（少）百分之几的问题：
两个数的相差量÷单位“1”的量 × 100%
①求多几分之几(大数-小数)÷比后面的数
②求少几分之几(大数-小数)÷比后面的数
第七单元 扇形统计图
一、扇形统计图的意义：
用整个圆的面积表示总数，用圆内各个扇形面积表示各部分数量同总数之间的关系。
也就是各部分数量占总数的百分比（因此也叫百分比图）。
二、常用统计图的优点：
1、条形统计图：可以清楚的看出各种数量的多少。
2、折线统计图：不仅可以看出各种数量的多少，还可以清晰看出数量的增减变化情况。
3、扇形统计图：能够清楚的反映出各部分数量同总数之间的关系。
三、扇形的面积大小：在同一个圆中，扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关，圆心角越大，扇形越大。（因此扇形面积占圆面积的百分比，同时也是该扇形圆心角度数占圆周角度数的百分比。）
单位换算：
面积单位换算 km² m² dm² cm² mm²
1平方千米= 公顷 1公顷= 平方米 1平方米= 平方分米
1平方分米= 平方厘米 1平方厘米= 平方毫米
体(容)积单位换算 L mL m³ dm³ cm³
1立方米= 立方分米 1立方分米= 立方厘米 1升= 毫升
1立方米= 升 1立方分米= 升 1立方厘米= 毫升
质量单位换算 t kɡ ɡ
1吨= 千克 1千克= 克 1千克= 公斤
人民币单位换算
1元= 角 1角= 分 1元= 分
时间单位换算 h min s
1世纪= 年 1年= 月
大月(31天)有: 、 、 、 、 、 月
小月(30天)的有: 、 、 、 、 月
平年2月 天, 闰年2月 天 平年全年 天, 闰年全年 天
1日= 小时 1时= 分 1分= 秒 1时= 秒
（一）、分数乘法的计算法则：
1、分数与整数相乘：分子与整数相乘的积做分子，分母不变。（整数和分母约分）
2、分数与分数相乘：用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母。
3、为了计算简便，能约分的要先约分，再计算。
注意：当带分数进行乘法计算时，要先把带分数化成假分数再进行计算。
（二）、规律：（乘法中比较大小时）
一个数（0除外）乘大于1的数， 积大于这个数。
一个数（0除外）乘小于1的数（0除外），积小于这个数。
一个数（0除外）乘1， 积等于这个数。
（三）、分数混合运算的运算顺序和整数的运算顺序相同。
（四）、整数乘法的交换律、结合律和分配律，对于分数乘法也同样适用。
乘法交换律： a × b = b × a
乘法结合律： ( a × b )×c = a × ( b × c )
乘法分配律： （ a + b ）×c = a c + b c a c + b c = （ a + b ）×c
常见乘法计算（敏感数字） ：25×4＝100 125×8＝1000
加法交换律简算例子 加法结合律简算例子 乘法交换律简算例子 乘法结合律简算例子
0.875+ EQ \F(2,3) + EQ \F(1,8) EQ \F(2,3) + EQ \F(1,4) +0.8 0.4×33× EQ \F(5,2) 23×0.375× EQ \F(16,3)
= EQ \F(7,8) + EQ \F(2,3) + EQ \F(1,8) = EQ \F(2,3) + EQ \F(1,4) + EQ \F(4,5) = EQ \F(2,5) ×33× EQ \F(5,2) =23× EQ \F(3,8) × EQ \F(16,3)
= EQ \F(7,8) + EQ \F(1,8) + EQ \F(2,3) = EQ \F(2,3) +( EQ \F(1,4) + EQ \F(4,5) ) = EQ \F(2,5) × EQ \F(2,5) ×33 =23 ×( EQ \F(3,8) × EQ \F(16,3) )
=1+ EQ \F(2,3) = EQ \F(2,3) +1 =1×3 =23×2
含加法交换律与结合律 含乘法交换律与结合律 数字换减法式 数字换加法式
0.875+ EQ \F(2,3) + EQ \F(1,8) + EQ \F(1,3) 0.375× EQ \F(29,7) × EQ \F(16,3) × EQ \F(7,29) 35× EQ \F(5,36) 101× EQ \F(9,10)
= EQ \F(7,8) + EQ \F(2,3) + EQ \F(1,8) + EQ \F(1,3) = EQ \F(3,8) × EQ \F(29,7) × EQ \F(16,3) × EQ \F(7,29) = (36-1) × EQ \F(5,36) = (100+1) × EQ \F(9,10)
= EQ \F(7,8) + EQ \F(1,8) + EQ \F(2,3) + EQ \F(1,3) = EQ \F(3,8) × EQ \F(16,3) × EQ \F(29,7) × EQ \F(7,29) =36× EQ \F(5,36) -1× EQ \F(5,36) =100× EQ \F(9,10) +1× EQ \F(9,10)
= ( EQ \F(7,8) + EQ \F(1,8) )+ ( EQ \F(2,3) + EQ \F(1,3) ) = ( EQ \F(3,8) × EQ \F(16,3) )×( EQ \F(29,7) × EQ \F(7,29) ) =5- EQ \F(5,36) =1+ EQ \F(9,10)
=1+1 =2×1
乘法分配律提取式 乘法分配律提取式 乘法分配律(添项) 乘法分配律(添项)
101×0.9- EQ \F(9,10) ×1 95.5÷1.6-15.5÷1.6 101×0.9- EQ \F(9,10) 52× EQ \F(5,8) +29× EQ \F(5,8) -0.625
=101× EQ \F(9,10) - EQ \F(9,10) ×1 =(95.5-15.5)÷1.6 =101× EQ \F(9,10) - EQ \F(9,10) =52× EQ \F(5,8) +29× EQ \F(5,8) - EQ \F(5,8)
=101× EQ \F(9,10) -1× EQ \F(9,10) =80÷1.6 =101× EQ \F(9,10) -1× EQ \F(9,10) =52× EQ \F(5,8) +29× EQ \F(5,8) -1× EQ \F(5,8)
=(101-1) × EQ \F(9,10) =800÷16 =(101-1) × EQ \F(9,10) =(52+29-1)× EQ \F(5,8)
=100× EQ \F(9,10) =100× EQ \F(9,10) =80× EQ \F(5,8)
减法的性质简算例子 减法的性质简算例子 减法的性质简算例子 数字换乘法式
18- EQ \F(5,8) -0.375 1 EQ \F(3,4) - EQ \F(7,16) -0.75 12 EQ \F(2,5) -( EQ \F(7,16) +0.4) 0.56×125
=18- EQ \F(5,8) - EQ \F(3,8) =1 EQ \F(3,4) - EQ \F(7,16) - EQ \F(3,4) =12 EQ \F(2,5) -( EQ \F(7,16) + EQ \F(2,5) ) =0.7×0.8×125
=18-( EQ \F(5,8) + EQ \F(3,8) ) =1 EQ \F(3,4) - EQ \F(3,4) - EQ \F(7,16) =12 EQ \F(2,5) - EQ \F(2,5) - EQ \F(7,16) =0.7×(0.8×125)
=18-1 =1- EQ \F(7,16) =12- EQ \F(7,16) =0.7×100
除法的性质简算例子 除法的性质简算例子 除法的性质简算例子 数字换乘法式
3200÷2.5÷0.4 2700÷2.5÷2.7 5900÷(2.5×5.9) 33333×33333
=3200÷(2.5×0.4) =2700÷2.7÷2.5 =5900÷5.9÷2.5 =11111×3×33333
=3200÷1 =1000÷2.5 =1000÷2.5 =11111×99999
同级运算中，第一个数不能动，后面的数可以带着符号搬家 =11111×(100000-1)
1 EQ \F(2,3) + EQ \F(7,16) - EQ \F(2,3) 250÷0.8×0.4 1 EQ \F(2,3) - EQ \F(7,16) + EQ \F(1,3) 29×0.25÷0.29
=1 EQ \F(2,3) - EQ \F(2,3) + EQ \F(7,16) =250×0.4÷0.8 =1 EQ \F(2,3) + EQ \F(1,3) - EQ \F(7,16) =29÷0.29×0.25
=1+ EQ \F(7,16) =100÷0.8 =2- EQ \F(7,16) =100×0.25
二、分数乘法的解决问题
（如果单位1是已知的, 要求它的几分之几，就用乘法）
1、找单位“1”： 在分率句中分率的前面； 或 “占”、“是”、“比”的后面
2、求一个数的几倍： 一个数×几倍；
求一个数的几分之几是多少： 一个数×几分之几 。
3、写数量关系式技巧：
（1）“的” 相当于 “×” “占”、“是”、“比”相当于“ = ”
（2）分率前是“的”： 单位“1”的量×分率=分率对应量
（3）分率前是“多或少”的意思： 单位“1”的量×（1 + - 分率）=分率对应量
第二单元 位置与方向
1位置是相对的，要指出一个物体的位置，必须以另一个物体为参照物。以谁为参照物，就以谁为观测点。
2东偏北30。也可说成北偏东60。，但在生活中一般先说与物体所在方向离得较近（夹角较小）的方位。
3确定一个物体的准确位置，只知道方向或距离是不可以的，要同时知道这两个条件才行。
4根据方向和距离确定物体位置的方法：
（1）确定好方向并用量角器测量出被测物体所在的方向（角度）；
（2）用直尺测量出被测物体和观测点之间的图上距离，结合单位长度计算出实际距离；
（3）根据方向（角度）和距离准确判断或描述被测物体的位置。
5要标出物体的位置必须先确定方向，再确定在这一方向上的距离。
6绘制平面图时，要根据实际距离确定好单位长度，即 代表多长距离。
7在平面图上标出物体位置的方法：先确定方向，再以选定的单位长度为基准来确定距离，最后找出物体的具体位置，标上名称。
8描述物体的位置与观测点有关，观测点不同，物体位置的描述就不同。两地的位置具有相对性，方向相反（其夹角度数不变），距离相同。
9两地的位置关系具有相对性，以这；两个不同地点为观测点描述对方所在的方向时，方向正好相反（甲在乙东偏南30°100米，则乙在甲西偏北30°100米）
10描述路线图时，要先按行走路线确定每一个观测点，然后以每一个观测点为参照物，再描述到下一个目标所行走的方向和路程。
11在平面图上确定物体的位置与方向关键要做到三点：
（1）确定好观测点及单位长度；
（2）找准方向；
（3）线段上每一段的长度要与单位长度统一。
12以谁为观测点就以谁为中心画出方向标，然后判断出另一点所在的方向和距离
13绘制路线图的步骤
①画出↑北，确定方向标和单位长度比例尺( )
②确定起点的位置。
③根据描述，从起点出发，找好方向和距离，一段一段地画。画每一段都要以每一段新的起点为观测点
④以谁为观测点，就以谁为中心画出“十字”方向标，然后判断下一点的方向和距离。
⑤标出数据、名称、角度。(绘制的路线图只有一条线，所作的线是首尾相连的)
第三单元分数除法
1、倒数的意义： 乘积是1的两个数互为倒数。
强调：互为倒数，即倒数是两个数的关系，它们互相依存，倒数不能单独存在。
（要说清谁是谁的倒数）。
2、求倒数的方法：
（1）、求分数的倒数：交换分子分母的位置。（2）、求整数的倒数：把整数看做分母是1的分数，再交换分子分母的位置。（3）、求带分数的倒数：把带分数化为假分数，再求倒数。
（4）、求小数的倒数： 把小数化为分数，再求倒数。
3、1的倒数是1； 0没有倒数。 因为1×1=1；0乘任何数都得0， （分母不能为0）
4、对于任意数a(a≠0)，它的倒数为 EQ \F(1,a) 。非零整数a的倒数为 EQ \F(1,a) 。分数 EQ \F(b,a) 的倒数是 EQ \F(a,b)
5、真分数的倒数大于1；假分数的倒数小于或等于1；带分数的倒数小于1。
一、分数除法
1、分数除法的意义：
分数除法与整数除法的意义相同，表示已知两个因数的积和其中一个因数，求另一个因数的运算。
2、分数除法的计算法则： 除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数。
3、规律（分数除法比较大小时）：当除数大于 1， 商小于被除数；
当除数小于1（不等于 ０），商大于被除数； 当除数等于 1， 商等于被除数。
4、“[ ] ”叫做中括号。一个算式里，如果既有小括号，又有中括号，要先算小括号里面的，再算中括号里面的。
二、分数除法解决问题
（已知单位“1”的几分之几是多少，单位“1”的量是要求的问题。就用除法）
1、数量关系式和分数乘法解决问题中的关系式相同：
（1）分率前是“的”： 单位“1”的量×分率=分率对应量
（2）分率前是“多或少”的意思： 单位“1”的量×（1 +-分率）=分率对应量
2、解法：（建议：最好用方程解答）
（1）方程： 根据数量关系式设未知量为，用方程解答。
（2）算术（用除法）： 分率对应量÷对应分率 = 单位“1”的量
3、求一个数是另一个数的几分之几：就 一个数÷另一个数
4、求一个数比另一个数多（少）几分之几：
①求多几分之几：大数÷小数 – 1 ② 求少几分之几： 1 - 小数÷大数
或①求多几分之几(大数-小数)÷比后面的数 ② 求少几分之几(大数-小数)÷比后面的数
求的不是单位“1” 单位“1”的量×对应分率 单位“1”的量×对应分率
200 × EQ \F(1,4) 200 × 25%
200 ×( 1+ EQ \F(1,4) ) 200 ×( 1+ 25%)
200 ×( 1- EQ \F(1,4) ) 200 ×( 1-25%)
求的是单位“1” 分率对应量 ÷ 对应分率 分率对应量 ÷ 对应分率
200 ÷ EQ \F(1,4) 200 ÷ 25%
200 ÷( 1+ EQ \F(1,4) ) 200 ÷( 1+ 25%)
200 ÷( 1- EQ \F(1,4) ) 200 ÷( 1-25%)
第四单元 比和比的应用
（一）、比的意义
1、比的意义：两个数相除又叫做两个数的比。
2、在两个数的比中，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商，叫做比值。
例如 15 ：10 = 15÷10= （比值通常用分数表示，也可以用小数或整数表示）
∶ ∶ ∶ ∶
前项 比号 后项 比值
3、比可以表示两个相同量的关系，即倍数关系。也可以表示两个不同量的比，得到一个新量。例： 路程÷速度=时间。
4、区分比和比值
比：表示两个数的关系，可以写成比的形式，也可以用分数表示。
比值：相当于商，是一个数，可以是整数，分数，也可以是小数。
5、根据分数与除法的关系，两个数的比也可以写成分数形式。
6、 比和除法、分数的联系：
比 前 项比 号 “：” 后 项比 值
除 法被除数除 号“÷” 除 数 商
分 数分 子分数线“—”分 母分数值
7、比和除法、分数的区别：除法是一种运算，分数是一个数，比表示两个数的关系。
8、根据比与除法、分数的关系，可以理解比的后项不能为0。
体育比赛中出现两队的分是2：0等，这只是一种记分的形式，不表示两个数相除的关系。
（二）、比的基本性质
1、根据比、除法、分数的关系：
商不变的性质：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。
分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数时（0除外），分数值不变。
比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外)，比值不变。
2、最简整数比：比的前项和后项都是整数，并且是互质数，这样的比就是最简整数比。
3、根据比的基本性质，可以把比化成最简单的整数比。
4.化简比：
①用比的前项和后项同时除以它们的最大公因数。
②两个分数的比：用前项后项同时乘分母的最小公倍数，再按化简整数比的方法来化简。
③两个小数的比：向右移动小数点的位置，先化成整数比再化简。
（2）用求比值的方法。注意: 最后结果要写成比的形式。
如： 15∶10 = 15÷10 = = 3∶2
5．按比例分配：把一个数量按照一定的比来进行分配。这种方法通常叫做按比例分配。
如： 已知两个量之比为a ：b ，则设这两个量分别为 a b
6、路程一定，速度比和时间比成反比。（如：路程相同，速度比是4：5，时间比则为5：4）
工作总量一定，工作效率和工作时间成反比。
（如：工作总量相同，工作时间比是3：2，工作效率比则是2：3）
第五单元圆
1、圆的定义：圆是由曲线围成的一种平面图形。
2、圆心：将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。
一般用字母O表示。它到圆上任意一点的距离都相等．
3、半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。一般用字母r表示。
把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。
4、直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用字母d表示。
直径是一个圆内最长的线段。
5、圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。
6、在同圆或等圆内，有无数条半径，有无数条直径。所有的半径都相等，所有的直径都相等。
7．在同圆或等圆内，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的 EQ \F(1,2)
用字母表示为：d＝2r或r ＝ EQ \F(1,2) d
8、轴对称图形：
如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形是轴对称图形。
折痕所在的这条直线叫做对称轴。（经过圆心的任意一条直线或直径所在的直线）
9、长方形、正方形和圆都是对称图形，都有对称轴。这些图形都是轴对称图形。
10、只有1一条对称轴的图形有： 角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆。
只有2条对称轴的图形是： 长方形
只有3条对称轴的图形是： 等边三角形
只有4条对称轴的图形是： 正方形;
有无数条对称轴的图形是： 圆、圆环。
二、圆的周长
1、圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。用字母C表示。
2、圆周率实验：
在圆形纸片上做个记号，与直尺0刻度对齐，在直尺上滚动一周，求出圆的周长。
发现一般规律，就是圆周长与它直径的比值是一个固定数（π）。
3．圆周率：任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，我们把它叫做圆周率。
用字母π（pai） 表示。
（1）、一个圆的周长总是它直径的3倍多一些，这个比值是一个固定的数。
圆周率π是一个无限不循环小数。在计算时，一般取π ≈ 3.14。
（2）、在判断时，圆周长与它直径的比值是π倍，而不是3.14倍。
（3）、世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。
4、圆的周长公式： C= πd d = C ÷π
或C=2πr r = C÷2÷π
5、在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。
在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。
6、区分周长的一半和半圆的周长：
（1）周长的一半：等于圆的周长÷2 计算方法：2πr ÷ 2 即 πr
（2）半圆的周长：等于圆的周长的一半加直径。 计算方法：πr＋2r
三、圆的面积
1、圆的面积：圆所占平面的大小叫做圆的面积。 用字母S表示。
2、一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。顶点在圆心的角叫做圆心角。
3、圆面积公式的推导：
（1）、用逐渐逼近的转化思想： 体现化圆为方，化曲为直；化新为旧，化未知为已知，化复杂为简单，化抽象为具体。
（2）、把一个圆等分（偶数份）成的扇形份数越多，拼成的图像越接近长方形。
（3）、拼出的图形与圆的周长和半径的关系。
圆的半径 = 长方形的宽
圆的周长的一半 = 长方形的长
因为： 长方形面积 = 长 × 宽
所以： 圆的面积 = 圆周长的一半× 圆的半径
S圆= πr × r
圆的面积公式： S圆= πr²
4、环形的面积：
一个环形，外圆的半径是R，内圆的半径是r。（R＝r＋环的宽度．）
S环 = πR²－πｒ² 或 S环 = π（R²－ｒ²）
5、一个圆，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。
而面积扩大或缩小的倍数是这倍数的平方倍。 例如：
在同一个圆里，半径扩大3倍，那么直径和周长就都扩大3倍，而面积扩大9倍。
6、两个圆： 半径比 = 直径比 = 周长比；而面积比等于这比的平方。 例如：
两个圆的半径比是2∶3，那么这两个圆的直径比和周长比都是2∶3，而面积比是4∶9
7、任意一个正方形与它内切圆的面积之比都是一个固定值，即：4∶π
8、当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆面积最大，正方形居中，长方形面积最小。反之，面积相同时，长方形的周长最长，正方形居中，圆周长最短。
9、确定起跑线：
（1）、每条跑道的长度 = 两个半圆形跑道合成的圆的周长 + 两个直道的长度。
（2）、每条跑道直道的长度都相等，而各圆周长决定每条跑道的总长度。（因此起跑线不同）
（3）、每相邻两个跑道相隔的距离是： 2×π×跑道的宽度
（4）、当一个圆的半径增加ａ厘米时，它的周长就增加２πａ厘米；当一个圆的直径增加ａ厘米时，它的周长就增加πａ厘米。
C长=(a+b)×2 a=C÷2-b b=C÷2-a
C正 =a×4 a=C÷4
S长=a×b a=S÷b b=S÷a
S正 =a×a S圆=πr²
C圆 =πd C圆 =2πr r=d÷2 r=C÷2÷π d=C÷π
圆周长的一半=πr r=圆周长的一半÷π 半圆周长=(π+2)r
r=半圆周长÷(π+2) S环=π(R²－ｒ²)
L弧=πr× EQ \F(n,180) C扇=πr× EQ \F(n,180) +2r S扇= EQ \F(n,360) πr²
11、常用各π值结果：
π = 3.14 2π = 6.28 3π = 9.42 4π = 12.56 5π = 15.7 6π = 18.84 7π = 21.98
8π = 25.12 9π = 28.26 10π = 31.4 16π = 50.24 25π = 78.5 36π = 113.04
49π =153.86 64π = 200.96 81π= 254.34 100π = 314
12、常用平方数结果
11² = 121 12² = 144 13² = 169 14² = 196 15² = 225
16² = 256 17² = 289 18² = 324 19² = 361 20²=400
第六单元 百分数（一）
一、百分数的意义和写法
1、百分数的意义：表示一个数是另一个数的百分之几。
百分数是指两个数的比，因此也叫百分率或百分比。
2、千分数：表示一个数是另一个数的千分之几。
3、百分数和分数的主要联系与区别：
（1）联系：都可以表示两个量的倍比关系。
（2）区别：
①、意义不同：百分数只表示两个数的倍比关系，不能表示具体的数量，所以不能带单位；
分数既可以表示具体的数，又可以表示两个数的关系，表示具本数时可以带单位。
②、百分数的分子可以是整数，也可以是小数；
分数的分子不能是小数，只能是除0以外的自然数。
4、百分数的写法：通常不写成分数形式，而在原来分子后面加上“％”来表示。
二、百分数和分数、小数的互化
（一）百分数与小数的互化：
1、小数化成百分数：把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号。
2. 百分数化成小数：把小数点向左移动两位，同时去掉百分号。
（二）百分数的和分数的互化
1、百分数化成分数：
先把百分数化成分数，先把百分数改写成分母是否100的分数，能约分要约成最简分数。
2、分数化成百分数：
① 用分数的基本性质，把分数分母扩大或缩小成分母是100的分数，再写成百分数形式。
②先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数），再把小数化成百分数。
（三）常见的分数与小数、百分数之间的互化
EQ \F(1,2) = 0.5 = 50% EQ \F(1,4) = 0.25 = 25% EQ \F(3,4) = 0.75 = 75%
EQ \F(1,5) = 0.2 = 20% EQ \F(2,5) = 0.4 = 40% EQ \F(3,5) = 0.6 = 60% EQ \F(4,5) = 0.8 = 80%
EQ \F(1,8) = 0.125 = 12.5% EQ \F(3,8) = 0.375 = 37.5% EQ \F(5,8) = 0.625 = 62.5% EQ \F(7,8) = 0.875 = 87.5%
EQ \F(1,16) = 0.0625 = 6.25% EQ \F(1,20) =0.05= 5﹪ EQ \F(1,25) =0.04= 4﹪ EQ \F(1,50) =0.02=2﹪
三、用百分数解决问题
（一）一般应用题
1、常见的百分率的计算方法：
①合格率 =合格产品数/产品总数×100% ②发芽率 = 发芽种子数/种子总数×100%
③出勤率 =出勤人数/总人数×100% ④达标率 =达标人数/总人数×100%
⑤成活率 =成活数量/总数量×100% ⑥出粉率 =粉的重量/出粉物的重量×100%
⑦出米率=米的数量/出米物的重量 ⑧出油率=油的重量/出油物的重量数×100%
⑨烘干率 =烘干后的重量/烘干前的重量×100% ⑩含水率 =(烘干前的重量-烘干后的重量)/ 烘干前的重量×100% 含水率 =(水的质量/水与物体的总质量)×100% 含糖率=糖的重量/糖水的重量×100% 含盐率=盐的重量/盐水的重量×100% 近视率=近视人数/总人数×100% 命中率=命中的次数/投篮次数×100%
百分率表示两个数的比，是没有单位名称的
一般来讲，出勤率、成活率、合格率、正确率能达到100%，出米率、出油率达不到100%，完成率、增长了百分之几等可以超过100%。（一般出粉率在70、80%，出油率在30、40%。）
2、已知单位“1”的量，求单位“1”的百分之几是多少的问题（用乘法）：
数量关系式和分数乘法解决问题中的关系式相同：
（1）分率前是“的”： 单位“1”的量×分率=分率对应量
（2）分率前是“多或少”的意思： 单位“1”的量×（1+- 分率）=分率对应量
3、未知单位“1”的量（用除法），已知单位“1”的百分之几是多少，求单位“1”。
解法：（建议：最好用方程解答）
（1）方程： 根据数量关系式设未知量为，用方程解答。
（2）算术（用除法）： 分率对应量÷对应分率 = 单位“1”的量
4、求一个数比另一个数多（少）百分之几的问题：
两个数的相差量÷单位“1”的量 × 100%
①求多几分之几(大数-小数)÷比后面的数
②求少几分之几(大数-小数)÷比后面的数
第七单元 扇形统计图
一、扇形统计图的意义：
用整个圆的面积表示总数，用圆内各个扇形面积表示各部分数量同总数之间的关系。
也就是各部分数量占总数的百分比（因此也叫百分比图）。
二、常用统计图的优点：
1、条形统计图：可以清楚的看出各种数量的多少。
2、折线统计图：不仅可以看出各种数量的多少，还可以清晰看出数量的增减变化情况。
3、扇形统计图：能够清楚的反映出各部分数量同总数之间的关系。
三、扇形的面积大小：在同一个圆中，扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关，圆心角越大，扇形越大。（因此扇形面积占圆面积的百分比，同时也是该扇形圆心角度数占圆周角度数的百分比。）
第八单元数学广角——数与形
在解决问题中，计算基于图形，画个图形，关系就变得非常明晰
第九单元补充内容
（一）位置
1、行和列的意义：竖排叫做列，横排叫做行。
2、数对可以表示物体的位置，也可以确定物体的位置。
3、数对表示位置的方法：先表示列，再表示行。用括号把代表列和行的数字或字母括起来，再用逗号隔开。例如：（7，9）表示第七列第九行。
4、两个数对，前一个数相同，说明它们所表示物体位置在同一列上。如：（2，4）和（2，7）都在第2列上。
5、两个数对，后一个数相同，说明它们所表示物体位置在同一行上。如：（3，6）和（1，6）都在第6行上。
6、物体向左、右平移，行数不变，列数减去或加上平移的各数。 物体向下、上平移，列数不变，行数减去或加上平移的各数
（二）数学广角——鸡兔同笼
（1）已知总头数和总脚数，求鸡、兔各多少：
（总脚数-每只鸡的脚数×总头数）÷（每只兔的脚数-每只鸡的脚数）=兔数；
总头数-兔数=鸡数。
或者是（每只兔脚数×总头数-总脚数）÷（每只兔脚数-每只鸡脚数）=鸡数；
总头数-鸡数=兔数。
（2）已知总头数和鸡兔脚数的差数，当鸡的总脚数比兔的总脚数多时，可用公式
（每只鸡脚数×总头数-脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=兔数；
总头数-兔数=鸡数
或（每只兔脚数×总头数+鸡兔脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只免的脚数）=鸡数；
总头数-鸡数=兔数。
（3）已知总头数与鸡兔脚数的差数，当兔的总脚数比鸡的总脚数多时，可用公式
每只鸡的脚数×总头数+鸡兔脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=兔数；
总头数-兔数=鸡数。
或（每只兔的脚数×总头数-鸡兔脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=鸡数；
总头数-鸡数=兔数。
（4）得失问题（鸡兔问题的推广题）的解法，可以用下面的公式：
（1只合格品得分数×产品总数-实得总分数）÷（每只合格品得分数+每只不合格品扣分数）=不合格品数。 或者是 总产品数-（每只不合格品扣分数×总产品数+实得总分数）÷（每只合格品得分数+每只不合格品扣分数）=不合格品数
（“得失问题”也称“运玻璃器皿问题”，运到完好无损者每只给运费××元，破损者不仅不给运费，还需要赔成本××元……。它的解法显然可套用上述公式。）
（5）鸡兔互换问题（已知总脚数及鸡兔互换后总脚数，求鸡兔各多少的问题），可用下面的公式：
〔（两次总脚数之和）÷（每只鸡兔脚数和）+（两次总脚数之差）÷（每只鸡兔脚数之差）〕÷2=鸡数
〔（两次总脚数之和）÷（每只鸡兔脚数之和）-（两次总脚数之差）÷（每只鸡兔脚数之差）〕÷2=兔数 + - × ÷ = ( ) ² ³ πr²
（6）方程解法：假设鸡兔一共8只，设鸡有只，则兔有8－只
解方程方法一：消项(如果消＋3，方程两边就同时－3 ；如果消×3，方程两边就同时÷3)
1：把方程里的“括号”全部去掉，两种去括号的方法任选其一
2：如果两边都有 几 , 要先消去其中一边的 几
(如果有“-几”，就把“-几”消去，如果没有“-几”，就把较小的消去掉)
3：消去 “-几”， 消去“÷”
4：把这边的数字全部消掉，先消“+ -” 再消“÷” 最后消“×”
(注意：无论解到哪一步，数字+几 都要写成 几+数字)
解方程方法二：移项(＋3移到另一边就变成－3，×3移到另一边就变成÷3)
1：把方程里的“括号”全部去掉，两种去括号的方法任选其一
2：如果两边都有 几 ,就把其中一边的 几 移到另一边
(如果有“-几”，就把“-几”移到另一边。如果没有“-几”，就把较小的移到另一边)
3：把“-几”移到另一边，把 “÷”移到另一边”
4：把这边的数字全部移到另一边，先移“+ -” 再移“÷” 最后移“×”
(注意：无论解到哪一步，数字+几 都要写成 几+数字)
高级单位化低级单位： 高级单位的数×它们之间的进率
低级单位聚高级单位： 低级单位的数÷它们之间的进率
长度单位换算 km m dm cm mm
1千米=1000米 1米=10分米 1分米=10厘米 1米=100厘米 1厘米=10毫米
面积单位换算 km² m² dm² cm² mm²
1平方千米=100公顷 1公顷=10000平方米 1平方米=100平方分米
1平方分米=100平方厘米 1平方厘米=100平方毫米
体(容)积单位换算 L mL m³ dm³ cm³
1立方米=1000立方分米 1立方分米=1000立方厘米 1升=1000毫升
1立方米=1000升 1立方分米=1升 1立方厘米=1毫升
质量单位换算 t kɡ ɡ
1吨=1000 千克 1千克=1000克 1千克=1公斤
人民币单位换算
1元=10角 1角=10分 1元=100分
时间单位换算 h min s
1世纪=100年 1年=12月 大月(31天)有:1\3\5\7\8\10\12月 小月(30天)的有:4\6\9\11月
平年2月28天, 闰年2月29天 平年全年365天, 闰年全年366天
1日=24小时 1时=60分 1分=60秒 1时=3600秒
第五单元圆
1、圆的定义：圆是由曲线围成的一种平面图形。
2、圆心：将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。
一般用字母 表示。它到圆上任意一点的距离都相等．
3、半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。一般用字母 表示。
把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。
4、直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用字母 表示。
直径是一个圆内最长的线段。
5、圆心确定圆的 ，半径确定圆的 。
6、在同圆或等圆内，有无数条半径，有无数条直径。所有的半径都相等，所有直径都相等。
7．在同圆或等圆内，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的
用字母表示为：d＝2r或r ＝
8、轴对称图形：
如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形是轴对称图形。
折痕所在的这条直线叫做对称轴。（经过圆心的任意一条直线或直径所在的直线）
9、长方形、正方形和圆都是对称图形，都有对称轴。这些图形都是轴对称图形。
10、只有1一条对称轴的图形有： 角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆。
只有2条对称轴的图形是： 长方形
只有3条对称轴的图形是： 等边三角形
只有4条对称轴的图形是： 正方形;
有无数条对称轴的图形是： 圆、圆环。
二、圆的周长
1、圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。用字母 表示。
2、圆周率实验：
在圆形纸片上做个记号，与直尺0刻度对齐，在直尺上滚动一周，求出圆的周长。
发现一般规律，就是圆周长与它直径的比值是一个固定数（π）。
3．圆周率：任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，我们把它叫做圆周率。
用字母π（pai） 表示。
（1）、一个圆的周长总是它直径的3倍多一些，这个比值是一个固定的数。
圆周率π是一个无限不循环小数。在计算时，一般取π ≈ 。
（2）、在判断时，圆周长与它直径的比值是π倍，而不是3.14倍。
（3）、世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。
4、圆的周长公式： C= πd d =
或C= r =
5、在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。
在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。
6、区分周长的一半和半圆的周长：
（1）周长的一半：等于圆的周长÷2 计算方法： 即 πr
（2）半圆的周长：等于圆的周长的一半加直径。 计算方法：
三、圆的面积
1、圆的面积：圆所占平面的大小叫做圆的面积。 用字母S表示。
2、一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫扇形。顶点在圆心的角叫做圆心角。
3、圆面积公式的推导：
（1）、用逐渐逼近的转化思想： 体现化圆为方，化曲为直；化新为旧，化未知为已知，化复杂为简单，化抽象为具体。
（2）、把一个圆等分（偶数份）成的扇形份数越多，拼成的图像越接近长方形。
（3）、拼出的图形与圆的周长和半径的关系。
圆的半径 = 长方形的宽
圆的周长的一半 = 长方形的长
因为： 长方形面积 = 长 × 宽
所以： 圆的面积 = 圆周长的一半× 圆的半径
S圆=πr × r
圆的面积公式： S圆=πr²
4、环形的面积：
一个环形，外圆的半径是R，内圆的半径是r。（R＝r＋环的宽度．）
S环 = πR²－πｒ² 或 S环 = π（R²－ｒ²）
5、一个圆，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。
而面积扩大或缩小的倍数是这倍数的平方倍。 例如：
在同一个圆里，半径扩大3倍，那么直径和周长就都扩大3倍，而面积扩大9倍。
6、两个圆： 半径比 = 直径比 = 周长比；而面积比等于这比的平方。 例如：
两个圆的半径比是2∶3，那么这两个圆的直径比和周长比都是2∶3，而面积比是 ∶
7、任意一个正方形与它内切圆的面积之比都是一个固定值，即：4∶π
8、当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆面积最大，正方形居中，长方形面积最小。反之，面积相同时，长方形的周长最长，正方形居中，圆周长最短。
公式变形：
C长=(a+b)×2 a= b=
C正 =a×4 a=
S长=a×b a= b=
S正 =a×a S圆=
C圆 =πd C圆 =2πr r= r= d=
圆周长的一半=πr r=圆周长的一半÷
半圆周长=(π+2)r r=半圆周长÷
11、常用各π值结果：
π = 3.14 2π = 6.28 3π = 9.42 4π = 12.56 5π = 15.7
6π = 18.84 7π = 21.98 8π = 25.12 9π = 28.26 10π = 31.4
12、常用平方数结果
11² = 12² = 13² = 14² = 196 15² =
16² = 17² = 289 18² = 19² = 361 20²=
第六单元 百分数（一）
一、百分数的意义和写法
1、百分数的意义：表示一个数是另一个数的百分之几。
百分数是指两个数的比，因此也叫百分率或百分比。
2、千分数：表示一个数是另一个数的千分之几。
3、百分数和分数的主要联系与区别：
（1）联系：都可以表示两个量的倍比关系。
（2）区别：
①、意义不同：百分数只表示两个数的倍比关系，不能表示具体的数量，所以不能带单位；
分数既可以表示具体的数，又可以表示两个数的关系，表示具体数时可以带单位。
②、百分数的分子可以是整数，也可以是小数；
分数的分子不能是小数，只能是除0以外的自然数。
4、百分数的写法：通常不写成分数形式，而在原来分子后面加上“％”来表示。
二、百分数和分数、小数的互化
（一）百分数与小数的互化：
1、小数化成百分数：把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号。
2. 百分数化成小数：把小数点向左移动两位，同时去掉百分号。
（二）百分数的和分数的互化
1、百分数化成分数：
先把百分数化成分数，先把百分数改写成分母是否100的分数，能约分要约成最简分数。
2、分数化成百分数：
① 用分数的基本性质，把分数分母扩大或缩小成分母是100的分数，再写成百分数形式。
②先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数），再把小数化成百分数。
（三）常见的分数与小数、百分数之间的互化
EQ \F(1,2) = 0.5 = 50% EQ \F(1,4) = 0.25 = 25% EQ \F(3,4) = 0.75 = 75%
EQ \F(1,5) = 0.2 = 20% EQ \F(2,5) = 0.4 = 40% EQ \F(3,5) = = % EQ \F(4,5) = 0.8 = 80%
EQ \F(1,8) = = % EQ \F(3,8) = 0.375 = 37.5% EQ \F(5,8) = = % EQ \F(7,8) = 0.875 = 87.5%
EQ \F(1,16) = = % EQ \F(1,20) =0.05= 5﹪ EQ \F(1,25) = = ﹪ EQ \F(1,50) =0.02=2﹪
三、用百分数解决问题
（一）一般应用题
1、常见的百分率的计算方法：
①合格率 =合格产品数/产品总数×100% ②发芽率 = 发芽种子数/种子总数×100%
③出勤率 =出勤人数/总人数×100% ④达标率 =达标人数/总人数×100%
⑤成活率 =成活数量/总数量×100% ⑥出粉率 =粉的重量/出粉物的重量×100%
⑦出米率=米的数量/出米物的重量 ⑧出油率=油的重量/出油物的重量数×100%
⑨烘干率 =烘干后的重量/烘干前的重量×100% ⑩含水率 =(烘干前的重量-烘干后的重量)/ 烘干前的重量×100% 含水率 =(水的质量/水与物体的总质量)×100% 含糖率=糖的重量/糖水的重量×100% 含盐率=盐的重量/盐水的重量×100% 近视率=近视人数/总人数×100% 命中率=命中的次数/投篮次数×100%
百分率表示两个数的比，是没有单位名称的
一般来讲，出勤率、成活率、合格率、正确率能达到100%，出米率、出油率达不到100%，完成率、增长了百分之几等可以超过100%。（一般出粉率在70、80%，出油率在30、40%。）
2、已知单位“1”的量，求单位“1”的百分之几是多少的问题（用乘法）：
数量关系式和分数乘法解决问题中的关系式相同：
（1）分率前是“的”： 单位“1”的量×分率=分率对应量
（2）分率前是“多或少”的意思： 单位“1”的量×（1+- 分率）=分率对应量
3、未知单位“1”的量（用除法），已知单位“1”的百分之几是多少，求单位“1”。
解法：（建议：最好用方程解答）
（1）方程： 根据数量关系式设未知量为，用方程解答。
（2）算术（用除法）： 分率对应量÷对应分率 = 单位“1”的量
4、求一个数比另一个数多（少）百分之几的问题：
两个数的相差量÷单位“1”的量 × 100%
①求多几分之几(大数-小数)÷比后面的数
②求少几分之几(大数-小数)÷比后面的数
第七单元 扇形统计图
一、扇形统计图的意义：
用整个圆的面积表示总数，用圆内各个扇形面积表示各部分数量同总数之间的关系。
也就是各部分数量占总数的百分比（因此也叫百分比图）。
二、常用统计图的优点：
1、条形统计图：可以清楚的看出各种数量的多少。
2、折线统计图：不仅可以看出各种数量的多少，还可以清晰看出数量的增减变化情况。
3、扇形统计图：能够清楚的反映出各部分数量同总数之间的关系。
三、扇形的面积大小：在同一个圆中，扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关，圆心角越大，扇形越大。（因此扇形面积占圆面积的百分比，同时也是该扇形圆心角度数占圆周角度数的百分比。）
单位换算：
面积单位换算 km² m² dm² cm² mm²
1平方千米= 公顷 1公顷= 平方米 1平方米= 平方分米
1平方分米= 平方厘米 1平方厘米= 平方毫米
体(容)积单位换算 L mL m³ dm³ cm³
1立方米= 立方分米 1立方分米= 立方厘米 1升= 毫升
1立方米= 升 1立方分米= 升 1立方厘米= 毫升
质量单位换算 t kɡ ɡ
1吨= 千克 1千克= 克 1千克= 公斤
人民币单位换算
1元= 角 1角= 分 1元= 分
时间单位换算 h min s
1世纪= 年 1年= 月
大月(31天)有: 、 、 、 、 、 月
小月(30天)的有: 、 、 、 、 月
平年2月 天, 闰年2月 天 平年全年 天, 闰年全年 天
1日= 小时 1时= 分 1分= 秒 1时= 秒
