初中数学第5章 二次函数5.4 二次函数与一元二次方程教案设计

二次函数和方程      

课型：新授          

一、学习目标：

1、  使学生能熟练地画出二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象，并能结合图象初步能判断a、b、c的符号。

2、  结合二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象感受二次函数与不等式、方程的关系。

二、（一）复习旧知：

1、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是_______，顶点坐标是___________。

2、无论x取任何实数，函数y=x2+2x-3中，函数值y的取值范围是  （      ）

A、y≥-4        B、y≤-4        C、y≥-3         D、取任何实数

3、当0≤x≤5时，函数y=3x2-12x+5的取值范围是________________

4、在右图中：

（1）当x满足_________时，y=0  （2）当x满足_________时，y＞0

（3）当x满足_________时，y＜0

（二）自主探究

问题1：想一想，如何根据图象确定二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中a、b、c的符号，

（1）a的符号与抛物线的___________有关，有什么结论？

______________________________________

（2）抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与y轴的交点坐标是________

因此抛物线与y轴的交点:

①在y轴正半轴上时，c与0的大小关系是___________；

②在y轴负半轴上时，c与0的大小关系是___________；

③在原点时，c与0的大小关系是___________。

（3）对称轴与_____  有关，如何确定b的符号?

（4）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，那么        （       ）

A、  a＜0，b＞0，c＜0        B、a＜0，b＜0，c＞0，

C、a＜0，b＜0，c＜0，       D、a＜0，b＞0，c＞0

三、例1、（1）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，那么你能判断出以下量的符号吗？a___0;b___0;c____0;abc___0、2a+b___0、a+b+c___0、a-b+c___0、b2-4ac___0 、4a+2b+c____0。   

（2）在同一坐标系中，直线 y=ax+b(a≠0) 与抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象可能是 （   ）                                                  

     A                   B                C                 D

例2：已知抛物线的顶点为P（3，-2），且在x轴上截得的线段AB长为4.

（1）求这个抛物线的解析式；

（2）抛物线上是否存在点Q，使△QAB的面积为12？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由。

课堂检测：

1、已知：抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如下左图，判断下列式子与0的大小关系

（1）a_______0 (2)b_______0  (3)c _______0  (4)a+b+c_______0   (5)a-b+c_______0  (6)b2-4ac ___0,  (7)2a+b_______0    (8)2a-b_______0

2、抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如上右图所示，则下列关于a、b、c间的关系判断正确的是 （          ）                                           

A、ab＜0     B、abc＞0    C、a+b+c＞0    D、a-b+c＜0

3、抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如右下图，则ac与0的大小关系是 （       ）

A、＜           B、≤            C、＞               D、≥          

4、  函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如右上图，下列结论中①abc＞0   ②a+b+c＜0  ③b=2a   ④a-b+c＞0正确的个数有　                      （　　　　）

A、0个      B、1个       C、2个         D、3个

5、函数y=(x-1)2+k与y=-(k≠0)在同一坐标系中的大致图象是   （        ）

     A                 B                C                    D

6、抛物线交x轴正半轴于点A，交x轴负半轴于点B，交y轴负半轴于点C，O为坐标原点，这条抛物线的对称轴为直线.

(1)求A、B两点的坐标；

（2）求证：△ACO∽△CBO

（3）在抛物线上是否存在点P（点C除外），使三角形APB的面积等于三角形ABC的面积？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。

二次函数和方程（2）课堂作业

1．已知函数的图象如下左图所示，则下列结论正确的是（    ）

A．a＞0，c＞0    B．a＜0，c＜0    C．a＜0，c＞0     D．a＞0，c＜0

2.二次函数的图象如上右图所示，则下列关系式不正确的是（    ）

A、＜0  B、＞0  C、＞0  D、＞0

3．下列表格是二次函数的自变量与函数值的对应值，判断方程（为常数）的一个解的范围是（    ）

A．  B．   C． D．

4.如图所示的抛物线是二次函数

的图象，那么的值是          ．

5.兰州市“安居工程”新建成的一批楼房都是8层高，房子的价格y（元/平方米）随楼层数x（楼）的变化而变化（x=1，2，3，4，5，6，7，8）；已知点（x，y）都在一个二次函数的图像上（如图6所示），则6楼房子的价格为        元/平方米．

6.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象交x轴于点A(x0，0)和点B(2，0)，与y轴的正半轴交于点C，其对称轴是直线x＝－1，tan∠BAC＝2，点A关于y轴的对称点为点D．

（1）确定A、C、D三点的坐标；

（2）求过B、C、D三点的抛物线的解析式；

（3）若过点(0，3)且平行于x轴的直线与（2）小题中所求抛物线交于M、N两点，以MN为一边，抛物线上任意一点P(x，y)为顶点作平行四边形，若平行四边形的面积为S，写出S关于P点纵坐标y的函数解析式．

（4）当＜x＜4时，（3）小题中平行四边形的面积是否有最大值，若有，请求出，若无，请说明理由．

二次函数和方程（2）家庭作业

1.二次函数的部分对应值如下表：

二次函数图象的对称轴为       ，对应的函数值        ．

2.如图，抛物线y1＝－x2＋2向右平移1个单位得到抛物线y2，回答下列问题：

(1)抛物线y2的顶点坐标_____________；

(2)阴影部分的面积S＝___________；

(3)若再将抛物线y2绕原点O旋转180°得到抛物线y3，则抛物线y3的开口方向__________，顶点坐标____________．

3.二次函数图象如图所示，则点在第        ____________象限．

4.已知关于x的函数同时满足下列三个条件：

①函数的图象不经过第二象限；   ②当时，对应的函数值；

③当时，函数值y随x的增大而增大．

你认为符合要求的函数的解析式可以是：               （写出一个即可）．

5、如图，开口向下的抛物线与轴交于、两点，抛物线上另有一点在第一象限，且使∽，（1）求的长及的值；（2）设直线与轴交于点，点是的中点时，求直线和抛物线的解析式。

6、  如图，已知△ABC为等边三角形，D、E分别是边AC、BC上的点（不在顶点），∠BDE=60°，

（1）       求证：△DEC∽△BDA；

（2）       若等边△ABC的边长为6，并设DC=x,BE=y，试求出y与x之间的函数关系式，画出函数图象，并求BE最短时，△BDE的面积，

7、如图抛物线y=ax2+bx过点A（4，0），正方形OABC的边BC与抛物线的一个交点为D，点D的横坐标为3，点M在y轴的负半轴上，直线L过点D、M，且与抛物线的对称轴交于点H，tan∠OMD=，

（1）       写出a、b的值：a=____，b=____，并写出点H的坐标(_____,___)；

（2）       如果点Q是抛物线对称轴上的一个动点，那么是否存在点Q，使得以点O、M、Q、H为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。