2021学年5.4 二次函数与一元二次方程教学设计

二次函数和一元二次方程

课型：新授        

一、学习目标：

1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系；

2.理解二次函数的图像与轴公共点的个数与一元二次方程的根的个数之间的对应关系。

3. 结合二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象感受二次函数与不等式的关系。

二、学习重点与难点：

学习重点是：体会方程、不等式与函数之间的联系；

理解二次函数的图像与轴公共点的个数与一元二次方程的根的个数之间的对应关系。

学习难点是：1、理解一元二次方程的根就是二次函数与轴交点的横坐标。

2、二次函数与不等式的关系

三、（一）思考与探索：二次函数y=x2-2x-3与一元二次方程x2-2x-3=0有怎样的关系？

1、从关系式看二次函数y=x2-2x-3成为一元二次方程x2-2x-3=0的条件是什么？

2、反应在图象上：观察二次函数y=x2-2x-3的图象，你能确定一元二次方程                       x2-2x-3=0的根吗？

3、结论：

一般地，如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点（x1,0）、(x2,0),那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根x=x1、x=x2。反过来也成立。

4、观察与思考：

   观察下列图象：

（1）观察函数y= x2-6x+9与y= x2-2x+3的图象与x轴的公共点的个数；

（2）判断一元二次方程x2-6x+9=0和x2-2x+3=0的根的情况；

（3）你能利用图象解释一元二次方程的根的不同情况吗？

（二）归纳提高：

一般地，二次函数y=ax2+bx+c图象与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有如下关系：

1、如果二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴有两个交点（m,0）、(n,0),那么一元二次方程ax2+bx+c=0有              实数根x1=     ,x2=       .

2、如果二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴有一个交点（m,0）,那么一元二次方程ax2+bx+c=0有              实数根x1=x2=       .

3、如果二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴没有交点,那么一元二次方程ax2+bx+c=0

              实数根.

反过来，由一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况可以判断二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴的交点个数。

当Δ=>0时，一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况是              ，此时二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴有         交点；

当Δ==0时，一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况是              ，此时二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴有         交点；

当Δ=<0时，一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况是              ，此时二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴有         交点.

例1．如图，抛物线的对称轴是直线，且经过点（3，0），

则方程 的根为：            。

例2．直接说出下列二次函数的图象与x轴公共点的个数

（1）y=x2－2x；     （2）y=x2－2x－3．

例3.已知抛物线的顶点在x轴上，则=       ；若抛物线与x轴有两个交点，则的范围是         ；与轴最多只有一个交点，则的范围是     

例4：已知抛物线y= x2-2x-3

①与y轴的交点坐标为________，与x轴的交点坐标为________，

②当y＞0时, x的取值范围是_______,当y＜0时, x的取值范围是_______,

当x＜0时, y的取值范围是_______

例5、画出函数y1=2x2-4x-1与函数y2= -x+1的图象，根据图象，指出：

(1) 当x取什么值时，y1= y2 ？

(2) 当x取什么值时，y1 〉y2 ？

(3) 当x取什么值时，y1< y2 ？

例6：如图，在同一坐标系中一次函数的图像与坐标轴交于B、C，二次函数的图像与坐标轴交于A、B、C三点，且对称轴平行于y轴.

（1）       分别求出图中一次函数与二次函数的解析式；

（2）       根据图像指出当x为何值时，一次函数与二次函数的值均随x的增大而增大？

（3）       根据图像指出当x什么范围时，一次函数的值大于二次函数的值？

二次函数和一元二次方程课堂作业

 班级_________姓名 _________

1．判断下列各抛物线是否与x轴相交

（1）   （2）  （3）

2．已知抛物线与x轴的两个交点为（-2，0），（3，0），

则=    ，=       .

3．抛物线的图象全部在x轴下方的条件是（     ）

A． a＜0  b2-4ac≤0                        B．a＜0  b2-4ac＞0 

C．a＞0  b2-4ac＞0                        D．a＜0  b2-4ac＜0

4．已知抛物线y=ax2＋bx＋c的系数有a－b＋c=0，则这条抛物线经过点     ．

5.抛物线y=3x2＋5x与两坐标轴交点的个数为（      ）

A．3个   B．2个  C．1个   D．无

6.抛物线y＝x－x－2与x轴的交点坐标是______，与y轴的交点坐标是______。

7.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的函数值恒小于0，则a____0，b2-4ac_____0

（填≤、≥、＜、＞、＝）

8.函数y=-3x2 +12x-5，当自变量0≤x≤3时，函数值y的取值范围是__________；

9．已知二次函数y=x2＋mx＋m－2．求证：无论m取何实数，抛物线总与x轴有两个交点

10．已知二次函数．

（1）当实数k为何值时，图象经过原点？

（2）当实数k为何值时，图象的顶点在x轴上。

11．已知抛物线与x轴有两个不同的交点．

（1）求m的取值范围；

（2）判断点P（1，1）是否在抛物线上

（3）当m=1时，求抛物线的顶点Q及P点关于抛物线的对称轴对称的点P′的坐标，并过P′、Q、P三点，画出抛物线草图．

二次函数和一元二次方程（1）家庭作业

 班级_________姓名 _________

1.方程            的根是                   ；则函数            的图象与x轴的交点有    _________个，其坐标是               ．

2.方程              的根是               ；则函数               的图象与x轴的交点有  _____  个，其坐标是               ．

3．下列函数的图象中，与x轴没有公共点的是（   ）

4．如图,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线 x=-1,由图象知,关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1.3 ,x2=＿＿＿

5．若抛物线y=ax2+bx+c,当 a>0,c<0时,图象与x轴交点情况是(     )

A、无交点        B、只有一个交点  

C、有两个交点    D、不能确定

6.已知抛物线y=x2-8x+c,

(1)若抛物线的顶点在x轴上,则c=     ；

(2)若抛物线与x轴有两个交点,则c的范围是           ；

(3)若抛物线与坐标轴有两个公共点,则c的范围是           。

7.抛物线y=-x2-x+12如图所示

当x           时,y=0.

当              时,y>0.

当             时, y＜0.

8.二次函数y=ax2+bx+c的图像如图，根据图像回答下列问题。

(1)方程ax2+bx+c=0的两个根是______

(2) 不等式ax2+bx+c>0的解集 ______

(3)不等式ax2+bx+c＜0的解集 ______

(4)y随x的增大而减小的x范围______

(5)若方程ax2+bx+c=k有2个不等实数根，则k的范围_________

9、不论x取何值时，函数y=ax2+bx+c(a≠0)的值永远是正值的条件是什么？

10已知:抛物线y=mx2-2(3m-1)x+9m-1,无论x取何值时,函数y的值都是非负数.求:m的取值范围.