小升初数学系统总复习第24讲 统筹与策略

这是一份小升初数学系统总复习第24讲 统筹与策略，共17页。

二.基础知识
（一）.统筹
运筹学是利用数学来研究人力、物力的运用和筹划，使它们能发挥最大效率的科学。它包含的内容非常广泛，例如物资调运、场地设置、工作分配、排队、对策、实验最优等等，每类问题都有特定的解法。运筹学作为一门科学，要运用各种初等的和高等的数学知识及方法，但是其中分析问题的某些朴素的思想方法，如高效率优先的原则、调整比较的思想、尝试探索的方法等，都是我们小学生能够掌握的。这些来源于生活实际的问题，正是启发同学们学数学、用数学最好的思维锻炼题目。
比如，想泡壶茶喝。当时的情况是：开水没有；水壶要洗，茶壶茶杯要洗；火生了，茶叶也有了。怎么办？办法甲：洗好水壶，灌上凉水，放在火上；在等待水开的时间里，洗茶壶、洗茶杯、拿茶叶；等水开了，泡茶喝。办法乙：先做好一些准备工作，洗水壶，洗茶壶茶杯，拿茶叶；一切就绪，灌水烧水；坐待水开了泡茶喝。办法丙：洗净水壶，灌上凉水，放在火上，坐待水开；水开了之后，急急忙忙找茶叶，洗茶壶茶杯，泡茶喝。
哪一种办法省时间？我们能一眼看出第一种办法好，后两种办法都窝了工。在实际生活中，我们科学利用统筹安排的方法可以大大节省时间、人力、物力以及资源，提高做事的效率。下面我们就来看看几种统筹类型题目的具体应用。
三.经典透析
【例1】（☆☆）6个人各拿一只水桶到水龙头接水，水龙头注满6个人的水桶所需时间分别是5分钟、4分钟、3分钟、10分钟、7分钟、6分钟。现在如果有甲、乙两个水龙头可用，怎么安排这6个人打水，才能使他们等候的总时间最短，最短的时间是多少？
分析：首先我们来看看如果只有一个水龙头时候的情况。要想等候的时间最短，我们应该怎样安排这些人呢？能把10分钟那个人放在第一个么？显然不行，如果那样的话，后边每一个人都会等他10分钟。说到这里大家应该明白该把什么样的人安排在前面了吧？对，应该把时间短的人尽量安排在前边，例如应该最先安排3分钟那个人，这样后边的5个人外加他自己都等了3分钟，依此类推，以下依次安排4，5，6，7，10，很容易计算出等候的总时间是3×6＋4×5＋5×4＋6×3＋7×2＋10＝100（分）。
详解：现在看看有两个水龙头的情况，由刚才的分析我们可以看出为使总的等待时间尽量短，应让打水所需时间少的人先打。安排需3分钟的，然后5分钟的，最后7分钟的在甲水龙头打；安排需4分钟的，然后6分钟的，最后10分钟的在乙水龙头打；在甲水龙头3分钟的人打时，有2人等待，占用三人的时间和为（3×3）分；然后，需 5分钟的人打水，有1人等待，占用两人的时间和为（5×2）分；最后，需7分钟的人打水，无人等待。甲水龙头打水的三个人，共用（3×3＋5×2＋7）分，乙水龙头的三人，共用（4×3＋6×2＋10）分。总的占用时间为（3×3＋5×2＋7）＋（4×3＋6×2＋10）＝60（分）。
点评：这道题的关键在于弄清楚安排的顺序，尽量将时间短的人往前安排，以使后面的人等待的时间短。
【例2】（☆☆☆）（2000年《小学生数学报》数学邀请赛）烙饼需要烙它的正、反面，如果烙熟一块饼的正、反面，各用去3分钟，那么用一次可容下2块饼的锅来烙2007块饼，至少需要多少分钟？
分析：首先很容易想到这样一种烙饼的方法，每次烙两张饼，正反两面共用6分钟，2007÷2=1003余1最后那张饼只能再用6分钟烙好，这样总共就用了6×1003+6=6024分钟。但是这是用时最少的方法么？可以看出烙最后一张饼的时候对锅的利用不够充分，所以很有可能浪费了一部分时间，那么有没有更好的方法呢？
详解：先将两块饼同时放人锅内一起烙，3分钟后两块饼都熟了一面，这时取出一块，第二块翻个身，再放人第三块，又烙了3分钟，第二块已烙熟取出，第三块翻个身，再将第一块放入烙另一面，再烙3分钟，锅内两块饼均烙熟。这样烙3块饼，用去9分钟，所以烙2007块饼，至少用2007÷3×9＝6021（分钟）。这种方法保证了所有时间段都能充分的利用锅，不造成浪费。 因此这种方法是用时最短的。
点评：如果是有2的倍数张饼，可以直接用第一种方式来操作，如果是一个3的倍数，可以直接用第二种方式，但是如果既不是2，又不是3的倍数（比如7张饼）该怎么操作呢？我们可以把这样的数拆成一个2的倍数与一个3的倍数的和来操作，如7可以拆成4+3，4这一部分用第一种方式操作，3用第二种，总时间为6×2+9=21分钟。
【例3】（☆☆☆）如下图，在街道上有A、B、C、D、E、F六栋居民楼，每栋楼里每天都有20个人要坐车，现在想设立一个公交站，使居民到达车站的距离之和最短，应该设在何处？
分析：先看下面这道题，如下图，在街道上有A、B、C、D、E五栋居民楼，现在设立一个邮筒，为使五栋楼的居民到邮筒的距离之和最短，邮筒应设于何处？
条件中只有五个楼的名字和排列顺序，楼与楼的距离也不确定。那么我们先来分析一下A、E两个点，不论这个邮筒放在AE之间的那一点，A到邮筒的距离加上E到邮筒的距离就是AE的长度，也就是说邮筒放在哪儿不会影响这两个点到邮筒的距离之和；那么我们就使其他的3个点到邮筒的距离之和最短，再看为了使B、D两个到邮筒的距离之和小，应把邮筒放在BD之间。同理，只要是在BD之间，B、D到邮筒的距离之和也是不变的，等于BD。最后，只需要考虑C点到邮筒的距离最近就行了。那么当然也就是把邮筒放在C点了。这里就体现了一个“向中心靠拢的思想”。
详解：再看我们这道题，因为每栋楼的人数相同所以数量不影响选择，找最中间的那栋楼，可这时最中间的楼有两个，这该怎么办呢？其实经过研究发现，建在这两个楼都一样，路程和最短，所以可以建在C或D。如果我们只要求建在这条道路上的一点即可，那么CD之间及点C、D均可。
点评：由上面两道题可以看出有“奇数”个点时就选最中间的那个点，有“偶数”个点的时候就选择最中间的两个点之间的任意一点。
【例4】（☆☆☆☆）甲，乙两人要到沙漠中探险，他们每天向沙漠深处走20千米，已知每人最多可以携带一个人24天的食物和水，如果不准将部分食物存放于途中，那么其中一人最远可以深入沙漠多少千米（要求最后二人返回出发点）？
分析：题目的要求是要其中一人走的更远，假设这个人是甲，怎样才能让甲走的更远呢？他必须获得乙的帮助，也就是说乙的食物和水当中的一部分得分给甲，由此，我们可以设计出如下的一个方案：
由线段图可知，两人先从A走到C地，然后乙将自己的一部分水和食物给甲，将甲的补给加满，只留下够自己回去的食物和水就行，然后甲继续往前走到B地然后返回A。有同学会问，那乙为什么不一开始就把自己的所有食物和水都给甲呢？原因是每人最多只能带24天的食物和水，所以太多了他也带不下。
详解：现在问题的关键是C地究竟在什么位置？我们来分析一下乙的食物和水分成了几个部分，他自己用去了两个部分（A到C，C回A），还把甲给加满了，也就是甲从A到C耗费的那部分，总共三部分，而且还是相等的。24÷3=8，即从A到C用去了8天，那么甲总共用去了24+8=32天的水和食物，因为是往返，所以从A到B总共用去了32÷2=16天，每天走20千米，所以A，B两地相距20×16=320（千米）。
点评：题目说不能将食物和水放在途中，如果可以将食物和水放在途中呢？会不会有不同的答案呢？我们再来研究一下，可以假设有以下这种情况：两人走到C地，乙给甲加满了，还在C地放了一部分食物，然后才回去的，而甲走到B地返回到C地时，正好用完了所有的食物和水，然后将乙留给他的食物和水取走，顺利返回。如果是这样，乙的食物和水应该分成了4部分，24÷4=6天，也就是从A到C地用去了6天，甲总共获得了24+12=36天的补给，因此他走了36÷2×20=360千米。
【例5】（☆☆☆☆）某商店汽水做促销活动，规定每5个空瓶能换1瓶汽水。小强家买了80瓶汽水，喝完后再按规定用空瓶去换汽水，那么他们家前后最多能喝到多少瓶汽水？
分析：很多人会考虑到用80个空瓶换16瓶汽水，然后用16个空瓶换3瓶汽水，然后就不会往下想了，事实上只是到此为止了么？那么我们手上的4个空瓶还能不能再发挥点作用呢？
方法一：我们按照实际换汽水过程分析：
喝掉80瓶汽水，用80个空瓶换回16瓶汽水；
喝掉16瓶汽水，用16个空瓶换回3瓶汽水余1个空瓶；
喝掉3瓶汽水，连上次余下的1个空瓶还剩4个空瓶。此时，再借1个空瓶，与剩下的4个空瓶一起又可换回1瓶汽水，喝完后将空瓶还了。
所以，他们家前后最多能喝到汽水：80+16+3+1=100（瓶）。
以上方法正确运用“5个空瓶可换1瓶汽水”这个条件，特别是最后一次换瓶的技巧，你不充分利用可就“吃亏了”！但如果一开始瓶数很多，那么这个换的过程就会很长。有没有简便的算法呢？
方法二：每4个空瓶就能换到1瓶汽水（不带瓶），即买4瓶就可以喝到5瓶，喝的瓶数是买的瓶数的倍。买了80瓶，那么可以喝80×=100（瓶）
点评：对于这种空瓶换汽水的题，主要有两种类型，一种是已知买了多少瓶，求最多能喝多少瓶（以下简称买推喝），另一种是已知喝了多少瓶，求至少要买多少瓶（以下简称喝推买）。无论是那种题，我们首先都要弄清楚喝的瓶数与买的瓶数之间的倍数关系。例如4瓶换1瓶，则倍数为，7瓶换1瓶，倍数为，然后喝推买的时候用喝的瓶数除以这个倍数，买退喝的时候就乘以这个倍数，这里要注意，喝的瓶数一定会比买的瓶数多，这个可以用来检验我们是否做对的标准。但是这里又会出现一个问题，万一得数不是一个整数该怎么办呢？这里我们要站在卖汽水的人的角度来看问题，他一定是希望我们买得多，喝得少，也就是说买推喝的时候，如果得数是100.9这样的数，那么我们只能喝到100瓶，而喝推买的时候，如果得数是100.1这样的数，我们必须买101瓶才行，这里一定是买推喝全舍，喝推买全入，而不是四舍五入。
（二）策略
在这里介绍几种数学游戏的必胜策略，希望同学们学习完本讲的内容后能够感受到兴趣，并且从中获益！
【例６】（☆☆☆）小明与弟弟在玩一种“抢报30”的游戏。从1开始到30，两人轮流报数，每人每次最多报两个数，不能不报，谁先抢到“30”算赢。请问，在他们先报与后报的人中，谁有必胜的策略。
分析：每次能够报1个或2个，当对手报1个时，自己就报2个，对手报2个，自己就报一个，这种方法可以称之为“凑3”。因此可以以3个数为一组（以下简称周期），对手报的是3个数中的前一部分，自己报的是后一部分。
详解：因为30÷3=10，没有余数，所以应该让对手先报，后报的人有必胜策略，就是“凑3”
如果是抢报31呢？31÷3余1，这个时候先报的人有必胜策略，先报这个余数，然后再与对手“凑3”。
我们还可以考虑一下下面这个问题。对于抢报50，最多可取三个数的情况，谁取到“50”为输。请问必胜的策略是什么呢？
要想让对手报50，自己必须抢到49这个数，这次可以报1、2、3个数，周期为4，所以策略应该为“凑4”，因为49÷4余1，所以应该先报，报1，然后与对手“凑4”。
点评：谁报最后一个谁赢的情况下，用总数÷周期，如果有余数，则先报的人赢，必胜策略是先报余数，然后与对手凑周期；如果没有余数，则后报的人赢，必胜策略是直接与对手凑周期。谁报最后一个谁输的情况下，先用总数-1，然后用报最后一个赢的方式操作就可以了。
可以试试下面这道题：两人作移火柴棍的游戏，游戏的规则如下：两人从一堆火柴棍中可轮流移走1～7根，直到移尽为止。挨到谁移最后一根就算谁输。如果开始时有1000根火柴，则先移的人第一次应该移动几根火柴棍，才能保证在游戏中获胜？
分析：其实这道题和上一道题是差不多的，因此它们的必胜策略相同。因为是谁拿到最后一根谁输，所以先用1000-1=999，又因为周期是8，所以用999÷8余7，因此先拿的人必须拿走7根火柴，然后与对手“凑8”，就一定能获胜。
【例７】（☆☆☆）甲、乙两人轮流往一个圆桌面上放同样大小的硬币。规则是：每人每次只能放一枚，硬币不许重叠，谁放完最后一枚硬币而使对方再也无处可放，谁就获胜。如果甲先放，那么他怎样放才能取胜？
分析：这个问题初看太抽象，既不知道圆桌的大小，又不知道硬币的大小，谁知道该怎样放呀!那我们先看看这道题：有两堆火柴，一堆35根，另一堆24根。两人轮流在其中任一堆中拿取，取的根数不限，但不能不取。规定谁取得最后一根火柴谁胜。先取者有何获胜的策略？
由于火柴的堆数多于一堆，所以获胜的策略与一堆火柴的情形完全不同。
先取者在35根一堆的火柴中取11根火柴，使得取后剩下两堆的火柴数相同。以后无论对手在某一堆取几根火柴，你只需在另一堆也取同样多根火柴。只要对手有火柴可取，你就有火柴可取，也就是说，最后一根火柴总会被你拿到。这样先取者总可获胜。在上面的玩法中，利用了对称的思想，两堆火柴数相同就是一种对称。
详解：由上一题我们可以看出，可以用对称的思想来解决一些问题，那么这道题可不可以也用对称的思想来考虑呢，我们来分析一下。圆是关于圆心对称的图形，若A是圆内除圆心外的任意一点，则圆内一定有一点B与A关于圆心对称（见上图，其中AO=OB）。也就是说，圆内除圆心外，任意一点都有一个（关于圆心的）对称点。由此可以想到，只要甲把第一枚硬币放在圆桌面的圆心处，以后无论乙将硬币放在何处，甲一定能找到与之对称的点放置硬币，只要乙能放，甲就一定能放。最后无处可放硬币的必是乙，这就是必胜策略。
点评：对称的思想在很多数学题中都发挥了重要的作用。例如有一道题，1～11这十一个自然数，每次任意取走一个或两个连续的自然数，谁取走最后一个谁赢，必胜策略是什么？
先取的人赢，先拿走6，然后对手取什么，他就取对手关于6对称的数，则最后一个数肯定被先取的人拿走了。
【例８】（☆☆☆☆）
如图，在一个2004×16的长方形棋盘左上角的方格中有一个棋子（用★表示）。
小兵和小燕按如下规则下棋：
（1）小兵先走，以后两人轮流移动棋子；
（2）棋子纵向或横向（斜向不可）走几个方格都可以，但至少要走1个方格；
（3）每个方格允许棋子通过或停留一次（即已经走过的格子不能再走了）；
（4）轮到哪一方没方格可走时，哪一方就算失败。
两人都在为取胜尽力，其中必有一胜。
请问：谁有必胜的把握？简述取胜的策略。
分析：小兵有必胜的把握，可按下面策略走棋：
第一步，小兵向右走至最后一格，小燕只能向下走若干格；
第二步，小兵向左走至最后一格，小燕只能向上或向下走若干格；
第三步，小兵向右走至最后一格，小燕只能向上或向下走若干格；
就这样，小兵始终横向走，使得小燕只能纵向走。最后小兵必胜。
点评：为什么这样小兵必胜呢？我们可以看出，这道题中行比列多，小兵横向走，每次都废掉了一行，而小燕纵向走，每次都废掉了一列，又因为行比列多，所以小兵的选择比小燕多，也就坚持的时间比较长了。如果把这道题中的棋盘竖过来，很显然小兵不能再选择横向走了，而只能纵向走，也就是说先走的人永远必胜，他只要选择去废掉行或列中较多一种就可以保证自己能赢。也许有同学要问了，如果行和列同样多呢？还是先走的人赢，这个时候他不论选择横向或者纵向都可以获胜。
【例９】（☆☆☆☆☆）在一个3×3的方格中（下图），甲、乙两人轮流（甲先）往方格中写1、3、4、5、6、7、8、9、10九个数中的一个，数字不能重复。最后甲的得分是上、下两行六个数之和，乙的得分是左、右两列六个数之和，得分多者为胜。请你为甲找出一种必胜的方法。
分析：把题中的九个格标上字母：a、b、c、d、e、f、g、h、i。甲的得
分为：a＋b＋c＋g＋h+i=（a＋c＋g+i）+（b+h）；
乙的得分为：a＋d＋g＋c＋f＋i=（a＋c＋g＋i）+（d＋f）
要想使甲的得分高于乙的得分，必须且只需使b＋h＞d+f。要想使b＋h＞d＋f，
甲有两种策略：一是增强自己的实力——使b、h格内填的数尽可能地大；二是削弱对方的实力——使d、f格内填的数尽可能地小。取胜的总策略是“增强自己，削弱对方”两者兼顾。
详解：如果优先考虑增强自己，则先在b或h中填10，这时如果对手在b或h中填1，则无论自己在d或f中填什么，都不能保证d+f小于11，所以很可能就输了，因此要优先考虑削弱对方，先在d或f中填入1，这时候就算对手给他自己加一个10还是给我一个最小的3，都可以保证我们的b＋h＞d+f。
专家点评：应该注意到这道题中没有2这个数字，如果将2这个数字加进去，则有可能出现b，f和d，h分别为10，1，或9，2，这样和都是11，就不能用上面的方法取胜了。
记九个数从大到小依次为A到I，把b和h两格称为“甲格”，因为它们决定甲获胜，把d和f两格称为“乙格”，其余五格称为“无关格”。
如果A+IB+H，对称地，甲使用增强自己的方法，先将A填入甲格，然后乙只能将I填入另一个甲格，此时甲可以将H填入乙格，这样，乙即使将B填入乙格，总和B+H还是小于A+I。
如果A+I=B+H，用上面的两种方法将会导致平局。但是甲占据先手之利，用其他方法仍然可以获胜！不妨假设甲优先使用“增强自己”的方法，将A填入甲格，然后乙将I填入另一个甲格。甲如果将H填入乙格，则平局，但是甲可以将B填入无关格。此时如果乙将C填入乙格，甲再将H填入另一个乙格，甲就获胜了。除此之外，乙只能也把H填入无关格。问题转化为C+G和A+I的大小。如果C+GA+I，也不要紧，一开始甲可以采用削弱对方的方法，将I填入乙格，然后乙将A填入乙格，甲将H填入无关格，乙将B填入无关格，甲将C填入甲格而获胜。
如果C+G=A+I，则继续考虑D+F，可类似分析。
如果一直到D+F还相等，甲仍然必胜，此时无论使用增强自己还是削弱对方都可以获胜。例如，甲一开始将A填入甲格，乙将I填入甲格；甲将B填入无关格，乙将H填入无关格；甲将C填入无关格，乙将G填入无关格；甲将D填入无关格，此时乙格只能填E和F，总和小于A+I。用削弱对方的方法也同样可以获胜。
拓展训练：
1.用一只平底锅煎饼，每次能同时放两个饼。如果煎1个饼需要2分钟（假定正、反面各需1分钟），问煎1993个饼至少需要几分钟？问煎1994个饼至少需要几分钟？
2.理发室里有甲、乙两位理发师，同时来了五位顾客，根据他们所要理的发型，分别需要10，12，15，20和24分钟。怎样安排他们的理发顺序，才能使这五人理发的等候所用时间的总和最少？最少要用多少时间？
3.车间里有五台车床同时出现故障，已知第一台到第五台修复时间依次为18，30，17，25，20分钟，每台车床停产一分钟造成经济损失5元。现有两名工作效率相同的修理工，
怎样安排才能使得经济损失最少？
怎样安排才能使从开始维修到维修结束历时最短？
（三帆中学分班考试）有七个村庄A1、A2、…、A7分布在公路两侧（见右图），由一些小路与公路相连，要在公路上设一个汽车站，要使汽车站到各村庄的距离和最小，车站应设在哪里？
5.有5位探险家计划横穿沙漠。他们每人驾驶一辆吉普车，每辆车最多能携带可供一辆车行驶315千米的汽油。显然，5个人不可能共同穿越500千米以上的沙漠。于是，他们计划在保证其余车安全返回出发点的前提下，让一辆车穿越沙漠。当然，实现这一计划需要几辆车相互借用汽油（但不允许将汽油放在途中）。问：穿越沙漠的那辆车最多能穿越多宽的沙漠？
6、桌子上放着55根火柴，甲、乙二人轮流每次取走1～3根。规定谁取走最后一根火柴谁获胜。如果双方都采用最佳方法，甲先取，那么谁将获胜？如果谁取走最后一根谁输，那么谁将获胜？
7、99张卡片上分别写着1～99。甲先从中抽走一张，然后乙再从中抽走一张，如此轮流下去。若最后的两张上的数是互质数，则甲胜；若最后剩下的两个数不是互质数，则乙胜。问：甲要想获胜应该怎样抽取卡片？
8.有大、中、小3个瓶子，最多分别可以装入水1000克，700克和300克。现在大瓶中装满水，希望通过水在3个瓶子间的流动使得中瓶和小瓶上标出100克水的刻度线，问最少要倒几次水
9.甲、乙两人玩下面的游戏：有三堆玻璃球，A堆有29个，B堆有16个，C堆有16个，甲、乙两人依次从中拿取，每次只许从同一堆中拿，至少拿一个，多拿不限，规定拿最后一个者获胜。问如果甲先拿，他有无必胜的策略？
10. 某人从金坛出发去扬州、常州、苏州、杭州各一次，最后返回金坛 。已知各城市之间的路费如下表所示，请为他设计一条路费最省的路线 。（表中单位：元）
（第5届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛口试题）
初级点拨：
这道题和我们的例2是同一类型的题，参照例2看看能不能自己做出来。
一人理发时，其他人需等待，为使总的等待时间尽量短，应让理发所需时间少的人先理。
这道题和例1是同一种类型的题。参照例1的分析考虑一下。
这道题的图有些复杂，我们能不能把这道题的图简化一下呢？
这是一道多人过沙漠的题，各人之间一定要协作，关键就在于每个人在什么地方将汽油给别人然后返回，我们要分析每个人的汽油分成了几个部分。
这是一道火柴棍游戏的题。我们在例6中已经对这种类型的题的解题方法进行了概括，同学们自己分析一下。
什么样的数互质？最容易想到的应该是相邻的数互质。从这个角度去考虑一下。
首先要弄清楚1000，700和300怎么才能凑出100？
这道题和我们的例7的前铺有些类似，想想那道题是怎么处理的？
我们能不能用一个图来把那个表改一下呢？
深度提示：
1.关键是1993个饼该怎么分拆，应该拆成一个2的倍数和一个3的倍数
2.甲先给需10分钟的人理发，然后15分钟的，最后24分钟的；乙先给需12分钟的人理发，然后20分钟的。
3.怎样安排才能使经济损失最少，必须等待的时间少，那么我们应该把时间短的放在前面，并且使两名修理工的工作时间尽量接近。
4. 本题可简化为“B，C，D，E，F处分别站着1，1，2，2，1个人（见右图），求一点，使所有人走到这一点的距离和最小”。
5. 如右图所示，5辆车从A点一起出发，到B点时第1辆车留下够自己返回A点的汽油，剩下的汽油全部转给其余4辆车，注意，B点的最佳选择应满足刚好使这4辆车全部加满汽油；剩下的4辆车继续前进，到C点时第2辆车留下够自己返回A点的汽油，剩下的汽油全部转给其余3辆车，使它们刚好加满汽油；剩下的3辆车继续前进……到E点时，第4辆车留下返回A点的汽油，剩下的汽油转给第5辆车。此时，第5辆车是加满汽油的，还能向前行驶315千米。
以这种方式，第5辆车能走多远呢？同学们可以自己来算算。
6. 解题的关键首先是要弄清楚是取到最后一根赢还是取到最后一根输，然后是要找到周期，并且注意有没有余数。
7. 我们可以把相邻的数分为一组，多余的那个数就是我们第一次应该取出的数。
8. 弄清楚了之后再想想怎么凑才能使次数最少？
9. 当只有两堆球，且两堆球的个数相同且个数不等于1时，先拿的必败。
10. 将两个城市之间的路费标在它们连线上，如图
可以看到有三对城市之间路费最低，都是15元 .
把它们连接起来，
常州扬州苏州杭州一线
共用45元，这时可以组成方案（1）
金坛常州扬州苏州杭州金坛
共需路费135元 。这是运费最少的方案么？
全解过程：
11993=1990+3，前1990张饼两张为一组，每组用2分钟，后三张饼为一组，用三分钟，因此总共用1990÷2×2+3=1993分钟，1994张饼每两个一组，每组用两分钟，共用1994÷2×2=1994分钟.
2甲给需10分钟的人理发时，有2人等待，占用三人的时间和为（10×3）分；然后，甲给需 15分钟的人理发，有1人等待，占用两人的时间和为（15×2）分；最后，甲给需 24分钟的人理发，无人等待。甲理发的三个人，共用（10×3＋15×2＋24）分，乙理发的两个人，共用（12×2＋20）分。总的占用时间为（10×3＋15×2＋24）＋（12×2＋20）=128（分）
3. （1）一人修17、20、30，另一人修18、25 ；最少的经济损失为：5×（17×3+20×2+30+18×2+25）=910（元）。
（2）因为（18＋30＋17＋25＋20）÷2=55（分），一人修需18，17和20分钟的三台，另一人修需30和25分钟的两台，修复时间最短为55分钟。
4. 把人尽量靠拢，显然把人聚到D、E最合适，靠拢完的结果变成了D=4，E=3，最好是移动3个人而不要移动4个人。所以车站设在D点。
5. 5辆车到达B点时，第1辆车要把另外4辆车消耗掉的汽油补上，加上自己往返AB的汽油，所以应把行驶315千米的汽油分成6份，2份供自己往返AB，4份给另外4辆车每辆加1份，刚好使这4辆车都加满汽油。AB长为：315÷6=52.5（千米）；
4辆车从B点继续前进，到达C点时，4辆车共消耗掉4份（BC）汽油，再加上第2辆车从C经B返回A，所以第2辆车是把汽油分成：5份BC+1份AB=315（千米），由上可知6份AB=315（千米），所以AB=BC，也就是说第2辆车仍是把汽油分成6份，3份供自己从B到C，再从C返回A，3份给另外3辆车加满汽油，由此知BC长也是52.5千米。
同理，CD=DE=52.5（千米）。
所以第5辆车最远能行驶52.5×4+315=525（千米）。
6. 如果取走最后一根获胜，55÷（1+3）=13……3，因为有余数，所以先取的人获胜，即甲获胜，必胜策略为先取三根然后与乙“凑4”。如果取走最后一根输，（55-1） ÷（1+3）=13……2，甲先取走两根， 然后与乙“凑4”，还是甲获胜。
7. （法1）：甲抽1 ，把剩下的数两两分组为（2，3）（4，5）…（98，99），无论乙抽何数，甲都抽同组中的另一个数。这样最后将剩下同一组中的两个数，这两数相邻必互质，甲胜。
（法2）：甲抽99，把剩下的数两两分组为（1，2）（3，4）…（97，98），无论乙抽何数，甲都抽同组中的另一个数。这样最后将剩下同一组中的两个数，这两数相邻必互质，甲胜。
8. 通过对三个数字的分析，我们发现700-300-300=100，是计算步数最少的得到100的方法。而由于我们每计算一步就相当于倒一次水，所以倒水最少的方案应该是：
1.大瓶往中瓶中倒满水。
2.中瓶往小瓶中倒满水，这时中瓶中还剩下400克水。
3.小瓶中水倒回大瓶。
4.中瓶再往小瓶中倒满水，这时中瓶中只剩下100克水，标记。
5.小瓶中水倒回大瓶。
6.中瓶中100水倒入小瓶，标记。所以最少要倒6次水。
9. 甲先取时，甲把A堆中的29个球全部取走，这时留给乙的是两堆球数相同且个数不等于1的局面。然后按照两堆球游戏的策略，甲就能获胜。
10. 方案（2）
金坛常州杭州苏州扬州金坛
共需路费130元 。
（2）比（1）小，因此，要路费最省，15元的路段至多用2条 。当有2条15元的路段时，次低25元的路段至多有1条，因此5段路费不会少于
15 + 15 + 25 + 30 + 40 = 125（元）
下面来说明，总路费125元是不能达到的 。事实上，由金坛一进一出的30+40=70元不能变动，如果变动，总路费便会增加 。这样，在选定 金坛常州，金坛扬州 的前提下，两个15元的路段就不能取 扬州常州，而只能取扬州苏州，苏州杭州 。这时，再选扬州杭州，或苏州常州， 哪一条都不能形成起于金坛最后又止于金坛的经过其余每个城市各一次的回路 。所以，总路费125元是不能实现的 。由于路费差价至少是5元，所以方案（2）的总路费130元是最省的 。
答：路费最省的路线为
金坛常州杭州苏州扬州金坛
或 金坛扬州苏州杭州常州金坛
共需路费130元 。
★
……
金 坛
常州
扬州
苏州
杭州
金坛
0
30
40
50
60
常州
30
0
15
25
30
扬州
40
15
0
15
25
苏州
50
25
15
0
15
杭州
60
30
25
15
0