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人教版 (2019)必修 第一册第三章 相互作用——力综合与测试同步达标检测题
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这是一份人教版 (2019)必修 第一册第三章 相互作用——力综合与测试同步达标检测题，共23页。试卷主要包含了轻绳的“活结”和“死结”问题，轻杆的“定杆”和“动杆”问题等内容，欢迎下载使用。
课题任务 轻绳和轻杆的弹力
1．轻绳的“活结”和“死结”问题
从弹力产生的原因分析，绷紧的轻绳就像拉伸的弹簧(或橡皮筋)一样，我们可以用弹簧模型分析绳子中的弹力。
拉伸的弹簧各处的弹力大小相同，所以无约束的轻绳中各处的弹力大小必定相同。如果拉伸的弹簧某一点被外力固定住，则固定点两侧的弹簧拉伸长度有可能不同，从而弹力不同，同理，被固定的两段绳子中弹力大小有可能不同。由此引申出轻绳的“活结”和“死结”问题。
(1)活结：当绳绕过光滑的滑轮或挂钩时，由于滑轮或挂钩对绳无约束，因此绳上的力是相等的，即滑轮或挂钩只改变力的方向不改变力的大小。
(2)死结：若结点不是滑轮，而是固定点时，称为“死结”结点，这时两侧绳上的弹力不一定相等。
2．轻杆的“定杆”和“动杆”问题
杆既可以发生拉伸或压缩形变(产生拉力或支持力)，也可以发生弯曲或扭转形变，所以杆的弹力不一定沿杆的方向。杆发生弯曲时产生的弹力叫剪切力，杆发生扭转时产生的弹力叫扭力，这两种弹力都不沿杆的方向，而是指向恢复原状的方向(这两种力了解即可，可以帮助理解杆中的弹力为什么不一定沿杆的方向)。杆中的弹力不沿杆时，一般是根据杆所受外力的方向和力的平衡条件判断杆中产生的弹力方向。
轻杆按其连接方式可分为“动杆”和“定杆”两种。
(1)动杆：若轻杆用光滑的转轴或铰链连接，当杆处于平衡时杆所受到的弹力方向一定沿着杆，否则会引起杆的转动。如图甲所示，若轻杆的C端用转轴固定，则轻杆在缓慢转动中，弹力方向始终沿杆的方向。
(2)定杆：若轻杆被固定不发生转动，则杆所受到的弹力方向不一定沿杆的方向，如图乙所示。
例1 如图甲所示，轻杆OB可绕B点自由转动，另一端O点用细绳OA拉住，固定在左侧墙壁上，质量为m的重物用细绳OC悬挂在轻杆上的O点，OA与轻杆的夹角∠BOA＝30°，轻杆OB水平。图乙中水平轻杆OB一端固定在竖直墙壁上，另一端O装有小滑轮，用一根细绳跨过滑轮后悬挂一质量为m的重物，图中∠BOA＝30°，则：
(1)图甲、乙中细绳OA的拉力各是多大？
(2)图甲中轻杆受到的弹力是多大？
(3)图乙中轻杆对滑轮的作用力是多大？
[规范解答] (1)题图甲中的杆可绕B转动，是“活杆”，故其受力方向沿杆，O点的受力情况如图甲所示，则O点所受的细绳OA的拉力FT1、杆的弹力N1的合力与细绳OC的拉力FT2大小相等、方向相反，又FT2＝mg在直角三角形中可得，FT1＝eq \f(FT2,sin30°)＝eq \f(mg,sin30°)＝2mg；
题图乙中是用一细绳跨过滑轮悬挂重物的，对题图乙中的滑轮受力分析，如图乙所示，由于O点处是滑轮，它只改变细绳中力的方向，并未改变力的大小，且AOC是同一根细绳，而同一根细绳上的力处处相等，故图乙中细绳OA的拉力为FT1′＝FT2′＝mg。
(2)由图甲中力的平行四边形可知，题图甲中轻杆所受的弹力为N1′＝N1＝eq \f(FT2,tan30°)＝eq \f(mg,tan30°)＝eq \r(3)mg。
(3)由于题图乙中杆OB不可转动，所以杆所受弹力的方向不一定沿OB方向，但杆对滑轮的作用力一定与两根细绳的合力大小相等、方向相反，由图乙可得，N2′＝2FT1′cs60°＝mg，则所求力N2＝N2′＝mg。
[完美答案] (1)2mg mg (2)eq \r(3)mg (3)mg
1“死结”相当于将一段绳子分成两段，所以“死结”两侧轻绳的拉力大小不一定相等。“活结”两侧轻绳虽然受力方向不同，但仍是一根绳子，故两侧轻绳的张力大小相等，两侧轻绳张力的合力沿绳子的角平分线。
2“动杆”的弹力一定沿杆的方向，“定杆”的弹力不一定沿杆的方向。
eq \a\vs4\al([变式训练1]) 如图，将一根轻而柔软的细绳一端拴在天花板上的A点，另一端拴在墙壁的B点，A和B到O点的距离相等，绳的长度是OA的两倍，在一质量可忽略的动滑轮K的下方悬挂一质量为m的重物，摩擦力可忽略。现将动滑轮、重物一起挂到细绳上，在达到新的平衡时，绳中的拉力为多大？B点沿墙壁向O点缓慢移动的过程中，绳中的拉力如何变化？
答案 eq \f(\r(3),3)mg 不变
解析 对动滑轮K进行受力分析，如图所示，并以K为坐标原点建立直角坐标系，根据平衡条件得：
水平方向：Fcsα＝Fcsβ，
所以α＝β；
设OA＝L，则绳长为2L。如图，将AK延长到竖直墙壁，
则有：csα＝eq \f(OA,2L)＝eq \f(1,2)，α＝60°，
竖直方向：2Fsinα＝mg，
所以：F＝eq \f(\r(3),3)mg。
如果此时将B点沿墙壁向O点缓慢移动一小段位移，分析可知，绳子与水平方向的夹角不变，根据2Fsinα＝mg知，F不变。
课题任务 摩擦力的突变问题
1．静摩擦力的突变问题
静摩擦力是被动力，其存在及大小、方向取决于物体间的相对运动趋势，而且静摩擦力存在最大值。静摩擦力为零的状态是其方向变化的临界状态；静摩擦力达到最大值是物体恰好保持相对静止的临界状态。
2．滑动摩擦力的突变问题
滑动摩擦力的大小与接触面的动摩擦因数和接触面受到的正压力均成正比。发生相对运动的物体，如果接触面发生变化或接触面受到的正压力发生变化，滑动摩擦力就会发生变化。
例2 表面粗糙的长直木板的上表面的一端放有一个木块，如图所示，木板由水平位置缓慢向上转动，另一端不动(即木板与地面的夹角α变大，最大静摩擦力大于滑动摩擦力)，则木块受到的摩擦力Ff随角度α变化的图像是下列图中的( )
[规范解答] (1)木板由水平位置刚开始运动时：α＝0，Ff静＝0。
(2)从木板开始转动到木板与木块发生相对滑动前：木块所受的是静摩擦力。由于木板缓慢转动，可认为木块处于平衡状态，受力分析如图所示。由平衡关系可知，静摩擦力大小等于木块重力沿斜面向下的分力，即Ff静＝mgsinα，因此，静摩擦力随α的增大而增大，它们按正弦规律变化。
(3)木块相对于木板刚好要滑动而没滑动时，木块此时所受的静摩擦力为最大静摩擦力Ffmax。α继续增大，木块将开始滑动，静摩擦力变为滑动摩擦力，且满足Ffmax>Ff滑。
(4)木块相对于木板开始滑动后，Ff滑＝μmgcsα，此时，滑动摩擦力随α的增大而减小，按余弦规律变化。
(5)最后，α＝eq \f(π,2)，Ff滑＝0。
综上分析可知，C正确。
[完美答案] C
摩擦力的三类突变
(1)“静—静”突变
物体在摩擦力和其他力的共同作用下处于相对静止状态，当作用在物体上的其他力的合力发生变化时，物体虽然仍保持相对静止，但物体所受的静摩擦力将发生突变。
(2)“静—动”突变
物体在摩擦力和其他力作用下处于相对静止状态，当其他力变化时，如果物体不能保持相对静止状态，则物体受到的静摩擦力将“突变”成滑动摩擦力。
(3)“动—静”突变
在摩擦力和其他力作用下做相对运动的物体突然相对静止时，物体将不再受滑动摩擦力作用，滑动摩擦力可能“突变”为静摩擦力。
eq \a\vs4\al([变式训练2]) 如图所示，质量为1 kg的物体与地面间的动摩擦因数μ＝0.2，从t＝0开始以初速度v0沿水平地面向右滑行，同时受到一个大小为1 N，方向水平向左的恒力F的作用，g取10 m/s2，向右为正方向，该物体受到的摩擦力Ff随时间变化的图像是(最大静摩擦力等于滑动摩擦力)( )
答案 A
解析 从t＝0开始物体以初速度v0向右滑行时，物体受到水平向左的滑动摩擦力，由公式Ff＝μF压得摩擦力为Ff1＝－μF压＝－μmg＝－2 N；物体的最大静摩擦力大小Ffm＝μmg＝2 N，由于F课题任务 整体法和隔离法在受力分析中的应用
1．整体法：把相互连接的几个物体看成一个整体，分析整体外的物体对整体中各个物体的作用力(外力)，称为整体法，一般用来研究不涉及整体内部某物体的力和运动。
2．隔离法：将所确定的研究对象从周围物体中隔离出来，单独分析该物体所受到的力的方法，一般用来研究系统内物体之间的作用及运动情况。
例3 如图所示，A、B、C三木块叠放在水平桌面上，对B木块施加一水平向右的恒力F，三木块共同向右匀速运动，已知三木块的重力都是G，分别对三木块进行受力分析。
[规范解答] 先从受力情况最简单的A开始分析，如图甲所示，A受力平衡，竖直方向受向下的重力G、B对A的支持力FN1，且FN1＝G，水平方向不受力。然后分析木块B，如图乙所示，B木块也受力平衡，竖直方向受三个力作用：重力G、A对B的压力FN1′和C对B的支持力FN2，且FN1′＝G，FN2＝2G，水平方向受两个力：向右的恒力F和C对B的摩擦力FCB，且FCB＝F。C木块同样受力平衡，如图丙所示，竖直方向受三个力作用：重力G、B对C的压力FN2′和桌面对C的支持力FN3，且FN2′＝2G，FN3＝3G；水平方向受两个力：B对C水平向右的静摩擦力FBC以及桌面对C向左的滑动摩擦力F桌C，且FBC＝FCB＝F，F桌C＝F。
[完美答案] 见规范解答
对由几个物体组成的整体进行受力分析时，这几个物体间的作用力为内力，不能在受力示意图中出现；当把某一物体单独隔离分析时，原来的内力变成了外力，要画在受力示意图上。在应用隔离法时优先隔离受力个数少的物体作为研究对象。
eq \a\vs4\al([变式训练3]) 物体b在水平推力F作用下，将物体a挤压在竖直墙壁上，如图所示，a、b处于静止状态。关于a、b两物体的受力情况，下列说法正确的是( )
A．a受到一个摩擦力的作用
B．a共受到四个力的作用
C．b共受到三个力的作用
D．b共受到四个力的作用
答案 D
解析 根据共点力的平衡条件，分析b的受力：水平方向受向左的推力F和a对b向右的弹力FN1，竖直方向受重力和a对b向上的摩擦力f1；分析a的受力：水平方向受b对a向左的弹力FN1′和墙壁对a向右的弹力FN2，竖直方向受重力、b对a向下的摩擦力f1′，则一定还受墙壁对a向上的摩擦力f2。可知，a受到两个摩擦力的作用，共受到五个力的作用，b共受到四个力的作用，故A、B、C错误，D正确。
课题任务 平衡状态的临界与极值问题
1．临界问题
(1)问题界定：物体所处平衡状态将要发生变化的状态为临界状态，涉及临界状态的问题为临界问题。
(2)问题特点
①当某物理量发生变化时，会引起其他几个物理量的变化。
②注意某现象“恰好出现”或“恰好不出现”的条件。
(3)分析方法：基本方法是假设推理法。即先假设某种情况成立，然后根据平衡条件及有关知识进行论证、求解。
2．极值问题
(1)问题界定：物体平衡状态的极值问题，一般指在力的变化过程中涉及力的最大值和最小值的问题。
(2)分析方法
①解析法：根据物体的平衡条件列出方程，在解方程时，采用数学知识求极值或者根据物理临界条件求极值。
②图解法：根据物体的平衡条件作出力的矢量图，画出平行四边形或者矢量三角形进行动态分析，确定最大值或最小值。
例4 如图所示，能承受最大拉力为10 N的细线OA与竖直方向成45°角，能承受最大拉力为5 N的细线OB水平，细线OC能承受足够大的拉力，为使OA、OB均不被拉断，OC下端所悬挂物体的最大重力是多少？
[规范解答] 选结点O为研究对象，受力分析如图所示。
当OC下端所悬挂物体的重力不断增大时，细线OA、OB所受的拉力同时增大。
假设OA上的拉力先达到最大值，OA恰被拉断时，OA上的拉力为F1max＝10 N，
此时，根据平衡条件有：
F2＝F1maxsin45°＝10×eq \f(\r(2),2) N≈7.07 N，
由于F2大于OB能承受的最大拉力，所以在物重逐渐增大时，细线OB先被拉断。
OB线上的拉力刚好达到最大值时，OB上的拉力为F2max＝5 N，
根据平衡条件有
F1sin45°＝F2max，F1cs45°＝F′＝F3，
再选重物为研究对象，根据牛顿第三定律和平衡条件
有F3＝Gmax。
以上三式联立，解得OC下端所悬挂物体的最大重力为Gmax＝F2max＝5 N。
[完美答案] 5 N
临界问题往往是和极值问题联系在一起的。解决此类问题重在形成清晰的物理图景，分析清楚物理过程，从而找出临界条件或达到极值的条件。解此类问题要特别注意可能出现的多种情况。
eq \a\vs4\al([变式训练4]) 如图所示，斜面的倾角θ＝30°，A、B用跨过滑轮O的轻绳相连，且OA段与斜面平行，物体A的重力GA＝10 N，A与斜面的最大静摩擦力F＝3.46 N，为了使A能静止在斜面上，物体B的重力GB应在什么范围内？
答案 1.54 N≤GB≤8.46 N
解析 当物体A受到的静摩擦力沿斜面向上且最大时，物体B的重力最小，此时由平衡条件有：
T1＝GAsinθ－F＝10×sin30° N－3.46 N＝1.54 N
GBmin＝T1＝1.54 N
当物体A受到的静摩擦力沿斜面向下且最大时，物体B的重力最大，由平衡条件有：
T2＝GAsinθ＋F＝10×sin30° N＋3.46 N＝8.46 N
GBmax＝T2＝8.46 N
所以为了使A能静止在斜面上，物体B的重力应在
1．54 N≤GB≤8.46 N范围内。
1．如图所示，将一细绳的两端固定于两竖直墙的A、B两点，通过一个光滑的挂钩将某重物挂在绳上，下面给出的四幅图中有可能使物体处于平衡状态的是( )
答案 C
解析 由于重物是通过一个光滑的挂钩挂在绳上，绳子上的力处处相等，而两边绳子的合力大小等于物体的重力，方向竖直向上，由对称性可知两边绳子与竖直方向的夹角相等，C正确。
2．(多选)如图所示，晾晒衣服的绳子轻且光滑，悬挂衣服的衣架的挂钩也是光滑的，轻绳两端分别固定在两根竖直杆上的A、B两点，衣服处于静止状态。如果保持绳子A端位置不变，将B端分别移动到不同的位置，下列判断正确的是( )
A．B端移到B1位置时，绳子张力不变
B．B端移到B2位置时，绳子张力变小
C．B端在杆上的位置不动，将杆移动到虚线位置时，绳子张力变大
D．B端在杆上的位置不动，将杆移动到虚线位置时，绳子张力变小
答案 AD
解析 设绳子间的夹角为2α，绳子总长为L，两杆间距离为s，如图甲所示，由几何关系得：L1sinα＋L2sinα＝s，得sinα＝eq \f(s,L1＋L2)＝eq \f(s,L)。
当将B端移到B1位置或B2位置时，s、L都不变，则α也不变，衣服(包括衣架)受力如图乙所示，由平衡条件可知，2Fcsα＝mg，F＝eq \f(mg,2csα)，可见，绳子张力F也不变，A正确，B错误；B端在杆上的位置不动，将杆移动到虚线位置时，s减小，L不变，则α减小，csα增大，则F减小，C错误，D正确。
3．水平横梁一端A插在墙壁内，另一端装有一小滑轮B，一轻绳的一端C固定于墙壁上，另一端跨过滑轮后悬挂一质量为m＝10 kg的重物，∠CBA＝30°，如图所示，则滑轮受到的轻绳的作用力的大小为(g取10 m/s2)( )
A．50 N B．20 N
C．100 N D．50eq \r(3) N
答案 C
解析 滑轮受到轻绳的作用力应等效为两段轻绳中拉力F1和F2的合力，因同一根轻绳上的张力处处相等，都等于重物的重力，即F1＝F2＝mg＝100 N。用平行四边形定则求合力，如图所示，可知合力F＝100 N，所以滑轮受到轻绳的作用力为100 N，方向与水平方向成30°角斜向左下方，C正确。
4．一木块放在水平桌面上，在水平方向共受到三个力即F1、F2和摩擦力的作用，木块处于静止状态，如图所示，其中F1＝10 N，F2＝2 N，若撤去F1，则木块受到的摩擦力为( )
A．10 N，方向向左 B．6 N，方向向右
C．2 N，方向向右 D．0
答案 C
解析 当木块受F1、F2及摩擦力的作用而处于静止状态时，由平衡条件可知木块所受的摩擦力的大小为8 N，可知最大静摩擦力Fmax≥8 N。当撤去力F1后，F2＝2 N5．如图所示，斜面固定在地面上，倾角为θ＝37°(sin37°＝0.6，cs37°＝0.8)。质量为1 kg的滑块以初速度v0从斜面底端沿斜面向上滑行(斜面足够长，该滑块与斜面间的动摩擦因数为0.8，且该滑块与斜面间的最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等)，则该滑块所受的摩擦力Ff随时间变化的图像是下图中的(取初速度v0的方向为正方向，g＝10 m/s2)( )
答案 B
解析 滑块在上滑过程中，受到的滑动摩擦力大小为Ff＝μmgcs37°＝6.4 N，方向沿斜面向下；在上滑到速度为零时，由于滑块与斜面间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力沿斜面向下的分力mgsin37°＝6 N6．(多选)如图甲所示，斜面体固定在水平面上，斜面上有一物块在拉力F的作用下始终处于静止状态，拉力F在如图乙所示的范围内变化，取沿斜面向上为正方向。则物块所受的摩擦力Ff与时间t的关系正确的是( )
答案 BD
解析 若t＝0时，静摩擦力沿斜面向上，随F减小，f增大，当F反向后，f在原来基础上继续增大，D正确；若t＝0时，静摩擦力沿斜面向下，随F减小，f减小，在F减小到0之前，f变为沿斜面向上，B正确。
7．如图所示，物块a、b的质量分别为m、2m，水平地面和竖直墙面均光滑，a、b间接触面粗糙，在水平推力F作用下，两物块均处于静止状态。则( )
A．物块b受四个力作用
B．物块b受到的摩擦力大小等于2mg
C．物块b对地面的压力大小等于3mg
D．物块b给物块a的作用力水平向右
答案 C
解析 以b为研究对象，物块b受到重力、推力F、a的弹力和静摩擦力、地面的支持力，共五个力作用，A错误；以a为研究对象，竖直方向上a受到重力和b对a的静摩擦力作用，由平衡条件知，b对a的摩擦力大小等于a的重力，为mg，由牛顿第三定律知a对b的摩擦力大小也等于mg，B错误；以a、b组成的整体为研究对象，竖直方向上受到整体的重力和地面对b的支持力作用，且它们大小相等，则地面对b的支持力大小等于3mg，则物块b对地面的压力大小等于3mg，C正确；物块a受到物块b两个力作用：水平向右的压力和竖直向上的静摩擦力，它们的合力斜向右上方，D错误。
8．如图所示，有一倾角θ＝30°的斜面体B，质量为M，质量为m的物体A静止在B上。现用水平力F推物体A，在F由零逐渐增加到eq \f(\r(3),2)mg再逐渐减为零的过程中，A和B始终保持静止。对此过程下列说法正确的是( )
A．地面对B的支持力大于(M＋m)g
B．A对B的压力的最小值为eq \f(\r(3),2)mg，最大值为eq \f(3\r(3),4)mg
C．A所受摩擦力的最小值为0，最大值为eq \f(mg,4)
D．A所受摩擦力的最小值为eq \f(1,2)mg，最大值为eq \f(3,4)mg
答案 B
解析 因为A、B始终保持静止，对A、B整体受力分析，由竖直方向合力为零，可得地面对B的支持力一直等于(M＋m)g，A错误；当F＝0时，A对B的压力最小，为mgcs30°＝eq \f(\r(3),2)mg，当F＝eq \f(\r(3),2)mg时，A对B的压力最大，为mgcs30°＋Fsin30°＝eq \f(3\r(3),4)mg，B正确；当Fcs30°＝mgsin30°，即F＝eq \f(\r(3),3)mg时，A所受摩擦力为0，当F＝0时，A所受摩擦力大小为f＝mgsin30°－eq \f(1,2)mg，方向沿斜面向上，当F＝eq \f(\r(3),2)mg时，A所受摩擦力大小为f′＝Fcs30°－mgsin30°＝eq \f(1,4)mg，方向沿斜面向下，故A所受摩擦力的最小值为0，最大值为eq \f(1,2)mg，C、D错误。
9．(多选)如图所示，质量均可忽略的轻绳与轻杆，轻杆A端用铰链固定，滑轮在A点正上方(滑轮大小及摩擦均可不计)，B端吊一重物。现将绳的一端拴在杆的B端，用拉力F将B端缓慢上拉，在AB杆达到竖直前( )
A．绳子拉力不变 B．绳子拉力减小
C．AB杆受力增大 D．AB杆受力不变
答案 BD
解析 以B点为研究对象，分析受力情况：受到连接重物的绳子的拉力T(等于重物的重力G)、轻杆的支持力N和绳子的拉力F，如图所示。由平衡条件得知，N和F的合力与T大小相等、方向相反，根据三角形相似可得eq \f(N,AB)＝eq \f(F,BO)＝eq \f(T,AO)，又T＝G，解得N＝eq \f(AB,AO)·G，F＝eq \f(BO,AO)·G，用拉力F将B端缓慢上拉时，AB、AO保持不变，BO变小，则N保持不变，AB杆受力不变，F变小，B、D正确，A、C错误。
10．(多选)如图所示，将两相同的木块a、b置于粗糙的水平地面上，中间用一轻弹簧连接，两侧用细绳固定于墙壁。开始时a、b均静止，弹簧处于伸长状态，两细绳均有拉力，a所受的摩擦力Ffa≠0，b所受的摩擦力Ffb＝0。现将右侧细绳剪断，则剪断瞬间( )
A．Ffa大小不变 B．Ffa方向改变
C．Ffb仍然为零 D．Ffb方向向右
答案 AD
解析 由于细绳剪断瞬间，弹簧的弹力不变，a不移动，细绳a的拉力不变，所以a所受的摩擦力Ffa的大小、方向均不变，A正确，B错误；对b进行受力分析，剪断前b受重力、支持力、弹簧向左的拉力和绳向右的拉力，由于它所受的摩擦力Ffb＝0，所以弹簧的拉力和绳的拉力是一对平衡力，将右侧细绳剪断瞬间，绳的拉力立即消失，弹簧的拉力不变，所以b受到的摩擦力Ffb方向向右，C错误，D正确。
11．将两个质量均为m的小球a、b用细线相连后，再用细线悬挂于O点，如图所示。用力F拉小球b，使两个小球都处于静止状态，且细线OA与竖直方向的夹角保持θ＝30°，则F的最小值为( )
A.eq \f(\r(3),3)mg B．mg
C.eq \f(\r(3),2)mg D.eq \f(1,2)mg
答案 B
解析 将小球a、b看成一个整体，对其进行受力分析，将三个力平移到一个矢量三角形中，根据几何知识可知，当力F垂直于细线OA时，力F的取值最小，如图所示，力F的最小值Fmin＝2mgsin30°＝mg，B正确。
12．(多选)如图甲所示，质量为m的半球体静止在倾角为θ的平板上，当θ从0缓慢增大到90°的过程中，半球体所受摩擦力Ff与θ的关系如图乙所示，已知半球体始终没有脱离平板，半球体与平板间的动摩擦因数为eq \f(\r(3),3)，最大静摩擦力与滑动摩擦力相等，重力加速度为g，则( )
A．O～q段图像可能是直线
B．q～eq \f(π,2)段图像可能是直线
C．q＝eq \f(π,6)
D．p＝eq \f(mg,2)
答案 CD
解析 由题意可知，θ取0～q时半球体静止在平板上，它们之间存在的是静摩擦力，此时Ff＝mgsinθ<μmgcsθ，图线不是直线，当mgsinθ＝μmgcsθ时，θ＝eq \f(π,6)＝q，p＝Ff＝eq \f(mg,2)，A错误，C、D正确；θ取q～eq \f(π,2)时半球体无法静止在平板上，产生的是滑动摩擦力，Ff＝μmgcsθ，此时图线同样不是直线，B错误。
13．如图所示，一球A夹在竖直墙与三角劈B的斜面之间，三角劈的重力为G，劈的底部与水平地面间的动摩擦因数为μ，劈的斜面与竖直墙面是光滑的，设劈的最大静摩擦力等于滑动摩擦力。问：欲使三角劈静止不动，球的重力不能超过多少？
答案 eq \f(μ,1－μ)G
解析 球A与三角劈B的受力情况分别如图甲、乙所示，球A在竖直方向的平衡方程为GA＝FNsin45°，三角劈的平衡方程为Ff＝FN′sin45°，FNB＝G＋FN′cs45°，另有Ff≤Ffm＝μFNB，FN＝FN′，联立以上各式可得GA≤eq \f(μ,1－μ)G。
14．如图所示，质量为m的物体放在一固定斜面上，当斜面倾角为30°时恰能沿斜面匀速下滑。对物体施加一大小为F水平向右的恒力，物体可沿斜面匀速向上滑行。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当斜面倾角增大并超过某一临界角θ0时，不论水平恒力F多大，都不能使物体沿斜面向上滑行，试求：
(1)物体与斜面间的动摩擦因数；
(2)这一临界角θ0的大小。
答案 (1)eq \f(\r(3),3) (2)60°
解析 (1)斜面倾角为30°时，物体恰能匀速下滑，
满足mgsin30°＝μmgcs30°
解得μ＝eq \f(\r(3),3)。
(2)设斜面倾角为α，受力情况如图，
由匀速直线运动的条件：
Fcsα＝mgsinα＋f
N＝mgcsα＋Fsinα
f＝μN
解得F＝eq \f(mgsinα＋μmgcsα,csα－μsinα)
当csα－μsinα＝0，即ctα＝μ时，F→∞，
即“不论水平恒力F多大”，都不能使物体沿斜面向上滑行，此时，临界角θ0＝α＝60°。
课题任务 轻绳和轻杆的弹力
1．轻绳的“活结”和“死结”问题
从弹力产生的原因分析，绷紧的轻绳就像拉伸的弹簧(或橡皮筋)一样，我们可以用弹簧模型分析绳子中的弹力。
拉伸的弹簧各处的弹力大小相同，所以无约束的轻绳中各处的弹力大小必定相同。如果拉伸的弹簧某一点被外力固定住，则固定点两侧的弹簧拉伸长度有可能不同，从而弹力不同，同理，被固定的两段绳子中弹力大小有可能不同。由此引申出轻绳的“活结”和“死结”问题。
(1)活结：当绳绕过光滑的滑轮或挂钩时，由于滑轮或挂钩对绳无约束，因此绳上的力是相等的，即滑轮或挂钩只改变力的方向不改变力的大小。
(2)死结：若结点不是滑轮，而是固定点时，称为“死结”结点，这时两侧绳上的弹力不一定相等。
2．轻杆的“定杆”和“动杆”问题
杆既可以发生拉伸或压缩形变(产生拉力或支持力)，也可以发生弯曲或扭转形变，所以杆的弹力不一定沿杆的方向。杆发生弯曲时产生的弹力叫剪切力，杆发生扭转时产生的弹力叫扭力，这两种弹力都不沿杆的方向，而是指向恢复原状的方向(这两种力了解即可，可以帮助理解杆中的弹力为什么不一定沿杆的方向)。杆中的弹力不沿杆时，一般是根据杆所受外力的方向和力的平衡条件判断杆中产生的弹力方向。
轻杆按其连接方式可分为“动杆”和“定杆”两种。
(1)动杆：若轻杆用光滑的转轴或铰链连接，当杆处于平衡时杆所受到的弹力方向一定沿着杆，否则会引起杆的转动。如图甲所示，若轻杆的C端用转轴固定，则轻杆在缓慢转动中，弹力方向始终沿杆的方向。
(2)定杆：若轻杆被固定不发生转动，则杆所受到的弹力方向不一定沿杆的方向，如图乙所示。
例1 如图甲所示，轻杆OB可绕B点自由转动，另一端O点用细绳OA拉住，固定在左侧墙壁上，质量为m的重物用细绳OC悬挂在轻杆上的O点，OA与轻杆的夹角∠BOA＝30°，轻杆OB水平。图乙中水平轻杆OB一端固定在竖直墙壁上，另一端O装有小滑轮，用一根细绳跨过滑轮后悬挂一质量为m的重物，图中∠BOA＝30°，则：
(1)图甲、乙中细绳OA的拉力各是多大？
(2)图甲中轻杆受到的弹力是多大？
(3)图乙中轻杆对滑轮的作用力是多大？
[规范解答] (1)题图甲中的杆可绕B转动，是“活杆”，故其受力方向沿杆，O点的受力情况如图甲所示，则O点所受的细绳OA的拉力FT1、杆的弹力N1的合力与细绳OC的拉力FT2大小相等、方向相反，又FT2＝mg在直角三角形中可得，FT1＝eq \f(FT2,sin30°)＝eq \f(mg,sin30°)＝2mg；
题图乙中是用一细绳跨过滑轮悬挂重物的，对题图乙中的滑轮受力分析，如图乙所示，由于O点处是滑轮，它只改变细绳中力的方向，并未改变力的大小，且AOC是同一根细绳，而同一根细绳上的力处处相等，故图乙中细绳OA的拉力为FT1′＝FT2′＝mg。
(2)由图甲中力的平行四边形可知，题图甲中轻杆所受的弹力为N1′＝N1＝eq \f(FT2,tan30°)＝eq \f(mg,tan30°)＝eq \r(3)mg。
(3)由于题图乙中杆OB不可转动，所以杆所受弹力的方向不一定沿OB方向，但杆对滑轮的作用力一定与两根细绳的合力大小相等、方向相反，由图乙可得，N2′＝2FT1′cs60°＝mg，则所求力N2＝N2′＝mg。
[完美答案] (1)2mg mg (2)eq \r(3)mg (3)mg
1“死结”相当于将一段绳子分成两段，所以“死结”两侧轻绳的拉力大小不一定相等。“活结”两侧轻绳虽然受力方向不同，但仍是一根绳子，故两侧轻绳的张力大小相等，两侧轻绳张力的合力沿绳子的角平分线。
2“动杆”的弹力一定沿杆的方向，“定杆”的弹力不一定沿杆的方向。
eq \a\vs4\al([变式训练1]) 如图，将一根轻而柔软的细绳一端拴在天花板上的A点，另一端拴在墙壁的B点，A和B到O点的距离相等，绳的长度是OA的两倍，在一质量可忽略的动滑轮K的下方悬挂一质量为m的重物，摩擦力可忽略。现将动滑轮、重物一起挂到细绳上，在达到新的平衡时，绳中的拉力为多大？B点沿墙壁向O点缓慢移动的过程中，绳中的拉力如何变化？
答案 eq \f(\r(3),3)mg 不变
解析 对动滑轮K进行受力分析，如图所示，并以K为坐标原点建立直角坐标系，根据平衡条件得：
水平方向：Fcsα＝Fcsβ，
所以α＝β；
设OA＝L，则绳长为2L。如图，将AK延长到竖直墙壁，
则有：csα＝eq \f(OA,2L)＝eq \f(1,2)，α＝60°，
竖直方向：2Fsinα＝mg，
所以：F＝eq \f(\r(3),3)mg。
如果此时将B点沿墙壁向O点缓慢移动一小段位移，分析可知，绳子与水平方向的夹角不变，根据2Fsinα＝mg知，F不变。
课题任务 摩擦力的突变问题
1．静摩擦力的突变问题
静摩擦力是被动力，其存在及大小、方向取决于物体间的相对运动趋势，而且静摩擦力存在最大值。静摩擦力为零的状态是其方向变化的临界状态；静摩擦力达到最大值是物体恰好保持相对静止的临界状态。
2．滑动摩擦力的突变问题
滑动摩擦力的大小与接触面的动摩擦因数和接触面受到的正压力均成正比。发生相对运动的物体，如果接触面发生变化或接触面受到的正压力发生变化，滑动摩擦力就会发生变化。
例2 表面粗糙的长直木板的上表面的一端放有一个木块，如图所示，木板由水平位置缓慢向上转动，另一端不动(即木板与地面的夹角α变大，最大静摩擦力大于滑动摩擦力)，则木块受到的摩擦力Ff随角度α变化的图像是下列图中的( )
[规范解答] (1)木板由水平位置刚开始运动时：α＝0，Ff静＝0。
(2)从木板开始转动到木板与木块发生相对滑动前：木块所受的是静摩擦力。由于木板缓慢转动，可认为木块处于平衡状态，受力分析如图所示。由平衡关系可知，静摩擦力大小等于木块重力沿斜面向下的分力，即Ff静＝mgsinα，因此，静摩擦力随α的增大而增大，它们按正弦规律变化。
(3)木块相对于木板刚好要滑动而没滑动时，木块此时所受的静摩擦力为最大静摩擦力Ffmax。α继续增大，木块将开始滑动，静摩擦力变为滑动摩擦力，且满足Ffmax>Ff滑。
(4)木块相对于木板开始滑动后，Ff滑＝μmgcsα，此时，滑动摩擦力随α的增大而减小，按余弦规律变化。
(5)最后，α＝eq \f(π,2)，Ff滑＝0。
综上分析可知，C正确。
[完美答案] C
摩擦力的三类突变
(1)“静—静”突变
物体在摩擦力和其他力的共同作用下处于相对静止状态，当作用在物体上的其他力的合力发生变化时，物体虽然仍保持相对静止，但物体所受的静摩擦力将发生突变。
(2)“静—动”突变
物体在摩擦力和其他力作用下处于相对静止状态，当其他力变化时，如果物体不能保持相对静止状态，则物体受到的静摩擦力将“突变”成滑动摩擦力。
(3)“动—静”突变
在摩擦力和其他力作用下做相对运动的物体突然相对静止时，物体将不再受滑动摩擦力作用，滑动摩擦力可能“突变”为静摩擦力。
eq \a\vs4\al([变式训练2]) 如图所示，质量为1 kg的物体与地面间的动摩擦因数μ＝0.2，从t＝0开始以初速度v0沿水平地面向右滑行，同时受到一个大小为1 N，方向水平向左的恒力F的作用，g取10 m/s2，向右为正方向，该物体受到的摩擦力Ff随时间变化的图像是(最大静摩擦力等于滑动摩擦力)( )
答案 A
解析 从t＝0开始物体以初速度v0向右滑行时，物体受到水平向左的滑动摩擦力，由公式Ff＝μF压得摩擦力为Ff1＝－μF压＝－μmg＝－2 N；物体的最大静摩擦力大小Ffm＝μmg＝2 N，由于F
1．整体法：把相互连接的几个物体看成一个整体，分析整体外的物体对整体中各个物体的作用力(外力)，称为整体法，一般用来研究不涉及整体内部某物体的力和运动。
2．隔离法：将所确定的研究对象从周围物体中隔离出来，单独分析该物体所受到的力的方法，一般用来研究系统内物体之间的作用及运动情况。
例3 如图所示，A、B、C三木块叠放在水平桌面上，对B木块施加一水平向右的恒力F，三木块共同向右匀速运动，已知三木块的重力都是G，分别对三木块进行受力分析。
[规范解答] 先从受力情况最简单的A开始分析，如图甲所示，A受力平衡，竖直方向受向下的重力G、B对A的支持力FN1，且FN1＝G，水平方向不受力。然后分析木块B，如图乙所示，B木块也受力平衡，竖直方向受三个力作用：重力G、A对B的压力FN1′和C对B的支持力FN2，且FN1′＝G，FN2＝2G，水平方向受两个力：向右的恒力F和C对B的摩擦力FCB，且FCB＝F。C木块同样受力平衡，如图丙所示，竖直方向受三个力作用：重力G、B对C的压力FN2′和桌面对C的支持力FN3，且FN2′＝2G，FN3＝3G；水平方向受两个力：B对C水平向右的静摩擦力FBC以及桌面对C向左的滑动摩擦力F桌C，且FBC＝FCB＝F，F桌C＝F。
[完美答案] 见规范解答
对由几个物体组成的整体进行受力分析时，这几个物体间的作用力为内力，不能在受力示意图中出现；当把某一物体单独隔离分析时，原来的内力变成了外力，要画在受力示意图上。在应用隔离法时优先隔离受力个数少的物体作为研究对象。
eq \a\vs4\al([变式训练3]) 物体b在水平推力F作用下，将物体a挤压在竖直墙壁上，如图所示，a、b处于静止状态。关于a、b两物体的受力情况，下列说法正确的是( )
A．a受到一个摩擦力的作用
B．a共受到四个力的作用
C．b共受到三个力的作用
D．b共受到四个力的作用
答案 D
解析 根据共点力的平衡条件，分析b的受力：水平方向受向左的推力F和a对b向右的弹力FN1，竖直方向受重力和a对b向上的摩擦力f1；分析a的受力：水平方向受b对a向左的弹力FN1′和墙壁对a向右的弹力FN2，竖直方向受重力、b对a向下的摩擦力f1′，则一定还受墙壁对a向上的摩擦力f2。可知，a受到两个摩擦力的作用，共受到五个力的作用，b共受到四个力的作用，故A、B、C错误，D正确。
课题任务 平衡状态的临界与极值问题
1．临界问题
(1)问题界定：物体所处平衡状态将要发生变化的状态为临界状态，涉及临界状态的问题为临界问题。
(2)问题特点
①当某物理量发生变化时，会引起其他几个物理量的变化。
②注意某现象“恰好出现”或“恰好不出现”的条件。
(3)分析方法：基本方法是假设推理法。即先假设某种情况成立，然后根据平衡条件及有关知识进行论证、求解。
2．极值问题
(1)问题界定：物体平衡状态的极值问题，一般指在力的变化过程中涉及力的最大值和最小值的问题。
(2)分析方法
①解析法：根据物体的平衡条件列出方程，在解方程时，采用数学知识求极值或者根据物理临界条件求极值。
②图解法：根据物体的平衡条件作出力的矢量图，画出平行四边形或者矢量三角形进行动态分析，确定最大值或最小值。
例4 如图所示，能承受最大拉力为10 N的细线OA与竖直方向成45°角，能承受最大拉力为5 N的细线OB水平，细线OC能承受足够大的拉力，为使OA、OB均不被拉断，OC下端所悬挂物体的最大重力是多少？
[规范解答] 选结点O为研究对象，受力分析如图所示。
当OC下端所悬挂物体的重力不断增大时，细线OA、OB所受的拉力同时增大。
假设OA上的拉力先达到最大值，OA恰被拉断时，OA上的拉力为F1max＝10 N，
此时，根据平衡条件有：
F2＝F1maxsin45°＝10×eq \f(\r(2),2) N≈7.07 N，
由于F2大于OB能承受的最大拉力，所以在物重逐渐增大时，细线OB先被拉断。
OB线上的拉力刚好达到最大值时，OB上的拉力为F2max＝5 N，
根据平衡条件有
F1sin45°＝F2max，F1cs45°＝F′＝F3，
再选重物为研究对象，根据牛顿第三定律和平衡条件
有F3＝Gmax。
以上三式联立，解得OC下端所悬挂物体的最大重力为Gmax＝F2max＝5 N。
[完美答案] 5 N
临界问题往往是和极值问题联系在一起的。解决此类问题重在形成清晰的物理图景，分析清楚物理过程，从而找出临界条件或达到极值的条件。解此类问题要特别注意可能出现的多种情况。
eq \a\vs4\al([变式训练4]) 如图所示，斜面的倾角θ＝30°，A、B用跨过滑轮O的轻绳相连，且OA段与斜面平行，物体A的重力GA＝10 N，A与斜面的最大静摩擦力F＝3.46 N，为了使A能静止在斜面上，物体B的重力GB应在什么范围内？
答案 1.54 N≤GB≤8.46 N
解析 当物体A受到的静摩擦力沿斜面向上且最大时，物体B的重力最小，此时由平衡条件有：
T1＝GAsinθ－F＝10×sin30° N－3.46 N＝1.54 N
GBmin＝T1＝1.54 N
当物体A受到的静摩擦力沿斜面向下且最大时，物体B的重力最大，由平衡条件有：
T2＝GAsinθ＋F＝10×sin30° N＋3.46 N＝8.46 N
GBmax＝T2＝8.46 N
所以为了使A能静止在斜面上，物体B的重力应在
1．54 N≤GB≤8.46 N范围内。
1．如图所示，将一细绳的两端固定于两竖直墙的A、B两点，通过一个光滑的挂钩将某重物挂在绳上，下面给出的四幅图中有可能使物体处于平衡状态的是( )
答案 C
解析 由于重物是通过一个光滑的挂钩挂在绳上，绳子上的力处处相等，而两边绳子的合力大小等于物体的重力，方向竖直向上，由对称性可知两边绳子与竖直方向的夹角相等，C正确。
2．(多选)如图所示，晾晒衣服的绳子轻且光滑，悬挂衣服的衣架的挂钩也是光滑的，轻绳两端分别固定在两根竖直杆上的A、B两点，衣服处于静止状态。如果保持绳子A端位置不变，将B端分别移动到不同的位置，下列判断正确的是( )
A．B端移到B1位置时，绳子张力不变
B．B端移到B2位置时，绳子张力变小
C．B端在杆上的位置不动，将杆移动到虚线位置时，绳子张力变大
D．B端在杆上的位置不动，将杆移动到虚线位置时，绳子张力变小
答案 AD
解析 设绳子间的夹角为2α，绳子总长为L，两杆间距离为s，如图甲所示，由几何关系得：L1sinα＋L2sinα＝s，得sinα＝eq \f(s,L1＋L2)＝eq \f(s,L)。
当将B端移到B1位置或B2位置时，s、L都不变，则α也不变，衣服(包括衣架)受力如图乙所示，由平衡条件可知，2Fcsα＝mg，F＝eq \f(mg,2csα)，可见，绳子张力F也不变，A正确，B错误；B端在杆上的位置不动，将杆移动到虚线位置时，s减小，L不变，则α减小，csα增大，则F减小，C错误，D正确。
3．水平横梁一端A插在墙壁内，另一端装有一小滑轮B，一轻绳的一端C固定于墙壁上，另一端跨过滑轮后悬挂一质量为m＝10 kg的重物，∠CBA＝30°，如图所示，则滑轮受到的轻绳的作用力的大小为(g取10 m/s2)( )
A．50 N B．20 N
C．100 N D．50eq \r(3) N
答案 C
解析 滑轮受到轻绳的作用力应等效为两段轻绳中拉力F1和F2的合力，因同一根轻绳上的张力处处相等，都等于重物的重力，即F1＝F2＝mg＝100 N。用平行四边形定则求合力，如图所示，可知合力F＝100 N，所以滑轮受到轻绳的作用力为100 N，方向与水平方向成30°角斜向左下方，C正确。
4．一木块放在水平桌面上，在水平方向共受到三个力即F1、F2和摩擦力的作用，木块处于静止状态，如图所示，其中F1＝10 N，F2＝2 N，若撤去F1，则木块受到的摩擦力为( )
A．10 N，方向向左 B．6 N，方向向右
C．2 N，方向向右 D．0
答案 C
解析 当木块受F1、F2及摩擦力的作用而处于静止状态时，由平衡条件可知木块所受的摩擦力的大小为8 N，可知最大静摩擦力Fmax≥8 N。当撤去力F1后，F2＝2 N
答案 B
解析 滑块在上滑过程中，受到的滑动摩擦力大小为Ff＝μmgcs37°＝6.4 N，方向沿斜面向下；在上滑到速度为零时，由于滑块与斜面间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力沿斜面向下的分力mgsin37°＝6 N
答案 BD
解析 若t＝0时，静摩擦力沿斜面向上，随F减小，f增大，当F反向后，f在原来基础上继续增大，D正确；若t＝0时，静摩擦力沿斜面向下，随F减小，f减小，在F减小到0之前，f变为沿斜面向上，B正确。
7．如图所示，物块a、b的质量分别为m、2m，水平地面和竖直墙面均光滑，a、b间接触面粗糙，在水平推力F作用下，两物块均处于静止状态。则( )
A．物块b受四个力作用
B．物块b受到的摩擦力大小等于2mg
C．物块b对地面的压力大小等于3mg
D．物块b给物块a的作用力水平向右
答案 C
解析 以b为研究对象，物块b受到重力、推力F、a的弹力和静摩擦力、地面的支持力，共五个力作用，A错误；以a为研究对象，竖直方向上a受到重力和b对a的静摩擦力作用，由平衡条件知，b对a的摩擦力大小等于a的重力，为mg，由牛顿第三定律知a对b的摩擦力大小也等于mg，B错误；以a、b组成的整体为研究对象，竖直方向上受到整体的重力和地面对b的支持力作用，且它们大小相等，则地面对b的支持力大小等于3mg，则物块b对地面的压力大小等于3mg，C正确；物块a受到物块b两个力作用：水平向右的压力和竖直向上的静摩擦力，它们的合力斜向右上方，D错误。
8．如图所示，有一倾角θ＝30°的斜面体B，质量为M，质量为m的物体A静止在B上。现用水平力F推物体A，在F由零逐渐增加到eq \f(\r(3),2)mg再逐渐减为零的过程中，A和B始终保持静止。对此过程下列说法正确的是( )
A．地面对B的支持力大于(M＋m)g
B．A对B的压力的最小值为eq \f(\r(3),2)mg，最大值为eq \f(3\r(3),4)mg
C．A所受摩擦力的最小值为0，最大值为eq \f(mg,4)
D．A所受摩擦力的最小值为eq \f(1,2)mg，最大值为eq \f(3,4)mg
答案 B
解析 因为A、B始终保持静止，对A、B整体受力分析，由竖直方向合力为零，可得地面对B的支持力一直等于(M＋m)g，A错误；当F＝0时，A对B的压力最小，为mgcs30°＝eq \f(\r(3),2)mg，当F＝eq \f(\r(3),2)mg时，A对B的压力最大，为mgcs30°＋Fsin30°＝eq \f(3\r(3),4)mg，B正确；当Fcs30°＝mgsin30°，即F＝eq \f(\r(3),3)mg时，A所受摩擦力为0，当F＝0时，A所受摩擦力大小为f＝mgsin30°－eq \f(1,2)mg，方向沿斜面向上，当F＝eq \f(\r(3),2)mg时，A所受摩擦力大小为f′＝Fcs30°－mgsin30°＝eq \f(1,4)mg，方向沿斜面向下，故A所受摩擦力的最小值为0，最大值为eq \f(1,2)mg，C、D错误。
9．(多选)如图所示，质量均可忽略的轻绳与轻杆，轻杆A端用铰链固定，滑轮在A点正上方(滑轮大小及摩擦均可不计)，B端吊一重物。现将绳的一端拴在杆的B端，用拉力F将B端缓慢上拉，在AB杆达到竖直前( )
A．绳子拉力不变 B．绳子拉力减小
C．AB杆受力增大 D．AB杆受力不变
答案 BD
解析 以B点为研究对象，分析受力情况：受到连接重物的绳子的拉力T(等于重物的重力G)、轻杆的支持力N和绳子的拉力F，如图所示。由平衡条件得知，N和F的合力与T大小相等、方向相反，根据三角形相似可得eq \f(N,AB)＝eq \f(F,BO)＝eq \f(T,AO)，又T＝G，解得N＝eq \f(AB,AO)·G，F＝eq \f(BO,AO)·G，用拉力F将B端缓慢上拉时，AB、AO保持不变，BO变小，则N保持不变，AB杆受力不变，F变小，B、D正确，A、C错误。
10．(多选)如图所示，将两相同的木块a、b置于粗糙的水平地面上，中间用一轻弹簧连接，两侧用细绳固定于墙壁。开始时a、b均静止，弹簧处于伸长状态，两细绳均有拉力，a所受的摩擦力Ffa≠0，b所受的摩擦力Ffb＝0。现将右侧细绳剪断，则剪断瞬间( )
A．Ffa大小不变 B．Ffa方向改变
C．Ffb仍然为零 D．Ffb方向向右
答案 AD
解析 由于细绳剪断瞬间，弹簧的弹力不变，a不移动，细绳a的拉力不变，所以a所受的摩擦力Ffa的大小、方向均不变，A正确，B错误；对b进行受力分析，剪断前b受重力、支持力、弹簧向左的拉力和绳向右的拉力，由于它所受的摩擦力Ffb＝0，所以弹簧的拉力和绳的拉力是一对平衡力，将右侧细绳剪断瞬间，绳的拉力立即消失，弹簧的拉力不变，所以b受到的摩擦力Ffb方向向右，C错误，D正确。
11．将两个质量均为m的小球a、b用细线相连后，再用细线悬挂于O点，如图所示。用力F拉小球b，使两个小球都处于静止状态，且细线OA与竖直方向的夹角保持θ＝30°，则F的最小值为( )
A.eq \f(\r(3),3)mg B．mg
C.eq \f(\r(3),2)mg D.eq \f(1,2)mg
答案 B
解析 将小球a、b看成一个整体，对其进行受力分析，将三个力平移到一个矢量三角形中，根据几何知识可知，当力F垂直于细线OA时，力F的取值最小，如图所示，力F的最小值Fmin＝2mgsin30°＝mg，B正确。
12．(多选)如图甲所示，质量为m的半球体静止在倾角为θ的平板上，当θ从0缓慢增大到90°的过程中，半球体所受摩擦力Ff与θ的关系如图乙所示，已知半球体始终没有脱离平板，半球体与平板间的动摩擦因数为eq \f(\r(3),3)，最大静摩擦力与滑动摩擦力相等，重力加速度为g，则( )
A．O～q段图像可能是直线
B．q～eq \f(π,2)段图像可能是直线
C．q＝eq \f(π,6)
D．p＝eq \f(mg,2)
答案 CD
解析 由题意可知，θ取0～q时半球体静止在平板上，它们之间存在的是静摩擦力，此时Ff＝mgsinθ<μmgcsθ，图线不是直线，当mgsinθ＝μmgcsθ时，θ＝eq \f(π,6)＝q，p＝Ff＝eq \f(mg,2)，A错误，C、D正确；θ取q～eq \f(π,2)时半球体无法静止在平板上，产生的是滑动摩擦力，Ff＝μmgcsθ，此时图线同样不是直线，B错误。
13．如图所示，一球A夹在竖直墙与三角劈B的斜面之间，三角劈的重力为G，劈的底部与水平地面间的动摩擦因数为μ，劈的斜面与竖直墙面是光滑的，设劈的最大静摩擦力等于滑动摩擦力。问：欲使三角劈静止不动，球的重力不能超过多少？
答案 eq \f(μ,1－μ)G
解析 球A与三角劈B的受力情况分别如图甲、乙所示，球A在竖直方向的平衡方程为GA＝FNsin45°，三角劈的平衡方程为Ff＝FN′sin45°，FNB＝G＋FN′cs45°，另有Ff≤Ffm＝μFNB，FN＝FN′，联立以上各式可得GA≤eq \f(μ,1－μ)G。
14．如图所示，质量为m的物体放在一固定斜面上，当斜面倾角为30°时恰能沿斜面匀速下滑。对物体施加一大小为F水平向右的恒力，物体可沿斜面匀速向上滑行。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当斜面倾角增大并超过某一临界角θ0时，不论水平恒力F多大，都不能使物体沿斜面向上滑行，试求：
(1)物体与斜面间的动摩擦因数；
(2)这一临界角θ0的大小。
答案 (1)eq \f(\r(3),3) (2)60°
解析 (1)斜面倾角为30°时，物体恰能匀速下滑，
满足mgsin30°＝μmgcs30°
解得μ＝eq \f(\r(3),3)。
(2)设斜面倾角为α，受力情况如图，
由匀速直线运动的条件：
Fcsα＝mgsinα＋f
N＝mgcsα＋Fsinα
f＝μN
解得F＝eq \f(mgsinα＋μmgcsα,csα－μsinα)
当csα－μsinα＝0，即ctα＝μ时，F→∞，
即“不论水平恒力F多大”，都不能使物体沿斜面向上滑行，此时，临界角θ0＝α＝60°。
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