××中学2021—2022学年第一学期12月月考高一数学试卷解析

这是一份××中学2021—2022学年第一学期12月月考高一数学试卷解析，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（考查范围：集合与逻辑、一元二次函数、方程和不等式、函数的概念与性质、幂函数、指数函数和对数函数、三角函数部分）
试卷总分：150分 考试时间：120分钟
一、选择题(本题包括12小题，每小题5分，共60分；其中单选题每小题5分，多选题全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分；请将答案写在答题卡上.)
1．已知集合P＝{x|x＜3}，Q＝{x|－1≤x≤4}，则P∪Q＝( )
A．{x|－1≤x＜3} B．{x|－1≤x≤4}
C．{x|x≤4} D．{x|x≥－1}
解析：在数轴上表示出两个集合，如图．
易知P∪Q＝{x|x≤4}．
故选C.
2．命题“∀x∈R，x3－x2＋2 eq \f(1,b) ，则ac，则|a|b≥|a|c
D．若a>b，c>d，则a－c>b－d
解析： A项：a，b，c，d的符号不确定，故无法判断；B项：不知道ab的符号，无法确定a，b的大小；C项：|a|≥0，所以|a|b≥|a|c成立；D项：同向不等式不能相减．
故选C.
6．与1 303°终边相同的角是( )
A．763° B．493°
C．－137° D．－47°
解析：选C.因为1 303°＝4×360°－137°，
所以与1 303°终边相同的角是－137°.
故选C
7．已知函数f(x)＝lga(x－1)＋4(a>0，且a≠1)的图象恒过定点Q，则Q点坐标是( )
A．(0，5) B．(1，4)
C．(2，4) D．(2，5)
解析：令x－1＝1，即x＝2.则f(x)＝4.即函数图象恒过定点Q(2，4).
故选C.
8.在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)＜0的实数x的取值范围为( )
A．{x|0＜x＜2}
B．{x|－2＜x＜1}
C．{x|x＜－2或x＞1}
D．{x|－1＜x＜2}
解析：因为x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋x－2＝x2＋x－2＜0，所以(x＋2)(x－1)＜0，所以－2＜x＜1.
故选B.
9.函数f(x)＝ln x－ eq \f(2,x) 的零点所在的大致区间是( )
A．(1，2) B．(2，3)
C．(3，4) D．(e，＋∞)
解析：因为f(1)＝－20时，a2>b2才成立，故A，B错误；
对于C，只有当a>0且a>b时， eq \f(b,a) 0，b0且b＝3.
答案：3
14.已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，求扇形圆心角的弧度数是 ．
解析：设扇形圆心角的弧度数为θ(0＜θ＜2π)，弧长为l，
半径为r，依题意有 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(l＋2r＝10，①,\f(1,2)lr＝4.②))
①代入②得r2－5r＋4＝0，解得r1＝1，r2＝4.
当r＝1时，l＝8(cm)，此时，θ＝8 rad＞2π rad舍去．
当r＝4时，l＝2(cm)，
此时，θ＝ eq \f(2,4) ＝ eq \f(1,2) (rad).
综上可知，扇形圆心角的弧度数为 eq \f(1,2) rad.
答案： eq \f(1,2)
15.已知α是第二象限角，且tanα＝－ eq \f(7,24) ，则cs α＝________.
解析：因为α是第二象限角，故sin α＞0，cs α＜0，
又tan α＝－ eq \f(7,24) ，
所以 eq \f(sin α,cs α) ＝－ eq \f(7,24) ，
又sin2α＋cs2α＝1，解得csα＝－ eq \f(24,25) .
答案：－ eq \f(24,25)
16．函数f(x)＝ln eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2))) eq \s\up12(2) ＋ eq \f(1,\r(x＋2)) 的定义域为 。
解析：对于函数f(x)＝ln eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2))) eq \s\up12(2) ＋ eq \f(1,\r(x＋2)) ，有 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)≠0，,x＋2>0.))
解得x>－2且x≠ eq \f(1,2) .
故定义域为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，\f(1,2)))∪ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞)) .
答案： eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，\f(1,2)))∪ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞)) .
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.（10分）计算下列各式：
(1) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\f(3,5))) eq \s\up12(0) ＋2－2× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\f(1,4))) eq \s\up12(－\f(1,2)) －(0.01)0.5；
(2) lg6 eq \f(1,12) －2lg63＋ eq \f(1,3) lg627.
解析：(1)原式＝1＋ eq \f(1,4) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,9))) eq \s\up6(\f(1,2)) － eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,100))) eq \s\up6(\f(1,2)) ＝1＋ eq \f(1,6) － eq \f(1,10) ＝ eq \f(16,15) .
(2)方法一：原式＝－lg6(22×3)－2lg63＋ eq \f(1,3) lg633
＝－(lg622＋lg63)－2lg63＋lg63
＝－(2lg62＋lg63)－2lg63＋lg63
＝－2(lg62＋lg63)
＝－2lg6(2×3)＝－2.
方法二：原式＝lg6 eq \f(1,12) －lg632＋lg627 eq \s\up6(\f(1,3))
＝lg6 eq \f(3,12×9) ＝lg6 eq \f(1,36) ＝lg66－2＝－2.
18.（12分）已知sin(π＋α)＝ eq \f(1,2) ，α∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2))) ，求cs（π+α），tan (π－α)的值
解析：因为sin (π＋α)＝－sin α，
根据条件得sin α＝－ eq \f(1,2) ，又α∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2))) ，
所以cs α＝－ eq \r(1－sin2α) ＝－ eq \f(\r(3),2) .
所以tanα＝ eq \f(sin α,cs α) ＝ eq \f(1,\r(3)) ＝ eq \f(\r(3),3) .
所以cs（π+α）=-csα= eq \f(\r(3),2) .
所以tan (π－α)＝－tan α＝－ eq \f(\r(3),3) .
19．（12分）已知tan (π＋α)＝3，求 eq \f(2cs （π－α）－3sin （π＋α）,4cs （－α）＋sin （2π－α）) 的值．
解：因为tan (π＋α)＝3，
所以tan α＝3.
故 eq \f(2cs （π－α）－3sin （π＋α）,4cs （－α）＋sin （2π－α）)
＝ eq \f(－2cs α＋3sin α,4cs α－sin α)
＝ eq \f(－2＋3tan α,4－tan α) ＝ eq \f(－2＋3×3,4－3) ＝7.
21. （12分） (1)若正实数x，y满足2x＋y＝1，求xy的最大值．
(2)若x，y∈(0，＋∞)，且x＋4y＝1，则 eq \f(1,x) ＋ eq \f(1,y) 的最小值为________．
解析：（1）因为正实数x，y满足2x＋y＝1，
所以2x＋y＝1≥2 eq \r(2xy) ，
所以 eq \r(2xy) ≤ eq \f(1,2) ，
解得xy≤ eq \f(1,8) ，当且仅当x＝ eq \f(1,4) ，y＝ eq \f(1,2) 时等号成立．
（2）因为x，y∈(0，＋∞)，x＋4y＝1，
所以 eq \f(1,x) ＋ eq \f(1,y) ＝ eq \f(x＋4y,x) ＋ eq \f(x＋4y,y) ＝5＋ eq \f(4y,x) ＋ eq \f(x,y) ≥9，
当且仅当 eq \f(4y,x) ＝ eq \f(x,y) ，
即x＝ eq \f(1,3) ，y＝ eq \f(1,6) 时等号成立．
21．（12分）设函数y＝f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，并且满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) ＝1.
(1)求f(1)和f(2)的值；
(2)如果f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,8))) ＋f(x－1)0，)) 解得x>2.所以x的取值范围为(2，＋∞).
22. （12分）已知f(x)＝lg4(4x－1).
(1)求f(x)的定义域；
(2)讨论f(x)的单调性；
(3)求f(x)在区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2)) 上的值域．
解析：(1)由4x－1>0，解得x>0，
因此f(x)的定义域为(0，＋∞).
(2)设0