2020-2021学年第11章 反比例函数11.2 反比例函数的图象与性质教案设计

11.3　用反比例函数解决问题（2）

教学目标

1．能灵活运用反比例函数的知识解决实际问题；

2．经历“实际问题——建立模型——拓展应用”的过程，培养分析和解决问题的能力；

3．在交流过程中，让学生学会尊重和理解他人的见解，敢于发表自己的观点．

教学重点

把实际问题转化为反比例函数这一数学模型，渗透转化的数学思想．

教学难点

1．把实际问题转化为反比例函数这一数学模型，渗透转化的数学思想；

2．将生活问题与数学问题联系起来，培养学生对数学的兴趣．

教学过程（教师）

学生活动

设计思路

开场白：

同学们，公元前3世纪，古希腊学者阿基米德发现了著名的“杠杆原理”，有哪位同学知道？

进入状态，积极思考，回答问题．

参考答案：杠杆平衡时，阻力×阻力臂＝动力×动力臂．

设置悬念，营造氛围，引发思考，激发兴趣．

引入：

阿基米德曾豪言：给我一个支点，我能撬动地球．

你能解释其中的道理吗？

踊跃发言，各抒己见：

“给我一个支点，我就能撬起整个地球”的豪言，他的设想有道理，只是不能实现，因为没有这么长的杠杆，也没有合适的支点，即便都能找到，当地球翘起1cm，需要很长的一段时间，这段时间用他的一生都无法完成．

给学生展现一个美妙的前景，激发学生学习数学的欲望．

实践探索一：

问题3　某报报道：一村民在清理鱼塘时被困淤泥中，消防队员以门板作船，泥沼中救人．

如果人和门板对淤泥地面的压力合计900N，而淤泥承受的压强不能超过600Pa，那么门板面积至少要多大？

（分析：根据物理学知识，人和门板对淤泥的压力F（N）确定时，人和门板对淤泥的压强p（Pa）与门板面积S（m2）成反比例函数关系：．）

互相讨论，踊跃回答：

参考答案：设人和门板对淤泥的压强为p（Pa），门板面积为S（m2），则．

把p＝600代入，得

．

解得：S＝1.5．

根据反比例函数的性质，p随S的增大而减小，所以门板面积至少要1.5m2．

通过自然科学方面的隐性应用，其目的是丰富具体的反比例函数的实例，增强学生对反比例函数的认识．

通过学生相互讨论，提高学生的分析能力，培养学生善于思考的良好习惯．培养学生合作交流精神和发散思维能力，同时拓展学生的知识面．

实践探索二：

某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强p（Pa）是气球体积V（m3）的反比例函数，且当V ＝1.5m3时，p＝16000Pa．

（1）当V ＝1.2m3时，求p的值；

（2）当气球内的气压大于40000Pa时，气球将爆炸，为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于多少？

练习：课本练习1．

小组讨论，代表回答：

（1）设p与V的函数表达式为．

把p＝16000、V ＝1.5代入，得

．

解得：k＝24000．

p与V的函数表达式为．

当V＝1.2时，．

（2）把p＝40000代入，得

．

解得：V＝0.6．

根据反比例函数的性质，p随V的增大而减小．为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于0.6m3．

学生答题的过程，就是学生主动参与学习的过程，既提高了学生的参与度，又发挥了学生的自由度，变被动学为主动学．渗透函数建模的数学思想．

实践探索三：

如图，阻力为1000N，阻力臂长为5cm．设动力y（N），动力臂为x（cm）（图中杠杆本身所受重力略去不计．杠杆平衡时：动力×动力臂＝阻力×阻力臂）

（1）当x＝50时，求y的值，并说明这个值的实际意义；

当x＝100时，求y的值， 并说明这个值的实际意义；

当x＝250呢？x＝500呢？

（2）当动力臂长扩大到原来的n倍时，所需动力将怎样变化？请大家猜想一下．

（板书：比较两个动力之间的关系）

小结：当动力臂扩大到原来的n倍时，动力就缩小到原来的，所以当动力臂无限地扩大，动力就会无限地缩小，所以阿基米德会说：“给我一个支点，我能撬起地球．”

（3）想一想：如果动力臂缩小到原来的时，动力将怎样变化？为什么呢？

积极思考，踊跃回答．

参考答案：（1）当x＝50时，y＝100；当x＝100时，y＝50；当x＝250时，y＝20；当x＝500时，y＝10．

（2）[学生思考后作答]根据第二小题的表格中数据的变化，有学生能得出自己的猜想．

教师带学生一起来验证猜想．

教师给出假设动力x＝d ，求出对应的动力，老师再给出扩大n倍后的动力x＝nd，求出对应的动力．

（3）动力扩大到原来的n倍．

动力和动力臂的乘积始终是一个常数5000，这也就是反比例函数的实质．

在教师的引导下运用反比例函数解决杠杆问题，让学生体会到“理论来自于实践，而理论又反过来指导实践”的哲学思想，从而培养和提高学生分析问题和解决问题的能力．

在第1小题中用表格形式呈现，学生不难从表格中猜测出当动力臂扩大到原来的n倍，动力将缩小为原来的，乘势用验证猜想的方式推出第3小题，同样利用表格的形式，让数据直观地展现在学生面前，不仅轻松地解决本节课的一个难点，还让学生体验了真理的产生过程，即：实验——猜想——验证．

通过此例，让学生感受用数学模式的变化来理解物理性质，使学生在运用数学知识的能力上有一个提高．

总结：

讨论后共同小结．

由学生总结本节课的主要内容、要注意的地方和所涉及的数学思想等．通过小结，培养学生自我整理的学习习惯，强化对知识的理解和记忆，并锻炼学生归纳概括的能力．再由老师对本节课的知识要点加以整理归纳，使学生在脑海中形成一个完整的知识体系．

课后作业：

课本习题3、4．