初中数学人教版八年级上册第十四章 整式的乘法与因式分解14.2 乘法公式14.2.1 平方差公式教案

平方差公式

教学目标

1．经历探索平方差公式的过程，进一步发展符号感和推理能力。

2．会推导平方差公式，并能运用公式进行简单计算。

3．认识平方差及其几何背景，使学生明白数形结合的思想。

4．在合作、交流和讨论中发掘知识，并体验学习的乐趣。

5．培养学生灵活运用知识、勇于探求科学规律的意识。

教学重点：体会公式的发现和推导过程，理解公式的本质，并会运用公式进行简单的计算。

教学难点：从广泛意义上理解公式中的字母含义，具体问题要具体分析，会运用公式进行计算。

教学准备

1．为每位学习准备一张正方形纸片（边长为15cm）。

2．教师准备两张正方形（一大一小）纸板和三块矩形纸板。

3．多媒体课件。

教学流程

一、创设问题情境，引导学生观察、设想。

教师发给每个学生一张正方形纸片（边长15cm），并用多媒体课件与正方形纸板显示正方形。

师：在一块45cm的正方形纸板上，因为工作的需要，中间挖去一块边长为15cm的正方形（如图），请问剩下部分的面积有多少平方厘米？

师：计算剩下部分的面积可以有哪些方法？

小组讨论：

1．可以用大正方形面积减去小正方形面积得到。

2．可以把剩下的部分切割成几个矩形来计算。

师：从今天的问题来看，用哪一种方法比较好？你们小组能列出算式吗？

或许有学生能迅速列出算式，得出答案是1800平方厘米。

师：为了容易理解，我现在把小正方形放在大正方形的角落（如图）。

师：刚才我们说过计算面积的方法不止一种，我们现在试着用分割的方法来计算面积。请参照老师的做法，先在你们的纸上画一条虚线，然后把刚才画的小正方形剪下来（或撕去），就像要挖去这部分一样，再沿虚线把小长方形剪下来，并把小长方形拼到大长方形的一边，刚好又变成一个新的长方形（如图）。

师：若按照我们刚开始的题目要求，现在新的大长方形的长、宽各是多少？它的面积又是多少呢？

生：大长方形的长是(45+15)cm，宽是(45-15)cm 。

长方形的面积=(45+15)×(45-15)=60×30=1800（平方厘米）。

师：还记得两种方式的列式吗？

生：第一种方法的式子是 452-152，  

第二种方法的式子是(45+15)×(45-15)。

师：两个式子都能求出剩下的面积，它们之间有什么关系呢？

生：相等。

二、交流对话，探求新知。

看谁算得快：

（1）（x+2）（x-2）

（2）（1+3a）（1-3a）

（3）（x+5y）（x-5y）

（4）（-m+n）（-m-n）

师：你们能发现什么规律？

师：再想想看，如果今天的题目换成：“在一块边长为a厘米的正方形纸板上，因为工作的需要，中间挖去一块边长为b厘米的小正方形，请问剩下的面积有多少？”我们该怎样列代数式来表示？

生：我们可以用a2-b2来表示剩下的面积。

师：还有没有别的方法？

生：也可以用（a+b）（a-b）来表示剩下的面积。

师：今天我们除了要找一个比较方便的方法来求面积外，更重要的是我们能从图形中了解到（a+b）（a-b）= a2-b2这个性质。上一节课我们已经学过多项式的乘法，你能利用计算多项式乘法的方法，把（a+b）（a-b）的答案计算出来吗？

师：为了节省计算时间，我们（a+b）（a-b）= a2-b2作为公式来运用，把这个公式称为“平方差公式”。

平方差公式：（a+b）（a-b）= a2-b2

师：哪一位同学能用语言叙述一下平方差公式？

生：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。

三、运用新知，体验成功。

1．例1  计算：

（1）（a+3）（a-3）

（2）（2a+3b）（2a-3b）

（3）（1+2c）（1-2c）

（4）

解：（1）原式=a2-32=a2-9

   （2）原式=(2a)2-(3b)2=4a2-9b2

   （3）原式=12-(2c)2=1-4c2

   （4）原式=

 2．巩固深化，拓展思维。

计算：

（1）（2x+3）（2x-3）

（2）（-2x+y）（2x+y）

（3）（-x+2）（-x-2）

（4）（y-x）（-x-y）

说明：在练习时，要特别注意公式的变式训练。讲解时要紧扣公式的特征，找出相等的“项”和符号相反的“项”，然后用公式。

3．例2  计算：1998×2002。

  分析：这是一个数字计算问题，让学生分组讨论如何利用平方差公式进行计算。

  在本例教学时不能仅仅着眼于应用公式的化简与计算，要让学生感受构造数学“模型”的乐趣。

4．练习，简便计算：

  （1）498×502                    （2）999×1001

5． 例3  街心花园有一块边长为a米的正方形草坪，经统一规划后，南北向要加长2米，而东西向要缩短2米。问改造后的长方形草坪的面积是多少？

（首先要列出表示面积的代数式。）

解：（a+2）（a-2）= a2-4

答：改造后的长方形草坪的面积是（a2-4）平方米。

6．练习

     用一定长度的篱笆围成一个矩形区域，小明认为围成一个正方形区域面积最大，而小亮认为不一定。你认为如何？

四、课堂小结。

1．通过本节课的学习活动，你们认识了什么？是否还有不明白的地方？

2．什么样的式子才能使用平方差公式？记住公式的特点。