人教版八年级下册17.1 勾股定理课文配套ppt课件

这是一份人教版八年级下册17.1 勾股定理课文配套ppt课件，共60页。PPT课件主要包含了整体认识，对教材的理解，勾股定理证明的价值，课例介绍，整体结构，勾股定理，勾股定理的逆定理，求线段长，数形结合，图形变换等内容，欢迎下载使用。
关于勾股定理引入的思考
分析、推理、运算、能力……
几何直观、符号意识、应用意识、……情感态度……
小学：了解三角形两边之和大于第三边会借助网格估算面积认识直角三角形
初中：整式乘除（代数式恒等变形）二次根式（计算化简）直角三角形的性质:角、边、边与角（斜边上的中线等于斜边的一半，30度角所对直角边是斜边的一半）
高中：任意三角形中边长与角度之间的数量关系掌握正弦定理和余弦定理（勾股定理就是余弦定理的一种特殊情况）
学生对于三角形边角关系的学习——从定性到定量，一般到特殊再到一般.
小学：经历从实际物体中抽象出简单几何体和平面图形的过程，探索一些图形的形状、大小和位置关系，了解一些几何体和平面图形的基本特征；体验简单图形的运动过程，能在方格纸上画出简单图形，了解确定物体位置的一些基本方法；感受平移、旋转、轴对称现象；认识物体的相对位置；掌握测量、识图和画图的基本方法．②在从物体中抽象出几何图形、想象图形的运动和位置的过程中，发展空间观念．在观察、实验、猜想、验证等活动中，发展合情推理能力，能进行有条理的思考，能比较清楚地表达自己的思考过程．
初中：①探索并掌握相交线、平行线、三角形、四边形和圆的基本性质与判定，掌握基本的证明方法和基本的作图技能；探索并理解平面图形的平移、旋转、轴对称；认识投影和视图；探索并理解平面直角坐标系及其应用．②在研究图形性质和运动、确定物体位置等过程中，进一步发展空间观念；经历借助图形思考问题的过程，初步建立几何直观.
初中的课程内容中明确要求探索勾股定理及其逆定理，能运用他们解决一些简单的实际问题
让学生经历勾股定理从发现到证明的过程
探索：独立或与他人合作参与特定的数学活动，理解或提出问题，寻求解决问题的思路，发现对象的特征及其与对象的区别和联系，获得一定的理性认识.
高中：高中课程有提高运算求解能力的目标，具体的说就是采用度量计算等方法认识和探索几何图形的性质．勾股定理代数形式的应用是实现这一目标的重要载体．勾股定理解决了立体几何和解析几何中距离和角的计算．勾股定理与正、余弦定理等价．三角函数，平面向量的数量积等章节都不同程度的应用到勾股定理，勾股定理是学生学习其它数学知识的基础．
不同学段几何教学的教学目标 和勾股定理在几何教学中的作用
定理的发现与证明回归历史，中西结合.
勾股定理在人教版教材中的呈现方式
发挥数学史的教育和教学的价值
情感层面——激发学习兴趣 认知层面——促进对数学的内容、思想、方法、语言的理解文化层面——体会数学史中蕴含的文化
证明中，呈现由特殊到一般的探索、发现和证明的过程.
体现数学思想从形的勾股定理到数的勾股定理.数形结合、方程思想
渗透图形变换，动静结合的意图，发展视图能力.
提高分析问题、解决问题的能力，培养数学的应用意识.
阅读材料内容丰富、 图文并茂，集趣味性、 知识性、 史料性、 教育性于一身，是对教学内容的补充和拓展，是对学生进行思想教育的极好内容.
本章教学时间约需8课时，具体安排如下：18.1 勾股定理 4课时18.2 勾股定理的逆定理 3课时数学活动及小结 1课时　　　　
教学中的一些现象和困惑：
教师在教学过程中，觉得勾股定理的证明不好教，经常是启而不发，做公开课时挑战性比较大；在勾股定理证明和应用的权衡中“轻证明重应用”；
勾股定理的证明有何价值？
赵爽：东汉末至三国时代吴国人。他是我国历史上著名的数学家与天文学家，他的“赵爽弦图”用几何方法严格证明了勾股定理.
中国主要代表人物-------赵爽、刘徽
西方主要代表人物-------- 毕达哥拉斯
ΔFAB ≌ ΔCAD
矩形ADLM 的面积 =a2
同理可证，矩形MLEB的面积 =b2
正方形ADEB的面积 = 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积
欧几里得证法完全脱离实物的支撑，结合图形分析，以演绎推理的方法获得了一系列的定理和推论，向我们展示了对数学美和数学理性的追求，展示了西方数学文化传统中严谨的逻辑和理性的推理．这个追求的过程推动了现代数学的发展，从形的角度把它推广到平面图形面积关系、立体图形的表面积关系的探讨；并且从数的角度将勾股定理推广到求不定方程的正整数解，引出了著名的费马猜想、鲍恩猜想等．这种严谨的逻辑推理方法对学习数学、理解现代数学体系结构的形成有着重要的启示作用．
证明的价值体现：构造性、图形变换、数形结合、几何直观的渗透；严谨性、理性思维的培养.
用证明勾股定理的思想方法解决问题
勾股定理代数形式的结论，刘徽证明勾股定理过程中的“出入相补”原理是解决上述问题的关键.
利用勾股定理的代数形式构造直角三角形，运用相似、面积等几何知识是解决上述代数问题的关键.
不同版本的教材呈现不同的引入方式，教师该如何选择？定理的发现对学生来说困难，老师直接告诉学生又觉得太突兀；学生认为勾股定理的发现很神奇，询问她的来历，老师不知怎样回答，就又证明了一遍，学生茫然等……
如何引导学生发现勾股定理？
中国最早的一部数学著作——《 周髀算经》中记载了有关勾股定理的数学资料。公元前1100年西周时周公与商高的一段对话，其中商高说：“故折矩以为广勾三，股修四，径隅五"。意思是说，如果直角三角形两直角边的长度分别是3和4，那么它的斜边的长度必定是5。商高提出了勾三股四弦五”的定理特例，可以说是最早关于勾股定理应用的具体例子，因此，历史上称这个定理为“商高定理”或“勾股定理”.
第一次出现的情况------中国
在中国古代数学中,勾股定理则是以算法的形式呈现的.中国关于勾股定理的完整叙述最早出现在《周辞算经 》荣方与陈子的对话中: “若求邪至日者,以日下为勾,日高为 股,勾 股各自乘,并而开方除之,得邪至日.”用符号表示就是 .其用意是给出一种由两直角边计算斜边的算法,而不以揭示直角三角形三边之间关系为目的.
数学史上关于“勾股 定理”的最早证明记载于欧几里得的《几何原本》 之中,是 第I卷中的命题4 7,其叙述形式为: “在直角三角形中,直角所对的边上的正方形等于夹直角两边上正方形的和.”用符号语言表述就是 . 显然是把边的平方当作正方形的面积来对待的.
第一次出现的情况------西方
定理的发现利用了西方数学史的内容,侧重于利用几何图形的面积关系引导学生发现边的数量关系.
勾股定理的引入在各版本教材中的呈现方式
北师大版数学教科书的引入:
侧重于从数学问题解决入手，引导学生去探究直角三角形三边的关系.
测量你的两块直角三角板三边长度，并将各边的长度填入下表：
我国古代数学家已经发现直角三角形发现三条边长度的平方之间存在着一定的关系，根据测量得的数据，你能作出,怎样的猜想？
一副三角板来研究，侧重于从代数的知识引入，先从数的角度进行猜想，再从“形”的角度进行认识，从两个角度引入.
利用勾股定理的代数形式构造直角三角形，运用两点间线段最短的几何知识是解决上述代数问题的关键.
引入相对比较直接，利用三组勾股数，找它们之间的规律，直接就把学生引入直角三角形三边关系式的猜想中，进入比较快，重在突出了勾股定理的使用价值.
各版本教材共性与不同：
引入部分：都设置一定的问题情景，人教版教材侧重从几何知识引入，而其他三本教材侧重从代数知识引入；
证明方法：都突出了面积证法，主要介绍了赵爽炫图或青出朱入图；
习题选择：计算和实际应用，题目类型全面，联系实际紧密；
阅读材料：内容丰富、 图文并茂，集趣味性、 知识性、 史料性、 教育性于一身，是对教学内容的补充和拓展.
定理的引入环节是过程教学的起点,其主要目的在于揭示知识发生的背景,引发学生认知上的冲突,激起学生探究和学习的欲望.
我们该如何选择引入的方案呢？
从特殊到一般：①通过具体数据和已有经验得到平方关系之后，推广到对任意直角三角形的三边;②平方联想到图形的面积;③每人准备4个全等的直角三角形,拼摆验证，进而证明勾股定理（也可以先从等腰直角三角形入手）.
③ 你能用图形表示这个式子吗?
再到一般等腰直角三角形 — 一般直角三角形
① 预习任务：搜索勾股定理的有关资料,互相交流分享;② 课堂上：汇总所得资料,分组讨论什么是勾股定理,他的发现在史料中是如何记载的？它能解决什么问题,它对于我们的日常生活有什么用等等;
主要环节的设计不仅需包含学习中关键问题，还要符合活动展开的内在逻辑，学科教学的内在逻辑，以及学生认知发展的规律；设计以基于解决关键问题的体验性学习活动，引导并帮助学生体验、经历、发现知识的形成过程，促使学生在活动中展示出他们对事物的新认识，呈现他们的思维特点 ;尽可能地体现勾股定理的文化价值.
1．经历用拼图法验证勾股定理的过程，进一步理解掌握勾股定理；了解勾股定理的历史，初步掌握勾股定理的简单应用.2. 经历观察、归纳、猜想和验证的数学发现过程，发展合情合理的推理能力，沟通数学知识之间的内在联系，体会形数结合的思想；3．通过获得成功的经验和克服困难的经历，增进数学学习的信心；通过对勾股定理历史的了解可以体会数学家契而不舍的探究精神,感受数学美，体会勾股定理的文化价值.
重点：把握勾股定理的内容及证明过程中出现的数学思想方法学习的机会.难点：勾股定理的证明.
由一般到特殊再到一般的研究方法；图形变换、数形结合、几何直观的渗透；迁移、推理、运算能力及理性思维的培养……
直角三角形的三边有何特殊关系？
由一般三角形的三边的不等关系引出直角三角形三边的等量关系，明确要研究的主题；从可不可求----如何求
古希腊著名的数学家、哲学家、天文学家.相传在2500年以前，他在朋友家做客时，发现朋友家用地砖铺成的地面反映了一个数学问题.
介绍历史故事，激发兴趣；从几何作图引入，直观，可操作，希望强化几何直观，减缓代数形式的勾股定理结论的突兀.
这种弱化条件继续研究问题的方式是数学中常常研究问题的思考方式.开始对面积关系提出猜想.
教师提问：等腰直角三角形是很特殊的三角形，条件很强，既有等边又有90度角，如果去掉一个条件，结论还成立么？
从特殊入手，学生选一个直角边为整数的直角三角形，在网格中画图、展示，交流作法与“数”面积的算法；关注细节扑捉学生的思维呈现.
教师提问：（1）如何作出正方形？（2）如何“数”出以斜边为边的正方形面积？
思维上的第一个难点：无法利用斜边长算正方形的面积，但可以利用网格“数”面积；再次呈现学生的思维过程------割补法、图形变换、转化思想……..
老师展示一种做法，并板书求解过程，为证明勾股定理做准备.
教师提问：(3) 请学生观察分割或补图产生了哪些图形，图形各部分面积与三角形边长之间的关系是什么？
通过前面的验证，你有怎样的猜想？1.怎样从面积的角度概括我们的发现？2. 如果直角三角形两直角边长分别为a 、b ，斜边长为 c，那么怎样表述上述发现？
由几何形式到代数表达，更简洁，体现数形结合思想，也是后来几何问题趋于代数化的一个原因.
字母表示数，具有一般性，a,b不一定是整数，图形的顶点也不一定落在网格点上，该怎样证明呢？思维上的第二难点：由具体到抽象，由特殊到一般.
你能用这四个全等的直角三角形拼出以c为边的正方形吗？和小组同学交流一下，你们拼出的正方形一样吗？
教师引导：你能利用拼成的正方形证明猜想成立吗？
讨论三角形的边满足什么条件时，这样才能拼成正方形.
这个图案是公元3世纪我国汉代数学家赵爽在注解数学著作《周髀算经》时给出的，这个图案又被人们称为“赵爽弦图”.
体现勾股定理的文化价值.
情感态度价值观方面的教育.
求出下列直角三角形中未知边的长度.
∵∠C=90°∴AB²=AC²+BC²
∵∠B=90°∴BC²=AC²—AB²
求下列直角三角形中未知边的长:
如图，受台风麦莎影响，一棵树在离地面4米处断裂，树的顶部落在离树跟底部3米处，这棵树折断前有多高？
可用勾股定理建立方程.
求直角三角形中未知边的长:
如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为_______cm2.
课堂小结1.通过分割或拼图，利用面积法证明了直角三角形三边的等量关系即勾股定理的内容;2.感受到数学家善于观察思考，勇于探究的精神;
欣赏美丽的“勾股树”1.你知道勾股树是怎样画出来的吗;2.同一层的所有正方形的面积之和有什么关系？
勾股定理不止一个名字；
勾股定理的证明方法有几百种；
勾股定理导致了无理数的发现，引起了第一次数学危机；