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初中数学人教版八年级下册17.1 勾股定理教学设计
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这是一份初中数学人教版八年级下册17.1 勾股定理教学设计，共20页。教案主要包含了课程标准解读，知识要点解析，典型例题，变式训练，热点专题分析，变式训练1，变式训练2，方法指导等内容，欢迎下载使用。
《勾股定理》
【课程标准解读】
掌握勾股定理，会用合适的方法验证勾股定理；能利用勾股定理求直角三角形的边长；理解勾股定理的逆定理，并会应用其判断直角三角形；利用勾股定理解决与直角三角形有关的实际问题。本单元内容在中考命题中是热点之一，主要考查利用勾股定理解决简单的实际问题及其判断三角形的形状等，题型多样，填空题、选择题、解答题、综合题均有，常与直角三角形、三角函数、特殊平行四边形、圆等知识综合在一起进行考查。
【知识要点解析】
1：勾股定理
直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。（即：a2+b2＝c2）
要点诠释：
勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（在中，，则，，）
（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边
（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题
【典型例题】A
C
B
第7题图
（2013年佛山市，7，3分）如图，若∠A=60°，AC=20m，则BC大约是(结果精确到0.1m)( )
A．34.64m B．34.6m C．28.3m D．17.3m
【答案】选：B．
【解答】解：∵∠A=60°，∠C=90°，∴∠B=30°，∴AB=2AC，∵AC=20m，∴AB=40m，
∴BC====20≈34.6（m），故选：B．
【点评】此题主要考查了勾股定理，以及直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方。析：首先计算出∠B的度数，再根据直角三角形的性质可得AB=40m，再利用勾股定理计算出BC长即可
【变式训练】．（2013山东滨州，14，4分）在△ABC中，∠C=90°，AB=7，BC=5，则边AC的长为______________．
【答案】：x=．
【解析】利用勾股定理，可得
【点评】本题主要考查了勾股定理的运用，按照题设画出图形，确定斜边和直角边再计算即可.
2：勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。
要点诠释：
勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：
（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；
（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2＝a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形
（若c2>a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c2
【典型例题】( 2012年四川省巴中市,15,3)已知a、b、c是△ABC的三边长,且满足关系+|a-b|=0,则△ABC的形状为______
【解析】由关系+|a-b|=0，得c2-a2-b2=0,即a2+b2= c2，且a-b=0即a=b,∴△ABCJ是等腰直角三角形. 应填等腰直角三角形.
【答案】等腰直角三角形
【点评】本题考查非负数的一个性质: “两个非负数之和为零时,这两个非负数同时为零.”及勾股定理逆定理的应用.
A
B
C
D
【变式训练】（2012江苏省盐城市一摸）如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD，AC=4BC，若CD的长为5，则四边形ABCD的面积为 ；
【答案】：10
【解答】:作AE⊥AC，DE⊥AE，两线交于E点，作DF⊥AC垂足为F点， ∵∠BAD=∠CAE=90°，即∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠DAE ∴∠BAC=∠DAE 又∵AB=AD，∠ACB=∠E=90° ∴△ABC≌△ADE(AAS) ∴BC=DE，AC=AE， 设BC=a，则DE=a，DF=AE=AC=4BC=4a， CF=AC-AF=AC-DE=3a， 在Rt△CDF中，由勾股定理得， CF2+DF2=CD2，即(3a)2+(4a)2=52， 解得:a=1， ∴y=S四边形ABCD=S梯形ACDE=12×(DE+AC)×DF =12×(a+4a)×4a =10a2 =10.
【点评】
3：互逆命题的概念
如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
【典型例题】7. （2011四川凉山，15，4分）把命题“如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2”的逆命题改写成“如果……，那么……”的形式： .
【答案】：如果三角形三边长a，b，c，满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．
【解答】解：逆命题为：三角形三边长a，b，c，满足a2＋b2＝c2，这个三角形是直角三角形，逆命题改写成“如果…，那么…”的形式：如果三角形三边长a，b，c，满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形，故答案为：如果三角形三边长a，b，c，满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．
【点评】命题都能写成“如果……，那么…”的形式，如果后面是题设，那么后面是结论，题设和结论互换后就是原命题的逆命题本题考查把命题写成“如果…，那么…”的形式以及逆命题的概念，难度适中．
【变式训练】. 下列命题中，真命题是（ ）
A、周长相等的锐角三角形都全等
B、周长相等的直角三角形都全等
C、周长相等的钝角三角形都全等
D、周长相等的等腰直角三角形都全等
【答案】选D．
【解答】解：A、周长相等的锐角三角形的对应角不一定相等，对应边也不一定相等，假命题；
B、周长相等的直角三角形对应锐角不一定相等，对应边也不一定相等，假命题；
C、周长相等的钝角三角形对应钝角不一定相等，对应边也不一定相等，假命题；
D、由于等腰直角三角形三边之比为1：1： ，故周长相等时，等腰直角三角形的对应角相等，对应边相等，故全等，真命题．
故选D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的运用，命题与定理的概念．关键是明确全等三角形的对应边相等，对应角相等．全等三角形必须是对应角相等，对应边相等，根据全等三角形的判定方法，逐一检验．
4：勾股定理的证明
勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法
用拼图的方法验证勾股定理的思路是
①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变
②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理
常见方法如下：
方法一：，，化简可证．
方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为
大正方形面积为 所以
方法三：，，化简得证
【典型例题】. 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3=10，则S2的值是 ．
【答案】为： ．
【解答】解：∵图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，
∴CG=NG，CF=DG=NF，
∴S1=（CG+DG） 2=CG 2+DG 2+2CG•DG，=GF 2+2CG•DG，
S2=GF 2，
S3=（NG-NF） 2=NG 2+NF 2-2NG•NF，
∵S1+S2+S3=10=GF 2+2CG•DG+GF 2+NG 2+NF 2-2NG•NF，=3GF 2，
∴S2的值是：．故答案为： ．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，根据已知得出
S1+S2+S3=10=GF 2+2CG•DG+GF 2+NG 2+NF 2-2NG•NF=3GF 2是解决问题的关键．根据图形的特征得出线段之间的关系，进而利用勾股定理求出各边之间的关系，从而得出答案．
【变式训练】: 你能根据图形所给的信息验证勾股定理吗？请写出证明过程．
【解答】解：根据题意，中间小正方形的面积c2=（a+b）2-4××ab=a2+b2；
即在直角三角形中斜边的平方等于两直角边的平方和．
【点评】本题考查了学生对勾股定理的证明和对三角形、正方形面积公式的熟练掌握和运用．根据题意，我们可在图中找等量关系，由中间的小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，列出等式化简即可得出勾股定理的表达式．
5：勾股数
①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数
②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如；；；等
③用含字母的代数式表示组勾股数：（为正整数）；
（为正整数）（，为正整数）
【典型例题】：给出下列几组数：①6，7，8；②9，40，41；③11，264，266；④14，194，200，其中能组成直角三角形的三条边长的有 ．
【答案】应填②．
【解答】：对于①∵6为偶数，8-7=1不等于2，所以①不能，对于②，因为9为奇数，181-180=1且40=，所以②能，对于③因为11为奇数，266-264=2不等于1，所以③不能，对于④因为14为偶数，200-194≠2，所以不能．
故应填②．
【点评】由以上例题解答可以看出，利用勾股数的规律解答三边能否构成直角三角形问题比用a2+b2=c2简洁的多，望同学们掌握之．
【变式训练】.（2013四川巴中，19，3分）若直角三角形的两直角边长为a、b，且满足，则该直角三角形的斜边长为 5 ．
【答案】是：5．
【解析】解：∵，
∴a2﹣6a+9=0，b﹣4=0，
解得a=3，b=4，
∵直角三角形的两直角边长为a、b，
∴该直角三角形的斜边长===5．
故答案是：5．
【点评】本题考查了勾股定理，非负数的性质﹣绝对值、算术平方根．任意一个数的绝对值（二次根式）都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．根据非负数的性质求得a、b的值，然后利用勾股定理即可求得该直角三角形的斜边长．
【热点专题分析】
题型一：直接考查勾股定理进行计算解题。
例１.在中，．
⑴已知，．求的长
⑵已知，，求的长
【分析】：直接应用勾股定理
解：⑴ ⑵
【点评】
例题2．如图，将一根25 cm长的细木棒放入长、宽、高分别为8 cm、6 cm和103 cm的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是多少厘米?
【解答】:设放入长方体盒子中的最大长度是x cm，
根据题意，得x2=82+62+(103)2=64+36+300=400.
所以x=20 cm，故细木棒露在盒外面的最短长度是25－20=5(cm).
【点评】；本题重点考查学生的空间想象能力及勾股定理的应用．长方体内体对角线是最长的，当木条在盒子里对角放置的时候露在外面的长度最小，这样就是求出盒子的对角线长度即可．
例题3：如图所示的长方体是某种饮料的纸质包装盒，规格为5×6×10(单位：㎝)，在上盖中开有一孔便于插吸管，吸管长为13㎝， 小孔到图中边AB距离为1㎝，到上盖中与AB相邻的两边距离相等，设插入吸管后露在盒外面的管长为h㎝，则h的最小值大约为_________㎝.
图5
A
B
10
5
6
吸管
【答案】为：2．
【解答】解：如图所示：连接DC，CF，
由题意：ED=3，EC=5-1=4
CD2=32+42=25=52，
CF2=52+102=125，
∴吸管口到纸盒内的最大距离=
∴h=13-11≈2cm ，
故答案为：2．
【点评】本题要弄清楚h最短时管子的摆放姿势，然后根据勾股定理即可得出结论．本题中，要求露出外面的管长h的最短值，其实相当于求一个3×4×10长方体的对角线（此时，h最小），据此解答即可．
例题4：将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱
形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为hcm，则h的取
值范围是（ ）．
A．h≤17cm B．h≥8cm
C．15cm≤h≤16cm D．7cm≤h≤16cm
【答案】选D．
【解答】解：如图，当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长，
∴h=24-8=16cm；
当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短，
在Rt△ABD中，AD=15，BD=8，∴AB= =17，
∴此时h=24-17=7cm，
所以h的取值范围是7cm≤h≤16cm．
故选D．
【点评】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．如图，当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长．然后分别利用已知条件根据勾股定理即可求出h的取值范围．
【变式训练1】．△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c．若∠C=90°，如图1，根据勾股定理，则a2+b2=c2．若△ABC不是直角三角形，如图2和图3，请你类比勾股定理，试猜想a2+b2与c2的关系，并证明你的结论．
【解答】：若△ABC是锐角三角形，则有a2+b2>c2；
若△ABC是钝角三角形，∠C为钝角，则有a2+b2
①当△ABC是锐角三角形时，如图18-3，
过点A作AD⊥CB，垂足为D，设CD为x，则有DB=a-x，
根据勾股定理，得b2-x2=c2-（a-x）2．
即b2-x2=c2-a2+2ax-x2，∴a2+b2=c2+2ax．
∵a>0，x>0，∴2ax>0，∴a2+b2>c2．
②当△ABC是钝角三角形时，如图18-4，
过点B作BD⊥AC，交AC的延长线于点D，
设CD为x，则BD2=a2-x2．
根据勾股定理，得（b+x）2+a2-x2=c2．
即b2+2bx+x2+a2-x2=c2．
∴a2+b2+2bx=c2．∵b>0，x>0，∴2bx>0，∴a2+b2
【变式训练2】．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1、S2，则S1+S2的值为（ ）
S2
S1
A．16 B．17 C．18 D．19
【答案】B．
【解析】根据等腰直角三角形、勾股定理先求出面积分别为S1的边唱是大正方形对角线的，S2正方形的边长组成直角三角形斜边长是大正方形对角线的一半.
满分解答：边长为6的大正方形中，对角线长为.
∴面积为S1小正方边长为，面积S1==8；小正方S2= ，∴S1+S2=8+9=17.故选B.
【方法指导】本题主要考查正方形性质.熟悉正方形有关性质是解题的关键.
题型二：应用勾股定理建立方程
例题1.⑴在中，，，，于，＝
⑵已知直角三角形的两直角边长之比为，斜边长为，则这个三角形的面积为
⑶已知直角三角形的周长为，斜边长为，则这个三角形的面积为
分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．有时可根据勾股定理列方程求解
解：
⑴，
⑵设两直角边的长分别为，，，
⑶设两直角边分别为，，则，，可得
例题2.如图中，，，，，求的长
分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来
解：作于，
，
在中
在中，
，
例题3.如图，,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积
【答案】：6
【解答】
【点评】本题考查勾股定理的知识，难度一般，注意图中不规则图形的面积可以转化为不规则图形面积的和或差的问题．阴影部分的面积等于中间直角三角形的面积加上两个小半圆的面积，减去其中下面面积较大的半圆的面积．
例题4. （2011重庆綦江，16，4分）一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示．正方形DEFH的边长为2米，坡角∠A＝30°，∠B＝90°，BC＝6米．当正方形DEFH运动到什么位置，即当AE＝ 米时，有DC2＝AE2＋BC2．
【分析】：方程的应用；含30度角的直角三角形；勾股定理。根据已知得出假设AE＝x，可得EC＝12－x，利用勾股定理得出DC2＝DE2＋EC2＝4＋（12－x）2，AE2＋BC2＝x2＋36，即可求出x的值．
【解答】：解：假设AE＝x，可得EC＝12－x，
∵坡角∠A＝30°，∠B＝90°，BC＝6米，
∴AC＝12米，
∵正方形DEFH的边长为2米，即DE＝2米，
∴DC2＝DE2＋EC2＝4＋（12－x）2，
AE2＋BC2＝x2＋36，
∵DC2＝AE2＋BC2，
∴4＋（12－x）2＝x2＋36，
解得：x＝米．
故答案为：．
【点评】：此题主要考查了勾股定理的应用以及一元二次方程的应用，根据已知表示出CE，AE的长度是解决问题的关键．
题型三：实际问题中应用勾股定理
例题1.如图有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了
【分析】：根据题意建立数学模型，如图，，，过点作，垂足为，则，
在中，由勾股定理得
【答案】：
例题2、如图，南北向MN为我国的领海线，即MN以西为我国领海，以东为公海.上午9时50分，我国反走私艇A发现正东方有一走私艇C以每小时13海里的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在线上巡逻的我国反走私艇B密切注意.反走私艇A通知反走私艇B:A和C两艇的距离是13海里，A、B两艇的距离是5海里.反走私艇B测得距离C艇是12海里，若走私艇C的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？
【解答】:设MN与AC相交于E，则∠BEC=90°，
又AB2+BC2=52+122=132=AC2，由勾股定理逆定理得
△ABC为直角三角形，即∠ABC=90°.
∵MN⊥CE，
∴走私艇进入我国领海的最近距离是CE.
∵两式相减得CE=，
÷13=≈0.85(小时),0.85小时=51分钟，
9时50分+51分=10时41分.
答:走私艇C最早在10时41分进入我国领海.
例题3．（2013·潍坊，9，3分）一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险，测得海岛A与B的距离为20海里，渔船将险情报告给位于A处的救援船后，沿北偏西80°方向向海岛C靠近．同时，从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行．20分钟后，救援船在海岛C处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为（ ）
A．海里/小时 B． 30海里/小时
C．海里/小时 D．海里/小时
答案：D
【解答】 解：如图，过点C作CD⊥AB于D．设AC=x海里．
在△ACD中，∠ADC=90°，∠CAD=10°+20°=30°，AC=x海里，
∴CD=AC=x海里，AD=CD=x海里．
在△BCD中，∠BDC=90°，∠CBD=80°﹣20°=60°，
∴BD=CD=x海里．
∵AD+BD=AB，
∴x+x=20，
解得x=10，根据勾股定理得到
【点评】; 本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，根据方位角的定义得到图中方位角的度数是前提条件．理解方向角的含义，证明出三角形ABC是直角三角形是解决本题的关键．
题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形
【例题1】.已知三角形的三边长为，，，判定是否为
①，， ②，，
解：①，
是直角三角形且
②，，不是直角三角形
例题2.三边长为，，满足，，的三角形是什么形状？
解：此三角形是直角三角形
理由：，且
所以此三角形是直角三角形
【点评】解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足a2+b2=c2，则三角形ABC是直角三角形．
题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用
【例题1】.已知中，，，边上的中线，求证：
证明：
为中线，
在中，，，
，，，
【例题2】.“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪A正前方30米B处，过了2秒后，测得小汽车C与车速检测仪A间距离为50米，这辆小汽车超速了吗？
【分析】根据题意得出由勾股定理得出BC的长，进而得出小汽车1小时行驶40×30×60=72000（米），进而得出答案．
【解答】：根据题意，得AC=30cm，AB=50cm，∠C=90°，
在Rt△ACB中，根据勾股定理，BC2=AB2-AC2=502-302=402，
所以BC=40，
小汽车2秒行驶40米，则1小时行驶40×30×60=72000（米），
即小汽车行驶速度为72千米/时，因为 72＞70，所以小汽车超速行驶．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，根据已知得出BC的长是解题关键．
【例题3】、如图18-11所示，A，B两个村子在河CD同侧，A，B两村到河的距离分别为AC=1 km，BD=3 km,CD=3 km.现要在河边CD上建一水厂，向A，B两村输送自来水，铺设水管的工程费用为每千米2000元.请在CD上选择水厂的位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用.
解析； 若最省钱只需AO+BO最小，可将A，O，B放在一条线段上考虑，故只需找到点A关于CD的对称点A′，连接A′B交CD于O，则水厂建在O点处即可，构造直角三角形，应用勾股定理就可求出各边长.
解：作点A关于CD的对称点A′，连接A′B交CD于点O，则O点就是水厂的位置.
过A′作A′H∥CD交BD延长线于H，
∴△A′HB为直角三角形.
在Rt△A′HB中，A′H=CD=3，
BH=BD+DH=BD+A′C=BD+AC=1+3=4，
由勾股定理得A′B==5，
∴总费用为2000×5=10000（元）
【例题4】．（8分）某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图所示，∠ACB=90°，AC=80米，BC=60米，若线段CD是一条小渠，且D点在边AB上，已知水渠的造价为10元/米，问D点在距A点多远处时，水渠的造价最低？最低造价是多少？
解：当CD为斜边上的高时，CD最短，从而水渠造价最价
∵CD·AB=AC·BC ∴CD==48米
∴AD==64米
所以，D点在距A点64米的地方，水渠的造价最低，其最低造价为480元．
【变式训练】如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F为CD上一点，且．求证：△AEF是直角三角形．
【点拨】：要证△AEF是直角三角形，由勾股定理的逆定理，只要证即可．
【解答】：证明：设正方形ABCD的边长为a，则，，．
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
．
同理在Rt△ABE中，由勾股定理得：
．
在Rt△CEF中，由勾股定理得：
．
∴．
∴△AEF是直角三角形．
【点评】：利用代数方法，计算三角形的三边长，看它们是否符合勾股定理的逆定理，以判断三角形是否是直角三角形，这是解决几何问题常用的方法之一．
例题5.已知△ABC的三边长为a，b，c，且满足，试判断△ABC的形状．
【点拨】：要判断三角形的形状，应从已知条件入手，分析各边之间的关系，从而得出正确结论．
【解答】：∵，
∴．
∴．
∴或．
当时，有．
由勾股定理的逆定理知，此时三角形是直角三角形；
当时，有a=b，此时三角形是等腰三角形．综上，△ABC是直角三角形或等腰三角形．
【点拨】：此题易犯的错误是由得，漏掉这种情况，从而漏掉等腰三角形这种可能性．
例题6.若△ABC的三边满足条件，试判断△ABC的形状．
解：∵，
∴．
∴．
∴a=5，b=12，c=13．
∴，∴△ABC是直角三角形．
【点评】本题考查了配方法的应用、勾股定理、非负数的性质，解题的关键是注意配方法的步骤，在变形的过程中不要改变式子的值．
题型六：平面展开问题探求最短路径问题
例题1.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是_________
【】
【解答】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为20dm，宽为（2+3）×3dm，
则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．
可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm，
由勾股定理得：x2=202+[（2+3）×3]2=252，
解得x=25．
故答案为25
【点评】本题考查了平面展开-最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答。
例题2.（2012山东省青岛市，14，3）如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 cm.
【解析】将圆柱展开，AB=．
【答案】15
【点评】本题考查圆柱的侧面展开为矩形，关键是在矩形上找出A和B两点的位置，据“两点之间线段最短”得出结果．“化曲面为平面”，利用勾股定理解决．要注意展开后有一直角边长是9cm而不是18 cm.
例题3.（2011四川广安，6，3分）如图所示，圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高BC＝ 6cm，点是母线上一点且＝．一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是（ ）
A．（）cm B．5cm C．cm D．7cm
【分析】：画出该圆柱的侧面展开图如图所示，则蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离为线段AP的长．在Rt△ACP中，AC＝，＝＝4cm，所以．
【解答】：B
【点评】：解决这类问题要善于将空间图形转化为平面图形，采用“化曲为直”的方法，利用圆柱体的表面展开图，把求最短距离问题转化为求两点之间的线段的长度问题．
题型七：关于勾股定理运用中的折叠问题
例题1．已知，如图所示，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，如果AB=8cm，BC=10cm，求EC的长．
【答案】EC为3cm.
【解答】：连结AE，则△ADE≌△AFE，所以AF=AD=10，DE=EF．
设CE=x，则EF=DE=8-x，BF =6，CF=4．
在Rt△CEF中，EF2=CE2+CF2，即（8-x）2=x2+16，故x=3
【点评】通过折叠的性质，将所求和已知的线段转换到同一个三角形中是解题的关键．要求CE的长，就必须求出DE的长，如果设EC=x，那么我们可将DE，EC转化到一个三角形中进行计算，根据折叠的性质我们可得出AD=AF，DE=EF，那么DE，CE就都转化到直角三角形EFC中了，下面的关键就是求出FC的长，也就必须求出BF的长，我们发现直角三角形ABF中，已知了AB的长，AF=AD=10，因此可求出BF的长，也就有了CF的长，在直角三角形EFC中，可用勾股定理，得出关于x的一元二次方程，进而求出未知数的值
例题2、如图，长方形ABCD中，AB=4，BC=3，将其沿直线MN折叠，使点C与点A重合，则CN的长为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】
【解答】
【点评】本题考查的是图形翻折变换的性质，在解答此类问题时首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数
例题3. （2011四川省宜宾市，7，3分）如图，矩形纸片ABCD中，已知AD =8，折叠纸片使AB边与对角线AC
重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3，则AB的长为( )
A.3 B.4
C.5 D.6
(7题图)
【答案】选D．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AD=8，
∴BC=8，
∵△AEF是△AEB翻折而成，
∴BE=EF=3，AB=AF，△CEF是直角三角形，
∴CE=8-3=5，
在Rt△CEF中，CF= = =4，
设AB=x，
在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2，即（x+4）2=x2+82，解得x=6，
故选D．
【点评】本题考查的是翻折变换及勾股定理，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．先根据矩形的特点求出BC的长，再由翻折变换的性质得出△CEF是直角三角形，利用勾股定理即可求出CF的长，再在△ABC中利用勾股定理即可求出AB的长．
例题3.（2011•安顺）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在AB边的C′点，那么△ADC′的面积是 6cm2．
【答案】：为6cm2
【解答】解：∵∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，
∴AB=10cm，
∵将△BCD沿BD折叠，使点C落在AB边的C′点，
∴DC=DC′，BC=BC′=6cm，
∴AC′=4cm，
设DC=xcm，则AD=（8﹣x）cm，
在Rt△ADC′中，AD2=AC′2+C′D2，即（8﹣x）2=x2+42，解得x=3，
∴△ADC′的面积=×4×3=6（cm2）．
故答案为6cm2．
【点评】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等，对应点的连线段被折痕垂直平分．也考查了勾股定理．先根据勾股定理得到AB=10cm，再根据折叠的性质得到DC=DC′，BC=BC′=6cm，则AC′=4cm，在Rt△ADC′中利用勾股定理得（8﹣x）2=x2+42，解得x=3，然后根据三角形的面积公式计算即可．
八、勾股定理中的规律探索问题
【例题】（2013湖南张家界，16，3分）如图，OP=1，过P作PP1⊥OP，得OP1=；再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1，得OP2=；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1，得OP3=2；…依此法继续作下去，得OP2012=．
【答案】为：．
【解答】：由勾股定理得：OP4==，
∵OP1=；得OP2=；
依此类推可得OPn=，
∴OP2012=，
故答案为：．
【点评】本题考查了勾股定理的运用，解题的关键是由已知数据找到规律．首先根据勾股定理求出OP4，再由OP1，OP2，OP3的长度找到规律进而求出OP2012的长．
【变式训练】．如图，在直角坐标系中，已知点A（﹣3，0）、B（0，4），对△OAB连续作旋转变换，依次得到△1、△2、△3、△4…，则△2014的直角顶点的坐标为 ．
【解答】：∵点A（-3，0），B（0，4）， ∴OB=4，OA=3， ∴AB= 5， ∵对△OAB连续作如图所示的旋转变换， ∴△OAB每三次旋转后回到原来的状态，并且每三次向前移动了3=4=5=12个单位， 而2011=3×670+1， ∴三角形和三角形④的状态一样， 所以三角形的直角顶点的横坐标为670×12=8040，纵坐标为0． 故答案为（8040，0）．
《勾股定理》
【课程标准解读】
掌握勾股定理，会用合适的方法验证勾股定理；能利用勾股定理求直角三角形的边长；理解勾股定理的逆定理，并会应用其判断直角三角形；利用勾股定理解决与直角三角形有关的实际问题。本单元内容在中考命题中是热点之一，主要考查利用勾股定理解决简单的实际问题及其判断三角形的形状等，题型多样，填空题、选择题、解答题、综合题均有，常与直角三角形、三角函数、特殊平行四边形、圆等知识综合在一起进行考查。
【知识要点解析】
1：勾股定理
直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。（即：a2+b2＝c2）
要点诠释：
勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（在中，，则，，）
（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边
（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题
【典型例题】A
C
B
第7题图
（2013年佛山市，7，3分）如图，若∠A=60°，AC=20m，则BC大约是(结果精确到0.1m)( )
A．34.64m B．34.6m C．28.3m D．17.3m
【答案】选：B．
【解答】解：∵∠A=60°，∠C=90°，∴∠B=30°，∴AB=2AC，∵AC=20m，∴AB=40m，
∴BC====20≈34.6（m），故选：B．
【点评】此题主要考查了勾股定理，以及直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方。析：首先计算出∠B的度数，再根据直角三角形的性质可得AB=40m，再利用勾股定理计算出BC长即可
【变式训练】．（2013山东滨州，14，4分）在△ABC中，∠C=90°，AB=7，BC=5，则边AC的长为______________．
【答案】：x=．
【解析】利用勾股定理，可得
【点评】本题主要考查了勾股定理的运用，按照题设画出图形，确定斜边和直角边再计算即可.
2：勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。
要点诠释：
勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：
（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；
（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2＝a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形
（若c2>a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c2
【典型例题】( 2012年四川省巴中市,15,3)已知a、b、c是△ABC的三边长,且满足关系+|a-b|=0,则△ABC的形状为______
【解析】由关系+|a-b|=0，得c2-a2-b2=0,即a2+b2= c2，且a-b=0即a=b,∴△ABCJ是等腰直角三角形. 应填等腰直角三角形.
【答案】等腰直角三角形
【点评】本题考查非负数的一个性质: “两个非负数之和为零时,这两个非负数同时为零.”及勾股定理逆定理的应用.
A
B
C
D
【变式训练】（2012江苏省盐城市一摸）如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD，AC=4BC，若CD的长为5，则四边形ABCD的面积为 ；
【答案】：10
【解答】:作AE⊥AC，DE⊥AE，两线交于E点，作DF⊥AC垂足为F点， ∵∠BAD=∠CAE=90°，即∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠DAE ∴∠BAC=∠DAE 又∵AB=AD，∠ACB=∠E=90° ∴△ABC≌△ADE(AAS) ∴BC=DE，AC=AE， 设BC=a，则DE=a，DF=AE=AC=4BC=4a， CF=AC-AF=AC-DE=3a， 在Rt△CDF中，由勾股定理得， CF2+DF2=CD2，即(3a)2+(4a)2=52， 解得:a=1， ∴y=S四边形ABCD=S梯形ACDE=12×(DE+AC)×DF =12×(a+4a)×4a =10a2 =10.
【点评】
3：互逆命题的概念
如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
【典型例题】7. （2011四川凉山，15，4分）把命题“如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2”的逆命题改写成“如果……，那么……”的形式： .
【答案】：如果三角形三边长a，b，c，满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．
【解答】解：逆命题为：三角形三边长a，b，c，满足a2＋b2＝c2，这个三角形是直角三角形，逆命题改写成“如果…，那么…”的形式：如果三角形三边长a，b，c，满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形，故答案为：如果三角形三边长a，b，c，满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．
【点评】命题都能写成“如果……，那么…”的形式，如果后面是题设，那么后面是结论，题设和结论互换后就是原命题的逆命题本题考查把命题写成“如果…，那么…”的形式以及逆命题的概念，难度适中．
【变式训练】. 下列命题中，真命题是（ ）
A、周长相等的锐角三角形都全等
B、周长相等的直角三角形都全等
C、周长相等的钝角三角形都全等
D、周长相等的等腰直角三角形都全等
【答案】选D．
【解答】解：A、周长相等的锐角三角形的对应角不一定相等，对应边也不一定相等，假命题；
B、周长相等的直角三角形对应锐角不一定相等，对应边也不一定相等，假命题；
C、周长相等的钝角三角形对应钝角不一定相等，对应边也不一定相等，假命题；
D、由于等腰直角三角形三边之比为1：1： ，故周长相等时，等腰直角三角形的对应角相等，对应边相等，故全等，真命题．
故选D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的运用，命题与定理的概念．关键是明确全等三角形的对应边相等，对应角相等．全等三角形必须是对应角相等，对应边相等，根据全等三角形的判定方法，逐一检验．
4：勾股定理的证明
勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法
用拼图的方法验证勾股定理的思路是
①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变
②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理
常见方法如下：
方法一：，，化简可证．
方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为
大正方形面积为 所以
方法三：，，化简得证
【典型例题】. 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3=10，则S2的值是 ．
【答案】为： ．
【解答】解：∵图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，
∴CG=NG，CF=DG=NF，
∴S1=（CG+DG） 2=CG 2+DG 2+2CG•DG，=GF 2+2CG•DG，
S2=GF 2，
S3=（NG-NF） 2=NG 2+NF 2-2NG•NF，
∵S1+S2+S3=10=GF 2+2CG•DG+GF 2+NG 2+NF 2-2NG•NF，=3GF 2，
∴S2的值是：．故答案为： ．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，根据已知得出
S1+S2+S3=10=GF 2+2CG•DG+GF 2+NG 2+NF 2-2NG•NF=3GF 2是解决问题的关键．根据图形的特征得出线段之间的关系，进而利用勾股定理求出各边之间的关系，从而得出答案．
【变式训练】: 你能根据图形所给的信息验证勾股定理吗？请写出证明过程．
【解答】解：根据题意，中间小正方形的面积c2=（a+b）2-4××ab=a2+b2；
即在直角三角形中斜边的平方等于两直角边的平方和．
【点评】本题考查了学生对勾股定理的证明和对三角形、正方形面积公式的熟练掌握和运用．根据题意，我们可在图中找等量关系，由中间的小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，列出等式化简即可得出勾股定理的表达式．
5：勾股数
①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数
②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如；；；等
③用含字母的代数式表示组勾股数：（为正整数）；
（为正整数）（，为正整数）
【典型例题】：给出下列几组数：①6，7，8；②9，40，41；③11，264，266；④14，194，200，其中能组成直角三角形的三条边长的有 ．
【答案】应填②．
【解答】：对于①∵6为偶数，8-7=1不等于2，所以①不能，对于②，因为9为奇数，181-180=1且40=，所以②能，对于③因为11为奇数，266-264=2不等于1，所以③不能，对于④因为14为偶数，200-194≠2，所以不能．
故应填②．
【点评】由以上例题解答可以看出，利用勾股数的规律解答三边能否构成直角三角形问题比用a2+b2=c2简洁的多，望同学们掌握之．
【变式训练】.（2013四川巴中，19，3分）若直角三角形的两直角边长为a、b，且满足，则该直角三角形的斜边长为 5 ．
【答案】是：5．
【解析】解：∵，
∴a2﹣6a+9=0，b﹣4=0，
解得a=3，b=4，
∵直角三角形的两直角边长为a、b，
∴该直角三角形的斜边长===5．
故答案是：5．
【点评】本题考查了勾股定理，非负数的性质﹣绝对值、算术平方根．任意一个数的绝对值（二次根式）都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．根据非负数的性质求得a、b的值，然后利用勾股定理即可求得该直角三角形的斜边长．
【热点专题分析】
题型一：直接考查勾股定理进行计算解题。
例１.在中，．
⑴已知，．求的长
⑵已知，，求的长
【分析】：直接应用勾股定理
解：⑴ ⑵
【点评】
例题2．如图，将一根25 cm长的细木棒放入长、宽、高分别为8 cm、6 cm和103 cm的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是多少厘米?
【解答】:设放入长方体盒子中的最大长度是x cm，
根据题意，得x2=82+62+(103)2=64+36+300=400.
所以x=20 cm，故细木棒露在盒外面的最短长度是25－20=5(cm).
【点评】；本题重点考查学生的空间想象能力及勾股定理的应用．长方体内体对角线是最长的，当木条在盒子里对角放置的时候露在外面的长度最小，这样就是求出盒子的对角线长度即可．
例题3：如图所示的长方体是某种饮料的纸质包装盒，规格为5×6×10(单位：㎝)，在上盖中开有一孔便于插吸管，吸管长为13㎝， 小孔到图中边AB距离为1㎝，到上盖中与AB相邻的两边距离相等，设插入吸管后露在盒外面的管长为h㎝，则h的最小值大约为_________㎝.
图5
A
B
10
5
6
吸管
【答案】为：2．
【解答】解：如图所示：连接DC，CF，
由题意：ED=3，EC=5-1=4
CD2=32+42=25=52，
CF2=52+102=125，
∴吸管口到纸盒内的最大距离=
∴h=13-11≈2cm ，
故答案为：2．
【点评】本题要弄清楚h最短时管子的摆放姿势，然后根据勾股定理即可得出结论．本题中，要求露出外面的管长h的最短值，其实相当于求一个3×4×10长方体的对角线（此时，h最小），据此解答即可．
例题4：将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱
形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为hcm，则h的取
值范围是（ ）．
A．h≤17cm B．h≥8cm
C．15cm≤h≤16cm D．7cm≤h≤16cm
【答案】选D．
【解答】解：如图，当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长，
∴h=24-8=16cm；
当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短，
在Rt△ABD中，AD=15，BD=8，∴AB= =17，
∴此时h=24-17=7cm，
所以h的取值范围是7cm≤h≤16cm．
故选D．
【点评】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．如图，当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长．然后分别利用已知条件根据勾股定理即可求出h的取值范围．
【变式训练1】．△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c．若∠C=90°，如图1，根据勾股定理，则a2+b2=c2．若△ABC不是直角三角形，如图2和图3，请你类比勾股定理，试猜想a2+b2与c2的关系，并证明你的结论．
【解答】：若△ABC是锐角三角形，则有a2+b2>c2；
若△ABC是钝角三角形，∠C为钝角，则有a2+b2
①当△ABC是锐角三角形时，如图18-3，
过点A作AD⊥CB，垂足为D，设CD为x，则有DB=a-x，
根据勾股定理，得b2-x2=c2-（a-x）2．
即b2-x2=c2-a2+2ax-x2，∴a2+b2=c2+2ax．
∵a>0，x>0，∴2ax>0，∴a2+b2>c2．
②当△ABC是钝角三角形时，如图18-4，
过点B作BD⊥AC，交AC的延长线于点D，
设CD为x，则BD2=a2-x2．
根据勾股定理，得（b+x）2+a2-x2=c2．
即b2+2bx+x2+a2-x2=c2．
∴a2+b2+2bx=c2．∵b>0，x>0，∴2bx>0，∴a2+b2
【变式训练2】．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1、S2，则S1+S2的值为（ ）
S2
S1
A．16 B．17 C．18 D．19
【答案】B．
【解析】根据等腰直角三角形、勾股定理先求出面积分别为S1的边唱是大正方形对角线的，S2正方形的边长组成直角三角形斜边长是大正方形对角线的一半.
满分解答：边长为6的大正方形中，对角线长为.
∴面积为S1小正方边长为，面积S1==8；小正方S2= ，∴S1+S2=8+9=17.故选B.
【方法指导】本题主要考查正方形性质.熟悉正方形有关性质是解题的关键.
题型二：应用勾股定理建立方程
例题1.⑴在中，，，，于，＝
⑵已知直角三角形的两直角边长之比为，斜边长为，则这个三角形的面积为
⑶已知直角三角形的周长为，斜边长为，则这个三角形的面积为
分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．有时可根据勾股定理列方程求解
解：
⑴，
⑵设两直角边的长分别为，，，
⑶设两直角边分别为，，则，，可得
例题2.如图中，，，，，求的长
分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来
解：作于，
，
在中
在中，
，
例题3.如图，,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积
【答案】：6
【解答】
【点评】本题考查勾股定理的知识，难度一般，注意图中不规则图形的面积可以转化为不规则图形面积的和或差的问题．阴影部分的面积等于中间直角三角形的面积加上两个小半圆的面积，减去其中下面面积较大的半圆的面积．
例题4. （2011重庆綦江，16，4分）一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示．正方形DEFH的边长为2米，坡角∠A＝30°，∠B＝90°，BC＝6米．当正方形DEFH运动到什么位置，即当AE＝ 米时，有DC2＝AE2＋BC2．
【分析】：方程的应用；含30度角的直角三角形；勾股定理。根据已知得出假设AE＝x，可得EC＝12－x，利用勾股定理得出DC2＝DE2＋EC2＝4＋（12－x）2，AE2＋BC2＝x2＋36，即可求出x的值．
【解答】：解：假设AE＝x，可得EC＝12－x，
∵坡角∠A＝30°，∠B＝90°，BC＝6米，
∴AC＝12米，
∵正方形DEFH的边长为2米，即DE＝2米，
∴DC2＝DE2＋EC2＝4＋（12－x）2，
AE2＋BC2＝x2＋36，
∵DC2＝AE2＋BC2，
∴4＋（12－x）2＝x2＋36，
解得：x＝米．
故答案为：．
【点评】：此题主要考查了勾股定理的应用以及一元二次方程的应用，根据已知表示出CE，AE的长度是解决问题的关键．
题型三：实际问题中应用勾股定理
例题1.如图有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了
【分析】：根据题意建立数学模型，如图，，，过点作，垂足为，则，
在中，由勾股定理得
【答案】：
例题2、如图，南北向MN为我国的领海线，即MN以西为我国领海，以东为公海.上午9时50分，我国反走私艇A发现正东方有一走私艇C以每小时13海里的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在线上巡逻的我国反走私艇B密切注意.反走私艇A通知反走私艇B:A和C两艇的距离是13海里，A、B两艇的距离是5海里.反走私艇B测得距离C艇是12海里，若走私艇C的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？
【解答】:设MN与AC相交于E，则∠BEC=90°，
又AB2+BC2=52+122=132=AC2，由勾股定理逆定理得
△ABC为直角三角形，即∠ABC=90°.
∵MN⊥CE，
∴走私艇进入我国领海的最近距离是CE.
∵两式相减得CE=，
÷13=≈0.85(小时),0.85小时=51分钟，
9时50分+51分=10时41分.
答:走私艇C最早在10时41分进入我国领海.
例题3．（2013·潍坊，9，3分）一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险，测得海岛A与B的距离为20海里，渔船将险情报告给位于A处的救援船后，沿北偏西80°方向向海岛C靠近．同时，从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行．20分钟后，救援船在海岛C处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为（ ）
A．海里/小时 B． 30海里/小时
C．海里/小时 D．海里/小时
答案：D
【解答】 解：如图，过点C作CD⊥AB于D．设AC=x海里．
在△ACD中，∠ADC=90°，∠CAD=10°+20°=30°，AC=x海里，
∴CD=AC=x海里，AD=CD=x海里．
在△BCD中，∠BDC=90°，∠CBD=80°﹣20°=60°，
∴BD=CD=x海里．
∵AD+BD=AB，
∴x+x=20，
解得x=10，根据勾股定理得到
【点评】; 本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，根据方位角的定义得到图中方位角的度数是前提条件．理解方向角的含义，证明出三角形ABC是直角三角形是解决本题的关键．
题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形
【例题1】.已知三角形的三边长为，，，判定是否为
①，， ②，，
解：①，
是直角三角形且
②，，不是直角三角形
例题2.三边长为，，满足，，的三角形是什么形状？
解：此三角形是直角三角形
理由：，且
所以此三角形是直角三角形
【点评】解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足a2+b2=c2，则三角形ABC是直角三角形．
题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用
【例题1】.已知中，，，边上的中线，求证：
证明：
为中线，
在中，，，
，，，
【例题2】.“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪A正前方30米B处，过了2秒后，测得小汽车C与车速检测仪A间距离为50米，这辆小汽车超速了吗？
【分析】根据题意得出由勾股定理得出BC的长，进而得出小汽车1小时行驶40×30×60=72000（米），进而得出答案．
【解答】：根据题意，得AC=30cm，AB=50cm，∠C=90°，
在Rt△ACB中，根据勾股定理，BC2=AB2-AC2=502-302=402，
所以BC=40，
小汽车2秒行驶40米，则1小时行驶40×30×60=72000（米），
即小汽车行驶速度为72千米/时，因为 72＞70，所以小汽车超速行驶．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，根据已知得出BC的长是解题关键．
【例题3】、如图18-11所示，A，B两个村子在河CD同侧，A，B两村到河的距离分别为AC=1 km，BD=3 km,CD=3 km.现要在河边CD上建一水厂，向A，B两村输送自来水，铺设水管的工程费用为每千米2000元.请在CD上选择水厂的位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用.
解析； 若最省钱只需AO+BO最小，可将A，O，B放在一条线段上考虑，故只需找到点A关于CD的对称点A′，连接A′B交CD于O，则水厂建在O点处即可，构造直角三角形，应用勾股定理就可求出各边长.
解：作点A关于CD的对称点A′，连接A′B交CD于点O，则O点就是水厂的位置.
过A′作A′H∥CD交BD延长线于H，
∴△A′HB为直角三角形.
在Rt△A′HB中，A′H=CD=3，
BH=BD+DH=BD+A′C=BD+AC=1+3=4，
由勾股定理得A′B==5，
∴总费用为2000×5=10000（元）
【例题4】．（8分）某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图所示，∠ACB=90°，AC=80米，BC=60米，若线段CD是一条小渠，且D点在边AB上，已知水渠的造价为10元/米，问D点在距A点多远处时，水渠的造价最低？最低造价是多少？
解：当CD为斜边上的高时，CD最短，从而水渠造价最价
∵CD·AB=AC·BC ∴CD==48米
∴AD==64米
所以，D点在距A点64米的地方，水渠的造价最低，其最低造价为480元．
【变式训练】如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F为CD上一点，且．求证：△AEF是直角三角形．
【点拨】：要证△AEF是直角三角形，由勾股定理的逆定理，只要证即可．
【解答】：证明：设正方形ABCD的边长为a，则，，．
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
．
同理在Rt△ABE中，由勾股定理得：
．
在Rt△CEF中，由勾股定理得：
．
∴．
∴△AEF是直角三角形．
【点评】：利用代数方法，计算三角形的三边长，看它们是否符合勾股定理的逆定理，以判断三角形是否是直角三角形，这是解决几何问题常用的方法之一．
例题5.已知△ABC的三边长为a，b，c，且满足，试判断△ABC的形状．
【点拨】：要判断三角形的形状，应从已知条件入手，分析各边之间的关系，从而得出正确结论．
【解答】：∵，
∴．
∴．
∴或．
当时，有．
由勾股定理的逆定理知，此时三角形是直角三角形；
当时，有a=b，此时三角形是等腰三角形．综上，△ABC是直角三角形或等腰三角形．
【点拨】：此题易犯的错误是由得，漏掉这种情况，从而漏掉等腰三角形这种可能性．
例题6.若△ABC的三边满足条件，试判断△ABC的形状．
解：∵，
∴．
∴．
∴a=5，b=12，c=13．
∴，∴△ABC是直角三角形．
【点评】本题考查了配方法的应用、勾股定理、非负数的性质，解题的关键是注意配方法的步骤，在变形的过程中不要改变式子的值．
题型六：平面展开问题探求最短路径问题
例题1.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是_________
【】
【解答】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为20dm，宽为（2+3）×3dm，
则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．
可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm，
由勾股定理得：x2=202+[（2+3）×3]2=252，
解得x=25．
故答案为25
【点评】本题考查了平面展开-最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答。
例题2.（2012山东省青岛市，14，3）如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 cm.
【解析】将圆柱展开，AB=．
【答案】15
【点评】本题考查圆柱的侧面展开为矩形，关键是在矩形上找出A和B两点的位置，据“两点之间线段最短”得出结果．“化曲面为平面”，利用勾股定理解决．要注意展开后有一直角边长是9cm而不是18 cm.
例题3.（2011四川广安，6，3分）如图所示，圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高BC＝ 6cm，点是母线上一点且＝．一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是（ ）
A．（）cm B．5cm C．cm D．7cm
【分析】：画出该圆柱的侧面展开图如图所示，则蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离为线段AP的长．在Rt△ACP中，AC＝，＝＝4cm，所以．
【解答】：B
【点评】：解决这类问题要善于将空间图形转化为平面图形，采用“化曲为直”的方法，利用圆柱体的表面展开图，把求最短距离问题转化为求两点之间的线段的长度问题．
题型七：关于勾股定理运用中的折叠问题
例题1．已知，如图所示，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，如果AB=8cm，BC=10cm，求EC的长．
【答案】EC为3cm.
【解答】：连结AE，则△ADE≌△AFE，所以AF=AD=10，DE=EF．
设CE=x，则EF=DE=8-x，BF =6，CF=4．
在Rt△CEF中，EF2=CE2+CF2，即（8-x）2=x2+16，故x=3
【点评】通过折叠的性质，将所求和已知的线段转换到同一个三角形中是解题的关键．要求CE的长，就必须求出DE的长，如果设EC=x，那么我们可将DE，EC转化到一个三角形中进行计算，根据折叠的性质我们可得出AD=AF，DE=EF，那么DE，CE就都转化到直角三角形EFC中了，下面的关键就是求出FC的长，也就必须求出BF的长，我们发现直角三角形ABF中，已知了AB的长，AF=AD=10，因此可求出BF的长，也就有了CF的长，在直角三角形EFC中，可用勾股定理，得出关于x的一元二次方程，进而求出未知数的值
例题2、如图，长方形ABCD中，AB=4，BC=3，将其沿直线MN折叠，使点C与点A重合，则CN的长为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】
【解答】
【点评】本题考查的是图形翻折变换的性质，在解答此类问题时首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数
例题3. （2011四川省宜宾市，7，3分）如图，矩形纸片ABCD中，已知AD =8，折叠纸片使AB边与对角线AC
重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3，则AB的长为( )
A.3 B.4
C.5 D.6
(7题图)
【答案】选D．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AD=8，
∴BC=8，
∵△AEF是△AEB翻折而成，
∴BE=EF=3，AB=AF，△CEF是直角三角形，
∴CE=8-3=5，
在Rt△CEF中，CF= = =4，
设AB=x，
在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2，即（x+4）2=x2+82，解得x=6，
故选D．
【点评】本题考查的是翻折变换及勾股定理，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．先根据矩形的特点求出BC的长，再由翻折变换的性质得出△CEF是直角三角形，利用勾股定理即可求出CF的长，再在△ABC中利用勾股定理即可求出AB的长．
例题3.（2011•安顺）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在AB边的C′点，那么△ADC′的面积是 6cm2．
【答案】：为6cm2
【解答】解：∵∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，
∴AB=10cm，
∵将△BCD沿BD折叠，使点C落在AB边的C′点，
∴DC=DC′，BC=BC′=6cm，
∴AC′=4cm，
设DC=xcm，则AD=（8﹣x）cm，
在Rt△ADC′中，AD2=AC′2+C′D2，即（8﹣x）2=x2+42，解得x=3，
∴△ADC′的面积=×4×3=6（cm2）．
故答案为6cm2．
【点评】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等，对应点的连线段被折痕垂直平分．也考查了勾股定理．先根据勾股定理得到AB=10cm，再根据折叠的性质得到DC=DC′，BC=BC′=6cm，则AC′=4cm，在Rt△ADC′中利用勾股定理得（8﹣x）2=x2+42，解得x=3，然后根据三角形的面积公式计算即可．
八、勾股定理中的规律探索问题
【例题】（2013湖南张家界，16，3分）如图，OP=1，过P作PP1⊥OP，得OP1=；再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1，得OP2=；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1，得OP3=2；…依此法继续作下去，得OP2012=．
【答案】为：．
【解答】：由勾股定理得：OP4==，
∵OP1=；得OP2=；
依此类推可得OPn=，
∴OP2012=，
故答案为：．
【点评】本题考查了勾股定理的运用，解题的关键是由已知数据找到规律．首先根据勾股定理求出OP4，再由OP1，OP2，OP3的长度找到规律进而求出OP2012的长．
【变式训练】．如图，在直角坐标系中，已知点A（﹣3，0）、B（0，4），对△OAB连续作旋转变换，依次得到△1、△2、△3、△4…，则△2014的直角顶点的坐标为 ．
【解答】：∵点A（-3，0），B（0，4）， ∴OB=4，OA=3， ∴AB= 5， ∵对△OAB连续作如图所示的旋转变换， ∴△OAB每三次旋转后回到原来的状态，并且每三次向前移动了3=4=5=12个单位， 而2011=3×670+1， ∴三角形和三角形④的状态一样， 所以三角形的直角顶点的横坐标为670×12=8040，纵坐标为0． 故答案为（8040，0）．
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