数学人教版22.2二次函数与一元二次方程教案

这是一份数学人教版22.2二次函数与一元二次方程教案，共3页。教案主要包含了内容和内容解析，目标和目标解析，教学问题诊断分析，教学过程设计，目标检测设计等内容，欢迎下载使用。

1．内容
二次函数与一元二次方程的联系．
2．内容解析
二次函数与一元二次方程的联系再次展示了函数与方程的联系，一方面可以深化对一元二次方程的认识，另一方面又可以运用二次函数解决一元二次方程的有关问题．
解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0可以看作已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的值为0，求自变量的值．从图象上看，如果二次函数的图象与x轴有公共点，当自变量取公共点的横坐标时，函数的值为0．由此可求出相应的一元二次方程的根．当二次函数的图象与x轴有两个公共点时，相应的一元二次方程有两个不等的实数根；当二次函数的图象与x轴有一个公共点时，相应的一元二次方程有两个相等的实数根；当二次函数的图象与x轴没有公共点时，相应的一元二次方程没有实数根．
基于以上分析，确定本节课的教学重点是：二次函数与一元二次方程的联系．
二、目标和目标解析
1．目标
(1)了解二次函数与一元二次方程的联系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．
(2)在通过图象了解二次函数与一元二次方程联系的过程中，体会综合运用函数解析式和函数图象的数形结合思想．
2．目标解析
达成目标(1)的标志是：学生能够利用二次函数的图象，通过观察与x轴交点的横坐标，确定一元二次方程的近似解．
达成目标(2)的标志是：在探索二次函数与一元二次方程联系的过程中，学生要能由形想数，也能由数想形．知道函数与x轴的公共点个数与对应的一元二次方程的实数根的数量有关．
三、教学问题诊断分析
学生在学习一次函数时，对于函数与一元一次方程的联系已经有了一定的了解，会利用一次函数图象求一元一次方程的解．二次函数与一元二次方程的联系在探究过程上与之前一致，但二次函数与x轴公共点的个数共有三种情况，这些是需要教师在教学过程中进行设计的，另外要使学生了解一元二次方程的根的几何意义，这需要在授课过程中进行多次对比．
基于以上分析，本节课的教学难点是：用数形结合的思想探究二次函数与一元二次方程的联系．
四、教学过程设计
1．问题引入
问题1 如教科书图22.2-1，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系h＝20t－5t2．回答以下问题：
(1)小球的飞行高度能否达到15 m？如果能，需要多少飞行时间？
(2)小球的飞行高度能否达到20 m？如果能，需要多少飞行时间？
(3)小球的飞行高度能否达到20.5 m？为什么？
(4)小球从飞出到落地要用多少时间？
(5)结合此问题，你能看出一元二次方程与二次函数具有怎样的联系？
师生活动：教师提出问题，学生回答．发现二次函数与一元二次方程联系密切．例如已知函数y＝－x2＋4x的值为3，求自变量x的值，可以看作解一元二次方程－x2＋4x＝3(即x2－4x＋3＝0)；反过来，解方程x2－4x＋3＝0又可以看作已知二次函数y＝x2－4x＋3的值为0，求自变量x的值．
设计意图：让学生初步感知二次函数与一元二次方程联系密切．
2．深入探究
问题2 对于函数(1)y＝x2＋x－2；(2)y＝x2－6x＋9；(3)y＝x2－x＋1．这些二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？
师生活动：教师提出问题，学生独立思考，自主回答，通过观察可以发现，函数(1)的图象与x轴有公共交点，函数(2)的图象与x轴有一个公共点，函数(3)的图象与x轴没有公共点．当图象与x轴有公共点时，公共点的横坐标就是相应的一元二次方程的根．
设计意图：通过让学生观察抛物线与x轴的公共点情况，初步让学生建立二次函数与一元二次方程的联系．
问题3 当x取公共点坐标的横坐标时，函数的值是多少？
师生活动：教师提出问题，学生独立思考，自主回答，当x取公共点的横坐标时，函数的值是0．
设计意图：通过公共点的横、纵坐标的特征，继续让学生建立二次函数与一元二次方程的联系．
问题4 由二次函数的图象，你能得出相应的一元二次方程的根吗？二次函数与一元二次方程具有怎样的联系？
师生活动：教师提出问题，学生思考并小组讨论，师生共同总结三个函数图象与一元二次方程的联系：
(1)抛物线y＝x2＋x－2与x轴有两个公共点，它们的横坐标是－2，1．当x取公共点的横坐标时，函数的值是0．由此得出方程x2＋x－2＝0的根是－2，1．
(2)抛物线y＝x2－6x＋9与x轴有一个公共点，这点的横坐标是3．当x＝3时，函数的值是0．由此得出方程x2－6x＋9＝0的实数根是3．
(3)抛物线y＝x2－x＋1与x轴没有公共点，由此可知，方程x2－x＋1＝0没有实数根．
进而师生共同讨论得出一般结论：
一般地，从二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可知，
(1)如果抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x＝x0时，函数的值是0，因此x＝x0就是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根．
(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点．这对应着一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根．
设计意图：通过师生共同探究，运用由特殊到一般和数形结合思想，让学生建立起二次函数与一元二次方程的联系．
3．巩固练习
利用函数图象求方程x2－2x－2＝0的实数根(结果保留小数点后一位)．
师生活动：每个学生在练习本上先独立画出函数图象，通过观察图象找到一元二次方程的实数根．教师巡视，指导．然后小组交流并评价．
设计意图：利用二次函数与一元二次方程的联系，根据函数图象求方程的近似解，进一步巩固所学内容．
4．小结
教师与学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：
(1)本节课学了哪些主要内容？
(2)二次函数与一元二次方程的区别与联系是什么？
设计意图：通过小结，让学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容——二次函数与一元二次方程的联系，梳理研究的方法，同时体会数形结合在函数研究中的重要作用．
5．布置作业
教科书习题22.2 第1，3，5题．
五、目标检测设计
1．抛物线y＝x2＋2x－1与x轴有两个公共点，方程x2＋2x－1＝0有 实数根．
设计意图：考查学生对二次函数与一元二次方程联系的掌握．
2．若二次函数y＝－x2＋2x＋k的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程－x2＋2x＋k＝0的一个解x1＝ ，另一个解x2＝ ．
设计意图：考查学生对二次函数与一元二次方程联系的掌握．