初中数学人教版九年级上册第二十一章 一元二次方程21.1 一元二次方程教学设计

这是一份初中数学人教版九年级上册第二十一章 一元二次方程21.1 一元二次方程教学设计，共4页。教案主要包含了引言，探索问题，试一试，小结等内容，欢迎下载使用。
22.2 用函数的观点看一元二次方程
教学时间
课题
22.2用函数的观点看一元二次方程（1）
课型
新授课
教
学
目
标
知 识
和
能 力
通过探索，使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系。
过 程
和
方 法
使学生能够运用二次函数及其图象、性质解决实际问题，提高学生用数学的意识。
情 感
态 度
价值观
进一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合思想。
教学重点
使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系，能够运用二次函数及其图象、性质去解决实际问题
教学难点
进一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合的思想
课 堂 教 学 程 序 设 计
设计意图
一、引言
在现实生活中，我们常常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，如拱桥跨度、拱高计算等，利用二次函数的有关知识研究和解决这些问题，具有很现实的意义。本节课，请同学们共同研究，尝试解决以下几个问题。
二、探索问题
问题1：某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，上面的A处安装一个喷头向外喷水。连喷头在内，柱高为0.8m。水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图(1)所示。
根据设计图纸已知：如图(2)中所示直角坐标系中，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是y＝－x2＋2x＋ eq \f(4,5)。
(1)喷出的水流距水平面的最大高度是多少?
(2)如果不计其他的因素，那么水池至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内?
教学要点
1．让学生讨论、交流，如何将文学语言转化为数学语言，得出问题(1)就是求函数y＝－x2＋2x＋ eq \f(4,5)最大值，问题(2)就是求如图(2)B点的横坐标；
2．学生解答，教师巡视指导；
3．让一两位同学板演，教师讲评。
问题2：一个涵洞成抛物线形，它的截面如图(3)所示，现测得，当水面宽AB＝1.6m时，涵洞顶点与水面的距离为2.4m。这时，离开水面1.5m处，涵洞宽ED是多少?是否会超过1m?
教学要点
1．教师分析：根据已知条件，要求ED的宽，只要求出FD的长度。在如图(3)的直角坐标系中，即只要求出D点的横坐标。因为点D在涵洞所成的抛物线上，又由已知条件可得到点D的纵坐标，所以利用抛物线的函数关系式可以进一步算出点D的横坐标。
2．让学生完成解答，教师巡视指导。
3．教师分析存在的问题，书写解答过程。
解：以AB的垂直平分线为y轴，以过点O的y轴的垂线为x轴，建立直角坐标系。
这时，涵洞的横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，开口向下，所以可设它的 函数关系式为：y＝ax2 (a＜0) (1)
因为AB与y轴相交于C点，所以CB＝ eq \f(AB,2)＝0.8(m)，又OC＝2.4m，所以点B的坐标是(0.8，－2.4)。
因为点B在抛物线上，将它的坐标代人(1)，得 －2.4＝a×0.82 所以：a＝－ eq \f(15,4)
因此，函数关系式是 y＝－ eq \f(15,4)x2 (2)
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。
问题3：画出函数y＝x2－x－3/4的图象，根据图象回答下列问题。
(1)图象与x轴交点的坐标是什么；
(2)当x取何值时，y＝0?这里x的取值与方程x2－x－ eq \f(3,4)＝0有什么关系?
(3)你能从中得到什么启发?
教学要点
1．先让学生回顾函数y＝ax2＋bx＋c图象的画法，按列表、描点、连线等步骤画出函数y＝x2－x－ eq \f(3,4)的图象。
2．教师巡视，与学生合作、交流。
3．教师讲评，并画出函数图象，如图(4)所示。
4．教师引导学生观察函数图象，回答(1)提出的问题，得到图象与x轴交点的坐标分别是(－ eq \f(1,2)，0)和( eq \f(3,2)，0)。
5．让学生完成(2)的解答。教师巡视指导并讲评。
6．对于问题(3)，教师组织学生分组讨论、交流，各组选派代表发表意见，全班交流，达成共识：从“形”的方面看，函数y＝x2－x－ eq \f(3,4)的图象与x轴交点的横坐标，即为方程x2－x－ eq \f(3,4)＝0的解；从“数”的方面看，当二次函数y＝x2－x－ eq \f(3,4)的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程x2－x－ eq \f(3,4)＝0的解。更一般地，函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标即为方程ax2＋bx＋c＝0的解；当二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程ax2＋bx＋c＝0的解，这一结论反映了二次函数与一元二次方程的关系。
三、试一试
根据问题3的图象回答下列问题。
(1)当x取何值时，y＜0?当x取何值时，y＞0?
(当－ eq \f(1,2)＜x＜ eq \f(3,2)时，y＜0；当x＜－ eq \f(1,2)或x＞ eq \f(3,2)时，y＞0)
(2)能否用含有x的不等式来描述(1)中的问题? (能用含有x的不等式采描述(1)中的问题，即x2－x－ eq \f(3,4)＜0的解集是什么?x2－x－ eq \f(3,4)＞0的解集是什么?)
想一想：二次函数与一元二次不等式有什么关系?
让学生类比二次函数与一元二次不等式方程的关系，讨论、交流，达成共识：
(1)从“形”的方面看，二次函数y＝ax2＋bJ＋c在x轴上方的图象上的点的横坐标，即为一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解；在x轴下方的图象上的点的横坐标．即为一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解。
(2)从“数”的方面看，当二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值大于0时，相应的自变量的值即为一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解；当二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值小于0时，相应的自变量的值即为一元二次不等式ax2＋bc＋c＜0的解。这一结论反映了二次函数与一元二次不等式的关系。
四、小结： 1．通过本节课的学习，你有什么收获?有什么困惑?
2．若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴无交点，试说明，元二次方程ax2＋bx＋c＝0和一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0、ax2＋bx＋c＜0的解的情况。
作业
设计
教学
反思
教学时间
课题
22.2用函数的观点看一元二次方程（2）
课型
新授课
教
学
目
标
知 识
和
能 力
复习巩固用函数y＝ax2＋bx＋c的图象求方程ax2＋bx＋c＝0的解
过 程
和
方 法
让学生体验函数y＝x2和y＝bx＋c的交点的横坐标是方程x2＝bx＋c的解的探索过程，掌握用函数y＝x2和y＝bx＋c图象交点的方法求方程ax2＝bx＋c的解。
情 感
态 度
价值观
提高学生综合解题能力，渗透数形结合思想。
教学重点
用函数图象法求方程的解以及提高学生综合解题能力
教学难点
提高学生综合解题能力，渗透数形结合的思想
教学准备
教师
多媒体课件
学生
“五个一”
课 堂 教 学 程 序 设 计
设计意图
一、复习巩固
1．如何运用函数y＝ax2＋bx＋c的图象求方程ax2＋bx＋c的解?
2．完成以下两道题：
(1)画出函数y＝x2＋x－1的图象，求方程x2＋x－1＝0的解。(精确到0.1)
(2)画出函数y＝2x2－3x－2的图象，求方程2x2－3x－2＝0的解。
教学要点
1．学生练习的同时，教师巡视指导， 2．教师根据学生情况进行讲评。
解：略
函数y＝2x2－3x－2的图象与x轴交点的横坐标分别是x1＝－ eq \f(1,2)和x2＝2，所以一元二次方程的解是x1＝－ eq \f(1,2)和x2＝2。
二、探索问题
问题1：(P23问题4)育才中学初三(3)班学生在上节课的作业中出现了争论：求方程x2＝ eq \f(1,2)x十3的解时，几乎所有学生都是将方程化为x2－ eq \f(1,2)x－3＝0，画出函数y＝x2－ eq \f(1,2)x－3的图象，观察它与x轴的交点，得出方程的解。唯独小刘没有将方程移项，而是分别画出了函数y＝x2和y＝ eq \f(1,2)x＋2的图象，如图(3)所示，认为它们的交点A、B的横坐标－ eq \f(3,2)和2就是原方程的解．
提问： 1. 这两种解法的结果一样吗? 2．小刘解法的理由是什么?
让学生讨论，交流，发表不同意见，并进行归纳。
3．函数y＝x2和y＝bx＋c的图象一定相交于两点吗?你能否举出例子加以说明?
4，函数y＝x2和y＝bx＋c的图象的交点横坐标一定是一元二次方程x2＝bx＋c的解吗?
5．如果函数y＝x2和y＝bx＋c图象没有交点，一元二次方程x2＝bx＋c的解怎样?
三、做一做
利用图23．3．4，运用小刘方法求下列方程的解，并检验小刘的方法是否合理。
(1)x2＋x－1＝0(精确到0.1)； (2)2x2－3x－2＝0。
教学要点：①要把(1)的方程转化为x2＝－x＋1，画函数y＝x2和y＝－x＋1的图象；
②要把(2)的方程转化为x2＝ eq \f(3,2)x＋1，画函数y＝x2和y＝ eq \f(3,2)x＋1的图象；③在学生练习的同时，教师巡视指导；④解的情况分别与复习两道题的结果进行比较。
四、综合运用
已知抛物线y1＝2x2－8x＋k＋8和直线y2＝mx＋1相交于点P(3，4m)。
(1)求这两个函数的关系式；
(2)当x取何值时，抛物线与直线相交，并求交点坐标。
解：(1)因为点P(3，4m)在直线y2＝mx＋1上，所以有4m＝3m＋1，解得m＝1
所以y1＝x＋1，P(3，4)。 因为点P(3，4)在抛物线y1＝2x2－8x＋k＋8上，所以有
4＝18－24＋k＋8 解得 k＝2 所以y1＝2x2－8x＋10
(2)依题意，得 eq \b\lc\{(\a\al(y＝x＋1,y＝2x2－8x＋10)) 解这个方程组，得 eq \b\lc\{(\a\al(x1＝3,y1＝4)) ， eq \b\lc\{(\a\al(x2＝1.5,y2＝2.5))
所以抛物线与直线的两个交点坐标分别是(3，4)，(1.5，2.5)。
五、小结： 1．如何用画函数图象的方法求方程韵解?
2．你能根据方程组： eq \b\lc\{(\a\al(y＝x2,y＝bx＋c))的解的情况，来判定函数y＝x2与y＝bx＋c图象交点个数吗?请说说你的看法。
作业
设计
必做
教学
反思