人教版九年级上册21.1 一元二次方程第1课时教学设计

解一元二次方程

21.2.1 配方法

第1课时 用直接开平方法解一元二次方程

【知识与技能】

1.会利用开平方法解形如x2=p(p≥0)的方程；

2.初步了解形如（x+n）2=p（p≥0）方程的解法.

3.能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性.

【过程与方法】

通过对实例的探究过程，体会类比、转化、降次的数学思想方法.

【情感态度】

在成功解决实际问题过程中，体验成功的快乐，增强数学学习的信心和乐趣.

【教学重点】

解形如x2=p(p≥0)的方程.

【教学难点】

把一个方程化成x2=p(p≥0)的形式.

一、情境导入，初步认识

问题我们知道，42=16,(-4)2=16，如果有x2=16，你知道x的值是多少吗？说说你的想法.如果3x2=18呢？

【教学说明】让学生通过回顾平方根的意义初步感受利用开平方法求简单一元二次方程的思路，引入新课.教学时，教师提出问题后，让学生相互交流，在类比的基础上感受新知.

解：如果x2=16，则x=±4;若3x2=18,则x=±.

二、思考探究，获取新知

探究一桶油漆可刷的面积为1500dm2 ，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？

思考1 设一个盒子的棱长为xdm，则它的外表面面积为，10个这种盒子的外表面面积的和为          ，由此你可得到方程为，你能求出它的解吗？

解：6x2,10×6x2,10×6x2=1500，整理得x2=25,根据平方根的意义，得x=±5,可以验证，5和-5是原方程的两个根，因为棱长不能为负值，所以盒子的棱长为5dm,故x=5dm.

【教学说明】学生通过自主探究，尝试用开平方法解决一元二次方程，体验成功的快乐.教师应关注学生的思考是否正确，是否注意到实际问题的解与对应的一元二次方程的解之间的关系，帮助学生获取新知.

【归纳结论】一般地，对于方程

x2=p,（Ⅰ）

（1）当p>0时，根据平方根的意义，方程（Ⅰ）有两个不等的实数根

x1=- ,x2=;

(2)当p=0时，方程（Ⅰ）有两个相等的实数根x1=x2=0;

(3)当p<0时，因为对任意实数x，都有x2≥0,所以方程（Ⅰ）无实数根.

思考2对上面题解方程（Ⅰ）的过程，你认为应该怎样解方程（x+3）2=5?

学生通过比较它们与方程x2=25异同，从而获得解一元二次方程的思路.

在解方程（Ⅰ）时，由方程x2=25得x=±5.由此想到：

由方程

（x+3）2=5,②

得x+3=± ,

即x+3=或x+3=-.③

于是，方程（x+3）2=5的两个根为x1=-3+,x2=-3-.

【教学说明】教学时，就让学生独立尝试给出解答过程，最后教师再给出规范解答，既帮助学生形成用直接开平方法解一元二次方程的方法，同时为以后学配方法作好铺垫，让学生体会到类比、转化、降次的数学思想方法.

【归纳结论】

上面的解法中，由方程②得到③，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程②转化为我们会解的方程了.

【教学说明】上述归纳结论应由师生共同探讨获得，教师要让学生知道解一元二次方程的实质是转化.

三、典例精析，掌握新知

例解下列方程：（教材第6页练习）

(1)2x2-8=0;      (2)9x2-5=3;

(3)(x+6)2-9=0;    (4)3(x-1)2-6=0;

(5)x2-4x+4=5;     (6)9x2+5=1.

解：(1)原方程整理，得2x2=8,即x2=4,根据平方根的意义，得x=±2,即x1=2,x2=-2.

（2）原方程可化为9x2=8,即x2=8/9.两边开平方，得x=± ,

即x1=,x2=-.

(3)原方程整理，得（x+6）2=9，根据平方根的意义,得x+6=±3,即x1=-3,x2=-9.

（4）原方程可化为（x-1）2=2,

两边开平方，得x-1=± ，

∴x1=1+,x2=1-;

（5）原方程可化为（x-2）2=5,

两边开平方，得x-2=± ,

∴x1=2+,x2=2-.

（6）原方程可化为9x2=-4,x2=-4/9.由前面结论知，当p<0时，对任意实数x,都有x2≥0，所以这个方程无实根.

【教学说明】本例可选派六位同学上黑板演算，其余同学自主探究，独立完成.教师巡视全场，发现问题及时予以纠正，帮助学生深化理解，最后师生共同给出评析，完善认知.特别要强调用直接开平方法开方时什么情况下是无实根的.

四、运用新知，深化理解

1.若8x2-16=0，则x的值是            .

2.若方程2(x-3)2=72，那么这个一元二次方程的两根是            .

3.如果实数a、b满足3a+4+b2-12b+36=0,则ab的值为            .

4.解关于x的方程：

(1)(x+m)2=n(n≥0);

(2)2x2+4x+2=5.

5.已知方程（x-2）2=m2-1的一个根是x=4,求m的值和另一个根.

【教学说明】让学生独立完成，加深对本节知识的理解和掌握.

五、师生互动，课堂小结

教师可以向学生这样提问：

(1)你学会怎样解一元二次方程了吗？有哪些步骤？

(2)通过今天的学习你了解了哪些数学思想方法？与同伴交流.

【教学说明】教师可引导学生提炼本节知识及方法，感受解一元二次方程的降次思想方法.

1.布置作业：从教材“习题21.2”中选取.

2.完成创优作业中本课时练习的“课时作业”部分.

1.本课时通过创设问题情景，激发学生探索新知的欲望.

2.本课时还通过回忆旧知识为新知学习作好铺垫.

3.教师引导学生自主、合作、探究、验证，培养学生分析问题、解析问题的能力.