陕西省榆林市2020届高三第一次模拟测试数学（理）试卷

2020届陕西省榆林市高三模拟第一次测试数学（理）试题

一、单选题

1．设z=-3+2i，则在复平面内对应的点位于

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

【答案】C

2．设集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

3．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为.若低于分的人数是人，则该班的学生人数是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

4．若，则下列结论正确的是（ ）

A． B．

C． D．

【答案】D

5．关于甲、乙、丙三人参加高考的结果有下列三个正确的判断：①若甲未被录取，则乙、丙都被录取；②乙与丙中必有一个未被录取；③或者甲未被录取，或者乙被录取.则三人中被录取的是（    ）

A．甲 B．丙 C．甲与丙 D．甲与乙

【答案】D

6．已知向量，，若，则（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

7．已知，，则(    )

A． B． C． D．

【答案】D

8．对于函数，给出下列四个命题：

①该函数的值域为；

②当且仅当时，该函数取得最大值；

③该函数是以为最小正周期的周期函数；

④当且仅当时，.

上述命题中正确命题的个数为（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

9．已知偶函数，当时，． 设，，，则（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

10．已知，，若直线与圆相切，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

11．设分别为双曲线的左右焦点，为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线某条渐近线于两点，且满足，则该双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

12．定义域为的函数满足，当时，，若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ）

A． B．

C． D．

【答案】B

二、填空题

13．曲线:在点处的切线方程为_______________.

【答案】y=2x﹣e

14．已知直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若，，，则此球的表面积等于__________.

【答案】

15．如图，抛物线和圆，直线经过的焦点，依次交于四点，则的值是__________．

【答案】

16．在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为________．

【答案】9

三、解答题

17．如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面,于点，连接.

（1）求证：；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】（1）见解析（2）

【详解】

（1）证明：平面平面.

四边形为矩形，

平面,平面,

平面.

平面，.

平面平面,

平面.

又平面,；

（2）如图所示，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，

则.

.

设平面的一个法向量为，

由可得；

令，得.

设直线与平面所成的角为，

则.

直线与平面所成的角的余弦值为.

18．已知的内角，，的对边，，分别满足，，又点满足．

（1）求及角的大小；

（2）求的值．

【答案】(1) (2)

试题解析：（1）由及正弦定理得，

即，

在中，，所以．

又，所以．

在中，由余弦定理得，

所以．

（2）由，得 ，

所以．

19．已知数列，满足，，，.

（1）证明：数列，为等比数列；

（2）记为数列的前项和，证明：.

【答案】（1）见证明；（2）见证明

【详解】

（1）依题：，两式相加得：，∴为等比数列，两式相减得：，∴为等比数列.

（2）由上可得：①，②，两式相加得：， .

20．函数.

（1）求在处的切线方程（为自然对数的底数）；

（2）设，若，满足，求证：.

【答案】（1）（2）证明见解析

【详解】

（1），则，

故在处的切线方程为即；

（2）证明：由题可得，，

当时，，则；当时，，则，

所以，当时，，在上是增函数.

设，

则，

当时，，则，在上递减.

不妨设，由于在上是增函数，则，

又，，则，于是，

由，在上递减，

则，所以，则，

又，在上是增函数，所以，，即.

21．如图，设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，过点A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且0，若过 A，Q，F2三点的圆恰好与直线相切，过定点 M（0，2）的直线与椭圆C交于G，H两点（点G在点M，H之间）.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线的斜率，在x轴上是否存在点P（，0），使得以PG，PH为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出的取值范围；如果不存在，请说明理由；（Ⅲ）若实数满足，求的取值范围．

【答案】（1）;（2）;（3）.

试题解析：（1）因为0,所以F1为F2Q中点

设Q的坐标为（-3c，0），因为AQ⊥AF2，所以b2=3c×c=3c2，a2=4c×c=4c2，

且过A，Q，F2三点的圆的圆心为F1（-c，0），半径为2c．

因为该圆与直线L相切，所以  解得c=1，所以a=2，故所求椭圆方程为．（2）设L1的方程为y=kx+2（k>0）由得（3+4k2）x2+16kx+4=0,

由△>0，得   所以k>1/2,设G（x1，y1），H（x2，y2），则所以（x1-m，y1）+（x2-m，y2） =（x1+x2-2m，y1+y2） =（x1+x2-2m，k（x1+x2）+4）（x2-x1，y2-y1）=（x2-x1，k（x2-x1））,由于菱形对角线互相垂直，因此所以（x2-x1）[（x1+x2）-2m]+k（x2-x1）[k（x1+x2）+4]=0,故（x2-x1）[（x1+x2）-2m+k2（x1+x2）+4k]=0因为k>0，所以x2-x1≠0所以（x1+x2）-2m+k2（x1+x2）+4k=0，即（1+k2）（x1+x2）+4k-2m=0，所以

,解得， 因为k>0，所以故存在满足题意的点P且m的取值范围是．（3）①当直线L1斜率存在时，设直线L1方程为y=kx+2，代入椭圆方程,得（3+4k2）x2+16kx+4=0 ,    由△>0，得,设G（x1，y1），H（x2，y2），  则,又，所以（x1，y1-2）=λ（x2，y2-2）， 所以x1=λx2， 所以,∴  ∴,整理得 ,因为， 所以 ,解得又0＜λ＜1，所以 ．②当直线L1斜率不存在时，直线L1的方程为x=0，

，，,所以 ．综上所述， ．

点睛：本题主要考查了椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系，是高考的必考点，属于难题．求椭圆方程的方法一般就是根据条件建立的方程，求出即可，注意的应用；涉及直线与圆锥曲线相交时，未给出直线时需要自己根据题目条件设直线方程，要特别注意直线斜率是否存在的问题，避免不分类讨论造成遗漏，然后要联立方程组，得一元二次方程，利用根与系数关系写出，再根据具体问题应用上式，其中要注意判别式条件的约束作用．

22．以平面直角坐标系的坐标原点为极点，以轴的非负半轴为极轴，以平面直角坐标系的长度为长度单位建立极坐标系. 已知直线的参数方程为 （为参数），曲线的极坐标方程为 .

(1)求曲线 的直角坐标方程；        

(2)设直线与曲线相交于两点，求.

【答案】（1）（2）

解：

(1)由，既   曲线的直角坐标方程为.

(2) 的参数方程为代入，整理的，所以，

   所以.

23．不等式选讲，已知函数.

(1)求不等式的解集；

(2)若关于的不等式 的解集是空集，求实数的取值范围.

【答案】（1）（2）

解：

(1)

，或，或，

解得，或，或     即不等式的解集为.

(2)   

又 的解集是空集         故实数的取值范围是