北师大版九年级下册第一章 直角三角形的边角关系综合与测试练习

这是一份北师大版九年级下册第一章 直角三角形的边角关系综合与测试练习，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

初中数学·北师大版·九年级下册——本章检测
本章检测
满分:100分,限时:60分钟
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.(2021浙江杭州余杭二模)若sin α=12,则锐角α=(　　)
A.30°　　　　　B.45°　　　　　C.50°　　　　　D.60°
2.(2021北京燕山二模)如图1-8-1,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,则sin A的值为 (　　)

图1-8-1
A.34　　　　　B.43　　　　　C.35　　　　　D.45
3.(2020四川成都新都模拟)如图1-8-2,在平面直角坐标系xOy中,点P(4,3),OP与x轴正半轴的夹角为α,则tan α的值为 (　　)

图1-8-2
A.35　　　　　B.45　　　　　C.34　　　　　D.43
4.(2021山东烟台莱州期末)一辆小车沿着如图1-8-3所示的斜坡向上行驶了100米,其铅直高度上升了15米.在用科学计算器求坡角α的度数时,具体按键顺序是 (　　)

图1-8-3

5.(2021北京首都师大附中月考)如图1-8-4所示的正方形网格中有∠α,则cos α的值为 (　　)

图1-8-4
A.12　　　　　B.55　　　　　C.255　　　　　D.2

6.(2021福建泉州实验中学段考)如图1-8-5,在矩形ABCD中,AB=3,AD=5,点E在DC上,将矩形ABCD沿AE折叠,点D恰好落在BC边上的点F处,那么cos∠EFC的值是 (　　)

图1-8-5
A.35　　　　　B.45　　　　　C.12　　　　　D.32
7.(2021浙江温州中考)图1-8-6①是第七届国际数学教育大会(ICME)的会徽,在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形,恰好能组合得到如图1-8-6②所示的四边形OABC.若AB=BC=1,∠AOB=α,则OC2的值为 (　　)

图1-8-6
A.1sin2α+1　　　　　B.sin2α+1　　　　　C.1cos2α+1　　　　　D.cos2α+1
8.(2021山东济南章丘五月模拟)如图1-8-7①,某小区入口处安装曲臂杆,OA⊥AB,OA=1米,点O是曲臂杆转动的支点,点C是曲臂杆两段的连接点,曲臂杆CD部分始终与AB平行.如图1-8-7②,曲臂杆在初始位置时,O、C、D三点共线,当曲臂杆升高到OE时,∠AOE=121°,点E到AB的距离是1.7米,当曲臂杆升高到OF时,∠AOF=156°,则点F到AB的距离是(结果精确到0.1米,参考数据:sin 31°≈0.5,sin 66°≈0.9) (　　)

① ②
图1-8-7
A.2.0米　　　　　B.2.3米　　　　　C.2.4米　　　　　D.2.6米
9.(2020四川广元中考)规定:sin(-x)=-sin x,cos(-x)=cos x,cos(x+y)=cos xcos y-sin xsin y,给出以下四个结论:
(1)sin(-30°)=-12;
(2)cos 2x=cos2x-sin2x;
(3)cos(x-y)=cos xcos y+sin xsin y;
(4)cos 15°=6-24.
其中正确的结论的个数为 (　　)
A.1　　　　　B.2　　　　　C.3　　　　　D.4
10.(2021辽宁铁岭调研)已知在平面直角坐标系中放置了5个如图1-8-8所示的正方形(用阴影表示),点B1在y轴上,点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x轴上.若正方形A1B1C1D1的边长为1,∠B1C1O=60°,B1C1∥B2C2∥B3C3,则点A3到x轴的距离是 (　　)

图1-8-8
A.3+318　　　　　B.3+118　　　　　C.3+36　　　　　D.3+16
二、填空题(每小题4分,共24分)
11.(2021山东青岛黄岛期末)计算:2cos230°+tan 45°=　　　　. 
12.(2021山西中考)太原地铁2号线是山西省第一条开通运营的地铁线路,于2020年12月26日开通.图1-8-9②是该地铁某站扶梯的示意图,扶梯AB的坡度i=5∶12(i为铅直高度与水平宽度的比).王老师乘扶梯从扶梯底端A以0.5米/秒的速度用时40秒到达扶梯顶端B,则王老师上升的铅直高度BC为　　　　米. 

图1-8-9

13. 如图1-8-10,在直角三角形ABC中,点D是AC边的中点,∠C=90°,sin∠DBC=35,则sin
∠ABC的值为　　　　. 

图1-8-10

14.(2020黑龙江哈尔滨呼兰期中)如图1-8-11,在△ABC中,tan B=2,∠ACB=45°,AD⊥BC于点D,CE⊥AB于点E,AD、CE交于点F,若AC=510,则线段EF的长为　　　　. 

图1-8-11

15.(2021湖北武汉中考)如图1-8-12,海中有一个小岛A.一艘轮船由西向东航行,在B点测得小岛A在北偏东60°方向上;航行12 n mile到达C点,这时测得小岛A在北偏东30°方向上.小岛A到航线BC的距离是　　　　n mile.(3≈1.73,结果用四舍五入法精确到0.1) 

图1-8-12

16.(2019四川绵阳中考)在△ABC中,若∠B=45°,AB=102,AC=55,则△ABC的面积是　　　　. 
三、解答题(共46分)
17.(2021天津津南模拟)(6分)计算下列各式的值:
(1)sin 45°cos 60°-cos 45°;
(2)cos245°+tan 60°cos 30°.









18. (2021浙江宁波模拟)(6分)如图1-8-13,在△ABC中,AD是BC边上的高,BC=14,AD=12,
sin B=45.
求:(1)线段DC的长;
(2)tan∠ACB的值.

图1-8-13





19.(2021四川自贡中考)(8分)如图1-8-14,在一次数学课外实践活动中,小明所在的学习小组从综合楼顶部B处测得办公楼底部D处的俯角是53°,从综合楼底部A处测得办公楼顶部C处的仰角恰好是30°,综合楼高24米.请你帮小明求出办公楼的高度.(结果精确到0.1,参考数据:tan 37°≈0.75,tan 53°≈1.33,3≈1.73)

图1-8-14






20.(2021独家原创试题)(8分)如图1-8-15,甲、乙两位游泳爱好者欲从河岸l1的点P处向对岸l2的最近点Q处游去.由于河流湍急,路线发生了不同的偏移.甲、乙两人分别在A,B两点上岸,已知∠APB=15°,∠ABP=45°,河宽为60 m,则乙偏离目标的距离比甲多多少?

图1-8-15






21.(2021山东聊城中考)(9分)时代中学组织学生进行红色研学活动.如图1-8-16,学生到达爱国主义教育基地后,先从基地门口A处向正南方向走300米到达革命纪念碑B处,再从B处向正东方向走到党史纪念馆C处,然后从C处向北偏西37°方向走200米到达人民英雄雕塑D处,最后从D处回到A处.已知人民英雄雕塑在基地门口的南偏东65°方向,求革命纪念碑与党史纪念馆之间的距离(精确到1米).(参考数据:sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75,sin 65°≈0.91,cos 65°≈0.42,tan 65°≈2.14)

图1-8-16






22.(2020山东济南历下期末)(9分)【知识回顾】
我们知道,在Rt△ABC中,当锐角A确定时,锐角A的三角函数值也随之确定.结合课本所学知识,请你填空:
sin 30°=　　　　,sin 45°=　　　　,sin 60°=　　　　. 
【深入探究】
定义:在△ABC中,∠C=30°,我们把∠A的对边与∠C的对边的比叫做∠A的邻弦,记作thi A,即thi A=∠A的对边∠C的对边=BCAB.请解答下列问题:
已知:在△ABC中,∠C=30°.
(1)若∠A=45°,求thi A的值;
(2)若thi A=3,求∠A的度数;
(3)若∠A是锐角,请你直接写出thi A与sin A的数量关系.


















本章检测
一、选择题
1.答案　A　∵sin 30°=12,∴锐角α=30°.故选A.
2.答案　D　在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,由勾股定理得AB=AC2+BC2=5,
∴sin A= BCAB = 45,故选D.
3.答案　C　如图,∵P(4,3),∴ON=4,PN=3,∴tan α=PNON = 34,故选C.

4.答案　A　sin A=BCAC=15100=0.15,所以用科学计算器求坡角α的度数时,按键顺序为.故选A.
5.答案　C　如图:

设小正方形的边长为1,将∠α视为Rt△ABC中的锐角,
∴AB=2,BC=1,
∴AC=AB2+BC2=22+12=5,
∴cos α=cos A=ABAC=25=255.故选C.
6.答案　A　∵四边形ABCD是矩形,∴∠D=∠C=∠B=90°.
由折叠知∠AFE=∠D=90°,AF=AD=5,
∴∠AFB+∠EFC=90°,
又∠BAF+∠AFB=90°,
∴∠EFC=∠BAF,
∴cos∠EFC=cos∠BAF=ABAF=35.
7.答案　A　在Rt△OAB中,sin α=ABOB,∴OB=1sinα,
在Rt△OBC中,OB2+BC2=OC2,∴OC2=1sinα2+12=1sin2α+1.故选A.
8.答案　B　如图,过点E、F分别作EG⊥OD,FH⊥OD,垂足分别为点G、H,

∵OA⊥AB,OD∥AB,∴OA⊥OD,∴∠AOD=90°,
∵∠AOE=121°,∠AOF=156°,
∴∠EOG=121°-90°=31°,∠FOH=156°-90°=66°,
∵点E到AB的距离是1.7米,OA=1米,
∴EG=1.7-1=0.7(米),
在Rt△OEG中,sin∠EOG=EGOE,
∴OE=0.7sin31°≈0.70.5=1.4(米),
∴OF=OE=1.4米,
在Rt△OFH中,FH=OFsin∠FOH=1.4sin 66°≈1.4×0.9=1.26(米),
∴FH+OA=1.26+1=2.26≈2.3(米).
∴点F到AB的距离是2.3米.故选B.
9.答案　C　(1)sin(-30°)=-sin 30°=-12,故此结论正确;
(2)cos 2x=cos(x+x)=cos xcos x-sin xsin x=cos2x-sin2x,故此结论正确;
(3)cos(x-y)=cos[x+(-y)]=cos xcos(-y)-sin xsin(-y)=cos xcos y+sin xsin y,故此结论正确;
(4)cos 15°=cos(45°-30°)=cos 45°cos30°+sin 45°sin 30°=22×32+22×12
= 64+24 = 6+24,故此结论错误.所以正确的结论有3个,故选C.
10.答案　D　如图,过小正方形的一个顶点W作WQ⊥x轴于点Q,过点A3作A3F⊥QW,交QW的延长线于点F,

∵正方形A1B1C1D1的边长为1,∠B1C1O=60°,B1C1∥B2C2∥B3C3,
∴D1C1=1,∠B3C3E4=60°,∠D1C1E1=30°,
∴D1E1=12D1C1=12,∴D1E1=B2E2=12,易得∠E2B2C2=30°,
∴cos∠E2B2C2=B2E2B2C2=12B2C2=32,解得B2C2=33,
∴B3E4=36,∵sin∠B3C3E4=B3E4B3C3,∴B3C3=13,则WC3=13,
易得∠WC3Q=30°,∠C3WQ=60°,∠A3WF=30°,
∴WQ=WC3sin 30°=13×12=16,FW=WA3cos 30°=13×32=36,
则点A3到x轴的距离是FW+WQ=36+16=3+16,故选D.
二、填空题
11.答案　52
解析　2cos230°+tan 45°=2×322+1=2×34+1=32+1=52.
12.答案　10013
解析　由题意得∠ACB=90°,AB=0.5×40=20(米),
∵扶梯AB的坡度i=5∶12=BCAC,
∴设BC=5a米,则AC=12a米,
由勾股定理得BC2+AC2=AB2,
即(5a)2+(12a)2=202,
解得a=2013(负值已舍去),
∴BC=5a=10013(米),故答案为10013.
13.答案　31313
解析　在Rt△BCD中,sin∠DBC=DCDB=35,
设DC=3x,则BD=5x,
根据勾股定理可得BC=4x,
∵点D是AC的中点,∴AC=6x,
∴AB=AC2+BC2=(6x)2+(4x)2=213x,
∴sin∠ABC=ACAB=6x213x=31313.
14.答案　52
解析∵∠ACB=45°,AD⊥BC,∴△ADC为等腰直角三角形,∴AD=CD.∵AC=510,∴AD=CD=AC·sin 45°=510×22=55.∵AD⊥BC,CE⊥AB,∴∠B+∠BAD=∠AFE+∠BAD=90°,∴∠DFC=∠AFE=∠B.∵tan B=2,∴tan∠DFC=2,∴CDDF=2,∴DF=CD2=552,∴AF=AD-DF=55-552=552.∵tan∠AFE=tan B=2,∴设AE=2x,则EF=x,
由勾股定理得AF=5x,∴5x=552,∴x=52,∴EF=52,故答案为52.
15.答案　10.4
解析　如图,过点A作AE⊥BC交BC的延长线于点E,
由题意得∠DBA=60°,∠EAC=30°,∴∠ABC=30°,∠ACE=60°,
∴∠BAC=∠ACE-∠ABC=30°,
∴∠BAC=∠ABC,∴AC=BC=12 n mile,
在Rt△ACE中,sin∠ACE=AEAC,∴AE=AC·sin∠ACE=12×sin 60°=63≈10.4(n mile),故小岛A到航线BC的距离是10.4 n mile.

16.答案　75或25
解析　如图1,当△ABC是锐角三角形时,过点A作AD⊥BC,垂足为D.
在Rt△ABD中,AD=AB·sin B=10,BD=AB·cos B=10.
在Rt△ACD中,AD=10,AC=55,∴CD=AC2-AD2=5.
∴BC=BD+CD=15,∴S△ABC=12BC·AD=12×15×10=75.

图1 图2
如图2,当△ABC是钝角三角形时,过点A作AD⊥BC,交BC的延长线于D.
在Rt△ABD中,AD=AB·sin B=10,BD=AB·cos B=10.
在Rt△ACD中,AD=10,AC=55,∴CD=AC2-AD2=5.
∴BC=BD-CD=5,∴S△ABC=12BC·AD=12×5×10=25.
综上所述,△ABC的面积是75或25.
三、解答题
17.解析　(1)sin 45°cos 60°-cos 45°=22×12-22=-24.
(2)cos245°+tan 60°cos 30°=222+3×32=12+32=2.
18.解析　(1)∵AD是BC边上的高,∴∠ADB=∠ADC=90°.
∵sin B=45,AD=12,∴AB=ADsinB=1245=15,
∴BD=AB2-AD2=152-122=9,
∵BC=14,∴DC=BC-BD=14-9=5.
(2)由(1)知CD=5,又AD=12,∴tan∠ACB=ADCD=125.
19.解析　由题意可知AB=24米,∠BDA=53°,
∴tan∠BDA=tan 53°=ABAD=24AD≈1.33,
∴AD≈18.05米.
∵tan∠CAD=tan 30°=CDAD=CD18.05=33,
∴CD=18.05×33≈10.4(米).
故办公楼的高度约为10.4米.
20.解析　由题意可得PQ=60 m.
在Rt△PBQ中,∠ABP=45°,则∠BPQ=45°,
由∠APB=15°,得∠APQ=45°-15°=30°,
在Rt△APQ中,tan∠APQ=AQPQ,
∴AQ=PQ·tan∠APQ=60tan 30°=60×33=203(m).
在Rt△PBQ中,tan∠BPQ=BQPQ,
∴BQ=PQ·tan∠BPQ=60tan 45°=60×1=60(m),
所以AB=BQ-AQ=(60-203)m.
答:乙偏离目标的距离比甲多(60-203)m.
21.解析　过D作DE⊥AB于E,DF⊥BC于F,如图所示:

由题意得∠CDF=37°,CD=200米,
在Rt△CDF中,sin∠CDF=CFCD=sin 37°,cos∠CDF=DFCD=cos 37°,
∴CF≈200×0.60=120(米),DF≈200×0.80=160(米),
∵AB⊥BC,DF⊥BC,DE⊥AB,∴∠B=∠DFB=∠DEB=90°,
∴四边形BFDE是矩形,∴BF=DE,BE=DF=160米,
∴AE=AB-BE=300-160=140(米),
在Rt△ADE中,tan∠DAE=DEAE=tan 65°,
∴DE=AEtan 65°≈140×2.14=299.60(米),∴BF=DE=299.60(米),
∴BC=BF+CF=299.60+120≈420(米).
答:革命纪念碑与党史纪念馆之间的距离约为420米.
22.解析　【知识回顾】12;22;32.
【深入探究】(1)如图①,作BH⊥AC,垂足为H,
在Rt△BHC中,∠C=30°,∴BC=2BH,
在Rt△BHA中,sin A=BHAB,即BHAB=sin 45°=22,
∴AB=2BH,∴thi A=BCAB=2BH2BH=2.
(2)如图②,若∠A为锐角,作BH⊥AC,垂足为H.
∵thi A=3,∴BCAB=3,即BC=3AB,
∵∠C=30°,∴BC=2BH,∴3AB=2BH,即BHAB=32,
则sin A=BHAB=32,∴∠A=60°.
如图②,若∠BA'C为钝角,根据对称性,
可得∠A=∠BA'A=60°,∴∠BA'C=120°.
综上所述,∠A的度数为60°或120°.
(3)如图①,在△ABC中,thi A=BCAB,在Rt△BHA中,sin A=BHAB,
在Rt△BHC中,∠C=30°,∴BC=2BH,∴thi A=2sin A.