数学人教A版 (2019)4.1 指数第2课时导学案

第2课时　分数指数幂、无理数指数幂

学习目标　通过对有理数指数幂 (a>0且a≠1，m，n为整数，且n>0)、实数指数幂ax(a>0，且a≠1，x∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质．

知识点一　分数指数幂

1．规定正数的正分数指数幂的意义是：＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)．

2．规定正数的负分数指数幂的意义是：＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)．

3．0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．

思考　分数指数幂可以理解为个a相乘吗？

答案　不可以．分数指数幂不可以理解为个a相乘．事实上，它是根式的一种新写法．

知识点二　有理数指数幂的运算性质

整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：

(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)．

(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)．

(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．

(4)拓展：＝ar－s(a>0，r，s∈Q)．

知识点三　无理数指数幂

一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．

1．(a>0)化为根式的形式为________．

答案　

解析　＝＝ .

2．＋(－1)0＝________.

答案　m2＋1

解析　＋(－1)0＝m2＋1.

3．化简 的结果是________．

答案　

解析　原式＝＝＝.

4．下列等式一定成立的是________．(填序号，a>0)

① ·＝a；②·＝0；

③(a3)2＝a9；④÷＝.

答案　④

一、根式与分数指数幂的互化

例1　将下列根式化成分数指数幂的形式：

(1)(a>0)；

(2)(x>0)；

(3)(b>0)．

解　(1)原式 ＝＝ ＝.

(2)原式＝ ＝ ＝

＝ ＝＝ .

(3)原式＝＝ ＝.

反思感悟　根式与分数指数幂互化的规律

(1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子．

(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．

跟踪训练1　用分数指数幂表示下列各式：

(1)；

(2)(a>0，b>0)．

解　(1)＝.

(2)＝

＝ ＝ ＝.

二、利用分数指数幂的运算性质化简求值

例2　计算下列各式：

(1)0＋2－2× －(0.01)0.5；

(2)0.5＋0.1－2＋ －3π0＋；

(3)－＋＋－π0.

解　(1)原式＝1＋×－＝.

(2)原式＝＋100＋－3＋＝100＋－3＝100.

(3)原式＝－＋＋－1

＝－＋＋－1－1＝3.

反思感悟　指数幂运算的常用技巧

(1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算．

(2)负指数幂化为正指数幂的倒数．

(3)底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于运用指数幂的运算性质．

跟踪训练2　化简求值：

(1)－＋＋－3－1＋π0；

(2)(a－2b－3)×(－4a－1b)÷(12a－4b－2c)；

(3)2÷4×3.

解　(1)原式＝－＋＋－＋1＝0.3－＋43＋2－＋1＝64.

(2)原式＝－4a－2－1b－3＋1÷(12a－4b－2c)

＝－a－3－(－4)b－2－(－2)c－1

＝－ac－1＝－.

(3)原式＝÷×

＝× ＝.

三、整体代换法求分数指数幂

例3　(1)已知＋＝，则x2＋x－2＝________.

答案　7

解析　将＋＝，两边平方得x＋x－1＋2＝5，

则x＋x－1＝3，

两边再平方得x2＋x－2＋2＝9，所以x2＋x－2＝7.

(2)已知x＋x－1＝7，求值：①＋；②x2－x－2.

解　①设m＝＋，两边平方得m2＝x＋x－1＋2＝7＋2＝9，

因为m>0，所以m＝3，即＋＝3.

②设n＝－，两边平方得n2＝x＋x－1－2＝7－2＝5，

因为n∈R，所以n＝±，即－＝±.

所以x－x－1＝(＋)(－)＝±3，

x2－x－2＝(x＋x－1)(x－x－1)＝±21.

(教师)

延伸探究

本例(2)的条件不变，求x3＋x－3的值．

解　由x＋x－1＝7平方可得x2＋x－2＝47，

所以x3＋x－3＝(x＋x－1)(x2＋x－2－1)＝7×46＝322.

反思感悟　利用整体代换法求分数指数幂

(1)整体代换法是数学变形与计算常用的技巧方法，分析观察条件与结论的结构特点，灵活运用恒等式是关键．

(2)利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式．

x2＋x－2＝(x±x－1)2 ∓2，x＋x－1＝(±)2∓2，＋＝(±)2∓2.

跟踪训练3　已知a2x＝＋1，求的值．

解　令ax＝t，则t2＝＋1，

所以＝＝

＝t2＋t－2－1＝＋1＋－1

＝＋1＋－1－1＝2－1.

1．化简的结果为(　　)

A．5  B.  C．－  D．－5

答案　B

解析　＝＝＝.

2.(a>0)的值为________．

答案　

解析　原式＝a3··＝＝.

3．若α，β是方程5x2＋10x＋1＝0的两个根，则2α·2β＝________，(2α)β＝________.

答案　　

解析　由根与系数的关系得α＋β＝－2，αβ＝.

则2α·2β＝2α＋β＝2－2＝，(2α)β＝2αβ＝.

4．若10x＝3,10y＝4，则102x－y＝________.

答案　

解析　∵10x＝3，∴102x＝9，∴102x－y＝＝.

5．计算：0.25×－4－4÷20－＝________.

答案　－4

解析　原式＝×16－4÷1－－1

＝4－4－4＝－4.

1．知识清单：

(1)根式与分数指数幂的互化．

(2)分数指数幂的运算．

2．方法归纳：整体代换法．

3．常见误区：

在运用分数指数幂的运算性质化简时，其结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数．

1．若有意义，则x的取值范围是(　　)

A．R   B.∪

C.   D.

答案　D

解析　将分数指数幂化为根式，可知需满足1－2x>0，

解得x<.

2．将化为分数指数幂为(　　)

A．   B．

C．   D．

答案　B

解析　＝＝＝.

3．计算·(－3a－1b)÷ 得(　　)

A．－b2   B.b2

C．   D.

答案　A

解析　原式＝＝－b2.

4．下列各式既符合分数指数幂的定义，值又相等的是(　　)

A．和   B．0－2和

C．和   D．和－3

答案　C

解析　选项A中，和均不符合分数指数幂的定义，且＝＝－1，

＝＝1，故A不满足题意；

选项B中，0的负指数幂没有意义，故B不满足题意；

选项D中，和－3虽符合分数指数幂的定义，但值不相等，故D不满足题意；

选项C中，＝，＝＝＝，满足题意．

故选C.

5．已知ab＝－5，则a＋b的值是(　　)

A．2  B．0  C．－2  D．±2

答案　B

解析　由题意知ab<0，

a＋b＝a＋b

＝a＋b＝a＋b＝0.

6．计算 ＝________.

答案　

解析　＝.

7．化简 ＝________.

答案　1

解析　原式＝＝＝＝1.

8．已知－＝3，则＋＝________.

答案　

解析　因为＝a＋a－1＋2

＝＋4＝9＋4＝13.

又因为＋>0，所以＋＝.

9．计算下列各式：

(1)；

(2) ÷ ．

解　(1)

＝[－1×3×(－2)]

＝6x0y1＝6y.

(2) ÷

＝[2×(－3)÷(－6)] ＝x2y.

10．计算：

(1)7－3－6＋；

(2) －－1× －10× .

解　(1)原式＝7× －3××2－6×＋＝－6×＋

＝2×－2×3×＝2×－2×＝0.

(2)原式＝ －(3×1)－1× －10×

＝－1－× －10×0.3

＝－－3＝0.

11．()4()4(a>0)等于(　　)

A．a16  B．a8  C．a4  D．a2

答案　C

解析　原式＝＝a2a2＝a2＋2＝a4.

12．已知2a＝5b＝m，且＋＝2，则m等于(　　)

A.  B．10  C．20  D．100

答案　A

解析　由题意得m>0，∵2a＝m,5b＝m，∴2＝，5＝，

∵2×5＝·＝，

∴m2＝10，∴m＝.

13．已知2x＝8y＋1，9y＝3x－9，则x＋y＝________.

答案　27

解析　由2x＝8y＋1，得2x＝23y＋3，

所以x＝3y＋3.①

由9y＝3x－9，得32y＝3x－9，

所以2y＝x－9.②

由①②联立方程组，解得x＝21，y＝6，

所以x＋y＝27.

14．已知a2m＋n＝2－2，am－n＝28(a>0，且a≠1)，则a4m＋n的值为________．

答案　4

解析　因为

所以①×②得a3m＝26，所以am＝22.

将am＝22代入②得22·a－n＝28，所以an＝2－6，

所以a4m＋n＝a4m·an＝(am)4·an＝(22)4·2－6

＝22＝4.

15．已知m＝2，n＝3，则3的值是________．

答案　

解析　m＝2，n＝3，则原式＝＝＝m·n－3＝2×3－3＝.

16．对于正整数a，b，c(a≤b≤c)和非零实数x，y，z，ω，有ax＝by＝cz＝70ω，＝＋＋，求a，b，c的值．

解　∵ax＝70ω，且x，ω为非零实数，∴＝，∴＝.

同理，可得＝，＝.

∴··＝··，

即＝.

又＋＋＝，a，b，c为正整数，

∴abc＝70＝2×5×7.

∵a≤b≤c，∴a＝2，b＝5，c＝7.