高中人教A版 (2019)3.2 双曲线第2课时学案

这是一份高中人教A版 (2019)3.2 双曲线第2课时学案，共12页。学案主要包含了双曲线定义的应用，直线与双曲线的位置关系，弦长公式及中点弦问题等内容，欢迎下载使用。
导语
上节课我们学习了双曲线的几何性质，熟练掌握双曲线的几何性质是解答双曲线基本问题的法宝，这节课我们将在已有知识的基础上，进一步掌握双曲线的标准方程、几何性质，并运用它们解决有关直线与双曲线的综合问题．
一、双曲线定义的应用
问题1 思考双曲线例5与椭圆一节中的例6比较，你有什么发现？
提示 当点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比值大于1时，点M的轨迹是双曲线．
知识梳理
双曲线的第二定义：当点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e＝eq \f(c,a)(e>1)时，这个点的轨迹是双曲线．
二、直线与双曲线的位置关系
问题2 类比直线与椭圆的位置关系可知直线与双曲线有几种位置关系？
提示 有三种位置关系，分别为相交、相切、相离三种情况．
知识梳理
把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2＋bx＋c＝0的形式，在a≠0的情况下考察方程的判别式．
(1)Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的公共点．
(2)Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点．
(3)Δ0，,1－k2≠0，))得－eq \f(2\r(3),3)0)的交点个数是( )
A．1 B．2 C．1或2 D．0
答案 A
解析 由题意，双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，
可得其渐近线方程为y＝eq \f(b,a)x，
因为直线y＝eq \f(b,a)x＋3与双曲线的一条渐近线y＝eq \f(b,a)x平行，
所以它与双曲线只有1个交点．
2．若直线y＝kx与双曲线4x2－y2＝16相交，则实数k的取值范围为( )
A．(－2,2) B．[－2,2) C．(－2,2] D．[－2,2]
答案 A
解析 易知k≠±2，将y＝kx代入4x2－y2＝16得关于x的一元二次方程(4－k2)x2－16＝0，
由Δ>0可得－20，b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a＝________.
答案 2
解析 设B为双曲线的右焦点，如图所示．∵四边形OABC为正方形且边长为2，
∴c＝|OB|＝2eq \r(2).
又∠AOB＝eq \f(π,4)，
∴eq \f(b,a)＝tan eq \f(π,4)＝1，即a＝b.
又∵a2＋b2＝c2＝8，∴a＝2.
9．设A，B为双曲线x2－eq \f(y2,2)＝1上的两点，线段AB的中点为M(1,2)．求：
(1)直线AB的方程；
(2)△OAB的面积(O为坐标原点)．
解 (1)显然直线AB的斜率存在，
设直线AB的方程为y－2＝k(x－1)，
即y＝kx＋2－k.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋2－k，,x2－\f(y2,2)＝1，))
消去y，整理得(2－k2)x2－2k(2－k)x－k2＋4k－6＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则1＝eq \f(x1＋x2,2)＝eq \f(k2－k,2－k2)(2－k2≠0)，解得k＝1.
当k＝1时，满足Δ>0，
∴直线AB的方程为y＝x＋1.
(2)由(1)得x1＋x2＝2，x1x2＝－3，
∴|AB|＝eq \r(2)·eq \r(x1＋x22－4x1x2)
＝eq \r(2)×eq \r(4＋12)＝4eq \r(2).
又点O到直线AB的距离d＝eq \f(1,\r(2))＝eq \f(\r(2),2)，
∴S△AOB＝eq \f(1,2)|AB|·d＝eq \f(1,2)×4eq \r(2)×eq \f(\r(2),2)＝2.
10．已知双曲线3x2－y2＝3，直线l过右焦点F2，且倾斜角为45°，与双曲线交于A，B两点，试问A，B两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦AB的长．
解 双曲线方程可化为x2－eq \f(y2,3)＝1，
故a2＝1，b2＝3，c2＝a2＋b2＝4，
∴c＝2.∴F2(2,0)，
又直线l的倾斜角为45°，
∴直线l的斜率k＝tan 45°＝1，
∴直线l的方程为y＝x－2，
代入双曲线方程，得2x2＋4x－7＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵x1·x2＝－eq \f(7,2)0，b>0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则eq \f(x\\al(2,1),a2)－eq \f(y\\al(2,1),b2)＝1，①
eq \f(x\\al(2,2),a2)－eq \f(y\\al(2,2),b2)＝1，②
x1＋x2＝－24，y1＋y2＝－30，
由①②得eq \f(y1－y2,x1－x2)＝eq \f(4b2,5a2)，从而eq \f(4b2,5a2)＝1，
又因为a2＋b2＝c2＝9，
故a2＝4，b2＝5，所以E的方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1.
12．设双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点．若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±eq \f(1,2)x B．y＝±eq \f(\r(2),2)x
C．y＝±x D．y＝±eq \r(2)x
答案 C
解析 设双曲线的半焦距为c，
则F(c,0)，将x＝c代入双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1，
得y＝±eq \f(b2,a)，不妨取Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，\f(b2,a)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，－\f(b2,a)))，
又A1(－a,0)，A2(a,0)，
故＝eq \f(－\f(b2,a),c＋a)＝－eq \f(b2,aa＋c)，＝eq \f(\f(b2,a),c－a)＝eq \f(b2,ac－a).
因为A1B⊥A2C，
故－eq \f(b2,aa＋c)×eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(b2,ac－a)))＝－1，
即eq \f(b4,a2c2－a2)＝1，即eq \f(b4,a2b2)＝1，
所以a＝b，故渐近线方程是y＝±eq \f(b,a)x＝±x.
13．设双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1的右顶点为A，右焦点为F，过点F作平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为________．
答案 eq \f(32,15)
解析 双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1的右顶点A(3,0)，右焦点F(5,0)，渐近线方程为y＝±eq \f(4,3)x.不妨设直线FB的方程为y＝eq \f(4,3)(x－5)，代入双曲线方程整理，得x2－(x－5)2＝9，
解得x＝eq \f(17,5)，y＝－eq \f(32,15)，∴Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(17,5)，－\f(32,15))).
∴S△AFB＝eq \f(1,2)|AF||yB|＝eq \f(1,2)(c－a)·|yB|＝eq \f(1,2)×(5－3)×eq \f(32,15)＝eq \f(32,15).
14．已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是y＝eq \r(2)x，过其左焦点F(－eq \r(3)，0)作斜率为2的直线l交双曲线C于A，B两点，则截得的弦长|AB|＝____.
答案 10
解析 ∵双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是y＝eq \r(2)x，
∴eq \f(b,a)＝eq \r(2)，即b＝eq \r(2)a，
∵左焦点F(－eq \r(3)，0)，∴c＝eq \r(3)，
∴c2＝a2＋b2＝3a2＝3，
∴a2＝1，b2＝2，
∴双曲线方程为x2－eq \f(y2,2)＝1，直线l的方程为y＝2(x＋eq \r(3))，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝2x＋\r(3)，,x2－\f(y2,2)＝1，))消去y可得x2＋4eq \r(3)x＋7＝0，
∴x1＋x2＝－4eq \r(3)，x1x2＝7，
∴|AB|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(x1＋x22－4x1x2)＝eq \r(1＋4)×eq \r(48－28)＝eq \r(5)·eq \r(20)＝10.
15．已知F1，F2分别为双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦点和右焦点，过F2的直线l与双曲线的右支交于A，B两点，△AF1F2的内切圆半径为r1，△BF1F2的内切圆半径为r2，若r1＝2r2，则直线l的斜率为( )
A．1 B.eq \r(2) C．2 D．2eq \r(2)
答案 D
解析 设△AF1F2的内切圆圆心为I1，
△BF1F2的内切圆圆心为I2，边|AF1|，|AF2|，|F1F2|上的切点分别为M，N，E，
易知I1，E的横坐标相等，
则|AM|＝|AN|，|F1M|＝|F1E|，|F2N|＝|F2E|，
由|AF1|－|AF2|＝2a，即|AM|＋|MF1|－(|AN|＋|NF2|)＝2a，
得|MF1|－|NF2|＝2a，即|F1E|－|F2E|＝2a，
记I1的横坐标为x0，则E(x0，0)，于是x0＋c－(c－x0)＝2a，得x0＝a，
同理圆心I2的横坐标也为a，则有I1I2⊥x轴，
设直线l的倾斜角为θ，
则∠OF2I2＝eq \f(θ,2)，∠I1F2O＝90°－eq \f(θ,2)，
则tan eq \f(θ,2)＝eq \f(r2,|F2E|)，tan∠I1F2O＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(90°－\f(θ,2)))＝eq \f(1,tan \f(θ,2))＝eq \f(r1,|F2E|)，
∵r1＝2r2，∴tan2eq \f(θ,2)＝eq \f(1,2)，
即tan eq \f(θ,2)＝eq \f(\r(2),2).∴tan θ＝eq \f(2tan \f(θ,2),1－tan2\f(θ,2))＝2eq \r(2).
16．设A，B分别为双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1 (a>0，b>0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为4eq \r(3)，焦点到渐近线的距离为eq \r(3).
(1)求双曲线的方程；
(2)已知直线y＝eq \f(\r(3),3)x－2与双曲线的右支交于M，N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使eq \(OM,\s\up6(→))＋eq \(ON,\s\up6(→))＝teq \(OD,\s\up6(→))，求t的值及点D的坐标．
解 (1)由题意知a＝2eq \r(3).
∴一条渐近线为y＝eq \f(b,2\r(3))x，即bx－2eq \r(3)y＝0.
∴eq \f(|bc|,\r(b2＋12))＝eq \r(3).
又c2＝a2＋b2＝12＋b2，
∴b2＝3.
∴双曲线的方程为eq \f(x2,12)－eq \f(y2,3)＝1.
(2)设点M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，
则x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0.
将直线方程代入双曲线方程得x2－16eq \r(3)x＋84＝0.
则x1＋x2＝16eq \r(3)，y1＋y2＝12.
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x0,y0)＝\f(4\r(3),3)，,\f(x\\al(2,0),12)－\f(y\\al(2,0),3)＝1.))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝4\r(3)，,y0＝3.))
由eq \(OM,\s\up6(→))＋eq \(ON,\s\up6(→))＝teq \(OD,\s\up6(→))，
得(16eq \r(3)，12)＝(4eq \r(3)t,3t)．
∴t＝4，点D的坐标为(4eq \r(3)，3)．