高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆第2课时学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆第2课时学案，共15页。学案主要包含了实际生活中的椭圆问题，直线与椭圆的位置关系，中点弦问题等内容，欢迎下载使用。
导语
传说，很久以前，在意大利的西西里岛上有一个山洞，叙拉古的暴君杰尼西亚用这个山洞囚禁犯人．囚犯们多次密谋逃跑，但是每次计划都被杰尼西亚发现．起初，囚犯们怀疑有内奸，但是始终没有发现内奸是谁．后来他们察觉到关押他们的山洞很奇怪，人只要站在山洞入口处的某个地方，就能听到很远处洞底的声音，甚至连人的呼吸声都能听到，因此这个山洞被命名为“杰尼西亚的耳朵”．这个山洞的特别之处就在于它呈椭圆形，声音可以从椭圆的一个焦点反射到另一个焦点上，从而可以在洞口清晰地听到洞底的声音．
一、实际生活中的椭圆问题
例1 (多选)中国的嫦娥四号探测器，简称“四号星”，是世界首个在月球背面软着陆和巡视探测的航天器.2019年9月25日，中国科研人员利用嫦娥四号数据精确定位了嫦娥四号的着陆位置，并再现了嫦娥四号的落月过程，该成果由国际科学期刊《自然·通讯》在线发表．如图所示，现假设“四号星”沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行．若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，则下列式子正确的是( )
A．a1＋c1＝a2＋c2 B．a1－c1＝a2－c2
C.eq \f(c1,a1)eq \f(c2,a2)
答案 BD
解析 由图可知，a1>a2，c1>c2，所以a1＋c1>a2＋c2，所以A不正确；
在椭圆轨道Ⅰ中可得，a1－c1＝|PF|，
在椭圆轨道Ⅱ中可得，|PF|＝a2－c2，
所以a1－c1＝a2－c2，所以B正确；
a1＋c2＝a2＋c1，两边同时平方得，aeq \\al(2,1)＋ceq \\al(2,2)＋2a1c2＝aeq \\al(2,2)＋ceq \\al(2,1)＋2a2c1，
所以aeq \\al(2,1)－ceq \\al(2,1)＋2a1c2＝aeq \\al(2,2)－ceq \\al(2,2)＋2a2c1，
即beq \\al(2,1)＋2a1c2＝beq \\al(2,2)＋2a2c1，由图可得，beq \\al(2,1)>beq \\al(2,2)，
所以2a1c20)的位置关系判断方法：
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋m，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，))消去y(或x)得到一个关于x(或y)的一元二次方程：
注意点：
设直线方程时，容易忽略斜率不存在的情况．
例2 已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：
(1)有两个不同的公共点；
(2)有且只有一个公共点；
(3)没有公共点？
解 直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝2x＋m，①,\f(x2,4)＋\f(y2,2)＝1，②))
将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0，③
关于x的一元二次方程的判别式
Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.
(1)由Δ>0，得－3eq \r(2)1或m1且m≠3，
∴m的取值范围是(1,3)∪(3，＋∞)．
4.万众瞩目的北京冬奥会将于2022年2月4日正式开幕，继2008年北京奥运会之后，国家体育场(又名鸟巢)将再次承办奥运会开幕式．在手工课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同、扁平程度相同的椭圆．已知大椭圆的长轴长为40 cm，短轴长为20 cm，小椭圆的短轴长为10 cm，则小椭圆的长轴长为_________cm.
答案 20
解析 因为两个椭圆的扁平程度相同，所以椭圆的离心率相同，
所以eq \f(c大,a大)＝eq \f(c小,a小)，
即eq \r(\f(a\\al(2,大)－b\\al(2,大),a\\al(2,大)))＝eq \r(\f(a\\al(2,小)－b\\al(2,小),a\\al(2,小))).
所以eq \r(\f(202－102,202))＝eq \r(\f(a\\al(2,小)－52,a\\al(2,小)))，
解得a小＝10.
所以小椭圆的长轴长为20 cm.
课时对点练
1．直线y＝x＋1与椭圆eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．无法判断
答案 A
解析 方法一 直线过点(0,1)，而0＋eq \f(1,4)0，
所以直线与椭圆相交．
2．直线x＋4y＋m＝0交椭圆eq \f(x2,16)＋y2＝1于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为1，则m的值是( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
答案 A
解析 ∵x＋4y＋m＝0，
∴y＝－eq \f(1,4)x－eq \f(m,4)，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x\\al(2,1),16)＋y\\al(2,1)＝1，,\f(x\\al(2,2),16)＋y\\al(2,2)＝1，))
两式相减，得eq \f(y1－y2,x1－x2)＝－eq \f(x1＋x2,16y1＋y2)＝－eq \f(1,4).
∵AB中点的横坐标为1，
∴纵坐标为eq \f(1,4)，
将eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,4)))代入直线y＝－eq \f(1,4)x－eq \f(m,4)，解得m＝－2.
3．德国天文学家开普勒发现天体运行轨道是椭圆，已知地球运行的轨道是一个椭圆，太阳在它的一个焦点上，轨道近日点到太阳中心的距离和远日点到太阳中心的距离之比是29∶30，那么地球运行轨道所在椭圆的离心率是( )
A.eq \f(1,59) B.eq \f(2,59) C.eq \f(29,59) D.eq \f(30,59)
答案 A
解析 设椭圆的长半轴长为a，半焦距为c，
由题意可得eq \f(a－c,a＋c)＝eq \f(29,30)，
整理得a＝59c，即eq \f(c,a)＝eq \f(1,59).
∴地球运行轨道所在椭圆的离心率是eq \f(1,59).
4．(多选)椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq \f(\r(2),2)，若直线y＝kx与椭圆的一个交点的横坐标x0＝b，则k的值为( )
A．－eq \f(\r(2),2) B．－eq \f(1,2) C.eq \f(1,2) D.eq \f(\r(2),2)
答案 AD
解析 根据椭圆的离心率为eq \f(\r(2),2)，得eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2).
由x0＝b，得yeq \\al(2,0)＝b2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(b2,a2)))＝eq \f(b2c2,a2)，
∴y0＝±eq \f(bc,a)，∴k＝eq \f(y0,x0)＝±eq \f(c,a)＝±eq \f(\r(2),2).
5．经过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(3),2)))且与椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1相切的直线方程是( )
A．x＋2eq \r(3)y－4＝0 B．x－2eq \r(3)y－4＝0
C．x＋2eq \r(3)y－2＝0 D．x－2eq \r(3)y＋2＝0
答案 A
解析 显然当x＝1时，直线与椭圆有两个交点，不符合题意；
当斜率k存在时，设直线方程为y－eq \f(\r(3),2)＝k(x－1)，与椭圆的方程联立得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y－\f(\r(3),2)＝kx－1，,\f(x2,4)＋y2＝1，))
得到(1＋4k2)x2＋4kx(eq \r(3)－2k)＋4k2－4eq \r(3)k－1＝0，
由直线与椭圆相切，得Δ＝0，
即[4k(eq \r(3)－2k)]2－4×(1＋4k2)×(4k2－4eq \r(3)k－1)＝0，
解得k＝－eq \f(\r(3),6)，∴切线方程为x＋2eq \r(3)y－4＝0.
6．已知过圆锥曲线eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,n)＝1上一点P(x0，y0)的切线方程为eq \f(x0x,m)＋eq \f(y0y,n)＝1.过椭圆eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,4)＝1上的点A(3，－1)作椭圆的切线l，则过点A且与直线l垂直的直线方程为( )
A．x－y－3＝0 B．x＋y－2＝0
C．2x＋3y－3＝0 D．3x－y－10＝0
答案 B
解析 过椭圆eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,4)＝1上的点A(3，－1)的切线l的方程为eq \f(3x,12)＋eq \f(－y,4)＝1，即x－y－4＝0，切线l的斜率为1.与直线l垂直的直线的斜率为－1，故过A点且与直线l垂直的直线方程为y＋1＝－(x－3)，即x＋y－2＝0.
7．已知以F1(－2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x＋eq \r(3)y＋4＝0有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为_____________________________．
答案 2eq \r(7)
解析 由题意可设椭圆的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,a2－4)＝1(a>2)，
与直线方程x＋eq \r(3)y＋4＝0联立，
得4(a2－3)y2＋8eq \r(3)(a2－4)y＋(16－a2)(a2－4)＝0，
由Δ＝0，得a＝eq \r(7)，
所以椭圆的长轴长为2eq \r(7).
8．已知椭圆C：eq \f(y2,9)＋x2＝1，过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2)))的直线与椭圆C相交于A，B两点，且弦AB被点P平分，则直线AB的方程为________．
答案 9x＋y－5＝0
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)．因为点A，B在椭圆上，
所以eq \f(y\\al(2,1),9)＋xeq \\al(2,1)＝1，①
eq \f(y\\al(2,2),9)＋xeq \\al(2,2)＝1.②
①－②，得eq \f(y1＋y2y1－y2,9)＋(x1＋x2)(x1－x2)＝0.③
因为Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2)))是线段AB的中点，
所以x1＋x2＝1，y1＋y2＝1，
代入③得eq \f(y1－y2,x1－x2)＝－9，即直线AB的斜率为－9.
故直线AB的方程为y－eq \f(1,2)＝－9eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))，
整理得9x＋y－5＝0.
9．已知椭圆x2＋8y2＝8，在椭圆上求一点P，使P到直线l：x－y＋4＝0的距离最短，并求出最短距离．
解 设与直线x－y＋4＝0平行且与椭圆相切的直线方程为x－y＋a＝0，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋8y2＝8，,x－y＋a＝0，))
消x得9y2－2ay＋a2－8＝0，
由Δ＝4a2－36(a2－8)＝0，
解得a＝3或a＝－3，
∴与直线l距离较近的切线为x－y＋3＝0，
它们之间的距离即为所求最短距离，
且直线x－y＋3＝0与椭圆的切点即为所求点P.
故所求最短距离为d＝eq \f(|4－3|,\r(2))＝eq \f(\r(2),2).
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋8y2＝8，,x－y＋3＝0，))
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－\f(8,3)，,y＝\f(1,3)，))即Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(8,3)，\f(1,3))).
10．已知点A，B的坐标分别是(－1,0)，(1,0)，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为－2.
(1)求动点M的轨迹方程；
(2)若过点Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))的直线l交动点M的轨迹于C，D两点，且N为线段CD的中点，求直线l的方程．
解 (1)设M(x，y)．
因为kAM·kBM＝－2，
所以eq \f(y,x＋1)·eq \f(y,x－1)＝－2(x≠±1)，
化简得2x2＋y2＝2(x≠±1)．
即点M的轨迹方程为2x2＋y2＝2(x≠±1)．
(2)设C(x1，y1)，D(x2，y2)．
当直线l⊥x轴时，直线l的方程为x＝eq \f(1,2)，易知此时线段CD的中点不是N，不符合题意．
当直线l不与x轴垂直时，设直线l的方程为y－1＝keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))，将点C(x1，y1)，D(x2，y2)的坐标代入2x2＋y2＝2(x≠±1)得2xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1)＝2，①
2xeq \\al(2,2)＋yeq \\al(2,2)＝2，②
①－②整理得k＝eq \f(y1－y2,x1－x2)＝－eq \f(2x1＋x2,y1＋y2)＝－eq \f(2×2×\f(1,2),2×1)＝－1，
故直线l的方程为y－1＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))，
即所求直线l的方程为2x＋2y－3＝0.
11．椭圆mx2＋ny2＝1与直线y＝1－x交于M，N两点，过原点与线段MN中点的直线的斜率为eq \f(\r(2),2)，则eq \f(m,n)的值是( )
A.eq \f(\r(2),2) B.eq \f(2\r(3),3) C.eq \f(9\r(2),2) D.eq \f(2\r(3),27)
答案 A
解析 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(mx2＋ny2＝1，,y＝1－x，))
消去y，得(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点为(x0，y0)，
则x1＋x2＝eq \f(2n,m＋n)，∴x0＝eq \f(n,m＋n)，
代入y＝1－x得y0＝eq \f(m,m＋n).
由题意知eq \f(y0,x0)＝eq \f(\r(2),2)，∴eq \f(m,n)＝eq \f(\r(2),2).
12.美学四大构件是：史诗、音乐、造型(绘画、建筑等)和数学．素描是学习绘画的必要一步，它包括了明暗素描和结构素描，而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步．某同学在画“切面圆柱体”(用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体)的过程中，发现“切面”是一个椭圆(如图所示)，若“切面”所在平面与底面成60°角，则该椭圆的离心率为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(\r(3),2) D.eq \f(1,3)
答案 C
解析 椭圆长轴长为2a，短轴长为2b，“切面”是一个椭圆，由“切面”所在平面与底面成60°角，
可得eq \f(2b,2a)＝cs 60°，即a＝2b，
所以e＝eq \f(c,a)＝eq \r(\f(a2－b2,a2))＝eq \f(\r(3),2).
13．在平面直角坐标系xOy中，直线x＋eq \r(2)y－2eq \r(2)＝0与椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)相切，若椭圆C的右焦点F(c,0)关于直线l：y＝eq \f(c,b)x的对称点E在椭圆C上，则△OEF的面积为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3),2) C．1 D．2
答案 C
解析 联立方程可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋\r(2)y－2\r(2)＝0，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，))
消去x，化简得(a2＋2b2)y2－8b2y＋b2(8－a2)＝0，
由Δ＝0得2b2＋a2－8＝0.
设F′为椭圆C的左焦点，连接F′E(图略)，易知F′E∥l，
所以F′E⊥EF.
又点F到直线l的距离d＝eq \f(c2,\r(c2＋b2))＝eq \f(c2,a)，
所以|EF|＝eq \f(2c2,a)，|F′E|＝2a－|EF|＝eq \f(2b2,a).
在Rt△F′EF中，由|F′E|2＋|EF|2＝|F′F|2，
化简得2b2＝a2，代入2b2＋a2－8＝0得b2＝2，a＝2，c2＝2.
所以|EF|＝|F′E|＝2，
所以S△OEF＝eq \f(1,2)S△F′EF＝1.
14．已知椭圆eq \f(x2,2)＋y2＝1，则斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程为________．
答案 x＋4y＝0eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)