人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.1 椭圆第1课时导学案

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.1 椭圆第1课时导学案，共15页。学案主要包含了椭圆的几何性质，由椭圆的几何性质求标准方程，求椭圆的离心率等内容，欢迎下载使用。

学习目标 1.掌握椭圆的几何性质，了解椭圆标准方程中a，b，c的几何意义.2.会用椭圆的几何意义解决相关问题．
导语
与利用直线的方程、圆的方程研究它们的几何性质一样，我们利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质，包括椭圆的范围、形状、大小、对称性和特殊点等．
一、椭圆的几何性质
问题1 观察椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的形状，你能从图上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？
提示 范围：－a≤x≤a，－b≤y≤b；对称性：对称轴为x轴，y轴，对称中心为原点；
顶点：A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)．
知识梳理
注意点：
(1)椭圆的焦点一定在它的长轴上．
(2)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点．
(3)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为a＋c，最小值为a－c.
问题2 观察图，我们发现，不同椭圆的扁平程度不同，扁平程度是椭圆的重要形状特征，你能用适当的量定量刻画椭圆的扁平程度吗？这个定量对椭圆的形状有何影响？
提示 利用离心率e＝eq \f(c,a)来刻画椭圆的扁平程度．
如图所示，在Rt△BF2O中，cs∠BF2O＝eq \f(c,a)，记e＝eq \f(c,a)，则0知识梳理
椭圆的离心率：e＝eq \f(c,a)∈(0,1)．
注意点：
(1)e＝eq \r(1－\f(b2,a2))＝eq \r(\f(1,1＋\f(b2,c2))).
(2)离心率的范围为(0,1)．
(3)e越大，椭圆越扁；e越小，椭圆越圆．
例1 设椭圆方程mx2＋4y2＝4m(m＞0)的离心率为eq \f(1,2)，试求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标及顶点坐标．
解 椭圆方程可化为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,m)＝1.
①当0＜m＜4时，a＝2，b＝eq \r(m)，c＝eq \r(4－m)，
∴e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(4－m),2)＝eq \f(1,2)，
∴m＝3，∴b＝eq \r(3)，c＝1，
∴椭圆的长轴长和短轴长分别是4,2eq \r(3)，焦点坐标为F1(－1,0)，F2(1,0)，顶点坐标为A1(－2,0)，A2(2,0)，B1(0，－eq \r(3))，B2(0，eq \r(3))．
②当m＞4时，a＝eq \r(m)，b＝2，
∴c＝eq \r(m－4)，
∴e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(m－4),\r(m))＝eq \f(1,2)，解得m＝eq \f(16,3)，
∴a＝eq \f(4\r(3),3)，c＝eq \f(2\r(3),3)，
∴椭圆的长轴长和短轴长分别为eq \f(8\r(3),3)，4，焦点坐标为F1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(2\r(3),3)))，F2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2\r(3),3)))，顶点坐标为A1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(4\r(3),3)))，A2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(4\r(3),3)))，B1(－2,0)，B2(2,0)．
反思感悟 用标准方程研究几何性质的步骤
(1)将椭圆方程化为标准形式．
(2)确定焦点位置．(焦点位置不确定的要分类讨论)
(3)求出a，b，c.
(4)写出椭圆的几何性质．
跟踪训练1 已知椭圆C1：eq \f(x2,100)＋eq \f(y2,64)＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上．
(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；
(2)写出椭圆C2的方程，并研究其几何性质．
解 (1)由椭圆C1：eq \f(x2,100)＋eq \f(y2,64)＝1，可得其长半轴长为10，短半轴长为8，
焦点坐标为(6,0)，(－6,0)，离心率e＝eq \f(3,5).
(2)椭圆C2：eq \f(y2,100)＋eq \f(x2,64)＝1.几何性质如下：
①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10；②对称性：对称轴：x轴，y轴；对称中心：原点；③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)；④焦点：(0,6)，(0，－6)，焦距为12；⑤离心率：e＝eq \f(3,5).
二、由椭圆的几何性质求标准方程
例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6；
(2)过点(3,0)，离心率e＝eq \f(\r(6),3).
解 (1)依题意可设椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)．
如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，
所以c＝b＝3，
所以a2＝b2＋c2＝18，
故所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,9)＝1.
(2)当椭圆的焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，
由题意，得a＝3，
因为e＝eq \f(\r(6),3)，所以c＝eq \r(6)，从而b2＝a2－c2＝3，所以椭圆的标准方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,3)＝1；
当椭圆的焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)，
由题意，得b＝3，
因为e＝eq \f(\r(6),3)，
所以eq \f(\r(a2－b2),a)＝eq \f(\r(6),3)，
把b＝3代入，得a2＝27，所以椭圆的标准方程为eq \f(y2,27)＋eq \f(x2,9)＝1.
综上可知，所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,3)＝1或eq \f(y2,27)＋eq \f(x2,9)＝1.
反思感悟 利用椭圆的几何性质求标准方程的步骤
(1)确定焦点位置．
(2)设出相应椭圆的标准方程．
(3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数．
(4)写出椭圆的标准方程．
跟踪训练2 (1)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，一个焦点的坐标是(3,0)，则椭圆的标准方程为______________．
答案 eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1
解析 由题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a＋2b＝18，,c＝3，,a2＝b2＋c2，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝5，,b＝4.))
因为椭圆的焦点在x轴上，
所以椭圆的标准方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1.
(2)已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，椭圆的长轴长为6，且cs∠OFA＝eq \f(2,3)，则椭圆的标准方程是__________．
答案 eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1或eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,9)＝1
解析 因为椭圆的长轴长是6，cs∠OFA＝eq \f(2,3)，所以点A不是长轴的端点(是短轴的端点)．
所以|OF|＝c，|AF|＝a＝3，
所以eq \f(c,3)＝eq \f(2,3)，所以c＝2，b2＝32－22＝5，
所以椭圆的标准方程是eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1或eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,9)＝1.
三、求椭圆的离心率
例3 设椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为________．
答案 eq \f(\r(3),3)
解析 方法一 由题意可设|PF2|＝m，结合条件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝eq \r(3)m，故离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2c,2a)＝eq \f(|F1F2|,|PF1|＋|PF2|)＝eq \f(\r(3)m,2m＋m)＝eq \f(\r(3),3).
方法二 由PF2⊥F1F2可知P点的横坐标为c，将x＝c代入椭圆方程可解得y＝±eq \f(b2,a)，所以|PF2|＝eq \f(b2,a).又由∠PF1F2＝30°可得|F1F2|＝eq \r(3)|PF2|，故2c＝eq \r(3)·eq \f(b2,a)，变形可得eq \r(3)(a2－c2)＝2ac，等式两边同除以a2，得eq \r(3)(1－e2)＝2e，解得e＝eq \f(\r(3),3)或e＝－eq \r(3)(舍去)．
延伸探究
1．若将本例中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°”改为“∠PF2F1＝75°，∠PF1F2＝45°”，求C的离心率．
解 在△PF1F2中，
∵∠PF1F2＝45°，∠PF2F1＝75°，
∴∠F1PF2＝60°，
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，|F1F2|＝2c，m＋n＝2a，
则在△PF1F2中，有eq \f(m,sin 75°)＝eq \f(n,sin 45°)＝eq \f(2c,sin 60°)，
∴eq \f(m＋n,sin 75°＋sin 45°)＝eq \f(2c,sin 60°)，
∴e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2c,2a)＝eq \f(sin 60°,sin 75°＋sin 45°)＝eq \f(\r(6)－\r(2),2).
2．若将本例中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°”改为“C上存在点P，使∠F1PF2为钝角”，求C的离心率的取值范围．
解 由题意，知c>b，∴c2>b2.
又b2＝a2－c2，
∴c2>a2－c2，即2c2>a2.∴e2＝eq \f(c2,a2)>eq \f(1,2)，
∴e>eq \f(\r(2),2)，又0∴C的离心率的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1)).
反思感悟 求椭圆离心率及取值范围的两种方法
(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝eq \f(c,a)求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝eq \f(c,a)求解．
(2)方程法或不等式法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围．
跟踪训练3 (1)某月球探测器发射后顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，近月点与月球表面的距离为100 km，远月点与月球表面的距离为400 km.已知月球的直径约为
3 476 km，则该椭圆形轨道的离心率约为( )
A.eq \f(1,25) B.eq \f(3,40) C.eq \f(1,8) D.eq \f(3,5)
答案 B
解析 由题意知月球半径为eq \f(1,2)×3 476＝1 738(km)．设A为近月点，B为远月点，F为月球的球心，则|AF|＝100＋1 738＝1 838(km)，|BF|＝400＋1 738＝2 138(km)，故2a＝1 838＋2 138＝3 976，a＝1 988.
又a＋c＝2 138，所以c＝2 138－1 988＝150，
故椭圆的离心率为e＝eq \f(c,a)＝eq \f(150,1 988)≈eq \f(3,40).
(2)椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1作直线与椭圆相交，被椭圆截得的最短的弦MN的长为eq \f(18,5)，若△MF2N的周长为20，则椭圆的离心率为( )
A.eq \f(3\r(2),5) B.eq \f(3,5) C.eq \f(4,5) D.eq \f(\r(7),5)
答案 C
解析 设椭圆的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，则由椭圆的定义，可得|MF1|＋|MF2|＝|NF1|＋|NF2|＝2a.由△MF2N的周长为20，可得4a＝20，即a＝5.过点F1作直线与椭圆相交，当直线垂直于x轴时，弦长最短，令x＝－c，代入椭圆的方程，可得y＝±eq \f(b2,a)，即eq \f(2b2,a)＝eq \f(18,5)，解得b2＝9，所以c＝eq \r(a2－b2)＝4，所以椭圆的离心率为e＝eq \f(c,a)＝eq \f(4,5).
1．知识清单：
(1)椭圆的简单几何性质．
(2)由椭圆的几何性质求标准方程．
(3)求椭圆的离心率．
2．方法归纳：分类讨论、方程法(不等式法)．
3．常见误区：忽略椭圆离心率的范围0＜e＜1及长轴长与a的关系．
1．(多选)已知椭圆C：16x2＋4y2＝1，则下列结论正确的是( )
A．长轴长为eq \f(1,2)
B．焦距为eq \f(\r(3),4)
C．焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，±\f(\r(3),4)))
D．离心率为eq \f(\r(3),2)
答案 CD
解析 由椭圆方程16x2＋4y2＝1化为标准方程可得eq \f(x2,\f(1,16))＋eq \f(y2,\f(1,4))＝1，
所以a＝eq \f(1,2)，b＝eq \f(1,4)，c＝eq \f(\r(3),4) ，
所以长轴长为2a＝1，焦距为2c＝eq \f(\r(3),2)，焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，±\f(\r(3),4)))，离心率为e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),2).
2．已知椭圆的离心率为eq \f(1,2)，焦点是(－3,0)和(3,0)，则该椭圆的方程为( )
A.eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,27)＝1 B.eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,3)＝1
C.eq \f(x2,27)＋eq \f(y2,36)＝1 D.eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,6)＝1
答案 A
解析 由题意知c＝3，eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，
则a＝6，∴b2＝a2－c2＝27，
∴椭圆的方程为eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,27)＝1.
3．若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3),2) C.eq \f(\r(3),4) D.eq \f(\r(6),4)
答案 A
解析 不妨设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，B为椭圆的上顶点．
依题意可知，△BF1F2是正三角形．
∵在Rt△OBF2中，|OF2|＝c，
|BF2|＝a，∠OF2B＝60°，
∴cs 60°＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，
即椭圆的离心率e＝eq \f(1,2).
4．若椭圆C：eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,m2－1)＝1的一个焦点坐标为(0,1)，则C的长轴长为________．
答案 2eq \r(3)
解析 ∵椭圆的一个焦点坐标为(0,1)，
∴m2－1－m＝1，即m2－m－2＝0，
解得m＝2或m＝－1，
由于eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,m2－1)＝1表示的是椭圆，
则m>1，∴m＝2，
则椭圆方程为eq \f(y2,3)＋eq \f(x2,2)＝1，
∴a＝eq \r(3)，2a＝2eq \r(3).
课时对点练
1．(多选)为使椭圆eq \f(x2,2)＋eq \f(y2,m)＝1的离心率为eq \f(1,2)，正数m的值可以是( )
A．1 B.eq \r(3) C.eq \f(8,3) D.eq \f(3,2)
答案 CD
解析 当0所以c2＝a2－b2＝2－m，
所以e2＝eq \f(c2,a2)＝eq \f(2－m,2)＝eq \f(1,4)，
解得m＝eq \f(3,2)，符合题意；
当m>2时，焦点在y轴上，此时a2＝m，b2＝2，
所以c2＝a2－b2＝m－2，
所以e2＝eq \f(c2,a2)＝eq \f(m－2,m)＝eq \f(1,4)，
解得m＝eq \f(8,3)，符合题意．
故正数m的值可以是eq \f(3,2)或eq \f(8,3).
2．(多选)已知椭圆C：16x2＋25y2＝400，则关于椭圆C下列叙述正确的是( )
A．椭圆C的长轴长为10
B．椭圆C的两个焦点分别为(0，－3)和(0,3)
C．椭圆C的离心率等于eq \f(3,5)
D．若过椭圆C的焦点且与长轴垂直的直线l与椭圆C交于P，Q，则|PQ|＝eq \f(32,5)
答案 ACD
解析 由题意知椭圆标准方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1，则a＝5，b＝4，∴c＝3.长轴长为2a＝10，A正确；
两焦点为(3,0)，(－3,0)，B错误；
离心率为e＝eq \f(c,a)＝eq \f(3,5)，C正确；
将x＝3代入椭圆方程得16×32＋25y2＝400，
解得y＝±eq \f(16,5)，∴|PQ|＝eq \f(32,5)，D正确．
3．曲线eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1与eq \f(x2,9－k)＋eq \f(y2,25－k)＝1(0A．有相等的焦距，相同的焦点
B．有相等的焦距，不同的焦点
C．有不等的焦距，不同的焦点
D．以上都不对
答案 B
解析 曲线eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1的焦距为2c＝8，而曲线eq \f(x2,9－k)＋eq \f(y2,25－k)＝1(04．椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m的值为( )
A.eq \f(1,2) B．2 C.eq \f(1,4) D．4
答案 C
解析 椭圆x2＋my2＝1的标准形式为x2＋eq \f(y2,\f(1,m))＝1.
因为焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的2倍，
所以eq \r(\f(1,m))＝2，所以m＝eq \f(1,4).
5．设F1，F2是椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x＝eq \f(3a,2)上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(2,3) C.eq \f(3,4) D.eq \f(4,5)
答案 C
解析 如图，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形⇒|PF2|＝|F2F1|⇒2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)a－c))＝2c⇒e＝eq \f(c,a)＝eq \f(3,4).
6．(多选)某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A(离地心最近的一点)距地面m km，远地点B(离地心最远的一点)距地面n km，并且F，A，B三点在同一直线上，地球半径约为R km，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a,2b,2c，则( )
A．a－c＝m＋R B．a＋c＝n＋R
C．2a＝m＋n D．b＝eq \r(m＋Rn＋R)
答案 ABD
解析 ∵地球的中心是椭圆的一个焦点，结合图形可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝a－c－R，,n＝a＋c－R，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－c＝m＋R，,a＋c＝n＋R，))(*)．故A，B正确；
由(*)，可得2a＝m＋n＋2R，故C不正确；
由(*)，可得(m＋R)(n＋R)＝a2－c2.
∵a2－c2＝b2，∴b2＝(m＋R)(n＋R)，
∴b＝eq \r(m＋Rn＋R)，故D正确．
7．已知椭圆的短半轴长为1，离心率0答案 (2,4]
解析 ∵e＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2)，b＝1,0∴eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2)≤eq \f(\r(3),2)，
则1∴2<2a≤4，
即长轴长的取值范围是(2,4]．
8．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为eq \f(\r(2),2).过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么椭圆C的方程为________________．
答案 eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,8)＝1
解析 设椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，由e＝eq \f(\r(2),2)，知eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2)，故eq \f(b2,a2)＝eq \f(1,2).∵△ABF2的周长为|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝4a＝16，∴a＝4，∴b2＝8，∴椭圆C的方程为eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,8)＝1.
9．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(－c，0)，F2(c,0)(c>0)，过点Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2,c)，0))的直线与椭圆相交于A，B两点，且F1A∥F2B，|F1A|＝2|F2B|，求椭圆的离心率．
解 由F1A∥F2B，|F1A|＝2|F2B|，
得eq \f(|EF2|,|EF1|)＝eq \f(|F2B|,|F1A|)＝eq \f(1,2)，
从而eq \f(\f(a2,c)－c,\f(a2,c)＋c)＝eq \f(1,2)，
整理得a2＝3c2.
故离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),3).
10.如图，已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.
(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；
(2)若椭圆的焦距为2，且eq \(AF2,\s\up6(→))＝2eq \(F2B,\s\up6(—→))，求椭圆的标准方程．
解 (1)若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形，
所以有|OA|＝|OF2|，即b＝c.
所以a＝eq \r(2)c，e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2).
(2)由题意知A(0，b)，F2(1,0)，
设B(x，y)，由eq \(AF2,\s\up6(→))＝2eq \(F2B,\s\up6(—→))，
解得x＝eq \f(3,2)，y＝－eq \f(b,2).
代入eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1，
得eq \f(\f(9,4),a2)＋eq \f(\f(b2,4),b2)＝1，即eq \f(9,4a2)＋eq \f(1,4)＝1，
解得a2＝3，
又c2＝1，所以b2＝2，
所以椭圆的方程为eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1.
11．(多选)阿基米德是古希腊数学家，他利用“逼近法”算出椭圆面积等于圆周率、椭圆的长半轴长、短半轴长三者的乘积．据此得某椭圆面积为6eq \r(2)π，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程可以为( )
A.eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,9)＝1 B.eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,16)＝1
C.eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,6)＝1 D.eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,8)＝1
答案 AD
解析 由题意可知，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(πab＝6\r(2)π，,2c＝\f(1,3)×2a，))
又a2＝b2＋c2，
解得a＝3，b＝2eq \r(2)，c＝1，
所以椭圆的标准方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,8)＝1或eq \f(y2,9)＋eq \f(x2,8)＝1.
12．椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的两个焦点是F1，F2，若P为其上一点，且|PF1|＝5|PF2|，则此椭圆离心率的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2,3))) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(2,3))) C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，1)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，1))
答案 C
解析 由题意可知|PF1|＋|PF2|＝2a，|PF1|＝5|PF2|，
则|PF1|＝eq \f(5a,3)，|PF2|＝eq \f(a,3)，
∵|PF1|－|PF2|≤|F1F2|，
∴eq \f(4a,3)≤2c，e≥eq \f(2,3).
又e<1，
∴椭圆离心率的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，1)).
13．在平面直角坐标系中，椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的焦距为2c，以O为圆心，a为半径的圆，过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2,c)，0))作圆的两切线互相垂直，则离心率e＝________.
答案 eq \f(\r(2),2)
解析 如图，切线PA，PB互相垂直，
又半径OA垂直于PA，所以△OAP是等腰直角三角形，eq \f(a2,c)＝eq \r(2)a.解得eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2)，
则离心率e＝eq \f(\r(2),2).
14．如图，把椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1的长轴AB八等分，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1，P2，…，P7七个点，F是椭圆的一个焦点，则|P1F|＋|P2F|＋|P3F|＋…＋|P7F|的值为________．
答案 28
解析 设椭圆的另一个焦点为F′，
由椭圆的几何性质可知|P1F|＝|P7F′|，
∴|P1F|＋|P7F|＝|P7F′|＋|P7F|＝2a，
同理可得|P2F|＋|P6F|＝|P3F|＋|P5F|＝2|P4F|＝2a，又a＝4，
故|P1F|＋|P2F|＋|P3F|＋…＋|P7F|＝7a＝28.
15．椭圆是日常生活中常见的图形，在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水，将杯体倾斜一个角度，水面的边界即是椭圆．现有一高度为12厘米，底面半径为3厘米的圆柱形玻璃杯，且杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半(玻璃厚度忽略不计)，在玻璃杯倾斜的过程中(杯中的水不能溢出)，杯中水面边界所形成的椭圆的离心率的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(5),5))) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),5)，1)) C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(2\r(5),5))) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(5),5)，1))
答案 C
解析 当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时，水面边界所形成椭圆的离心率最大，此时椭圆长轴长为eq \r(122＋62)＝6eq \r(5)(厘米)，短轴长为6厘米，
∴椭圆离心率e＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,6\r(5))))2)＝eq \f(2\r(5),5)，
∴e∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(2\r(5),5))).
16．设F1，F2分别是椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|＝3|F1B|.
(1)若|AB|＝4，△ABF2的周长为16，求|AF2|；
(2)若cs∠AF2B＝eq \f(3,5)，求椭圆E的离心率．
解 (1)由|AF1|＝3|F1B|，|AB|＝4，
得|AF1|＝3，|F1B|＝1.
因为△ABF2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a＝16，
|AF1|＋|AF2|＝2a＝8，故|AF2|＝8－3＝5.
(2)设|F1B|＝k，则k>0且|AF1|＝3k，|AB|＝4k.
由椭圆定义可得|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k.
在△ABF2中，由余弦定理可得|AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2|·|BF2|cs∠AF2B，
即(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－eq \f(6,5)(2a－3k)(2a－k)．
化简可得(a＋k)(a－3k)＝0，而a＋k>0，故a＝3k.
于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k.
因此|BF2|2＝|F2A|2＋|AB|2，可得F1A⊥F2A，
故△AF1F2为等腰直角三角形．
从而c＝eq \f(\r(2),2)a，所以椭圆E的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2).焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)
范围
－a≤x≤a，－b≤y≤b
－b≤x≤b，－a≤y≤a
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)
轴长
短轴长＝2b，长轴长＝2a
焦点
(±eq \r(a2－b2)，0)
(0，±eq \r(a2－b2))
焦距
|F1F2|＝2eq \r(a2－b2)
对称性
对称轴：x轴、y轴 对称中心：原点