数学必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语本章综合与测试导学案

这是一份数学必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语本章综合与测试导学案，共3页。学案主要包含了新定义集合的概念，新定义集合的性质，新定义集合的运算等内容，欢迎下载使用。

(1)新定义性质，(2)新定义运算．
解决集合新定义问题的着手点：
(1)正确理解新定义：剥去新定义、新法则、新运算的外表，转化为我们熟悉的集合知识．
(2)合理利用集合性质：运用集合的性质(如元素的性质、集合的运算性质等)是破解新定义型集合问题的关键．
(3)对于选择题，可结合选项，通过验证、排除、对比、特值法等进行求解或排除错误选项，当不满足新定义的要求时，只需通过举反例来说明．
一、新定义集合的概念
例1 若X是一个集合，τ是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①X属于τ，空集∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ.
则称τ是集合X上的一个拓扑．已知集合X＝{a，b，c}，对于下面给出的四个集合τ：
①τ＝{∅，{a}，{c}，{a，b，c}}；
②τ＝{∅，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}；
③τ＝{∅，{a}，{a，b}，{a，c}}；
④τ＝{∅，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}．
其中是集合X上的一个拓扑的集合τ的所有序号是________．
答案 ②④
解析 ①τ＝{∅，{a}，{c}，{a，b，c}}，因为{a}∪{c}＝{a，c}∉τ，故①不是集合X上的一个拓扑；
②满足集合X上的一个拓扑的集合τ的定义；
③因为{a，b}∪{a，c}＝{a，b，c}∉τ，故③不是集合X上的一个拓扑；
④满足集合X上的一个拓扑的集合τ的定义，故答案为②④.
二、新定义集合的性质
例2 (1)若集合A具有以下性质：
①0∈A,1∈A；
②若x∈A，y∈A，则x－y∈A，且x≠0时，eq \f(1,x)∈A.
则称集合A是“好集”．给出下列说法：①集合B＝{－1,0,1}是“好集”；②有理数集Q是“好集”；③设集合A是“好集”，若x∈A，y∈A，则x＋y∈A.
其中，正确说法的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 C
解析 ①集合B不是“好集”，假设集合B是“好集”，因为－1∈B,1∈B，所以－1－1＝－2∈B，这与－2∉B矛盾．
②有理数集Q是“好集”，因为0∈Q,1∈Q，对任意的x∈Q，y∈Q，有x－y∈Q，且x≠0时，eq \f(1,x)∈Q，所以有理数集Q是“好集”．
③因为集合A是“好集”，所以0∈A，若x∈A，y∈A，则0－y∈A，即－y∈A，所以x－(－y)∈A，即x＋y∈A.
(2)若数集A＝{a1，a2，…，an}(1≤a1A．{1,3,4}为“权集”
B．{1,2,3,6}为“权集”
C．“权集”中元素可以有0
D．“权集”中一定有元素1
答案 B
解析 对于A，由于3×4与eq \f(4,3)均不属于数集{1,3,4}，故A不正确；对于B，选1,2时，有1×2属于{1,2,3,6}，同理取1,3，取1,6，取2,3时也满足，取2,6时，有eq \f(6,2)属于{1,2,3,6}，取3,6时，有eq \f(6,3)属于{1,2,3,6}，故B正确；由“权集”定义知1≤a1三、新定义集合的运算
例3 (1)定义集合运算：A⊗B＝{z|z＝(x＋y)×(x－y)，x∈A，y∈B}，设A＝{eq \r(2)，eq \r(3)}，B＝{1，eq \r(2)}，则集合A⊗B的真子集个数为( )
A．8 B．7 C．16 D．15
答案 B
解析 由A＝{eq \r(2)，eq \r(3)}，B＝{1，eq \r(2)}，得A⊗B有(eq \r(2)＋1)×(eq \r(2)－1)＝1，(eq \r(2)＋eq \r(2))×(eq \r(2)－eq \r(2))＝0，(eq \r(3)＋1)×(eq \r(3)－1)＝2，(eq \r(3)＋eq \r(2))×(eq \r(3)－eq \r(2))＝1四种运算情况，则由集合中元素的互异性可知，集合A⊗B中有3个元素1,0,2，故集合A⊗B的真子集为∅，{1}，{0}，{2}，{1,0}，{1,2}，{0,2}，共7个．
(2)已知集合A＝{x∈N|－1≤x≤3}，B＝{1,3}，定义集合A，B之间的运算“*”：A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，则A*B中的所有元素之和为( )
A．15 B．16 C．20 D．21
答案 D
解析 易知集合A＝{0,1,2,3}．
∵A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，
∴A*B中的元素有0＋1＝1,0＋3＝3,1＋1＝2,1＋3＝4,2＋1＝3(舍去)，2＋3＝5,3＋1＝4(舍去)，3＋3＝6，
∴A*B＝{1,2,3,4,5,6}，
∴A*B中的所有元素之和为21.