人教A版 (2019)必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式本章综合与测试学案及答案

微专题2　基本不等式的应用技巧

在解答基本不等式的问题时，常常会用加项、凑项、常值的代换、换元等技巧，而且在通常情况下往往会考查这些知识的嵌套使用．

一、凑项

例1　已知x<，求4x－2＋的最大值．

解　∵4x－5<0，∴首先要“调整”符号，

又(4x－2)·不是常数，

∴对4x－2要进行拆、凑项，

∵x<，∴5－4x>0，

∴4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝1，

当且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立，

故当x＝1时，4x－2＋取得最大值1.

反思感悟　本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值．

二、凑系数

例2　当0<x<4时，求y＝x(8－2x)的最大值．

解　由0<x<4知，8－2x>0，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值．

此题为两个式子积的形式，但其和不是定值．

注意到2x＋(8－2x)＝8为定值，

故只需将y＝x(8－2x)凑上一个系数即可．

y＝x(8－2x)＝[2x·(8－2x)]

≤2＝8，

当且仅当2x＝8－2x，即x＝2时，等号成立，

故当x＝2时，y＝x(8－2x)取得最大值为8.

反思感悟　本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值．

三、分离

例3　求y＝(x>－1)的最小值．

解　方法一　本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有(x＋1)的项，再将其分离．

y＝＝

＝(x＋1)＋＋5，

∵x>－1，∴x＋1>0，∴y≥2＋5＝9，当且仅当x＋1＝即x＝1时，等号成立．

方法二　本题也可先换元，令t＝x＋1，即x＝t－1，化简原式再分离求最值．

y＝＝＝t＋＋5，

当x>－1，即t＝x＋1>0时，y≥2＋5＝9，

当t＝2，即x＝1时，等号成立．

反思感悟　分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值．即化为y＝AK＋＋m(A>0，B>0)，K恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值．

四、常值代换

例4　已知x，y是正数且x＋y＝1，则＋的最小值为(　　)

A.  B.  C．2  D．3

答案　B

解析　避免多次连用基本不等式，使取等号的条件不一致而出错．

由x＋y＝1，得(x＋2)＋(y＋1)＝4，

即[(x＋2)＋(y＋1)]＝1，

∴＋＝·[(x＋2)＋(y＋1)]

＝≥(5＋4)＝，

当且仅当x＝，y＝时，等号成立．

反思感悟　通过常数“1”的代换，把求解目标化为可以使用基本不等式求最值的式子，达到解题的目的．

五、消元代换

例5　若实数x，y满足xy＋3x＝3，则＋的最小值为________．

答案　8

解析　∵实数x，y满足xy＋3x＝3，

∴x＝，∴0<<，解得y>3.

则＋＝y＋3＋＝y－3＋＋6

≥2＋6＝8，

当且仅当y＝4，x＝时，等号成立．

反思感悟　在解含有两个以上变元的最值问题时，通过代换的方法减少变元，把问题化为两个或一个变元的问题，再使用基本不等式求解．

六、取平方

例6　已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，求W＝＋的最大值．

解　∵x，y为正实数，3x＋2y＝10，

∴W2＝3x＋2y＋2≤10＋(3x＋2y)＝20，

当且仅当3x＝2y,3x＋2y＝10，即x＝，y＝时，等号成立．

∴W≤2，

即W的最大值为2.

七、建立求解目标的不等式求最值

例7　已知a，b是正数，且(a＋b)(a＋2b)＋a＋b＝9，则3a＋4b的最小值等于________．

答案　6－1

解析　a，b是正数，且(a＋b)(a＋2b)＋a＋b＝9，

即(a＋b)(a＋2b＋1)＝9，

即(2a＋2b)(a＋2b＋1)＝18，

可得3a＋4b＋1＝(2a＋2b)＋(a＋2b＋1)

≥2＝6，

当且仅当2a＋2b＝a＋2b＋1，即a＝1，b＝时，等号成立，

即3a＋4b的最小值为6－1.

反思感悟　利用基本不等式与已知条件建立求解目标的不等式，求出不等式的解集即得求解目标的最值．