高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式本章综合与测试导学案

再练一课(范围：§2.1～§2.3)

1．不等式x2－2x－5>2x的解集是(　　)

A．{x|x≥5或x≤－1}   B．{x|x>5或x<－1}

C．{x|－1<x<5}   D．{x|－1≤x≤5}

答案　B

解析　由x2－2x－5>2x，得x2－4x－5>0，

因为x2－4x－5＝0的两根为－1,5，

故x2－4x－5>0的解集为{x|x<－1或x>5}．

2．已知a，b满足等式x＝a2＋b2＋20，y＝4(2b－a)，则x，y满足的大小关系是(　　)

A．x≤y   B．x≥y

C．x<y   D．x>y

答案　B

解析　因为x－y＝a2＋b2＋20－4(2b－a)

＝(a＋2)2＋(b－4)2≥0，

所以x≥y.

3．设a，b∈R，则“(a－b)·a2<0”是“a<b”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分又不必要条件

答案　A

解析　(a－b)·a2<0，则必有a－b<0，即a<b；

而a<b时，不能推出(a－b)·a2<0，如a＝0，b＝1，

所以“(a－b)·a2<0”是“a<b”的充分不必要条件．

4.(－6≤a≤3)的最大值为(　　)

A．9  B.  C．3  D.

答案　B

解析　因为－6≤a≤3，所以3－a≥0，a＋6≥0，

则由基本不等式可知，

≤＝，

当且仅当3－a＝a＋6，即a＝－时，等号成立．

5．关于x的不等式x2－ax－6a2>0(a<0)的解集为{x|x<x1或x>x2}，且x2－x1＝5，则a的值为(　　)

A．－   B．－

C．－   D．－

答案　C

解析　原不等式可化为(x＋2a)(x－3a)>0，

当a<0时，－2a>3a，

所以解得x>－2a或x<3a，

故x1＝3a，x2＝－2a，且x2－x1＝－5a＝5，

解得a＝－.

6．若方程x2＋(m－3)x＋m＝0有实数解，则m的取值范围是________________．

答案　{m|m≥9或m≤1}

解析　由方程x2＋(m－3)x＋m＝0有实数解，

∴Δ＝(m－3)2－4m≥0，即m2－10m＋9≥0，

∴(m－9)(m－1)≥0，∴m≥9或m≤1.

7．若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－1<x<2}，则不等式＋c>bx的解集为________．

答案　{x|x<0}

解析　由题意知，－1,2为ax2＋bx＋c＝0的两根，

∴且a<0，

∴不等式＋c>bx可化为－2a>－ax，

∵a<0，即－2<－x，即<0，∴x<0.

8．将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，每涨价1元，其销售量就减少20个，为了使商家利润有所增加，售价b所在的范围应是________．

答案　90<b<100

解析　设每个涨价a元，则涨价后的利润与原利润之差为

(10＋a)(400－20a)－10×400＝－20a2＋200a.

要使商家利润有所增加，则必须使－20a2＋200a>0，

即a2－10a<0，得0<a<10.

∴售价b所在的范围应为90<b<100.

9．已知a>0，b>0，a3＋b3＝2，证明：a＋b≤2.

证明　因为(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3

＝2＋3ab(a＋b)

≤2＋(a＋b)

＝2＋，

所以(a＋b)3≤8，因此a＋b≤2.

10．求不等式12x2－ax>a2(a∈R)的解集．

解　∵12x2－ax>a2，

∴12x2－ax－a2>0，即(4x＋a)(3x－a)>0，

令(4x＋a)(3x－a)＝0，得x1＝－，x2＝.

①a>0时，－<，解集为；

②a＝0时，x2>0，解集为{x|x≠0}；

③a<0时，－>，解集为.

综上所述，当a>0时，不等式的解集为

；

当a＝0时，不等式的解集为{x|x≠0}；

当a<0时，不等式的解集为.

11．若两个正实数x，y满足＋＝1，且不等式x＋<m2－3m有解，则实数m的取值范围是(　　)

A．{m|－1<m<4}   B．{m|m<0或m>3}

C．{m|－4<m<1}   D．{m|m<－1或m>4}

答案　D

解析　因为正实数x，y满足＋＝1，所以x＋＝＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当y＝4x＝8时，x＋取得最小值4，由x＋<m2－3m有解，可得m2－3m>4，解得m>4或m<－1，故选D.

12．对一切实数x，不等式x2＋a|x|＋1≥0恒成立，则实数a的取值范围是(　　)

A．{a|a<－2}   B．{a|a≥－2}

C．{a|－2≤a≤2}   D．{a|a≥0}

答案　B

解析　当x＝0时，x2＋a|x|＋1＝1≥0成立．

当x≠0时，a|x|≥－(x2＋1)，a≥－恒成立．

∵|x|＋≥2(当且仅当|x|＝1时，等号成立)，

∴－≤－2.∴a≥－2.

13．已知x>0，y>0，且满足＋＝1，则xy的最大值为________．

答案　3

解析　因为x>0，y>0，＋＝1，

所以＋≥2＝

，

即≤1，解得xy≤3，所以xy的最大值为3.

14．已知集合A＝{x|x2－x－12<0}，集合B＝{x|x2＋2x－8>0}，集合C＝{x|x2－4ax＋3a2<0，a≠0}，若C⊇(A∩B)，则实数a的取值范围是______________．

答案　≤a≤2

解析　A＝{x|－3<x<4}，B＝{x|x<－4或x>2}，

∴A∩B＝{x|2<x<4}，

x2－4ax＋3a2＝(x－3a)(x－a)，

若a＜0，则3a＜a，不等式x2－4ax＋3a2＜0的解集为{x|3a<x<a}，

要使C⊇(A∩B)，

则无解；

若a＞0，则a<3a，不等式x2－4ax＋3a2＜0的解集为{x|a<x<3a}，

要使C⊇(A∩B)，

则

解得≤a≤2.

15．若关于x的不等式(1＋k2)x≤k4＋4的解集是M，则对任意常数k，总有(　　)

A．2∈M,0∈M   B．2∉M,0∉M

C．2∈M,0∉M   D．2∉M,0∈M

答案　A

解析　由题意可知M＝，

当k∈R时，＝

＝＝(k2＋1)＋－2

≥2－2＝2－2>2(当且仅当k2＝－1时，取等号)．

∴2∈M,0∈M.

16．某工厂生产某种商品M，若每件定价80元，则每年可销售80万件，税务部门对市场销售的商品要征收附加税．为了既增加国家收入，又有利于市场活跃，必须合理确定征收的税率．据市场调查，若政府对商品M征收的税率为P%(即每百元征收P元)时，每年的销售量减少10P万件，据此，问：

(1)若税务部门对商品M每年所收税金不少于96万元，求P的取值范围；

(2)在所收税金不少于96万元的前提下，要让厂家获得最大的销售金额，应如何确定P值；

(3)若仅考虑每年税收金额最高，又应如何确定P值．

解　税率为P%时，销售量为(80－10P)万件，

即销售额为y1＝80(80－10P)，税金为y2＝80(80－10P)·P%，其中0<P<8.

(1)由解得2≤P≤6.

(2)∵y1＝80(80－10P)(2≤P≤6)，

∴当P＝2时，y1取最大值，为4 800万元．

(3)∵0<P<8，y2＝80(80－10P)·P%

＝－8(P－4)2＋128，

∴当P＝4时，国家所得税收金额最高为128万元．