高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.1 函数的概念及其表示第1课时学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.1 函数的概念及其表示第1课时学案，共13页。

3．1.2　函数的表示法
第1课时　函数的表示法
学习目标　1.了解函数的三种表示法及各自的优缺点.2.掌握求函数解析式的常见方法.3.尝试作图并从图象上获取有用的信息．

知识点　函数的表示法

思考　任何一个函数都可以用解析法、列表法、图象法三种形式表示吗？
答案　不一定．并不是所有的函数都可以用解析式表示，不仅如此，图象法也不适用于所有函数，如D(x)＝列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段．
特别提醒　函数三种表示法的优缺点比较


1．已知函数f(x)由下表给出，则f(3)＝________.
x
1≤x<2
2
2 f(x)
1
2
3

答案　3
解析　∵当2 2．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则其定义域是________．

答案　[－2,3]
解析　由图象可知f(x)的定义域为[－2,3]．
3．已知f(x)的图象如图，则f(x)的值域为________．

答案　[－4,3]
解析　由f(x)的图象知，f(x)的值域为[－4,3]．
4．若一次函数f(x)的图象经过点(0,1)和(1,2)，则该函数的解析式为________．
答案　f(x)＝x＋1
解析　由题意设f(x)＝kx＋b，则
解得k＝b＝1，所以f(x)＝x＋1.

一、函数的三种表示法
例1　已知完成某项任务的时间t与参加完成此项任务的人数x之间适合关系式t＝ax＋.当x＝2时，t＝100；当x＝14时，t＝28，且参加此项任务的人数不能超过20人．
(1)写出函数t的解析式；
(2)用列表法表示此函数；
(3)画出函数t的图象．
解　(1)由题设条件知，当x＝2时，t＝100，
当x＝14时，t＝28，
列出方程组解得
所以t＝x＋.又因为x≤20，x为正整数，
所以函数的定义域是{x|0 (2)x＝1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20，共取20个值，列表如下：
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
t
197
100
68.3
53
44.2
38.7
35
32.5
30.8
29.6
x
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
t
28.8
28.3
28.1
28
28.1
28.25
28.5
28.9
29.3
29.8

注：表中的部分数据是近似值．
(3)函数t的图象是由20个点组成的一个点列，
如图所示．

(学生)
反思感悟　理解函数表示法的三个关注点
(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示法，无论是哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念．
(2)列表法更直观形象，图象法从形的角度描述函数，解析法从数的角度描述函数．
(3)函数的三种表示法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主．
跟踪训练1　已知函数f(x)＝－x－1，x∈{1,2,3,4}，
试分别用图象法和列表法表示函数y＝f(x)．
解　用图象法表示函数y＝f(x)，如图所示．

用列表法表示函数y＝f(x)，如表所示．
x
1
2
3
4
y
－2
－3
－4
－5

二、函数的图象的画法
例2　作出下列函数的图象：
(1)y＝2x＋1，x∈[0,2]；
(2)y＝，x∈[2，＋∞)；
(3)y＝x2＋2x，x∈[－2,2]．
解　(1)当x∈[0,2]时，图象是直线y＝2x＋1的一部分．
如图所示，

(2)当x∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y＝的一部分．如图所示，

(3)当－2≤x≤2时，图象是抛物线y＝x2＋2x的一部分．如图所示，

(教师)
延伸探究
根据作出的函数图象求其值域．
解　观察图象可知：
(1)中函数的值域为[1,5]．
(2)中函数的值域为(0,1]．
(3)中函数的值域为[－1,8]．
(学生)
反思感悟　作函数y＝f(x)图象的方法
(1)若y＝f(x)是已学过的函数，则描出图象上的几个关键点，直接画出图象即可，有些可能需要根据定义域进行取舍．
(2)若y＝f(x)不是所学过的函数之一，则要按：①列表；②描点；③连线三个基本步骤作出y＝f(x)的图象．
跟踪训练2　作出下列函数的图象：
(1)y＝1－x(x∈Z)；
(2)y＝x2－4x＋3，x∈[1,3]．
解　(1)因为x∈Z，所以图象为直线y＝1－x上的孤立点，其图象如图①所示．
(2)y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，当x＝1,3时，y＝0；
当x＝2时，y＝－1，其图象如图②所示．

三、求函数的解析式
例3　(1)已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)；
(2)已知f(x)为二次函数，且f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2－4x，求f(x)；
(3)已知函数f(x)对于任意的x都有2f ＋f(x)＝x(x≠0)，求f(x)．
解　(1)方法一　(换元法)：令t＝＋1，
则x＝(t－1)2，t≥1，
所以f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)，
所以f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1)．
方法二　(配凑法)：f(＋1)＝x＋2
＝x＋2＋1－1＝(＋1)2－1.
因为＋1≥1，
所以f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1)．
(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则f(x＋1)＋f(x－1)
＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＋a(x－1)2＋b(x－1)＋c
＝2ax2＋2bx＋2a＋2c＝2x2－4x，
∴∴
∴f(x)＝x2－2x－1.
(3)f(x)＋2f ＝x，令x＝，
得f ＋2f(x)＝，
于是得关于f(x)与f 的方程组

解得f(x)＝－(x≠0)．
(学生)
反思感悟　求函数解析式的四种常用方法
(1)换元法：设t＝g(x)，解出x，代入f(g(x))，求f(t)的解析式即可．
(2)配凑法：对f(g(x))的解析式进行配凑变形，使它能用g(x)表示出来，再用x代替两边所有的“g(x)”即可．
(3)待定系数法：若已知f(x)的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值确定相关的系数即可．
(4)方程组法(或消元法)：当同一个对应关系中的两个之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解．
提醒：应用换元法求函数解析式时，务必保证函数在换元前后的等价性．
跟踪训练3　(1)已知f(x＋1)＝x2－3x＋2，求f(x)；
(2)已知函数f(x)是一次函数，若f(f(x))＝4x＋8，求f(x)．
解　(1)方法一　(配凑法)：∵f(x＋1)＝x2－3x＋2
＝(x＋1)2－5x＋1＝(x＋1)2－5(x＋1)＋6，
∴f(x)＝x2－5x＋6.
方法二　(换元法)：令t＝x＋1，则x＝t－1，
∴f(t)＝(t－1)2－3(t－1)＋2＝t2－5t＋6，
即f(x)＝x2－5x＋6.
(2)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b.
又f(f(x))＝4x＋8，∴a2x＋ab＋b＝4x＋8，
即解得或
∴f(x)＝2x＋或f(x)＝－2x－8.

函数图象的应用
典例　已知函数f(x)＝x2－2x(x>1或x<－1)，
(1)求函数f(x)的值域；
(2)若函数f(x)的图象与y＝m有两个交点，求实数m的取值范围．
解　f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(x>1或x<－1)是抛物线y＝x2－2x去掉－1≤x≤1之间的部分后剩余曲线．如图所示．

(1)由图可知，函数f(x)的值域为(－1，＋∞)．
(2)f(x)的图象与直线y＝m有2个不同交点，由图易知m>3.
[素养提升]　(1)函数图象很直观，在解题过程中常用来帮助理解问题的数学本质，依托函数图象可以更直观地寻求问题的解决思路和要点．
(2)借助几何直观认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形分析数学问题，是直观想象的核心内容，也是数学的核心素养．

1．函数y＝f(x)的图象如图，则f(x)的定义域是(　　)

A．R B．(－∞，1)∪(1，＋∞)
C．(－∞，0)∪(0，＋∞) D．(－1,0)
答案　C
解析　由题图知x≠0，即x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)．
2．已知函数f(2x－1)＝4x＋6，则f(x)的解析式是(　　)
A．f(x)＝2x＋8 B．f(x)＝2x＋1
C．f(x)＝2x＋2 D．f(x)＝4x＋2
答案　A
解析　因为f(2x－1)＝4x＋6＝2(2x－1)＋8，
所以f(x)＝2x＋8.
3．已知函数y＝f(x)的对应关系如下表，函数y＝g(x)的图象是如图的曲线ABC，其中A(1,3)，B(2,1)，C(3,2)，则f(g(2))的值为(　　)
x
1
2
3
f(x)
2
3
0


A．3 B．2 C．1 D．0
答案　B
解析　由函数g(x)的图象知，g(2)＝1，
则f(g(2))＝f(1)＝2.
4．已知函数f(x)由下表给出，则f(f(3))＝________.
x
1
2
3
4
f(x)
3
2
4
1

答案　1
解析　由题设给出的表知f(3)＝4，
则f(f(3))＝f(4)＝1.
5．已知二次函数f(x)的图象经过点(－3,2)，顶点是(－2,3)，则函数f(x)的解析式为________________．
答案　f(x)＝－x2－4x－1
解析　设f(x)＝a(x＋2)2＋3(a≠0)，
由y＝f(x)过点(－3,2)，得a＝－1，
∴f(x)＝－(x＋2)2＋3＝－x2－4x－1.

1．知识清单：
(1)函数的表示法．
(2)函数的图象．
(3)求函数解析式．
2．方法归纳：待定系数法、换元法、数形结合法．
3．常见误区：求函数解析式时易忽视定义域．


1．购买某种饮料x听，所需钱数为y元．若每听2元，用解析法将y表示成x(x∈{1,2,3,4})的函数为(　　)
A．y＝2x
B．y＝2x(x∈R)
C．y＝2x(x∈{1,2,3，…})
D．y＝2x(x∈{1,2,3,4})
答案　D
解析　题中已给出自变量的取值范围，x∈{1,2,3,4}．
2．已知f(1－2x)＝，则f 的值为(　　)
A．4 B. C．16 D.
答案　C
解析　根据题意知1－2x＝，
解得x＝，故＝16.
3．已知f(x－1)＝x2＋4x－5，则f(x)的解析式是(　　)
A．f(x)＝x2＋6x B．f(x)＝x2＋8x＋7
C．f(x)＝x2＋2x－3 D．f(x)＝x2＋6x－10
答案　A
解析　方法一　设t＝x－1，则x＝t＋1.
∵f(x－1)＝x2＋4x－5，
∴f(t)＝(t＋1)2＋4(t＋1)－5＝t2＋6t，
∴f(x)的解析式是f(x)＝x2＋6x.
方法二　∵f(x－1)＝x2＋4x－5＝(x－1)2＋6(x－1)，
∴f(x)＝x2＋6x，
∴f(x)的解析式是f(x)＝x2＋6x.
4．已知函数f(2x＋1)＝3x＋2，且f(a)＝2，则a的值为(　　)
A．－1 B．5 C．1 D．8
答案　C
解析　由3x＋2＝2得x＝0，所以a＝2×0＋1＝1.
5．李明在放学回家的路上，开始时和同学边走边讨论问题，走得比较慢，后来他们索性停下来将问题彻底解决，再后来他加快速度回到了家．下列图象中与这一过程吻合得最好的是(　　)

答案　D
解析　由题意可知，李明离家的距离随时间的变化先是变小，且变化得比较慢，后来保持不变，再后来继续变小，且变化得比较快，直至为0，只有D选项符合题意．
6．已知函数f(x)＝x－，且此函数图象过点(5,4)，则实数m的值为________．
答案　5
解析　将点(5,4)代入f(x)＝x－，得m＝5.
7．已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)＝6x＋4，则f(x)＝________.
答案　2x－
解析　设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则f(x＋1)＝a(x＋1)＋b＝ax＋a＋b，
依题设，3ax＋3a＋3b＝6x＋4，
∴∴则f(x)＝2x－.
8．某航空公司规定，乘客所携带行李的重量x(kg)与其运费y(元)由如图的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的最大重量为________ kg.

答案　19
解析　设一次函数解析式为y＝ax＋b(a≠0)，
代入点(30,330)与点(40,630)得
解得即y＝30x－570，
若要免费，则y≤0，所以x≤19.
9．画出二次函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图象，并根据图象回答下列问题：
(1)比较f(0)，f(1)，f(3)的大小；
(2)求函数f(x)的值域．
解　　f(x)＝－(x－1)2＋4的图象如图所示．

(1)f(0)＝3，f(1)＝4，f(3)＝0，
所以f(1)>f(0)>f(3)．
(2)由图象可知二次函数f(x)的最大值为f(1)＝4，
则函数f(x)的值域为(－∞，4]．
10．(1)已知函数f(x＋1)＝3x＋2，求f(x)；
(2)已知f ＝x2＋，求f(x)；
(3)已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)－2f(－x)＝1＋2x，求f(x)．
解　(1)方法一　(换元法)：令x＋1＝t，
∴x＝t－1，∴f(t)＝3(t－1)＋2＝3t－1，
∴f(x)＝3x－1.
方法二　(配凑法)：f(x＋1)＝3x＋2＝3(x＋1)－1，
∴f(x)＝3x－1.
(2)∵f ＝x2＋＝2＋2，
令t＝x－，∴f(t)＝t2＋2，∴f(x)＝x2＋2.
(3)由题意，在f(x)－2f(－x)＝1＋2x中，
以－x代替x可得f(－x)－2f(x)＝1－2x，
联立可得
消去f(－x)可得f(x)＝x－1.

11．函数y＝的大致图象是(　　)


答案　A
解析　方法一　y＝的定义域为{x|x≠－1}，排除C，D，当x＝0时，y＝0，排除B.
方法二　y＝＝1－，由函数的平移性质可知A正确．
12．一等腰三角形的周长是20，底边长y是关于腰长x的函数，则它的解析式为(　　)
A．y＝20－2x
B．y＝20－2x(0 C．y＝20－2x(5≤x≤10)
D．y＝20－2x(5 答案　D
解析　由题意得y＋2x＝20，所以y＝20－2x，
又2x>y，即2x>20－2x，即x>5，
由y>0即20－2x>0得x<10，所以5 13．设f(x)＝2x＋a，g(x)＝(x2＋3)，且g(f(x))＝x2－x＋1，则a的值为________．
答案　－1
解析　因为g(x)＝(x2＋3)，
所以g(f(x))＝[(2x＋a)2＋3]
＝(4x2＋4ax＋a2＋3)＝x2－x＋1，
求得a＝－1.
14．已知函数F(x)＝f(x)＋g(x)，其中f(x)是x的正比例函数，g(x)是x的反比例函数，且F＝16，F(1)＝8，则F(x)的解析式为________________．
答案　F(x)＝3x＋(x≠0)
解析　设f(x)＝kx(k≠0)，g(x)＝(m≠0，且x≠0)，则F(x)＝kx＋.
由F＝16，F(1)＝8，得
解得所以F(x)＝3x＋(x≠0)．

15．如图所示的四个容器高度都相同．将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图象显示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系，其中不正确的有(　　)

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案　A
解析　对于第一幅图，水面的高度h的增加应是均匀的，因此不正确，其他均正确．
16．已知函数f(x)＝x2＋(a＋1)x＋b满足f(3)＝3，且f(x)≥x恒成立，求f(x)的解析式．
解　由f(3)＝3，得b＝－3a－9.
由f(x)≥x恒成立可知，x2＋ax＋b≥0恒成立，
所以a2－4b≤0，所以a2＋12a＋36＝(a＋6)2≤0，
所以a＝－6，b＝9.
所以f(x)＝x2－5x＋9.