人教A版 (2019)必修 第一册第三章 函数概念与性质本章综合与测试学案设计

微专题4　函数性质的综合问题

函数的性质是高中数学的核心内容，包括函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等，在历年的高考中函数的性质都占有非常重要的地位．命题时常常多种性质结合在一起进行考查，难度较大，技巧性比较强．

一、利用函数的单调性、奇偶性比较大小

例1　已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x)．若a＝g(－2)，b＝g(1)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为(　　)

A．a<b<c   B．c<b<a

C．b<a<c   D．b<c<a

答案　C

解析　方法一　易知g(x)＝xf(x)在R上为偶函数，

∴a＝g(－2)＝g(2)，

∵奇函数f(x)在R上是增函数，且f(0)＝0.

∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增．

∴g(1)<g(2)<g(3)，即b<a<c.

方法二　(特殊化)取f(x)＝x，

则g(x)＝x2为偶函数且在(0，＋∞)上单调递增，

a＝g(－2)＝4，b＝g(1)＝1，c＝g(3)＝9，

从而可得b<a<c.

二、利用奇函数、偶函数的图象解不等式

例2　设函数f(x)为奇函数，且在(－∞，0)上单调递减，若f(－2)＝0，则xf(x)<0的解集为(　　)

A．(－1,0)∪(2，＋∞)   B．(－∞，－2)∪(0,2)

C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)   D．(－2,0)∪(0,2)

答案　C

解析　利用函数的性质画出函数f(x)的简图如图，

所以不等式xf(x)<0可化为或

由图可知x>2或x<－2.

三、利用函数的奇偶性、单调性解不等式

例3　已知函数g(x)是R上的奇函数，且当x<0时，g(x)＝－x2＋2x，函数f(x)＝若f(2－x2)>f(x)，则实数x的取值范围是(　　)

A．(－∞，1)∪(2，＋∞)   B．(－∞，－2)∪(1，＋∞)

C．(1,2)   D．(－2,1)

答案　D

解析　∵g(x)是奇函数，

∴x>0时，g(x)＝－g(－x)＝x2＋2x，

易知f(x)在R上是增函数，

由f(2－x2)>f(x)，可得2－x2>x，

即x2＋x－2<0，∴－2<x<1.

反思感悟　解决此类不等式问题时一定要充分利用已知条件，把已知不等式转化成f(x1)>f(x2)或f(x1)<f(x2)的形式，再根据函数的奇偶性与单调性，列出不等式(组)，要注意函数定义域对参数的影响．

四、利用函数的奇偶性、单调性求函数的最值

例4　已知函数f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)＝若f(x)在上的最大值为m，最小值为n，求m＋n.

解　如图，画出f(x)在(0，＋∞)上的图象，

由图知，当x∈时，f(x)min＝f(1)＝－1，

又f ＝2，f(4)＝5，所以f(x)max＝f(4)＝5.

又f(x)为奇函数，所以当x∈时，

f(x)max＝f(－1)＝－f(1)＝1，

f(x)min＝f(－4)＝－f(4)＝－5.

所以m＝1，n＝－5，故m＋n＝1－5＝－4.

反思感悟　解决此类求最值问题应充分利用：奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性且图象关于原点对称；偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性且图象关于y轴对称．

五、抽象函数性质的应用

例5　设函数y＝f(x)是定义在(0，＋∞)上的函数，并且满足下面三个条件：①对任意正数x，y，都有f(xy)＝f(x)＋f(y)；②当x>1时，f(x)<0；③f(3)＝－1.

(1)求f(1)，f 的值；

(2)证明f(x)在(0，＋∞)上是减函数；

(3)如果不等式f(x)＋f(2－x)<2成立，求x的取值范围．

(1)解　因为对任意正数x，y，都有f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝－1，

令x＝y＝1，得f(1)＝f(1)＋f(1)，f(1)＝0，

令x＝y＝3，则f(9)＝f(3)＋f(3)＝－2，

令x＝，y＝9，则有f(1)＝f ＋f(9)＝0，f ＝2.

(2)证明　令x1<x2，且x1，x2∈(0，＋∞)，

所以>1，f <0，

f(x2)＝f ＝f(x1)＋f <f(x1)，∴f(x)在(0，＋∞)上是减函数．

(3)解　由已知不等式f(x)＋f(2－x)<2化为f(2x－x2)<f ，

又f(x)在(0，＋∞)上是减函数，∴

解得1－<x<1＋.

不等式解集为.

六、根据函数的奇偶性、单调性求参数

例6　已知函数f(x)＝是奇函数．

(1)求实数m的值；

(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．

解　(1)设x<0，则－x>0，

所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.

又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．

于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.

(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，结合f(x)的图象(图略)知所以1<a≤3，

故实数a的取值范围是(1,3]．