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高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）学案
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）学案，共13页。学案主要包含了指数型函数模型，对数型函数模型，建立拟合函数模型解决实际问题等内容，欢迎下载使用。
知识点一 几类已知函数模型
知识点二 应用函数模型解决问题的基本过程
1．审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型．
2．建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型．
3．求模——求解数学模型，得出数学模型．
4．还原——将数学结论还原为实际问题．
1．实际问题中两个变量之间一定有确定的函数关系．( × )
2．函数模型中，要求定义域只需使函数式有意义．( × )
3．用函数模型预测的结果和实际结果必须相等，否则函数模型就无存在意义了．( × )
4．在选择实际问题的函数模型时，必须使所有的数据完全符合该函数模型．( × )
5．利用函数模型求实际应用问题的最值时，要特别注意取得最值时的自变量与实际意义是否相符．( √ )
一、指数型函数模型
例1 一种放射性元素，最初的质量为500 g，按每年10%衰减．
(1)求t年后，这种放射性元素的质量w的表达式；
(2)由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期(结果精确到0.1)．
解 (1)最初的质量为500 g.
经过1年，w＝500(1－10%)＝500×0.9；
经过2年，w＝500×0.92；
由此推知，t年后，w＝500×0.9t.
(2)由题意得500×0.9t＝250，即0.9t＝0.5，两边取以10为底的对数，
得lg 0.9t＝lg 0.5，即tlg 0.9＝lg 0.5，
∴t＝eq \f(lg 0.5,lg 0.9)≈6.6.
即这种放射性元素的半衰期为6.6年．
反思感悟 在实际问题中，有关人口增长、银行复利、细胞分裂等增长率问题常可以用指数型函数模型表示，通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式．
跟踪训练1 物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述，设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则T－Ta＝(T0－Ta)×，其中Ta表示环境温度，h称为半衰期，现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡，放在24 ℃的房间中，如果咖啡降温到40 ℃需要20 min，那么降温到32 ℃时，需要多长时间？
解 由题意知40－24＝(88－24)×，
即eq \f(1,4)＝，
解得h＝10，
故原式可化简为T－24＝(88－24)×，
当T＝32时，代入上式，
得32－24＝(88－24)×，
即＝eq \f(8,64)＝eq \f(1,8)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))3，∴t＝30.
因此，需要30 min可降温到32 ℃.
二、对数型函数模型
例2 2018年12月8日，我国的“长征”三号火箭成功发射了嫦娥四号探测器，这标志着中国人民又迈出了具有历史意义的一步．火箭的起飞质量M是箭体(包括搭载的飞行器)的质量m(吨)和燃料质量x(吨)之和．在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度y(km/s)关于x(吨)的函数关系式为y＝k[ln(m＋x)－ln(eq \r(2)m)]＋4ln 2(其中k≠0)．当燃料质量为(eq \r(e)－1)m吨时，该火箭的最大速度为4 km/s.
(1)求“长征”三号系列火箭的最大速度y与燃料质量x之间的函数关系式；
(2)已知“长征”三号火箭的起飞质量M是479.8吨，则应装载多少吨燃料才能使火箭的最大飞行速度达到8 km/s？(结果精确到0.1吨，e取2.718)
解 (1)由题意得4＝k{ln [m＋(eq \r(e)－1)m]－ln(eq \r(2)m)}＋4ln 2，解得k＝8，
所以y＝8[ln(m＋x)－ln(eq \r(2)m)]＋4ln 2＝8ln eq \f(m＋x,m).
(2)由已知得M＝m＋x＝479.8，则m＝479.8－x，
又y＝8，则8＝8lneq \f(479.8,479.8－x)，解得x≈303.3.
故应装载大约303.3吨燃料，才能使火箭的最大飞行速度达到8 km/s.
反思感悟 对数函数应用题的基本类型和求解策略
(1)基本类型：有关对数函数的应用题一般都会给出函数的解析式，然后根据实际问题求解．
(2)求解策略：首先根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据数值回答其实际意义．
跟踪训练2 “学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度，假设函数t＝－144lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(N,90)))中，t表示达到某一英文打字水平所需的学习时间，N表示每分钟打出的字数．则当N＝40时，t＝________.(已知lg 5≈0.699，lg 3≈0.477)
答案 36.72
解析 当N＝40时，t＝－144lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(40,90)))＝－144lgeq \f(5,9)
＝－144(lg 5－2lg 3)≈36.72.
三、建立拟合函数模型解决实际问题
例3 某企业常年生产一种出口产品，自2017年以来，每年在正常情况下，该产品产量平稳增长．已知2017年为第1年，前4年年产量f(x)(万件)如下表所示：
(1)画出2017～2020年该企业年产量的散点图；
(2)建立一个能基本反映(误差小于0.1)这一时期该企业年产量变化的函数模型，并求出函数解析式；
(3)2021年(即x＝5)因受到某国对我国该产品反倾销的影响，年产量减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2021年的年产量为多少？
解 (1)画出散点图，如图所示．
(2)由散点图知，可选用一次函数模型．
设f(x)＝ax＋b(a≠0)．由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋b＝4，,3a＋b＝7，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1.5，,b＝2.5，))
所以f(x)＝1.5x＋2.5.检验：
f(2)＝5.5，且|5.58－5.5|＝0.08<0.1.
f(4)＝8.5，且|8.44－8.5|＝0.06<0.1.
所以一次函数模型f(x)＝1.5x＋2.5能基本反映年产量的变化．
(3)根据所建的函数模型，预计2021年的年产量为f(5)＝1.5×5＋2.5＝10(万件)，
又年产量减少30%，
即10×70%＝7(万件)，即2021年的年产量为7万件．
反思感悟 建立拟合函数与预测的基本步骤
跟踪训练3 水葫芦原产于巴西，1901年作为观赏植物引入我国．现在南方一些水域中水葫芦已泛滥成灾，严重影响航道安全和水生动物生长．某科研团队在某水域放入一定量的水葫芦进行研究，发现其蔓延速度越来越快，经过2个月其覆盖面积为18 m2，经过3个月其覆盖面积为27 m2.现水葫芦的覆盖面积y(单位：m2)与经过的时间x(单位：月，x∈N)的关系有两个函数模型y＝kax(k>0，a>1)与y＝＋q(p>0)可供选择．
(1)试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；
(2)求原先投放的水葫芦的面积，并求约经过几个月该水域中水葫芦的面积是当初投入的
1 000倍．
(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
解 (1)∵y＝kax(k>0，a>1)的增长速度越来越快，y＝＋q(p>0)的增长速度越来越慢，
∴函数模型y＝kax(k>0，a>1)更合适，
则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ka2＝18，,ka3＝27，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(3,2)，,k＝8，))
∴y＝8×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))x(x∈N*)．
(2)设经过x个月该水域中水葫芦的面积是当初投放的1 000倍．
当x＝0时，y＝8，则有8×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))x＝8×1 000，
∴x＝＝eq \f(lg 1 000,lg \f(3,2))＝eq \f(3,lg 3－lg 2)≈17.04.
∴原先投放的水葫芦的面积为8 m2，约经过17个月该水域中水葫芦的面积是当初投入的
1 000倍．
1．一辆汽车在某段路途中的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示，那么图象所对应的函数模型是( )
A．分段函数 B．二次函数
C．指数型函数 D．对数型函数
答案 A
2．某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表：
则下面的函数关系式中，拟合效果最好的是( )
A．y＝2x－1 B．y＝x2－1
C．y＝2x－1 D．y＝1.5x2－2.5x＋2
答案 D
3．某位股民购进某只股票，在接下来的交易时间内，他的这只股票先经历了3次涨停(每次上涨10%)，又经历了3次跌停(每次下降10%)，则该股民这只股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( )
A．略有亏损 B．略有盈利
C．没有盈利也没有亏损 D．无法判断盈亏情况
答案 A
解析 由题意可得(1＋10%)3(1－10%)3＝0.970 299
≈0.97<1.
因此该股民这只股票的盈亏情况为略有亏损．
4．某商人将电视机先按原价提高40%，然后在广告上写上“大酬宾，八折优惠”，结果是每台电视机比原价多赚了270元，则每台电视机的原价为________元．
答案 2 250
解析 设电视机的原价为a元，
∴a(1＋0.4)·80%－a＝270，
∴0.12a＝270，解得a＝2 250.
∴每台电视机的原价为2 250元．
5．一个模具厂一年中12月份的产量是1月份产量的m倍，那么该模具厂这一年中产量的月平均增长率是________．
答案 eq \r(11,m)－1
解析 设每月的产量增长率为x,1月份产量为a，
则a(1＋x)11＝ma，
所以1＋x＝eq \r(11,m)，即x＝eq \r(11,m)－1.
1．知识清单：
(1)指数型函数模型．
(2)对数型函数模型．
(3)建立拟合函数模型解决实际问题．
2．方法归纳：转化法．
3．常见误区：实际应用题易忘定义域和作答．
1．某研究小组在一项实验中获得一组关于y，t的数据，将其整理得到如图所示的图形．下列函数中，最能近似刻画y与t之间关系的是( )
A．y＝2t B．y＝2t2
C．y＝t3 D．y＝lg2t
答案 D
2．某市家庭煤气的使用量x(m3)和煤气费f(x)(元)满足关系f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(C，0A.))已知某家庭2020年前三个月的煤气费如表：
若四月份该家庭使用了20 m3的煤气，则其煤气费为( )
A．11.5元 B．11元 C．10.5元 D．10元
答案 A
解析 根据题意可知f(4)＝C＝4，
f(25)＝C＋B(25－A)＝14，
f(35)＝C＋B(35－A)＝19，
解得A＝5，B＝eq \f(1,2)，C＝4，
所以f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4，05，))
所以f(20)＝4＋eq \f(1,2)×(20－5)＝11.5.
3．一种放射性元素，每年的衰减率是8%，那么a千克的这种物质的半衰期(剩余量为原来的一半)t等于( )
A．lgeq \f(0.5,0.92) B．lgeq \f(0.92,0.5)
C.eq \f(lg 0.5,lg 0.92) D.eq \f(lg 0.92,lg 0.5)
答案 C
解析 由题意知a(1－8%)t＝eq \f(a,2)，
即(1－8%)t＝eq \f(1,2)，
等式两边取常用对数得lg 0.92t＝lg 0.5，
即tlg 0.92＝lg 0.5，
∴t＝eq \f(lg 0.5,lg 0.92)，故C选项是正确的．
4．某新款电视投放市场后第一个月销售了100台，第二个月销售了200台，第三个月销售了400台，第四个月销售了790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x(1≤x≤4，x∈N*)之间关系的是( )
A．y＝100x B．y＝50x2－50x＋100
C．y＝50×2x D．y＝100x
答案 C
解析 将题目中的数据代入各函数中，易知指数型函数能较好地与题中的数据相对应．
5．某地固定电话市话收费规定：前三分钟0.20元(不满三分钟按三分钟计算)，以后每加一分钟增收0.10元(不满一分钟按一分钟计算)，那么某人打市话550秒，应支付电话费( )
A．1.00元 B．0.90元
C．1.20元 D．0.80元
答案 B
解析 当x>3时，y＝0.2＋0.1×([x]－3)([x]是不小于x的最小整数)，
令x＝eq \f(550,60)，故[x]＝10，则y＝0.9.
6．计算机成本不断降低，若每隔3年计算机价格降低eq \f(1,3)，现在价格为8 100元的计算机9年后的价格为________元．
答案 2 400
解析 依题意得，所求价格为
8 100×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))3＝8 100×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))3＝2 400(元)．
7．一个驾驶员喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少．为了保障交通安全，规定驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL，那么这个驾驶员至少要经过________小时才能开车．(精确到1小时，参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)
答案 5
解析 设经过n小时后才能开车，
此时酒精含量为0.3(1－0.25)n.
根据题意，有0.3(1－0.25)n≤0.09，
即(1－0.25)n≤0.3，在不等式两边取常用对数，
则有n lgeq \f(3,4)＝n(lg 3－2lg 2)≤lg 0.3＝lg 3－1，
将已知数据代入，得n(0.48－0.6)≤0.48－1，
解得n≥eq \f(13,3)＝4eq \f(1,3)，故至少经过5小时才能开车．
8．某种细菌经30分钟数量变为原来的2倍，且该种细菌的繁殖规律为y＝ekt，其中k为常数，t表示时间(单位：小时)，y表示1个细菌经繁殖后的总个数，则k＝________，经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为________．
答案 2ln 2 1 024
解析 由题意知，当t＝eq \f(1,2)时，y＝2，即2＝，
∴k＝2ln 2，∴y＝e2tln 2.
当t＝5时，y＝e2×5×ln 2＝210＝1 024.
即经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为1 024.
9．我们知道，燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5lg2eq \f(O,10)，单位是m/s，其中O表示燕子的耗氧量．
(1)计算当燕子静止时的耗氧量是多少个单位？
(2)当一只燕子的耗氧量是40个单位时，它的飞行速度是多少？
解 (1)由题意知，当燕子静止时，它的速度v＝0，代入题中公式，可得0＝5lg2eq \f(O,10)，解得O＝10个单位．
(2)将耗氧量O＝40代入题中公式，
得v＝5lg2eq \f(40,10)＝5lg24＝10(m/s)．
10．目前某县有100万人，经过x年后为y万人．如果年平均增长率是1.2%，请回答下列问题：(已知：1.01210≈1.126 7，1.01211≈1.140 2，lg 1.2≈0.079，lg 1.012≈0.005)
(1)写出y关于x的函数解析式；
(2)计算10年后该县的人口总数(精确到0.1万人)；
(3)计算大约多少年后该县的人口总数将达到120万(精确到1年)．
解 (1)当x＝1时，
y＝100＋100×1.2%＝100(1＋1.2%)；
当x＝2时，
y＝100(1＋1.2%)＋100(1＋1.2%)×1.2%
＝100(1＋1.2%)2；
当x＝3时，
y＝100(1＋1.2%)2＋100(1＋1.2%)2×1.2%
＝100(1＋1.2%)3；….
故y关于x的函数解析式为
y＝100(1＋1.2%)x(x∈N*)．
(2)当x＝10时，y＝100×(1＋1.2%)10
＝100×1.01210≈112.7.
故10年后该县约有112.7万人．
(3)设x年后该县的人口总数为120万，
即100×(1＋1.2%)x＝120，
解得x＝lg1.012eq \f(120,100)≈16.
故大约16年后该县的人口总数将达到120万．
11．某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入．若该公司2017年全年投入研发奖金130万元．在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)( )
A．2018年 B．2019年
C．2020年 D．2021年
答案 D
解析 设第x年的研发奖金为200万元，
则由题意可得130×(1＋12%)x＝200，
∴1.12x＝eq \f(20,13)，∴x＝lg1.12eq \f(20,13)＝lg1.1220－lg1.1213
＝eq \f(lg 20,lg 1.12)－eq \f(lg 13,lg 1.12)＝eq \f(lg 2＋lg 10－lg 1.3＋lg 10,lg 1.12)
≈eq \f(0.3＋1－0.11－1,0.05)＝3.8.
即3年后不到200万元，第4年超过200万元，
即2021年超过200万元．
12．根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(c,\r(x))，xA．75,25 B．75,16
C．60,25 D．60,16
答案 D
解析 由题意知，组装第A件产品所需时间为eq \f(c,\r(A))＝15，故组装第4件产品所需时间为eq \f(c,\r(4))＝30，解得c＝60.
将c＝60代入eq \f(c,\r(A))＝15，得A＝16.
13．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1 ℃，空气的温度是θ0 ℃，t min后物体的温度θ ℃可由公式θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－0.24t求得，且把温度是100 ℃的物体放在10 ℃的空气中冷却t min后，物体的温度是40 ℃，那么t的值约等于________．(参考数据：ln 3≈1.099，ln 2≈0.693，精确到0.01)
答案 4.58
解析 由题意可得40＝10＋(100－10)e－0.24t，
化简可得e－0.24t＝eq \f(1,3)，
∴－0.24t＝ln eq \f(1,3)＝－ln 3，
∴0.24t＝ln 3≈1.099，∴t≈4.58.
14．某地区发生里氏8.0级特大地震．地震专家对发生的余震进行了监测，记录的部分数据如下表：
注：地震强度是指地震时释放的能量．
地震强度(x)和震级(y)的模拟函数关系可以选用y＝alg x＋b(其中a，b为常数)．利用散点图(如图)可知a的值等于________．(取lg 2≈0.3进行计算)
答案 eq \f(2,3)
解析 由记录的部分数据可知x＝1.6×1019时，
y＝5.0，x＝3.2×1019时，y＝5.2.
所以5.0＝alg(1.6×1019)＋b，①
5．2＝alg(3.2×1019)＋b，②
②－①得0.2＝algeq \f(3.2×1019,1.6×1019)，0.2＝alg 2.
所以a＝eq \f(0.2,lg 2)≈eq \f(0.2,0.3)＝eq \f(2,3).
15．某公司为了实现1 000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金数额y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金数额不超过5万元，同时奖金数额不超过利润的25%，其中下列模型中能符合公司要求的是________．(参考数据：1.003600≈6，lg 7≈0.845)
①y＝0.025x；②y＝1.003x；
③y＝1＋lg7x；④y＝eq \f(1,4 000)x2.
答案 ③
解析 由题意知，符合公司要求的模型只需满足：
当x∈[10,1 000]时，
(1)函数为增函数；
(2)函数的最大值不超过5；
(3)y≤x·25%＝eq \f(1,4)x，
①中，函数y＝0.025x，易知满足(1)，但当x>200时，y>5不满足公司要求；
②中，函数y＝1.003x，易知满足(1)，但当x>600时，y>5不满足公司要求；
③中，函数y＝1＋lg7x，易知满足(1)，且当x＝1 000时，y取最大值1＋lg71 000＝1＋eq \f(3,lg 7)<5，且1＋lg7x≤eq \f(1,4)x恒成立，故满足公司要求；
④中，函数y＝eq \f(1,4 000)x2，易知满足(1)，但当x＝400时，y>5不满足公司要求．
16．某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表：
(1)根据表中提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重y kg与身高x cm的函数关系？试写出这个函数模型的解析式；
(2)若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175 cm，体重为78 kg的在校男生的体重是否正常？
解 (1)以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图．
根据点的分布特征，可考虑以y＝a·bx作为刻画这个地区未成年男性的体重与身高关系的函数模型．取其中的两组数据(70,7.90)，(160,47.25)，代入y＝a·bx得：
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(7.9＝a·b70，,47.25＝a·b160，))用计算器算得a≈2，b≈1.02.
这样，我们就得到一个函数模型：y＝2×1.02x.
将已知数据代入上述函数解析式，或作出上述函数的图象，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系．
(2)将x＝175代入y＝2×1.02x得y＝2×1.02175，
由计算器算得y≈63.98.
由于78÷63.98≈1.22>1.2，
所以，这个男生偏胖．函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
反比例函数模型
f(x)＝eq \f(k,x)＋b(k，b为常数且k≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数型函数模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
对数型函数模型
f(x)＝blgax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
幂函数型模型
f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
x
1
2
3
4
f(x)
4.00
5.58
7.00
8.44
x
1
2
3
…
y
1
3
8
…
月份
用气量
煤气费
一月份
4 m3
4元
二月份
25 m3
14元
三月份
35 m3
19元
强度(J)
1.6×1019
3.2×1019
4.5×1019
6.4×1019
震级(里氏)
5.0
5.2
5.3
5.4
身高/cm
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
体重/kg
6.13
7.90
9.90
12.15
15.02
17.50
20.92
26.86
31.11
38.85
47.25
55.05
知识点一 几类已知函数模型
知识点二 应用函数模型解决问题的基本过程
1．审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型．
2．建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型．
3．求模——求解数学模型，得出数学模型．
4．还原——将数学结论还原为实际问题．
1．实际问题中两个变量之间一定有确定的函数关系．( × )
2．函数模型中，要求定义域只需使函数式有意义．( × )
3．用函数模型预测的结果和实际结果必须相等，否则函数模型就无存在意义了．( × )
4．在选择实际问题的函数模型时，必须使所有的数据完全符合该函数模型．( × )
5．利用函数模型求实际应用问题的最值时，要特别注意取得最值时的自变量与实际意义是否相符．( √ )
一、指数型函数模型
例1 一种放射性元素，最初的质量为500 g，按每年10%衰减．
(1)求t年后，这种放射性元素的质量w的表达式；
(2)由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期(结果精确到0.1)．
解 (1)最初的质量为500 g.
经过1年，w＝500(1－10%)＝500×0.9；
经过2年，w＝500×0.92；
由此推知，t年后，w＝500×0.9t.
(2)由题意得500×0.9t＝250，即0.9t＝0.5，两边取以10为底的对数，
得lg 0.9t＝lg 0.5，即tlg 0.9＝lg 0.5，
∴t＝eq \f(lg 0.5,lg 0.9)≈6.6.
即这种放射性元素的半衰期为6.6年．
反思感悟 在实际问题中，有关人口增长、银行复利、细胞分裂等增长率问题常可以用指数型函数模型表示，通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式．
跟踪训练1 物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述，设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则T－Ta＝(T0－Ta)×，其中Ta表示环境温度，h称为半衰期，现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡，放在24 ℃的房间中，如果咖啡降温到40 ℃需要20 min，那么降温到32 ℃时，需要多长时间？
解 由题意知40－24＝(88－24)×，
即eq \f(1,4)＝，
解得h＝10，
故原式可化简为T－24＝(88－24)×，
当T＝32时，代入上式，
得32－24＝(88－24)×，
即＝eq \f(8,64)＝eq \f(1,8)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))3，∴t＝30.
因此，需要30 min可降温到32 ℃.
二、对数型函数模型
例2 2018年12月8日，我国的“长征”三号火箭成功发射了嫦娥四号探测器，这标志着中国人民又迈出了具有历史意义的一步．火箭的起飞质量M是箭体(包括搭载的飞行器)的质量m(吨)和燃料质量x(吨)之和．在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度y(km/s)关于x(吨)的函数关系式为y＝k[ln(m＋x)－ln(eq \r(2)m)]＋4ln 2(其中k≠0)．当燃料质量为(eq \r(e)－1)m吨时，该火箭的最大速度为4 km/s.
(1)求“长征”三号系列火箭的最大速度y与燃料质量x之间的函数关系式；
(2)已知“长征”三号火箭的起飞质量M是479.8吨，则应装载多少吨燃料才能使火箭的最大飞行速度达到8 km/s？(结果精确到0.1吨，e取2.718)
解 (1)由题意得4＝k{ln [m＋(eq \r(e)－1)m]－ln(eq \r(2)m)}＋4ln 2，解得k＝8，
所以y＝8[ln(m＋x)－ln(eq \r(2)m)]＋4ln 2＝8ln eq \f(m＋x,m).
(2)由已知得M＝m＋x＝479.8，则m＝479.8－x，
又y＝8，则8＝8lneq \f(479.8,479.8－x)，解得x≈303.3.
故应装载大约303.3吨燃料，才能使火箭的最大飞行速度达到8 km/s.
反思感悟 对数函数应用题的基本类型和求解策略
(1)基本类型：有关对数函数的应用题一般都会给出函数的解析式，然后根据实际问题求解．
(2)求解策略：首先根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据数值回答其实际意义．
跟踪训练2 “学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度，假设函数t＝－144lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(N,90)))中，t表示达到某一英文打字水平所需的学习时间，N表示每分钟打出的字数．则当N＝40时，t＝________.(已知lg 5≈0.699，lg 3≈0.477)
答案 36.72
解析 当N＝40时，t＝－144lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(40,90)))＝－144lgeq \f(5,9)
＝－144(lg 5－2lg 3)≈36.72.
三、建立拟合函数模型解决实际问题
例3 某企业常年生产一种出口产品，自2017年以来，每年在正常情况下，该产品产量平稳增长．已知2017年为第1年，前4年年产量f(x)(万件)如下表所示：
(1)画出2017～2020年该企业年产量的散点图；
(2)建立一个能基本反映(误差小于0.1)这一时期该企业年产量变化的函数模型，并求出函数解析式；
(3)2021年(即x＝5)因受到某国对我国该产品反倾销的影响，年产量减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2021年的年产量为多少？
解 (1)画出散点图，如图所示．
(2)由散点图知，可选用一次函数模型．
设f(x)＝ax＋b(a≠0)．由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋b＝4，,3a＋b＝7，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1.5，,b＝2.5，))
所以f(x)＝1.5x＋2.5.检验：
f(2)＝5.5，且|5.58－5.5|＝0.08<0.1.
f(4)＝8.5，且|8.44－8.5|＝0.06<0.1.
所以一次函数模型f(x)＝1.5x＋2.5能基本反映年产量的变化．
(3)根据所建的函数模型，预计2021年的年产量为f(5)＝1.5×5＋2.5＝10(万件)，
又年产量减少30%，
即10×70%＝7(万件)，即2021年的年产量为7万件．
反思感悟 建立拟合函数与预测的基本步骤
跟踪训练3 水葫芦原产于巴西，1901年作为观赏植物引入我国．现在南方一些水域中水葫芦已泛滥成灾，严重影响航道安全和水生动物生长．某科研团队在某水域放入一定量的水葫芦进行研究，发现其蔓延速度越来越快，经过2个月其覆盖面积为18 m2，经过3个月其覆盖面积为27 m2.现水葫芦的覆盖面积y(单位：m2)与经过的时间x(单位：月，x∈N)的关系有两个函数模型y＝kax(k>0，a>1)与y＝＋q(p>0)可供选择．
(1)试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；
(2)求原先投放的水葫芦的面积，并求约经过几个月该水域中水葫芦的面积是当初投入的
1 000倍．
(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
解 (1)∵y＝kax(k>0，a>1)的增长速度越来越快，y＝＋q(p>0)的增长速度越来越慢，
∴函数模型y＝kax(k>0，a>1)更合适，
则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ka2＝18，,ka3＝27，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(3,2)，,k＝8，))
∴y＝8×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))x(x∈N*)．
(2)设经过x个月该水域中水葫芦的面积是当初投放的1 000倍．
当x＝0时，y＝8，则有8×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))x＝8×1 000，
∴x＝＝eq \f(lg 1 000,lg \f(3,2))＝eq \f(3,lg 3－lg 2)≈17.04.
∴原先投放的水葫芦的面积为8 m2，约经过17个月该水域中水葫芦的面积是当初投入的
1 000倍．
1．一辆汽车在某段路途中的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示，那么图象所对应的函数模型是( )
A．分段函数 B．二次函数
C．指数型函数 D．对数型函数
答案 A
2．某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表：
则下面的函数关系式中，拟合效果最好的是( )
A．y＝2x－1 B．y＝x2－1
C．y＝2x－1 D．y＝1.5x2－2.5x＋2
答案 D
3．某位股民购进某只股票，在接下来的交易时间内，他的这只股票先经历了3次涨停(每次上涨10%)，又经历了3次跌停(每次下降10%)，则该股民这只股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( )
A．略有亏损 B．略有盈利
C．没有盈利也没有亏损 D．无法判断盈亏情况
答案 A
解析 由题意可得(1＋10%)3(1－10%)3＝0.970 299
≈0.97<1.
因此该股民这只股票的盈亏情况为略有亏损．
4．某商人将电视机先按原价提高40%，然后在广告上写上“大酬宾，八折优惠”，结果是每台电视机比原价多赚了270元，则每台电视机的原价为________元．
答案 2 250
解析 设电视机的原价为a元，
∴a(1＋0.4)·80%－a＝270，
∴0.12a＝270，解得a＝2 250.
∴每台电视机的原价为2 250元．
5．一个模具厂一年中12月份的产量是1月份产量的m倍，那么该模具厂这一年中产量的月平均增长率是________．
答案 eq \r(11,m)－1
解析 设每月的产量增长率为x,1月份产量为a，
则a(1＋x)11＝ma，
所以1＋x＝eq \r(11,m)，即x＝eq \r(11,m)－1.
1．知识清单：
(1)指数型函数模型．
(2)对数型函数模型．
(3)建立拟合函数模型解决实际问题．
2．方法归纳：转化法．
3．常见误区：实际应用题易忘定义域和作答．
1．某研究小组在一项实验中获得一组关于y，t的数据，将其整理得到如图所示的图形．下列函数中，最能近似刻画y与t之间关系的是( )
A．y＝2t B．y＝2t2
C．y＝t3 D．y＝lg2t
答案 D
2．某市家庭煤气的使用量x(m3)和煤气费f(x)(元)满足关系f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(C，0
若四月份该家庭使用了20 m3的煤气，则其煤气费为( )
A．11.5元 B．11元 C．10.5元 D．10元
答案 A
解析 根据题意可知f(4)＝C＝4，
f(25)＝C＋B(25－A)＝14，
f(35)＝C＋B(35－A)＝19，
解得A＝5，B＝eq \f(1,2)，C＝4，
所以f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4，0
所以f(20)＝4＋eq \f(1,2)×(20－5)＝11.5.
3．一种放射性元素，每年的衰减率是8%，那么a千克的这种物质的半衰期(剩余量为原来的一半)t等于( )
A．lgeq \f(0.5,0.92) B．lgeq \f(0.92,0.5)
C.eq \f(lg 0.5,lg 0.92) D.eq \f(lg 0.92,lg 0.5)
答案 C
解析 由题意知a(1－8%)t＝eq \f(a,2)，
即(1－8%)t＝eq \f(1,2)，
等式两边取常用对数得lg 0.92t＝lg 0.5，
即tlg 0.92＝lg 0.5，
∴t＝eq \f(lg 0.5,lg 0.92)，故C选项是正确的．
4．某新款电视投放市场后第一个月销售了100台，第二个月销售了200台，第三个月销售了400台，第四个月销售了790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x(1≤x≤4，x∈N*)之间关系的是( )
A．y＝100x B．y＝50x2－50x＋100
C．y＝50×2x D．y＝100x
答案 C
解析 将题目中的数据代入各函数中，易知指数型函数能较好地与题中的数据相对应．
5．某地固定电话市话收费规定：前三分钟0.20元(不满三分钟按三分钟计算)，以后每加一分钟增收0.10元(不满一分钟按一分钟计算)，那么某人打市话550秒，应支付电话费( )
A．1.00元 B．0.90元
C．1.20元 D．0.80元
答案 B
解析 当x>3时，y＝0.2＋0.1×([x]－3)([x]是不小于x的最小整数)，
令x＝eq \f(550,60)，故[x]＝10，则y＝0.9.
6．计算机成本不断降低，若每隔3年计算机价格降低eq \f(1,3)，现在价格为8 100元的计算机9年后的价格为________元．
答案 2 400
解析 依题意得，所求价格为
8 100×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))3＝8 100×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))3＝2 400(元)．
7．一个驾驶员喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少．为了保障交通安全，规定驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL，那么这个驾驶员至少要经过________小时才能开车．(精确到1小时，参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)
答案 5
解析 设经过n小时后才能开车，
此时酒精含量为0.3(1－0.25)n.
根据题意，有0.3(1－0.25)n≤0.09，
即(1－0.25)n≤0.3，在不等式两边取常用对数，
则有n lgeq \f(3,4)＝n(lg 3－2lg 2)≤lg 0.3＝lg 3－1，
将已知数据代入，得n(0.48－0.6)≤0.48－1，
解得n≥eq \f(13,3)＝4eq \f(1,3)，故至少经过5小时才能开车．
8．某种细菌经30分钟数量变为原来的2倍，且该种细菌的繁殖规律为y＝ekt，其中k为常数，t表示时间(单位：小时)，y表示1个细菌经繁殖后的总个数，则k＝________，经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为________．
答案 2ln 2 1 024
解析 由题意知，当t＝eq \f(1,2)时，y＝2，即2＝，
∴k＝2ln 2，∴y＝e2tln 2.
当t＝5时，y＝e2×5×ln 2＝210＝1 024.
即经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为1 024.
9．我们知道，燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5lg2eq \f(O,10)，单位是m/s，其中O表示燕子的耗氧量．
(1)计算当燕子静止时的耗氧量是多少个单位？
(2)当一只燕子的耗氧量是40个单位时，它的飞行速度是多少？
解 (1)由题意知，当燕子静止时，它的速度v＝0，代入题中公式，可得0＝5lg2eq \f(O,10)，解得O＝10个单位．
(2)将耗氧量O＝40代入题中公式，
得v＝5lg2eq \f(40,10)＝5lg24＝10(m/s)．
10．目前某县有100万人，经过x年后为y万人．如果年平均增长率是1.2%，请回答下列问题：(已知：1.01210≈1.126 7，1.01211≈1.140 2，lg 1.2≈0.079，lg 1.012≈0.005)
(1)写出y关于x的函数解析式；
(2)计算10年后该县的人口总数(精确到0.1万人)；
(3)计算大约多少年后该县的人口总数将达到120万(精确到1年)．
解 (1)当x＝1时，
y＝100＋100×1.2%＝100(1＋1.2%)；
当x＝2时，
y＝100(1＋1.2%)＋100(1＋1.2%)×1.2%
＝100(1＋1.2%)2；
当x＝3时，
y＝100(1＋1.2%)2＋100(1＋1.2%)2×1.2%
＝100(1＋1.2%)3；….
故y关于x的函数解析式为
y＝100(1＋1.2%)x(x∈N*)．
(2)当x＝10时，y＝100×(1＋1.2%)10
＝100×1.01210≈112.7.
故10年后该县约有112.7万人．
(3)设x年后该县的人口总数为120万，
即100×(1＋1.2%)x＝120，
解得x＝lg1.012eq \f(120,100)≈16.
故大约16年后该县的人口总数将达到120万．
11．某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入．若该公司2017年全年投入研发奖金130万元．在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)( )
A．2018年 B．2019年
C．2020年 D．2021年
答案 D
解析 设第x年的研发奖金为200万元，
则由题意可得130×(1＋12%)x＝200，
∴1.12x＝eq \f(20,13)，∴x＝lg1.12eq \f(20,13)＝lg1.1220－lg1.1213
＝eq \f(lg 20,lg 1.12)－eq \f(lg 13,lg 1.12)＝eq \f(lg 2＋lg 10－lg 1.3＋lg 10,lg 1.12)
≈eq \f(0.3＋1－0.11－1,0.05)＝3.8.
即3年后不到200万元，第4年超过200万元，
即2021年超过200万元．
12．根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(c,\r(x))，x
C．60,25 D．60,16
答案 D
解析 由题意知，组装第A件产品所需时间为eq \f(c,\r(A))＝15，故组装第4件产品所需时间为eq \f(c,\r(4))＝30，解得c＝60.
将c＝60代入eq \f(c,\r(A))＝15，得A＝16.
13．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1 ℃，空气的温度是θ0 ℃，t min后物体的温度θ ℃可由公式θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－0.24t求得，且把温度是100 ℃的物体放在10 ℃的空气中冷却t min后，物体的温度是40 ℃，那么t的值约等于________．(参考数据：ln 3≈1.099，ln 2≈0.693，精确到0.01)
答案 4.58
解析 由题意可得40＝10＋(100－10)e－0.24t，
化简可得e－0.24t＝eq \f(1,3)，
∴－0.24t＝ln eq \f(1,3)＝－ln 3，
∴0.24t＝ln 3≈1.099，∴t≈4.58.
14．某地区发生里氏8.0级特大地震．地震专家对发生的余震进行了监测，记录的部分数据如下表：
注：地震强度是指地震时释放的能量．
地震强度(x)和震级(y)的模拟函数关系可以选用y＝alg x＋b(其中a，b为常数)．利用散点图(如图)可知a的值等于________．(取lg 2≈0.3进行计算)
答案 eq \f(2,3)
解析 由记录的部分数据可知x＝1.6×1019时，
y＝5.0，x＝3.2×1019时，y＝5.2.
所以5.0＝alg(1.6×1019)＋b，①
5．2＝alg(3.2×1019)＋b，②
②－①得0.2＝algeq \f(3.2×1019,1.6×1019)，0.2＝alg 2.
所以a＝eq \f(0.2,lg 2)≈eq \f(0.2,0.3)＝eq \f(2,3).
15．某公司为了实现1 000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金数额y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金数额不超过5万元，同时奖金数额不超过利润的25%，其中下列模型中能符合公司要求的是________．(参考数据：1.003600≈6，lg 7≈0.845)
①y＝0.025x；②y＝1.003x；
③y＝1＋lg7x；④y＝eq \f(1,4 000)x2.
答案 ③
解析 由题意知，符合公司要求的模型只需满足：
当x∈[10,1 000]时，
(1)函数为增函数；
(2)函数的最大值不超过5；
(3)y≤x·25%＝eq \f(1,4)x，
①中，函数y＝0.025x，易知满足(1)，但当x>200时，y>5不满足公司要求；
②中，函数y＝1.003x，易知满足(1)，但当x>600时，y>5不满足公司要求；
③中，函数y＝1＋lg7x，易知满足(1)，且当x＝1 000时，y取最大值1＋lg71 000＝1＋eq \f(3,lg 7)<5，且1＋lg7x≤eq \f(1,4)x恒成立，故满足公司要求；
④中，函数y＝eq \f(1,4 000)x2，易知满足(1)，但当x＝400时，y>5不满足公司要求．
16．某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表：
(1)根据表中提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重y kg与身高x cm的函数关系？试写出这个函数模型的解析式；
(2)若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175 cm，体重为78 kg的在校男生的体重是否正常？
解 (1)以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图．
根据点的分布特征，可考虑以y＝a·bx作为刻画这个地区未成年男性的体重与身高关系的函数模型．取其中的两组数据(70,7.90)，(160,47.25)，代入y＝a·bx得：
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(7.9＝a·b70，,47.25＝a·b160，))用计算器算得a≈2，b≈1.02.
这样，我们就得到一个函数模型：y＝2×1.02x.
将已知数据代入上述函数解析式，或作出上述函数的图象，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系．
(2)将x＝175代入y＝2×1.02x得y＝2×1.02175，
由计算器算得y≈63.98.
由于78÷63.98≈1.22>1.2，
所以，这个男生偏胖．函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
反比例函数模型
f(x)＝eq \f(k,x)＋b(k，b为常数且k≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数型函数模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
对数型函数模型
f(x)＝blgax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
幂函数型模型
f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
x
1
2
3
4
f(x)
4.00
5.58
7.00
8.44
x
1
2
3
…
y
1
3
8
…
月份
用气量
煤气费
一月份
4 m3
4元
二月份
25 m3
14元
三月份
35 m3
19元
强度(J)
1.6×1019
3.2×1019
4.5×1019
6.4×1019
震级(里氏)
5.0
5.2
5.3
5.4
身高/cm
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
体重/kg
6.13
7.90
9.90
12.15
15.02
17.50
20.92
26.86
31.11
38.85
47.25
55.05
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