2021学年第四章 指数函数与对数函数本章综合与测试学案设计

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1．计算：lg 2－lgeq \f(1,5)－eln 2等于( )
A．－1 B.eq \f(1,2) C．3 D．－5
答案 A
解析 lg 2－lgeq \f(1,5)－eln 2＝lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2÷\f(1,5)))－2＝－1.
2．下列计算正确的是( )
A．(a3)2＝a9 B．lg26－lg23＝1
C．·＝0 D．lg3(－4)2＝2lg3(－4)
答案 B
解析 由题意，根据实数指数幂的运算，可得(a3)2＝a6，·＝a0＝1，所以A，C不正确；
由对数的运算性质，可得lg26－lg23＝lg2eq \f(6,3)＝lg22＝1，所以B是正确的；
对于D中，根据对数的化简，可得lg3(－4)2＝2lg34，而lg3(－4)是无意义的．
3．若3a＝2，则lg38－2lg36用含a的代数式可表示为( )
A．a－2 B．3a－(1＋a)2
C．5a－2 D．3a－a2
答案 A
解析 由3a＝2得a＝lg32，
所以lg38－2lg36＝lg323－2lg3(2×3)
＝3lg32－2(lg32＋lg33)＝3a－2(a＋1)＝a－2.
4.＋lg3eq \f(\r(4,27),3)－lg29·lg32等于( )
A．－10 B．－8 C．2 D．4
答案 D
解析 ＋lg3eq \f(\r(4,27),3)－lg29·lg32
＝＋－1－lg232·lg32
＝eq \f(25,4)＋eq \f(3,4)－3＝4.
5．若lg5eq \f(1,3)·lg36·lg6x＝2，则x等于( )
A．9 B.eq \f(1,9) C．25 D.eq \f(1,25)
答案 D
解析 由换底公式，得eq \f(－lg 3,lg 5)·eq \f(lg 6,lg 3)·eq \f(lg x,lg 6)＝2，
lg x＝－2lg 5，x＝5－2＝eq \f(1,25).
6．+lg3eq \r(27)＋2lg 5＋lg 4＋＝________.
答案 eq \f(3,2)
解析 ＋lg3eq \r(27)＋2lg 5＋lg 4＋
＝－＋＋2lg 5＋2lg 2＋
＝－4＋eq \f(3,2)＋2＋2＝eq \f(3,2).
7．方程lg2(4x－5)＝2＋lg2(2x－2)的解x＝________.
答案 lg23
解析 ∵lg2(4x－5)＝2＋lg2(2x－2)，
∴4x－5＝4(2x－2)，即(2x)2－4·2x＋3＝0，
∴2x＝1或2x＝3；又eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4x－5>0，,2x－2>0，))∴2x＝3，∴x＝lg23.
8．记A＝1×2×3×…×100，那么eq \f(1,lg2A)＋eq \f(1,lg3A)＋eq \f(1,lg4A)＋…＋eq \f(1,lg100A)＝________.
答案 1
解析 eq \f(1,lg2A)＋eq \f(1,lg3A)＋eq \f(1,lg4A)＋…＋eq \f(1,lg100A)
＝lgA2＋lgA3＋lgA4＋…＋lgA100
＝lgA(2×3×4×…×100)＝1.
9．化简与求值：
(1)lg327＋lgeq \f(1,100)＋ln eq \r(e)＋；
(2)＋(lg316)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg2\f(1,9))).
解 (1)lg327＋lgeq \f(1,100)＋ln eq \r(e)＋
＝lg333＋lg 10－2＋＋eq \f(1,2)×
＝3lg33－lg 102＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)×3
＝3－2＋eq \f(1,2)＋eq \f(3,2)＝3.
(2) ＋(lg316)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg2\f(1,9)))
＝＋eq \f(lg 16,lg 3)×eq \f(lg\f(1,9),lg 2)
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))－1＋eq \f(4lg 2,lg 3)×eq \f(－2lg 3,lg 2)
＝－3－8＝－11.
10．(1)若lg37·lg29·lg49a＝lg4eq \f(1,2)，求a的值；
(2)若xlg23＝1，求3x＋9－x的值．
解 (1)由已知得eq \f(lg 7,lg 3)·eq \f(2lg 3,lg 2)·eq \f(lg a,2lg 7)＝eq \f(－lg 2,2lg 2)，
所以lg a＝－eq \f(1,2)lg 2＝lgeq \f(\r(2),2)，所以a＝eq \f(\r(2),2).
(2)方法一 因为 xlg23＝1，
所以x＝eq \f(1,lg23)＝eq \f(lg 2,lg 3)＝lg32，
所以3x＋9－x＝＋
＝＋＝＋
＝2＋eq \f(1,4)＝eq \f(9,4).
方法二 因为xlg23＝1，所以lg23x＝1，
所以3x＝2，
所以3x＋9－x＝3x＋(3x)－2＝2＋2－2
＝2＋eq \f(1,4)＝eq \f(9,4).
11．lg5(eq \r(6)＋1)＋lg2(eq \r(2)－1)＝a，则lg5(eq \r(6)－1)＋lg2(eq \r(2)＋1)等于( )
A．1－a B.eq \f(1,a) C．a－1 D．－a
答案 A
解析 ∵(eq \r(6)＋1)(eq \r(6)－1)＝6－1＝5，
(eq \r(2)－1)(eq \r(2)＋1)＝2－1＝1，
∴eq \r(6)－1＝eq \f(5,\r(6)＋1)＝5(eq \r(6)＋1)－1，
eq \r(2)＋1＝eq \f(1,\r(2)－1)＝(eq \r(2)－1)－1；
又lg5(eq \r(6)＋1)＋lg2(eq \r(2)－1)＝a，
∴lg5(eq \r(6)－1)＋lg2(eq \r(2)＋1)＝lg5[5(eq \r(6)＋1)－1]＋lg2(eq \r(2)－1)－1＝1－lg5(eq \r(6)＋1)－lg2(eq \r(2)－1)＝1－a.
12．(多选)设a，b，c都是正数，且4a＝6b＝9c，那么( )
A．ab＋bc＝2ac B．ab＋bc＝ac
C.eq \f(2,c)＝eq \f(2,a)＋eq \f(1,b) D.eq \f(1,c)＝eq \f(2,b)－eq \f(1,a)
答案 AD
解析 由题意，设4a＝6b＝9c＝k(k>0)，
则a＝lg4k，b＝lg6k，c＝lg9k，
对于选项A，由ab＋bc＝2ac，可得eq \f(b,c)＋eq \f(b,a)＝2，
因为eq \f(b,c)＋eq \f(b,a)＝eq \f(lg6k,lg9k)＋eq \f(lg6k,lg4k)＝eq \f(lgk9,lgk6)＋eq \f(lgk4,lgk6)
＝lg69＋lg64＝lg636＝2，故A正确，B错误；
对于选项C，eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)＝eq \f(2,lg4k)＋eq \f(1,lg6k)
＝2lgk4＋lgk6＝lgk96，
eq \f(2,c)＝eq \f(2,lg9k)＝2lgk9＝lgk81，
故eq \f(2,c)≠eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)，即C错误；
对于选项D，eq \f(2,b)－eq \f(1,a)＝eq \f(2,lg6k)－eq \f(1,lg4k)
＝2lgk6－lgk4＝lgk9，eq \f(1,c)＝eq \f(1,lg9k)＝lgk9，
故eq \f(1,c)＝eq \f(2,b)－eq \f(1,a)，即D正确．
13．已知a>b>1，若lgab＋lgba＝eq \f(5,2)，ab＝ba，则a，b的值分别为( )
A．a＝5，b＝2 B．a＝4，b＝2
C．a＝8，b＝4 D．a＝2，b＝eq \r(2)
答案 B
解析 设t＝lgab，则lgba＝eq \f(1,t)，b＝at，
所以t＋eq \f(1,t)＝eq \f(5,2)，解得t＝2或t＝eq \f(1,2)，
因为ab＝ba，所以ab＝aat，即b＝at，
因为a>b>1，所以b＝eq \f(1,2)a，代入ab＝ba得：
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)))a⇒a＝4，
所以b＝2.
14．已知a>0，b>0，ab＝8，则lg2a·lg2(2b)的最大值是________．
答案 4
解析 因为a>0，b>0，ab＝8，
则lg2a·lg2(2b)＝(lg28－lg2b)·(1＋lg2b)
＝(3－lg2b)(1＋lg2b)＝3＋2lg2b－(lg2b)2
＝4－(1－lg2b)2≤4.
当且仅当b＝2时，函数取得最大值4.
15．设实数a，b，c满足a≥1，b≥1，c≥1，且abc＝10，alg a·blg b·clg c≥10，则a＋b＋c＝________.
答案 12
解析 因为a≥1，b≥1，c≥1，且abc＝10，
所以0≤lg a≤1,0≤lg b≤1,0≤lg c≤1，
所以(lg a)2≤lg a，(lg b)2≤lg b，(lg c)2≤lg c，
即(lg a)2＋(lg b)2＋(lg c)2≤lg a＋lg b＋lg c；
又alg a·blg b·clg c≥10，
所以lg(alg a·blg b·clg c)≥lg 10＝1，
即(lg a)2＋(lg b)2＋(lg c)2≥1＝lg(abc)＝lg a＋lg b＋lg c，
所以(lg a)2＝lg a，(lg b)2＝lg b，(lg c)2＝lg c，
则a＝10或1，b＝10或1，c＝10或1，
不妨令a＝10，则b＝c＝1，
因此a＋b＋c＝12.
16．(1)设正数a，b，c满足a2＋b2＝c2.
求证：lg2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(b＋c,a)))＋lg2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(a－c,b)))＝1；
(2)已知2y·lgy4－2y－1＝0，eq \r(lgx\r(5x))·lg5x＝－1，试问是否存在一个正数P，使得P＝eq \r(\f(1,x)－y).
(1)证明 由于a2＋b2＝c2，
所以lg2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(b＋c,a)))＋lg2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(a－c,b)))
＝lg2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(b＋c,a)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(a－c,b)))))
＝lg2eq \f(a＋b＋ca＋b－c,ab)
＝lg2eq \f(a＋b2－c2,ab)＝lg2eq \f(a2＋b2－c2＋2ab,ab)
＝lg22＝1.
(2)解 由2y·lgy4－2y－1＝0，
得2yeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lgy4－\f(1,2)))＝0，
∴lgy4＝eq \f(1,2)，即y＝16.
由eq \r(lgx\r(5x))·lg5x＝－1，
得eq \r(lgx\r(5x))＝－eq \f(1,lg5x)，
即eq \r(lgx\r(5x))＝－lgx5>0.
∴eq \f(1,2)(lgx5＋1)＝(lgx5)2，
整理得2(lgx5)2－lgx5－1＝0，
解得lgx5＝－eq \f(1,2)(lgx5＝1舍去)，∴eq \f(1,x)＝25.
从而P＝eq \r(\f(1,x)－y)＝eq \r(25－16)＝3，
即存在一个正数P＝3，使得P＝eq \r(\f(1,x)－y)成立．