高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换第1课时导学案及答案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换第1课时导学案及答案，共13页。学案主要包含了两角差的余弦公式的简单应用，给值求值，给值求角等内容，欢迎下载使用。

第1课时 两角差的余弦公式
学习目标 1.了解两角差的余弦公式的推导过程.2.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算．
知识点 两角差的余弦公式
思考 两角差的余弦公式有无巧记的方法呢？
答案 公式巧记为：两角差的余弦等于两角的同名三角函数值乘积的和，即余·余＋正·正．
1．cs(60°－30°)＝cs 60°－cs 30°.( × )
2．当α，β∈R时，cs(α－β)＝cs αcs β－sin αsin β.( × )
3．对于任意实数α，β，cs(α－β)＝cs α－cs β都不成立．( × )
4．cs 30°cs 120°＋sin 30°sin 120°＝0.( √ )
一、两角差的余弦公式的简单应用
例1 求下列各式的值：
(1)cs eq \f(13π,12)；
(2)cs eq \f(5π,12)cs eq \f(π,6)＋cs eq \f(π,12)sin eq \f(π,6)；
(3)eq \f(1,2)cs 105°＋eq \f(\r(3),2)sin 105°.
解 (1)cs eq \f(13π,12)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π＋\f(π,12)))＝－cs eq \f(π,12)
＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,12)－\f(2π,12)))＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－\f(π,6)))
＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,4)cs \f(π,6)＋sin \f(π,4)sin \f(π,6)))
＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)×\f(\r(3),2)＋\f(\r(2),2)×\f(1,2)))
＝－eq \f(\r(6)＋\r(2),4).
(2)原式＝cs eq \f(5π,12)cs eq \f(π,6)＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\f(5π,12)))sin eq \f(π,6)
＝cs eq \f(5π,12)cs eq \f(π,6)＋sin eq \f(5π,12)sin eq \f(π,6)
＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,12)－\f(π,6)))
＝cs eq \f(π,4)＝eq \f(\r(2),2).
(3)eq \f(1,2)cs 105°＋eq \f(\r(3),2)sin 105°
＝cs 60°cs 105°＋sin 60°sin 105°
＝cs(60°－105°)＝cs(－45°)＝eq \f(\r(2),2).
反思感悟 两角差的余弦公式常见题型及解法
(1)两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公式直接展开求解．
(2)含有常数的式子，先将系数转化为特殊角的三角函数值，再利用两角差的余弦公式求解．
(3)求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的差，然后利用两角差的余弦公式求解．
跟踪训练1 化简下列各式：
(1)cs(θ＋21°)cs(θ－24°)＋sin(θ＋21°)sin(θ－24°)；
(2)－sin 167°·sin 223°＋sin 257°·sin 313°；
(3)eq \r(3)sin eq \f(π,12)＋cs eq \f(π,12).
解 (1)原式＝cs[θ＋21°－(θ－24°)]
＝cs 45°＝eq \f(\r(2),2).
(2)原式＝－sin(180°－13°)sin(180°＋43°)＋sin(180°＋77°)·sin(360°－47°)
＝sin 13°sin 43°＋sin 77°sin 47°
＝sin 13°sin 43°＋cs 13°cs 43°
＝cs(13°－43°)＝cs(－30°)＝eq \f(\r(3),2).
(3)原式＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)sin \f(π,12)＋\f(1,2)cs \f(π,12)))
＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(π,3)sin \f(π,12)＋cs \f(π,3)cs \f(π,12)))
＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－\f(π,12)))＝2cseq \f(π,4)＝eq \r(2).
二、给值求值
例2 (1)已知cs α＝eq \f(3,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π))，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))＝ .
答案 eq \f(3－4\r(3),10)
解析 因为cs α＝eq \f(3,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π))，
所以sin α＝－eq \f(4,5)，
所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))＝cs αcs eq \f(π,3)＋sin αsin eq \f(π,3)
＝eq \f(3,5)×eq \f(1,2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))×eq \f(\r(3),2)
＝eq \f(3－4\r(3),10).
(2)已知α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，且sin α＝eq \f(4,5)，cs(α＋β)＝－eq \f(16,65)，求cs β的值．
解 因为α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
所以0<α＋β<π，
由cs(α＋β)＝－eq \f(16,65)，
得sin(α＋β)＝eq \f(63,65)，
又sin α＝eq \f(4,5)，
所以cs α＝eq \f(3,5)，
所以cs β＝cs[(α＋β)－α]
＝cs(α＋β)cs α＋sin(α＋β)sin α
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(16,65)))×eq \f(3,5)＋eq \f(63,65)×eq \f(4,5)＝eq \f(204,325).
(学生留)
反思感悟 给值求值的解题策略
(1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角．
(2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．常见角的变换有：
①α＝(α－β)＋β；
②α＝eq \f(α＋β,2)＋eq \f(α－β,2)；
③2α＝(α＋β)＋(α－β)；
④2β＝(α＋β)－(α－β)．
跟踪训练2 已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝－eq \f(1,3)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,4)，\f(7π,4)))，则cs α＝ .
答案 eq \f(4－\r(2),6)
解析 ∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,4)，\f(7π,4)))，∴α＋eq \f(π,4)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π))，
∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4))))＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))2)＝eq \f(2\r(2),3)，
∴cs α＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))－\f(π,4)))
＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))cs eq \f(π,4)＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))sin eq \f(π,4)
＝eq \f(2\r(2),3)×eq \f(\r(2),2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))×eq \f(\r(2),2)
＝eq \f(4－\r(2),6).
三、给值求角
例3 已知cs α＝eq \f(1,7)，cs(α－β)＝eq \f(13,14)，且0<β<α解 由cs α＝eq \f(1,7)，0<αsin α＝eq \r(1－cs2α)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,7)))2)＝eq \f(4\r(3),7).
由0<β<α又∵cs(α－β)＝eq \f(13,14)，
∴sin(α－β)＝eq \r(1－cs2α－β)
＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(13,14)))2)＝eq \f(3\r(3),14).
∵β＝α－(α－β)，
∴cs β＝cs[α－(α－β)]
＝cs αcs(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝eq \f(1,7)×eq \f(13,14)＋eq \f(4\r(3),7)×eq \f(3\r(3),14)＝eq \f(1,2).
∵0<β反思感悟 已知三角函数值求角的解题步骤
(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围．
(2)求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数．
(3)结合三角函数值及角的范围求角．
提醒：由三角函数值求角时，易忽视角的范围，而得到错误答案．
跟踪训练3 已知α，β均为锐角，且cs α＝eq \f(2\r(5),5)，cs β＝eq \f(\r(10),10)，求α－β的值．
解 ∵α，β均为锐角，
∴sin α＝eq \f(\r(5),5)，sin β＝eq \f(3\r(10),10).
∴cs(α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β
＝eq \f(2\r(5),5)×eq \f(\r(10),10)＋eq \f(\r(5),5)×eq \f(3\r(10),10)＝eq \f(\r(2),2).
又sin α∴－eq \f(π,2)<α－β<0.
故α－β＝－eq \f(π,4).
1．cs 20°等于( )
A．cs 30°cs 10°－sin 30°sin 10°
B．cs 30°cs 10°＋sin 30°sin 10°
C．sin 30°cs 10°－sin 10°cs 30°
D．sin 30°cs 10°＋sin 10°cs 30°
答案 B
解析 cs 20°＝cs(30°－10°)＝cs 30°cs 10°＋sin 30°·sin 10°.
2．cs(α－35°)cs(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)的值为( )
A．－eq \f(1,2) B.eq \f(1,2) C．－eq \f(\r(3),2) D.eq \f( \r(3),2)
答案 B
解析 原式＝cs[(α－35°)－(α＋25°)]＝cs 60°＝eq \f(1,2).
3．已知cs α＝eq \f(12,13)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))的值为( )
A.eq \f(5\r(2),13) B.eq \f(7\r(2),13) C.eq \f(17\r(2),26) D.eq \f(7\r(2),26)
答案 D
解析 因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，所以sin α＝－eq \f(5,13)，
所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝cs αcs eq \f(π,4)＋sin αsin eq \f(π,4)
＝eq \f(12,13)×eq \f(\r(2),2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,13)))×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(7\r(2),26).
4．已知锐角α，β满足cs α＝eq \f(3,5)，cs(α＋β)＝－eq \f(5,13)，则cs β的值为( )
A.eq \f(33,65) B．－eq \f(33,65) C.eq \f(54,65) D．－eq \f(54,65)
答案 A
解析 因为α，β为锐角，cs α＝eq \f(3,5)，cs(α＋β)＝－eq \f(5,13)，
所以sin α＝eq \f(4,5)，sin(α＋β)＝eq \f(12,13)，
所以cs β＝cs[(α＋β)－α]
＝cs(α＋β)·cs α＋sin(α＋β)·sin α
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,13)))×eq \f(3,5)＋eq \f(12,13)×eq \f(4,5)＝eq \f(33,65).
5．若cs(α－β)＝eq \f(\r(5),5)，cs 2α＝eq \f(\r(10),10)，且α，β均为锐角，α<β，则α＋β＝ .
答案 eq \f(3π,4)
解析 因为0<α所以－eq \f(π,2)<α－β<0.
又cs(α－β)＝eq \f(\r(5),5)，
所以sin(α－β)＝－eq \r(1－cs2α－β)＝－eq \f(2\r(5),5).
又因为0<2α<π，cs 2α＝eq \f(\r(10),10)，
所以sin 2α＝eq \r(1－cs22α)＝eq \f(3\r(10),10)，
所以cs(α＋β)＝cs[2α－(α－β)]
＝cs 2αcs(α－β)＋sin 2αsin(α－β)
＝eq \f(\r(10),10)×eq \f(\r(5),5)＋eq \f(3\r(10),10)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(5),5)))
＝－eq \f(\r(2),2).
又0<α＋β<π，故α＋β＝eq \f(3π,4).
1．知识清单：
(1)两角差的余弦公式的推导．
(2)给角求值，给值求值，给值求角．
2．方法归纳：构造法．
3．常见误区：求角时忽视角的范围．
1．下列各式化简错误的是( )
A．cs 80°cs 20°＋sin 80°sin 20°＝cs 60°
B．cs 15°＝cs 45°cs 30°＋sin 45°sin 30°
C．sin(α＋45°)sin α＋cs(α＋45°)cs α＝cs 45°
D．cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＝eq \f(1,2)cs α＋eq \f(\r(3),2)sin α
答案 D
解析 根据两角差的余弦公式知，A，B，C均正确，D选项错误．
2．已知sin α＝eq \f(3,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,4)＋α))等于( )
A.eq \f(4\r(2),5) B.eq \f(7\r(2),10) C．－eq \f(4\r(2),5) D．－eq \f(7\r(2),10)
答案 B
解析 由题意可知cs α＝eq \f(4,5)，
cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,4)＋α))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π－\f(π,4)＋α))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))
＝cs αcseq \f(π,4)＋sin αsin eq \f(π,4)
＝eq \f(4,5)×eq \f(\r(2),2)＋eq \f(3,5)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(7\r(2),10).
3．已知α为锐角，β为第三象限角，且cs α＝eq \f(12,13)，sin β＝－eq \f(3,5)，则cs(α－β)的值为( )
A．－eq \f(63,65) B．－eq \f(33,65) C.eq \f(63,65) D.eq \f(33,65)
答案 A
解析 ∵α为锐角，且cs α＝eq \f(12,13)，
∴sin α＝eq \r(1－cs2α)＝eq \f(5,13).
∵β为第三象限角，
且sin β＝－eq \f(3,5)，
∴cs β＝－eq \r(1－sin2β)＝－eq \f(4,5)，
∴cs(α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β
＝eq \f(12,13)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))＋eq \f(5,13)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))＝－eq \f(63,65).
4．(多选)若eq \f(1,2)sin x＋eq \f(\r(3),2)cs x＝cs(x＋φ)，则φ的一个可能值是( )
A．－eq \f(π,6) B．－eq \f(π,3) C.eq \f(11π,6) D.eq \f(π,3)
答案 AC
解析 对比公式特征知，cs φ＝eq \f(\r(3),2)，sin φ＝－eq \f(1,2)，
故φ＝－eq \f(π,6)，eq \f(11π,6)都合适．
5．若α∈(0，π)，且cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＝eq \f(1,3)，则cs α等于( )
A.eq \f(1－2\r(6),6) B.eq \f(－1－2\r(6),6)
C.eq \f(1＋2\r(6),6) D.eq \f(－1＋2\r(6),6)
答案 C
解析 因为α∈(0，π)且cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＝eq \f(1,3)，
所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＝eq \f(2\r(2),3).
cs α＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))－\f(π,3)))
＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)＋eq \f(2\r(2),3)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(1＋2\r(6),6).
6．已知sin α＝eq \f(1,3)，α是第二象限角，则tan α＝ ，cs(α－60°)＝ .
答案 －eq \f(\r(2),4) eq \f(－2\r(2)＋\r(3),6)
解析 因为sin α＝eq \f(1,3)，α是第二象限角，
所以cs α＝－eq \f(2\r(2),3)，
所以tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝－eq \f(\r(2),4)，
cs(α－60°)＝cs αcs 60°＋sin αsin 60°＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(2),3)))×eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(－2\r(2)＋\r(3),6).
7．化简：cs(α－55°)cs(α＋5°)＋sin(α－55°)sin(α＋5°)＝ .
答案 eq \f(1,2)
解析 原式＝cs[(α－55°)－(α＋5°)]＝cs(－60°)＝eq \f(1,2).
8．已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))＝eq \f(1,8)，则cs α＋eq \r(3)sin α的值为 ．
答案 eq \f(1,4)
解析 因为cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))＝cs eq \f(π,3)cs α＋sin eq \f(π,3)sin α＝eq \f(1,2)cs α＋eq \f(\r(3),2)sin α＝eq \f(1,8)，
所以cs α＋eq \r(3)sin α＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)cs α＋\f(\r(3),2)sin α))＝eq \f(1,4).
9．已知cs(α－β)＝－eq \f(12,13)，cs(α＋β)＝eq \f(12,13)，且α－β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，α＋β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π))，求角β的值．
解 由α－β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，且cs(α－β)＝－eq \f(12,13)，
得sin(α－β)＝eq \f(5,13).
由α＋β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π))，且cs(α＋β)＝eq \f(12,13)，
得sin(α＋β)＝－eq \f(5,13).
∴cs 2β＝cs[(α＋β)－(α－β)]
＝cs(α＋β)cs(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)
＝eq \f(12,13)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(12,13)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,13)))×eq \f(5,13)＝－1.
又∵α＋β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π))，α－β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，∴2β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,2))).
∴2β＝π，则β＝eq \f(π,2).
10．已知tan α＝4eq \r(3)，cs(α＋β)＝－eq \f(11,14)，α，β均为锐角，求β的值．
解 因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，tan α＝4eq \r(3)，
所以sin α＝4eq \r(3)cs α，①
sin2α＋cs2α＝1，②
由①②得sin α＝eq \f(4\r(3),7)，cs α＝eq \f(1,7).
因为α＋β∈(0，π)，cs(α＋β)＝－eq \f(11,14)，
所以sin(α＋β)＝eq \f(5\r(3),14)，所以cs β＝cs[(α＋β)－α]
＝cs(α＋β)cs α＋sin(α＋β)sin α
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(11,14)))×eq \f(1,7)＋eq \f(5\r(3),14)×eq \f(4\r(3),7)＝eq \f(1,2).
所以cs β＝eq \f(1,2).
又0<β11．已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))＝－eq \f(\r(3),3)，则cs x＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))的值是( )
A．－eq \f(2\r(3),3) B．±eq \f(2\r(3),3)
C．－1 D．±1
答案 C
解析 cs x＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))＝cs x＋eq \f(1,2)cs x＋eq \f(\r(3),2)sin x
＝eq \f(3,2)cs x＋eq \f(\r(3),2)sin x＝eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)cs x＋\f(1,2)sin x))
＝eq \r(3)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))＝－1.
12．已知sin α－sin β＝1－eq \f(\r(3),2)，cs α－cs β＝eq \f(1,2)，则cs(α－β)的值为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3),2) C.eq \f(\r(3),4) D．1
答案 B
解析 因为sin α－sin β＝1－eq \f(\r(3),2)，
所以sin2α－2sin αsin β＋sin2β＝eq \f(7,4)－eq \r(3).①
又因为cs α－cs β＝eq \f(1,2)，
所以cs2α－2cs αcs β＋cs2β＝eq \f(1,4).②
所以①＋②得2cs(α－β)＝eq \r(3)，
所以cs(α－β)＝eq \f(\r(3),2)，故选B.
13．已知函数f(x)＝cs 2x＋sin 2x，则f(x)的最小正周期为 ，值域为 ．
答案 π [－eq \r(2)，eq \r(2)]
解析 f(x)＝cs 2x＋sin 2x＝eq \r(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)cs 2x＋\f(\r(2),2)sin 2x))
＝eq \r(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs 2xcs \f(π,4)＋sin 2xsin \f(π,4)))
＝eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4))).
∴T＝eq \f(2π,ω)＝π，f(x)的值域为[－eq \r(2)，eq \r(2)]．
14．已知△ABC中，sin(A＋B)＝eq \f(4,5)，cs B＝－eq \f(2,3)，则sin B＝ ，cs A＝ .
答案 eq \f(\r(5),3) eq \f(6＋4\r(5),15)
解析 在△ABC中，
因为cs B＝－eq \f(2,3)<0，所以B为钝角，
则sin B＝eq \f(\r(5),3)，所以A＋B∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，
由sin(A＋B)＝eq \f(4,5)，得cs(A＋B)＝－eq \f(3,5)，
所以cs A＝cs [(A＋B)－B]
＝cs(A＋B)cs B＋sin(A＋B)sin B
＝－eq \f(3,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))＋eq \f(4,5)×eq \f(\r(5),3)＝eq \f(6＋4\r(5),15).
15．化简：eq \f(2cs 10°－sin 20°,cs 20°)＝ .
答案 eq \r(3)
解析 原式＝eq \f(2cs30°－20°－sin 20°,cs 20°)
＝eq \f(2cs 30°cs 20°＋2sin 30°sin 20°－sin 20°,cs 20°)
＝eq \f(\r(3)cs 20°＋sin 20°－sin 20°,cs 20°)
＝eq \f(\r(3)cs 20°,cs 20°)＝eq \r(3).
16．已知函数f(x)＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,6)))(其中ω>0，x∈R)的最小正周期为10π.
(1)求ω的值；
(2)设α，β∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5α＋\f(5π,3)))＝－eq \f(6,5)，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5β－\f(5π,6)))＝eq \f(16,17)，求cs(α－β)的值．
解 (1)由于函数f(x)的最小正周期为10π，
所以10π＝eq \f(2π,ω)，所以ω＝eq \f(1,5).
(2)因为f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5α＋\f(5π,3)))＝－eq \f(6,5)，
所以2cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,5)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5α＋\f(5π,3)))＋\f(π,6)))
＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)))＝－eq \f(6,5)，
所以sin α＝eq \f(3,5)，
又因为f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5β－\f(5π,6)))＝eq \f(16,17)，
所以2cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,5)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5β－\f(5π,6)))＋\f(π,6)))＝2cs β＝eq \f(16,17)，
所以cs β＝eq \f(8,17)，
因为α，β∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
所以cs α＝eq \f(4,5)，sin β＝eq \f(15,17)，
所以cs(α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β
＝eq \f(4,5)×eq \f(8,17)＋eq \f(3,5)×eq \f(15,17)＝eq \f(77,85).公式
cs(α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β
简记符号
C(α－β)
使用条件
α，β为任意角