高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换第3课时导学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换第3课时导学案，共12页。学案主要包含了化简求值，给值求值，两角和与差的正切公式的综合应用等内容，欢迎下载使用。


知识点 两角和与差的正切公式
1．tan 105°的值为________．
答案 －2－eq \r(3)
2．若tan α＝3，tan β＝eq \f(4,3)，则tan(α－β)＝________.
答案 eq \f(1,3)
3．若tan α＝2，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝________.
答案 －3
4.eq \f(tan 75°－tan 15°,1＋tan 75°·tan 15°)＝________.
答案 eq \r(3)
一、化简求值
例1 化简求值：
(1)eq \f(tan 74°＋tan 76°,1－tan 74°tan 76°)；
(2)eq \f(1＋tan 15°,\r(3)－tan 60°tan 15°)；
(3)tan 23°＋tan 37°＋eq \r(3)tan 23°tan 37°.
解 (1)原式＝tan(74°＋76°)＝tan 150°＝－eq \f(\r(3),3).
(2)原式＝eq \f(tan 45°＋tan 15°,\r(3)1－tan 45°tan 15°)
＝eq \f(1,\r(3))tan(45°＋15°)
＝eq \f(1,\r(3))tan 60°＝1.
(3)∵tan 60°＝eq \r(3)＝eq \f(tan 23°＋tan 37°,1－tan 23°tan 37°)，
∴tan 23°＋tan 37°＝eq \r(3)－eq \r(3)tan 23°tan 37°，
∴tan 23°＋tan 37°＋eq \r(3)tan 23°tan 37°＝eq \r(3).
(学生留)
反思感悟 利用公式T(α±β)化简求值的两点说明
(1)分析式子结构，正确选用公式形式：
T(α±β)是三角函数公式中应用灵活程度较高的公式之一，因此在应用时先从所化简(求值)式子的结构出发，确定是正用、逆用还是变形用，并注意整体代换．
(2)化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用：
当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值“1”，“eq \r(3)”时，要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换，如“1＝tan eq \f(π,4)”，“eq \r(3)＝tan eq \f(π,3)”，这样可以构造出利用公式的条件，从而可以进行化简和求值．
跟踪训练1 化简求值：
(1)eq \f(1－tan 15°,1＋tan 15°)；
(2)tan 10°·tan 20°＋eq \r(3)(tan 10°＋tan 20°)．
解 (1)eq \f(1－tan 15°,1＋tan 15°)＝eq \f(tan 45°－tan 15°,1＋tan 15°tan 45°)
＝tan(45°－15°)＝tan 30°＝eq \f(\r(3),3).
(2)∵tan(10°＋20°)＝eq \f(tan 10°＋tan 20°,1－tan 10°·tan 20°)＝eq \f(\r(3),3)，
∴tan 10°＋tan 20°＝eq \f(\r(3),3)(1－tan 10°·tan 20°)．
∴原式＝tan 10°·tan 20°＋eq \r(3)×eq \f(\r(3),3)(1－tan 10°·tan 20°)
＝tan 10°·tan 20°＋1－tan 10°tan 20°
＝1.
二、给值求值(角)
例2 (1)已知taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(5π,4)))＝eq \f(1,5)，则tan α＝________.
答案 eq \f(3,2)
解析 taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(5π,4)))＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝eq \f(1,5).
方法一 eq \f(tan α－1,1＋tan α)＝eq \f(1,5)，解得tan α＝eq \f(3,2).
方法二 tan α＝taneq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＋\f(π,4)))＝eq \f(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＋1,1－tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4))))＝eq \f(\f(1,5)＋1,1－\f(1,5))＝eq \f(3,2).
(2)已知tan(α－β)＝eq \f(1,2)，tan β＝－eq \f(1,7)，α，β∈(0，π)，求2α－β的值．
解 ∵tan β＝－eq \f(1,7)，tan(α－β)＝eq \f(1,2)，
∴tan α＝tan[(α－β)＋β]
＝eq \f(tanα－β＋tan β,1－tanα－βtan β)
＝eq \f(\f(1,2)－\f(1,7),1－\f(1,2)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,7))))＝eq \f(1,3)，
tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α]
＝eq \f(tanα－β＋tan α,1－tanα－βtan α)
＝eq \f(\f(1,2)＋\f(1,3),1－\f(1,3)×\f(1,2))＝1.
∵tan α＝eq \f(1,3)>0，tan β＝－eq \f(1,7)<0，
∴α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，∴α－β∈(－π，0)．
又∵tan(α－β)＝eq \f(1,2)>0，
∴α－β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－π，－\f(π,2)))，2α－β＝α＋(α－β)∈(－π，0)．
而tan(2α－β)＝1，∴2α－β＝－eq \f(3,4)π.
反思感悟 (1)关于求值问题，利用角的代换，将所求角转化为已知角的和与差，再根据公式求解．
(2)关于求角问题，先确定该角的某个三角函数值，再根据角的取值范围确定该角的大小．
跟踪训练2 已知tan α＝eq \f(1,3)，tan β＝－2，且0<α求：(1)tan(α－β)的值；
(2)角α＋β的值．
解 (1)tan(α－β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan α·tan β)
＝eq \f(\f(1,3)－－2,1＋\f(1,3)×－2)＝7.
(2)∵tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan α·tan β)＝eq \f(\f(1,3)＋－2,1－\f(1,3)×－2)
＝－1，
又0<α∴eq \f(π,2)<α＋β∴α＋β＝eq \f(3,4)π.
三、两角和与差的正切公式的综合应用
例3 △ABC的三个内角分别为A，B，C，若tan A，tan B是方程3x2－6x＋2＝0的两根，试判断△ABC的形状．
解 依题意eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(tan A＋tan B＝2>0，,tan A·tan B＝\f(2,3)>0，))
∴tan A>0，tan B>0，又A，B，C∈(0，π)，
∴A∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，B∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
又tan C＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)
＝－eq \f(tan A＋tan B,1－tan Atan B)＝－eq \f(2,1－\f(2,3))＝－6<0.
∴C∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，
∴△ABC为钝角三角形．
反思感悟 当化简的式子中出现“tan α±tan β”与“tan α·tan β”形式时，要把它们看成两个整体，这两个整体一是与两角和与差的正切公式有关，通过公式能相互转换，二是这两个整体还与根与系数的关系相似，在应用时要注意隐含的条件，能缩小角的范围．
跟踪训练3 如图，在矩形ABCD中，AB＝a，BC＝2a，在BC上取一点P，使得AB＋BP＝PD，求tan∠APD的值．
解 由AB＋BP＝PD，得a＋BP＝eq \r(a2＋2a－BP2)，
解得BP＝eq \f(2,3)a，
设∠APB＝α，∠DPC＝β，
则tan α＝eq \f(AB,BP)＝eq \f(3,2)，tan β＝eq \f(CD,PC)＝eq \f(3,4)，
∴tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝－18，
∠APD＋α＋β＝π，∴tan∠APD＝18.
1．tan 255°等于( )
A．－2－eq \r(3) B．－2＋eq \r(3)
C．2－eq \r(3) D．2＋eq \r(3)
答案 D
解析 tan 255°＝tan(180°＋75°)＝tan 75°
＝tan(45°＋30°)＝eq \f(tan 45°＋tan 30°,1－tan 45°tan 30°)
＝eq \f(1＋\f(\r(3),3),1－\f(\r(3),3))＝2＋eq \r(3).
2．若tan β＝3，tan(α－β)＝－2，则tan α等于( )
A.eq \f(1,7) B．－eq \f(1,7) C．1 D．－1
答案 A
解析 tan α＝tan[(α－β)＋β]＝eq \f(tanα－β＋tan β,1－tanα－βtan β)＝eq \f(－2＋3,1－－2×3)＝eq \f(1,7).
3．已知A，B都是锐角，且tan A＝eq \f(1,3)，sin B＝eq \f(\r(5),5)，则A＋B＝________.
答案 eq \f(π,4)
解析 ∵B为锐角，sin B＝eq \f(\r(5),5)，∴cs B＝eq \f(2\r(5),5)，∴tan B＝eq \f(1,2)，
∴tan(A＋B)＝eq \f(tan A＋tan B,1－tan Atan B)＝eq \f(\f(1,3)＋\f(1,2),1－\f(1,3)×\f(1,2))＝1.
又∵04．计算tan 72°－tan 42°－eq \f(\r(3),3)tan 72°tan 42°＝________.
答案 eq \f(\r(3),3)
解析 原式＝tan(72°－42°)(1＋tan 72°tan 42°)－eq \f(\r(3),3)tan 72°tan 42°
＝tan 30°(1＋tan 72°tan 42°)－tan 30°tan 72°tan 42°
＝tan 30°＝eq \f(\r(3),3).
5．计算eq \f(\r(3)－tan 15°,1＋\r(3)tan 15°)＝________.
答案 1
解析 eq \f(\r(3)－tan 15°,1＋\r(3)tan 15°)＝eq \f(tan 60°－tan 15°,1＋tan 60°tan 15°)＝tan 45°＝1.
1．知识清单：
(1)两角和与差的正切公式的推导．
(2)公式的正用、逆用、变形用．
2．方法归纳：转化法．
3．常见误区：公式中加减符号易记错．
1．与eq \f(1－tan 21°,1＋tan 21°)相等的是( )
A．tan 66° B．tan 24° C．tan 42° D．tan 21°
答案 B
解析 原式＝eq \f(tan 45°－tan 21°,1＋tan 45°tan 21°)＝tan(45°－21°)
＝tan 24°.
2．(多选)已知cs α＝－eq \f(4,5)，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))等于( )
A．－eq \f(1,7) B．－7 C.eq \f(1,7) D．7
答案 CD
解析 因为cs α＝－eq \f(4,5)，
所以sin α＝±eq \r(1－cs2α)＝±eq \f(3,5)，
所以tan α＝±eq \f(3,4).
当tan α＝eq \f(3,4)时，taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝eq \f(1－tan α,1＋tan α)＝eq \f(1,7)；
当tan α＝－eq \f(3,4)时，taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝eq \f(1－tan α,1＋tan α)＝7.
3．若tan 28°·tan 32°＝m，则tan 28°＋tan 32°等于( )
A.eq \r(3)m B.eq \r(3)(1－m) C.eq \r(3)(m－1) D.eq \r(3)(m＋1)
答案 B
解析 ∵28°＋32°＝60°，
∴tan 60°＝tan(28°＋32°)＝eq \f(tan 28°＋tan 32°,1－tan 28°tan 32°)＝eq \r(3)，
∴tan 28°＋tan 32°＝eq \r(3)(1－m)．
4．已知tan(α＋β)＝eq \f(2,5)，taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝eq \f(1,4)，那么taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))
等于( )
A.eq \f(13,18) B.eq \f(13,22) C.eq \f(3,22) D.eq \f(3,18)
答案 C
解析 taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝taneq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(α＋β－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))))＝eq \f(\f(2,5)－\f(1,4),1＋\f(2,5)×\f(1,4))＝eq \f(3,22).
5．若α＋β＝eq \f(3π,4)，则(1－tan α)·(1－tan β)等于( )
A.eq \r(3) B．2 C．1＋eq \r(2) D．不确定
答案 B
解析 ∵α＋β＝eq \f(3,4)π，
∴tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan α·tan β)＝－1，
∴tan α＋tan β＝tan α·tan β－1，
∴(1－tan α)(1－tan β)＝1－(tan α＋tan β)＋tan α·tan β＝1－(tan α·tan β－1)＋tan α·tan β＝2.
6．已知tan α＝2，tan β＝－3，其中0°<α<90°，90°<β<180°，则eq \f(1,tanα＋β)＝________，α－β＝________.
答案 －7 －45°
解析 eq \f(1,tanα＋β)＝eq \f(1－tan αtan β,tan α＋tan β)＝－7.
因为tan(α－β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β)＝－1，
又0°<α<90°，90°<β<180°，
所以－180°<α－β<0°，所以α－β＝－45°.
7.eq \f(sin 15°－cs 15°,sin 15°＋cs 15°)＝________.
答案 －eq \f(\r(3),3)
解析 eq \f(sin 15°－cs 15°,sin 15°＋cs 15°)＝eq \f(tan 15°－1,tan 15°＋1)
＝eq \f(tan 15°－tan 45°,1＋tan 15°tan 45°)＝tan(15°－45°)
＝tan(－30°)＝－eq \f(\r(3),3).
8．已知taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))＝eq \f(1,2)，taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(α,2)))＝－eq \f(1,3)，则taneq \f(α＋β,2)＝________.
答案 eq \f(1,7)
解析 taneq \f(α＋β,2)＝taneq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(α,2)))))
＝eq \f(\f(1,2)－\f(1,3),1－\f(1,2)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3))))＝eq \f(1,7).
9．已知taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝2，tan β＝eq \f(1,2).
(1)求tan α的值；
(2)求eq \f(sinα＋β－2sin αcs β,2sin αsin β＋csα＋β)的值．
解 (1)∵taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝2，
∴eq \f(tan \f(π,4)＋tan α,1－tan \f(π,4)tan α)＝2，
∴eq \f(1＋tan α,1－tan α)＝2，解得tan α＝eq \f(1,3).
(2)原式＝eq \f(sin αcs β＋cs αsin β－2sin αcs β,2sin αsin β＋cs αcs β－sin αsin β)
＝eq \f(cs αsin β－sin αcs β,cs αcs β＋sin αsin β)＝eq \f(sinβ－α,csβ－α)
＝tan(β－α)＝eq \f(tan β－tan α,1＋tan βtan α)
＝eq \f(\f(1,2)－\f(1,3),1＋\f(1,2)×\f(1,3))＝eq \f(1,7).
10．在△ABC中，tan B＋tan C＋eq \r(3)tan Btan C＝eq \r(3)，eq \r(3)tan A＋eq \r(3)tan B＋1＝tan Atan B，试判断△ABC的形状．
解 由tan B＋tan C＋eq \r(3)tan Btan C＝eq \r(3)得
tan(B＋C)＝eq \f(tan B＋tan C,1－tan Btan C)
＝eq \f(\r(3)－\r(3)tan Btan C,1－tan Btan C)＝eq \r(3)，
又0又由eq \r(3)tan A＋eq \r(3)tan B＋1＝tan Atan B得
tan(A＋B)＝eq \f(tan A＋tan B,1－tan A·tan B)
＝eq \f(\f(\r(3),3)tan A·tan B－1,1－tan A·tan B)＝－eq \f(\r(3),3).
又0由①②及A＋B＋C＝π，解得B＝eq \f(π,6)，C＝eq \f(π,6)，A＝eq \f(2π,3).
∴△ABC为等腰三角形．
11．在△ABC中，C＝120°，tan A＋tan B＝eq \f(2\r(3),3)，则tan Atan B的值为( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,2) D.eq \f(5,3)
答案 B
解析 因为C＝120°，所以A＋B＝60°，
所以tan(A＋B)＝eq \f(tan A＋tan B,1－tan A·tan B)＝eq \r(3)，
因为tan A＋tan B＝eq \f(2\r(3),3)，
所以tan A＋tan B＝eq \r(3)(1－tan A·tan B)＝eq \f(2\r(3),3)，
解得tan A·tan B＝eq \f(1,3).
12．(1＋tan 21°)(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)(1＋tan 24°)的值为( )
A．16 B．8 C．4 D．2
答案 C
解析 由于21°＋24°＝45°，23°＋22°＝45°，
利用两角和的正切公式及其变形可得
(1＋tan 21°)(1＋tan 24°)＝2，
(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)＝2，
故(1＋tan 21°)(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)(1＋tan 24°)
＝4.
13．已知eq \f(sin α＋cs α,sin α－cs α)＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________.
答案 eq \f(4,3)
解析 由条件知eq \f(sin α＋cs α,sin α－cs α)＝eq \f(tan α＋1,tan α－1)＝3，
则tan α＝2，因为tan(α－β)＝2，
所以tan(β－α)＝－2.
故tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]
＝eq \f(tanβ－α－tan α,1＋tanβ－αtan α)＝eq \f(－2－2,1＋－2×2)＝eq \f(4,3).
14．已知α，β，γ都是锐角，且tan α＝eq \f(1,2)，tan β＝eq \f(1,5)，tan γ＝eq \f(1,8)，则α＋β＋γ＝________.
答案 eq \f(π,4)
解析 ∵tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)
＝eq \f(\f(1,2)＋\f(1,5),1－\f(1,2)×\f(1,5))＝eq \f(7,9)，
tan(α＋β＋γ)＝eq \f(tanα＋β＋tan γ,1－tanα＋βtan γ)＝eq \f(\f(7,9)＋\f(1,8),1－\f(7,9)×\f(1,8))＝1，
∵α，β，γ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
∴α＋β∈(0，π)，
又tan(α＋β)＝eq \f(7,9)>0，
∴α＋β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
∴α＋β＋γ∈(0，π)，
∴α＋β＋γ＝eq \f(π,4).
15．已知tan α＋tan β＝2，tan(α＋β)＝4，则tan2α＋tan2β的值为________．
答案 3
解析 因为tan(α＋β)＝4，所以eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝4，
又tan α＋tan β＝2，所以tan αtan β＝eq \f(1,2)，
所以tan2α＋tan2β＝(tan α＋tan β)2－2tan αtan β
＝22－2×eq \f(1,2)＝3.
16．是否存在锐角α，β，使得(1)α＋2β＝eq \f(2π,3)，(2)tan eq \f(α,2)tan β＝2－eq \r(3)同时成立？若存在，求出锐角α，β的值；若不存在，说明理由．
解 假设存在锐角α，β使得(1)α＋2β＝eq \f(2π,3)，
(2)tan eq \f(α,2)tan β＝2－eq \r(3)同时成立．
由(1)得eq \f(α,2)＋β＝eq \f(π,3)，
所以taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)＋β))＝eq \f(tan\f(α,2)＋tan β,1－tan\f(α,2)tan β)＝eq \r(3).
又tan eq \f(α,2)tan β＝2－eq \r(3)，
所以tan eq \f(α,2)＋tan β＝3－eq \r(3)，
因此tan eq \f(α,2)，tan β可以看成方程x2－(3－eq \r(3))x＋2－eq \r(3)＝0的两个根，设方程的两根为x1，x2，
解得x1＝1，x2＝2－eq \r(3).
若tan eq \f(α,2)＝1，则α＝eq \f(π,2)，这与α为锐角矛盾，
所以tan eq \f(α,2)＝2－eq \r(3)，tan β＝1，
所以α＝eq \f(π,6)，β＝eq \f(π,4)，
所以满足条件的α，β存在，且α＝eq \f(π,6)，β＝eq \f(π,4).名称
公式
简记符号
条件
两角和的正切公式
tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)
T(α＋β)
α，β，α＋β≠kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)
两角差的正切公式
tan(α－β) ＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β)
T(α－β)
α，β，α－β≠kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)