高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用第1课时学案及答案

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用第1课时学案及答案，共14页。学案主要包含了空间中点的向量和直线的向量表示，空间中平面的向量表示，求平面的法向量等内容，欢迎下载使用。

第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示
学习目标 理解直线的方向向量与平面的法向量，会求一个平面的法向量．
导语
牌楼与牌坊类似，是中国传统建筑之一，最早见于周朝．在园林、寺观、宫苑、陵墓和街道常有建造．旧时牌楼主要有木、石、木石、砖木、琉璃几种，多设于要道口．牌楼中有一种有柱门形构筑物，一般较高大．如图，牌楼的柱子与地面是垂直的，如果牌楼上部的下边线与柱子垂直，我们就能知道下边线与地面平行．这是为什么呢？
一、空间中点的向量和直线的向量表示
问题1 在空间中，如何用向量表示空间中的一个点？
提示 在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量eq \(OP,\s\up6(→))来表示，我们把向量eq \(OP,\s\up6(→))称为点P的位置向量．
问题2 空间中给定一个点A和一个方向就能唯一确定一条直线l.如何用向量表示直线l?
提示 如图1，a是直线l的方向向量，在直线l上取eq \(AB,\s\up6(→))＝a，设P是直线l上的任意一点，由向量共线的条件可知，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得eq \(AP,\s\up6(→))＝ta，即eq \(AP,\s\up6(→))＝teq \(AB,\s\up6(→)).如图2，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋ta，①
或eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋teq \(AB,\s\up6(→)).②
①式和②式都称为空间直线的向量表示式．由此可知，空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定．
知识梳理
1．设A是直线上一点，a是直线l的方向向量，在直线l上取eq \(AB,\s\up6(→))＝a，设P是直线l上任意一点，
(1)点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使eq \(AP,\s\up6(→))＝ta，即eq \(AP,\s\up6(→))＝teq \(AB,\s\up6(→)).
(2)取定空间中的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t.使eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋ta.
(3)取定空间中的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋teq \(AB,\s\up6(→)).
2．空间任意直线都可以由直线上一点及直线的方向向量唯一确定．
注意点：
(1)空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备以下两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与l平行或重合．
(2)与直线l平行的任意非零向量a都是直线的方向向量，且直线l的方向向量有无数个．
例1 (1)已知直线l的一个方向向量m＝(2，－1,3)，且直线l过A(0，y,3)和B(－1,2，z)两点，则y－z等于( )
A．0 B．1 C.eq \f(3,2) D．3
答案 A
解析 ∵A(0，y,3)和B(－1,2，z)，
∴eq \(AB,\s\up6(→))＝(－1,2－y，z－3)，
∵直线l的一个方向向量为m＝(2，－1,3) ，
故设eq \(AB,\s\up6(→))＝km.
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1＝2k，,2－y＝－k，,z－3＝3k.))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝－\f(1,2)，,y＝\f(3,2)，,z＝\f(3,2).))
∴y－z＝0.
(2)在如图所示的坐标系中，ABCD－A1B1C1D1为正方体，棱长为1，则直线DD1的一个方向向量为________，直线BC1的一个方向向量为________．
答案 (0,0,1) (0,1,1)(答案不唯一)
解析 因为DD1∥AA1，eq \(AA1,\s\up6(→))＝(0,0,1)，
故直线DD1的一个方向向量为(0,0,1)；
因为BC1∥AD1，eq \(AD1,\s\up6(→))＝(0,1,1)，
故直线BC1的一个方向向量为(0,1,1)．
反思感悟 理解直线方向向量的概念
(1)直线上任意两个不同的点都可构成直线的方向向量．
(2)直线的方向向量不唯一．
跟踪训练1 (1)(多选)若M(1,0，－1)，N(2,1,2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是( )
A．(2,2,6) B．(1,1,3)
C．(3,1,1) D．(－3,0,1)
答案 AB
解析 ∵M，N在直线l上，∴eq \(MN,\s\up6(→))＝(1,1,3)，
故向量(1,1,3)，(2,2,6)都是直线l的一个方向向量．
(2)从点A(2，－1,7)沿向量a＝(8,9，－12)的方向取线段长|eq \(AB,\s\up6(→))|＝34，则B点的坐标为( )
A．(18,17，－17) B. (－14，－19,17)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6，\f(7,2)，1)) D. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，－\f(11,2)，13))
答案 A
解析 设B点坐标为 (x，y，z)，
则 eq \(AB,\s\up6(→))＝λa(λ>0)，
即 (x－2，y＋1，z－7)＝λ(8,9，－12)，
因为 |eq \(AB,\s\up6(→))|＝34，
即eq \r(64λ2＋81λ2＋144λ2)＝34，得λ＝2，
所以x＝18，y＝17，z＝－17.
二、空间中平面的向量表示
知识梳理
1．如图，设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，P为平面α内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得eq \(OP,\s\up6(→))＝xa＋yb.
2．如图，取定空间任意一点O，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→)).我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式．
3.由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．
如图，直线l⊥α，取直线l的方向向量a，我们称向量a为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P|a·eq \(AP,\s\up6(→))＝0}．
注意点：
(1)平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量．
(2)一个平面的法向量有无限多个，它们相互平行．
三、求平面的法向量
例2 如图所示，已知四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝eq \f(1,2)，试建立适当的坐标系．
(1)求平面ABCD的一个法向量；
(2)求平面SAB的一个法向量；
(3)求平面SCD的一个法向量．
解 以点A为原点，AD，AB，AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(0,1,0)，C(1,1,0)，Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0，0))，S(0,0,1)．
(1)∵SA⊥平面ABCD，
∴eq \(AS,\s\up6(→))＝(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量．
(2)∵AD⊥AB，AD⊥SA，AB∩SA＝A，AB，SA⊂平面ABS，
∴AD⊥平面SAB，
∴eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0，0))是平面SAB的一个法向量．
(3)在平面SCD中，eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1，0))，eq \(SC,\s\up6(→))＝(1,1，－1)．
设平面SCD的法向量是n＝(x，y，z)，
则n⊥eq \(DC,\s\up6(→))，n⊥eq \(SC,\s\up6(→))，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(DC,\s\up6(→))＝0，,n·\(SC,\s\up6(→))＝0，))
得方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋y＝0，,x＋y－z＝0，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－2y，,z＝－y，))
令y＝－1，得x＝2，z＝1，∴n＝(2，－1,1)．
∴n＝(2，－1,1)是平面SCD的一个法向量(答案不唯一)．
反思感悟 求平面法向量的方法与步骤
(1)求平面ABC的法向量时，要选取平面内两不共线向量，如eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(AB,\s\up6(→))；
(2)设平面的法向量为n＝(x，y，z)；
(3)联立方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(AC,\s\up6(→))＝0，,n·\(AB,\s\up6(→))＝0，))并求解；
(4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定一个坐标为常数(常数不能为0)便可得到平面的一个法向量．
跟踪训练2 如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，△PAB是边长为1的正三角形，ABCD是菱形，∠ABC＝60°，E是PC的中点，F是AB的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面DEF的一个法向量．
解 如图，连接PF，CF.
因为PA＝PB，F为AB的中点，
所以PF⊥AB，
又因为平面PAB⊥平面ABCD，
平面PAB∩平面ABCD＝AB，PF⊂平面PAB，
所以PF⊥平面ABCD.
因为AB＝BC，∠ABC＝60°，
所以△ABC是等边三角形，
所以CF⊥AB.
以F为坐标原点，BF，CF，PF所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系(如图所示)．
由题意得F(0,0,0)，Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，0，\f(\r(3),2)))，Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(\r(3),2)，0))，
Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(3),2)，0))，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(3),4)，\f(\r(3),4))).
所以eq \(FE,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(3),4)，\f(\r(3),4)))，eq \(FD,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(\r(3),2)，0)).
设平面DEF的一个法向量为m＝(x，y，z)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m·\(FE,\s\up6(→))＝0，,m·\(FD,\s\up6(→))＝0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),4)y＋\f(\r(3),4)z＝0，,－x＋\f(\r(3),2)y＝0.))
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(z＝－y，,x＝\f(\r(3),2)y，))
令y＝2，则x＝eq \r(3)，z＝－2.
所以平面DEF的一个法向量为m＝(eq \r(3)，2，－2)(答案不唯一)．
1．知识清单：
(1)空间点、直线、平面的向量表示．
(2)直线的方向向量．
(3)平面的法向量．
2．方法归纳：待定系数法．
3．常见误区：不理解直线的方向向量和平面法向量的作用和不唯一性．
1．若A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为( )
A．(1,2,3) B．(1,3,2)
C．(2,1,3) D．(3,2,1)
答案 A
解析 因为eq \(AB,\s\up6(→))＝(2,4,6)，所以(1,2,3)是直线l的一个方向向量．
2．(多选)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，以下向量可以作为平面ABC法向量的是( )
A.eq \(AB,\s\up6(→)) B.eq \(AA1,\s\up6(→))
C.eq \(B1B,\s\up6(—→)) D.eq \(A1C1,\s\up6(—→))
答案 BC
3．若n＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是( )
A．(0，－3,1) B．(2,0,1)
C．(－2，－3,1) D．(－2,3，－1)
答案 D
解析 求与n共线的一个向量．
易知(2，－3,1)＝－(－2,3，－1)．
4．已知平面α经过点O(0,0,0)，且e＝(1,2，－3)是α的一个法向量，M(x，y，z)是平面α内任意一点，则x，y，z满足的关系式是________．
答案 x＋2y－3z＝0
解析 由题意得e⊥eq \(OM,\s\up6(→))，
则eq \(OM,\s\up6(→))·e＝(x，y，z)·(1,2，－3)＝0，
故x＋2y－3z＝0.
课时对点练
1．已知向量a＝(2，－1,3)和b＝(－4,2x2,6x)都是直线l的方向向量，则x的值是( )
A．－1 B．1或－1
C．－3 D．1
答案 A
解析 由题意得a∥b，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x2＝2，,6x＝－6，))解得x＝－1.
2．在菱形ABCD中，若eq \(PA,\s\up6(→))是平面ABCD的法向量，则以下关系中可能不成立的是( )
A.eq \(PA,\s\up6(→))⊥eq \(AB,\s\up6(→)) B.eq \(PC,\s\up6(→))⊥eq \(BD,\s\up6(→))
C.eq \(PC,\s\up6(→))⊥eq \(AB,\s\up6(→)) D.eq \(PA,\s\up6(→))⊥eq \(CD,\s\up6(→))
答案 C
解析 ∵PA⊥平面ABCD，
∴BD⊥PA.
又AC⊥BD，
∴BD⊥平面PAC，
∴PC⊥BD.
故选项B成立，选项A和D显然成立．故选C.
3．已知平面α上的两个向量a＝(2,3,1)，b＝(5,6,4)，则平面α的一个法向量为( )
A．(1，－1,1) B．(2，－1,1)
C．(－2,1,1) D．(－1,1,1)
答案 C
解析 显然a与b不平行，
设平面α的法向量为n＝(x，y，z)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a·n＝0，,b·n＝0，))所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋3y＋z＝0，,5x＋6y＋4z＝0.))
令z＝1，得x＝－2，y＝1.
所以n＝(－2,1,1)．
4．已知向量eq \(AB,\s\up6(→))＝(2,4，x)，平面α的一个法向量n＝(1，y,3)，若AB⊂α，则( )
A．x＝6，y＝2 B．x＝2，y＝6
C．3x＋4y＋2＝0 D．4x＋3y＋2＝0
答案 C
解析 由题意可知eq \(AB,\s\up6(→))·n＝0，
可得3x＋4y＋2＝0.
5．已知A(1,1,0)，B(1,0,1)，C(0,1,1)，则平面ABC的一个单位法向量是( )
A．(1,1,1) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(1,3)，\f(1,3))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)，－\f(\r(3),3)))
答案 B
解析 设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，
又eq \(AB,\s\up6(→))＝(0，－1,1)，eq \(BC,\s\up6(→))＝(－1,1,0)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))·n＝－y＋z＝0，,\(BC,\s\up6(→))·n＝－x＋y＝0.))
∴x＝y＝z，
又∵单位向量的模为1，故只有B正确．
6．已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，它的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是( )
A．(1，－1,1) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，3，\f(3,2)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－3，\f(3,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，3，－\f(3,2)))
答案 B
解析 要判断点P是否在平面α内，只需判断向量eq \(PA,\s\up6(→))与平面α的法向量n是否垂直，
即eq \(PA,\s\up6(→))·n是否为0，因此，要对各个选项进行检验．
对于选项A，eq \(PA,\s\up6(→))＝(1,0,1)，
则eq \(PA,\s\up6(→))·n＝(1,0,1)·(3,1,2)＝5≠0，故排除A；
对于选项B，eq \(PA,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－4，\f(1,2)))，
则eq \(PA,\s\up6(→))·n＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－4，\f(1,2)))·(3,1,2)＝0，故B正确；
同理可排除C，D.
7．(多选)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1上不与C1，C重合的任一点，则能作为直线AA1的方向向量的是( )
A.eq \(AA1,\s\up6(→)) B.eq \(C1E,\s\up6(—→))
C.eq \(AB,\s\up6(→)) D.eq \(A1A,\s\up6(—→))
答案 ABD
解析 由定义知，一个向量对应的有向线段所在的直线与直线AA1平行或重合，则这个向量就称为直线AA1的一个方向向量．
8.在如图所示的坐标系中，ABCD－A1B1C1D1表示棱长为1的正方体，给出下列结论：
①直线CC1的一个方向向量为(0,0,1)；②直线BC1的一个方向向量为(0,1,1)；③平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0)；④平面B1CD的一个法向量为(1,1,1)．
其中正确的是________．(填序号)
答案 ①②③
解析 eq \(CC1,\s\up6(→))＝eq \(AA1,\s\up6(→))＝(0,0,1)，故①正确；eq \(BC1,\s\up6(→))＝eq \(AD1,\s\up6(→))＝(0,1,1)，故②正确；直线AD⊥平面ABB1A1，eq \(AD,\s\up6(→))＝(0,1,0)，故③正确；向量eq \(AC1,\s\up6(→))的坐标为(1,1,1)，与平面B1CD不垂直，∴④错．
9.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝1，E是PC的中点，求平面EDB的一个法向量．
解 如图所示建立空间直角坐标系．
依题意可得D(0,0,0)，P(0,0,1)，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)，\f(1,2)))，B(1,1,0)，
于是eq \(DE,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)，\f(1,2)))，eq \(DB,\s\up6(→))＝(1,1,0)．
设平面EDB的法向量为n＝(x，y，z)，
则n⊥eq \(DE,\s\up6(→))，n⊥eq \(DB,\s\up6(→))，
于是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(DE,\s\up6(→))＝\f(1,2)y＋\f(1,2)z＝0，,n·\(DB,\s\up6(→))＝x＋y＝0，))
取x＝1，则y＝－1，z＝1，
故平面EDB的一个法向量为n＝(1，－1,1)．
10.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD＝2，PD⊥底面ABCD，且PD＝AD，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面PAB的一个法向量．
解 因为∠DAB＝60°，AB＝2AD，由余弦定理得BD＝eq \r(3)AD，从而BD2＋AD2＝AB2，故BD⊥AD，以D为坐标原点，以射线DA，DB，DP为x，y，z轴的正半轴建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B(0，eq \r(3)，0)，P(0,0,1)，eq \(AB,\s\up6(→))＝(－1，eq \r(3)，0)，eq \(PB,\s\up6(→))＝(0，eq \r(3)，－1)．
设平面PAB的一个法向量为n＝(x，y，z)．
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(AB,\s\up6(→))＝0，,n·\(PB,\s\up6(→))＝0，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x＋\r(3)y＝0，,\r(3)y－z＝0，))
因此可取n＝(eq \r(3)，1，eq \r(3))．
所以平面PAB的一个法向量可以为(eq \r(3)，1，eq \r(3))(答案不唯一)．
11．(多选)已知直线l1的方向向量a＝(2,4，x)，直线l2的方向向量b＝(2，y,2)，若|a|＝6，且a⊥b，则x＋y的值是( )
A．1 B．－1 C．3 D．－3
答案 AD
解析 因为|a|＝eq \r(22＋42＋x2)＝6，
所以x＝±4.
因为a⊥b，
所以a·b＝2×2＋4y＋2x＝0，
即y＝－1－eq \f(1,2)x，
所以当x＝4时，y＝－3；
当x＝－4时，y＝1.
所以x＋y＝1或x＋y＝－3.
12.在三棱锥P－ABC中，CP，CA，CB两两垂直，AC＝CB＝1，PC＝2，如图，建立空间直角坐标系，则下列向量是平面PAB的法向量的是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，1，\f(1,2)))
B．(1，eq \r(2)，1)
C．(1,1,1)
D．(2，－2,1)
答案 A
解析 因为eq \(PA,\s\up6(→))＝(1,0，－2)，eq \(AB,\s\up6(→))＝(－1,1,0)，
设平面PAB的一个法向量为n＝(x，y,1)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(PA,\s\up6(→))＝0，,n·\(AB,\s\up6(→))＝0，))则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2＝0，,－x＋y＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝2，))
所以n＝(2,2,1)．
又eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，1，\f(1,2)))＝eq \f(1,2)n，
因此，平面PAB的一个法向量为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，1，\f(1,2))).
13．已知直线l过点P(1,0，－1)且平行于向量a＝(2,1,1)，平面α过直线l与点M(1,2,3)，则平面α的法向量不可能是( )
A．(1，－4,2) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，－1，\f(1,2)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，1，－\f(1,2))) D．(0，－1,1)
答案 D
解析 因为eq \(PM,\s\up6(→))＝(0,2,4)，直线l平行于向量a，若n是平面α的一个法向量，则必须满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·a＝0，,n·\(PM,\s\up6(→))＝0，))把选项代入验证，只有选项D不满足，故选D.
14．若Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，2，\f(19,8)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－1，\f(5,8)))，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，1，\f(5,8)))是平面α内三点，设平面α的法向量为a＝(x，y，z)，则x∶y∶z＝________.
答案 2∶3∶(－4)
解析 由已知得，eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－3，－\f(7,4)))，
eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，－1，－\f(7,4)))，
∵a是平面α的一个法向量，
∴a·eq \(AB,\s\up6(→))＝0，a·eq \(AC,\s\up6(→))＝0，
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－3y－\f(7,4)z＝0，,－2x－y－\f(7,4)z＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(2,3)y，,z＝－\f(4,3)y，))
∴x∶y∶z＝eq \f(2,3)y∶y∶eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)y))＝2∶3∶(－4)．
15．(多选)已知平面α内两向量a＝(1,1,1)，b＝(0,2，－1)，且c＝ma＋nb＋(4，－4,1)，若c为平面α的一个法向量，则( )
A．m＝－1 B．m＝1
C．n＝2 D．n＝－2
答案 AC
解析 c＝ma＋nb＋(4，－4,1)＝(m，m，m)＋(0,2n，－n)＋(4，－4,1)＝(m＋4，m＋2n－4，m－n＋1)，由c为平面α的一个法向量，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(c·a＝0，,c·b＝0，))
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＋4＋m＋2n－4＋m－n＋1＝0，,2m＋2n－4－m－n＋1＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝－1，,n＝2.))
16．已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果eq \(AB,\s\up6(→))＝(2，－1，－4)，eq \(AD,\s\up6(→))＝(4,2,0)，eq \(AP,\s\up6(→))＝(－1,2，－1)．
(1)求证：eq \(AP,\s\up6(→))是平面ABCD的法向量；
(2)求平行四边形ABCD的面积．
(1)证明 eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝(－1,2，－1)·(2，－1，－4)＝0，
eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝(－1,2，－1)·(4,2,0)＝0，
所以AP⊥AB，AP⊥AD.
又AB∩AD＝A，所以AP⊥平面ABCD.
所以eq \(AP,\s\up6(→))是平面ABCD的法向量．
(2)解 因为|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(22＋－12＋－42)＝eq \r(21)，
|eq \(AD,\s\up6(→))|＝eq \r(42＋22＋02)＝2eq \r(5)，
eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝(2，－1，－4)·(4,2,0)＝6，
所以cs〈eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))〉＝eq \f(6,\r(21)×2\r(5))＝eq \r(\f(3,35))，
故sin〈eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))〉＝eq \r(\f(32,35))，
S▱ABCD＝|eq \(AB,\s\up6(→))|·|eq \(AD,\s\up6(→))|sin〈eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))〉＝8eq \r(6).