人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.3 直线的交点坐标与距离公式学案

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.3 直线的交点坐标与距离公式学案，共11页。学案主要包含了两条平行直线间的距离，由平行直线间的距离求参数，平行直线间的距离的最值问题等内容，欢迎下载使用。
导语
前面我们已经得到了两点间的距离公式、点到直线的距离公式，关于平面上的距离问题，两条平行直线间的距离也是值得研究的．
一、两条平行直线间的距离
问题1 已知两条平行直线l1，l2的方程，如何求l1与l2间的距离？
提示 根据两条平行直线间距离的含义，在直线l1上取任一点P(x0，y0)，点P(x0，y0)到直线l2的距离就是直线l1与直线l2间的距离，这样求两条平行直线间的距离就转化为求点到直线的距离．
问题2 怎样求两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离？
提示 在直线Ax＋By＋C1＝0上任取一点P(x0，y0)，点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C2＝0的距离，就是这两条平行直线间的距离即d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C2|,\r(A2＋B2))，
因为点P(x0，y0)在直线Ax＋By＋C1＝0上，
所以Ax0＋By0＋C1＝0，
即Ax0＋By0＝－C1，
因此d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C2|,\r(A2＋B2))＝eq \f(|－C1＋C2|,\r(A2＋B2))＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).
知识梳理
1．两条平行直线间的距离：指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长．
2．公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不同时为0，C1≠C2)之间的距离d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).
注意点：
(1)两平行直线间的距离可以转化为点到直线的距离．
(2)运用两平行直线间的距离公式时，必须保证两直线方程中x，y的系数分别对应相同．
例1 (1)(教材P78例7改编)求两平行直线l1：3x＋5y＋1＝0和l2：6x＋10y＋5＝0间的距离．
解 由题意，将l2的方程化为3x＋5y＋eq \f(5,2)＝0，
所以d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(1－\f(5,2))),\r(32＋52))＝eq \f(\f(3,2),\r(34))＝eq \f(3\r(34),68).
(2)若倾斜角为45°的直线m被直线l1：x＋y－1＝0与l2：x＋y－3＝0所截得的线段为AB，则AB的长为( )
A．1 B.eq \r(2) C.eq \r(3) D．2
答案 B
解析 由题意，可得直线m与直线l1，l2垂直，则由两平行线间的距离公式，
得|AB|＝eq \f(|－1＋3|,\r(12＋12))＝eq \r(2).
反思感悟 求两条平行直线间距离的两种方法
(1)转化法：将两条平行直线间的距离转化为一条直线上一点到另一条直线的距离，即化线线距为点线距来求．
(2)公式法：设直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，则两条平行直线间的距离d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).
跟踪训练1 已知直线5x＋12y－3＝0与直线10x＋my＋20＝0平行，则它们之间的距离是( )
A．1 B．2 C.eq \f(1,2) D．4
答案 A
解析 由两条直线平行可得eq \f(5,10)＝eq \f(12,m)，解得m＝24.
则直线10x＋24y＋20＝0，即5x＋12y＋10＝0，
由两条平行直线间的距离公式得d＝eq \f(|－3－10|,\r(52＋122))＝1.
二、由平行直线间的距离求参数
例2 已知直线l与直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距离相等，则l的方程是________．
答案 2x－y＋1＝0
解析 方法一 由题意可设l的方程为2x－y＋c＝0，
于是有eq \f(|c－3|,\r(22＋－12))＝eq \f(|c－－1|,\r(22＋－12))，
即|c－3|＝|c＋1|，解得c＝1，
则直线l的方程为2x－y＋1＝0.
方法二 由题意知l必介于l1与l2中间，
故设l的方程为2x－y＋c＝0，
则c＝eq \f(3＋－1,2)＝1.
则直线l的方程为2x－y＋1＝0.
反思感悟 由两条平行直线间的距离求参数问题，转化为两平行直线间的距离问题．
跟踪训练2 (多选)若直线x－2y－1＝0与直线x－2y－c＝0的距离为2eq \r(5)，则实数c的值为( )
A．9 B．－9 C．11 D．－11
答案 BC
解析 ∵直线x－2y－1＝0与直线x－2y－c＝0的距离为2eq \r(5)，
∴eq \f(|－1＋c|,\r(5))＝2eq \r(5)，
解得c＝11或c＝－9.
三、平行直线间的距离的最值问题
例3 两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(－3，－1)，并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.求：
(1)d的变化范围；
(2)当d取最大值时，两条直线的方程．
解 (1)如图，显然有00)在x轴、y轴上的截距相等，则直线l1与直线l2：x＋y－1＝0间的距离为( )
A.eq \f(\r(2),2) B.eq \r(2)
C.eq \f(\r(2),2)或eq \r(2) D．0或eq \r(2)
答案 B
解析 ∵直线l1：mx＋2y－4－m＝0(m>0)在x轴、y轴上的截距相等，
∴eq \f(m＋4,m)＝eq \f(m＋4,2)，∴m＝2，
∴直线l1：2x＋2y－4－2＝0，即x＋y－3＝0，
则直线l1与直线l2：x＋y－1＝0间的距离为eq \f(|－1＋3|,\r(2))＝eq \r(2).
12．(多选)两条平行直线l1，l2分别过点P(－1,3)，Q(2，－1)，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间的距离可能取值为 ( )
A．1 B．3 C．5 D．7
答案 ABC
解析 当两直线l1，l2与直线PQ垂直时，两平行直线l1，l2间的最大距离为|PQ|＝eq \r(－1－22＋[3－－1]2)＝5，所以l1，l2之间距离的取值范围是(0,5]．
13．直线l1，l2分别过点M(1,4)，N(－3,1)，它们分别绕点M和N旋转，但必须保持平行，那么它们之间的距离d的最大值是( )
A．5 B．4 C.eq \r(13) D．3
答案 A
解析 根据题意画出图象，如图所示，
根据图象可得当l1∥l2，且l1⊥MN，l2⊥MN时，l1与l2之间的距离为|MN|；
当l1∥l2，但是l1与MN不垂直，l2与MN不垂直时，过M点向l2引垂线，垂足为P，则l1与l2之间的距离为|MP|；
因为|MN|>|MP|，所以dmax＝|MN|＝eq \r([1－－3]2＋4－12)＝5.
14．若某直线被两平行直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2eq \r(2)，则该直线的倾斜角大小为________．
答案 15°或75°
解析 由两平行直线的距离公式，可得直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0的距离为d＝eq \f(|3－1|,\r(2))＝eq \r(2)，又直线被两平行直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2eq \r(2)，即该直线与直线l1所成角为30°，又直线l1的倾斜角为45°，则该直线的倾斜角大小为15°或75°.
15.如图，已知直线l1：x＋y－1＝0，现将直线l1向上平移到直线l2的位置，若l2，l1和坐标轴围成的梯形的面积为4，则l2的方程为_______________．
答案 x＋y－3＝0
解析 设l2的方程为y＝－x＋b(b>1)，
则图中A(1,0)，D(0,1)，B(b,0)，C(0，b)．
所以AD＝eq \r(2)，BC＝eq \r(2)b.
梯形的高h就是两平行直线l1与l2的距离，
故h＝eq \f(|b－1|,\r(2))＝eq \f(b－1,\r(2))(b>1)，
由梯形面积公式得eq \f(\r(2)＋\r(2)b,2)×eq \f(b－1,\r(2))＝4，
所以b2＝9，b＝±3.
又b>1，所以b＝3.
所以所求直线l2的方程是x＋y－3＝0.
16．已知三条直线l1：2x－y＋a＝0(a>0)，直线l2：4x－2y－1＝0和直线l3：x＋y－1＝0，且l1和l2的距离是eq \f(7\r(5),10).
(1)求a的值；
(2)能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件：①P是第一象限的点；②P点到l1的距离是P点到l2的距离的eq \f(1,2)；③P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是eq \r(2)∶eq \r(5)？若能，求出P点坐标；若不能，请说明理由．
解 (1)l2的方程即为2x－y－eq \f(1,2)＝0，
∴l1和l2的距离d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2))))),\r(22＋－12))＝eq \f(7\r(5),10)，
∴eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,2)))＝eq \f(7,2).
∵a>0，∴a＝3.
(2)设点P(x0，y0)，若P点满足条件②，则P点在与l1和l2平行的直线l′：2x－y＋c＝0上，
且eq \f(|c－3|,\r(5))＝eq \f(1,2)×eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(c＋\f(1,2))),\r(5))，
即c＝eq \f(13,2)或c＝eq \f(11,6).
∴2x0－y0＋eq \f(13,2)＝0或2x0－y0＋eq \f(11,6)＝0.
若点P满足条件③，由点到直线的距离公式，得
eq \f(|2x0－y0＋3|,\r(5))＝eq \f(\r(2),\r(5))·eq \f(|x0＋y0－1|,\r(2))，
∴x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0.
∵点P在第一象限，
∴3x0＋2＝0不符合题意．
联立方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x0－y0＋\f(13,2)＝0，,x0－2y0＋4＝0，))
解得x0＝－3，y0＝eq \f(1,2)，应舍去．
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x0－y0＋\f(11,6)＝0，,x0－2y0＋4＝0，))
解得x0＝eq \f(1,9)，y0＝eq \f(37,18).
所以Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,9)，\f(37,18)))即为同时满足三个条件的点．