数学选择性必修 第一册2.1 直线的倾斜角与斜率学案及答案

这是一份数学选择性必修 第一册2.1 直线的倾斜角与斜率学案及答案，共12页。学案主要包含了直线的倾斜角，直线的斜率，倾斜角和斜率的应用等内容，欢迎下载使用。

2．1.1 倾斜角与斜率
学习目标 1.了解直线的斜率和倾斜角的概念.2.理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性.3.了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率．
导语
交通工程上一般用“坡度”来描述一段道路对于水平方向的倾斜程度，如图，一辆汽车沿某条道路从A点前进到B点，在水平方向前进的距离为AD，竖直方向上升的高度为DB(如果是下降，则DB的值为负实数)，则坡度k＝eq \f(上升高度,水平距离)＝eq \f(DB,AD).若k>0，则表示上坡，若k<0，则表示下坡，为了实际应用与安全，在道路铺设时常要规划坡度的大小．那么“坡度”是如何来刻画道路的倾斜程度的呢？
一、直线的倾斜角
问题1 在平面中，怎样才能确定一条直线？
提示 两点确定一条直线，一点和一个方向也可以确定一条直线．
问题2 在平面直角坐标系中，规定水平直线的方向向右，其他直线向上的方向为这条直线的方向，图中过点P的直线有什么区别？
提示 直线的方向不同，相对于x轴的倾斜程度不同．
知识梳理
当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.
注意点：
(1)从运动变化的观点来看，当直线l与x轴相交时，直线l的倾斜角是由x轴绕直线l与x轴的交点按逆时针方向旋转到与直线l重合时所得到的最小正角．
(2)倾斜角从“形”的方面直观地体现了直线对x轴正向的倾斜程度．
(3)直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.
例1 (1)(多选)下列命题中，正确的是( )
A．任意一条直线都有唯一的倾斜角
B．一条直线的倾斜角可以为－30°
C．倾斜角为0°的直线有无数条
D．若直线的倾斜角为α，则sin α∈(0,1)
答案 AC
解析 任意一条直线都有唯一的倾斜角，倾斜角不可能为负，倾斜角为0°的直线有无数条，它们都垂直于y轴，因此A正确，B错误，C正确．
D中，当α＝0°时，sin α＝0；当α＝90°时，sin α＝1，故D错误．
(2)(多选)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角可能为( )
A．α＋45° B．α－135°
C．135°－α D．α－45°
答案 AB
解析 根据题意，画出图形，如图所示．
通过图象可知，
当0°≤α<135°，l1的倾斜角为α＋45°；
当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.
反思感悟 直线倾斜角的概念和范围
(1)求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论．
(2)注意倾斜角的范围．
跟踪训练1 (1)已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为 ．
答案 60°或120°
解析 有两种情况：①如图(1)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°.
②如图(2)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°.
(2)已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向所成的角为120°，如图，则直线l2的倾斜角为 ．
答案 135°
解析 设直线l2的倾斜角为α2，l1和l2向上的方向所成的角为120°，
所以∠BAC＝120°，所以α2＝120°＋α1＝135°.
二、直线的斜率
问题3 在平面直角坐标系中，设直线l的倾斜角为α.
(1)已知直线l经过O(0,0)，P(eq \r(3)，1)，α与O，P的坐标有什么关系？
(2)类似地，如果直线l经过P1(－1,1)，P2(eq \r(2)，0)，α与P1，P2的坐标有什么关系？
(3)一般地，如果直线l经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，x1≠x2，那么α与P1，P2的坐标有什么关系？
提示 (1)tan α＝eq \f(1,\r(3))＝eq \f(\r(3),3).
(2)tan α＝eq \f(1,－1－\r(2))＝1－eq \r(2).
(3)tan α＝eq \f(y2－y1,x2－x1).
知识梳理
1．把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α.
2．直线的方向向量与斜率的关系：若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k＝eq \f(y,x).
注意点：
(1)当x1＝x2时，直线的斜率不存在，倾斜角为90°.
(2)斜率公式中k的值与P1，P2两点在该直线上的位置无关．
(3)斜率公式中两纵坐标和两横坐标在公式中的次序可以同时调换．
(4)若直线与x轴平行或重合，则k＝0.
例2 (1)经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角．
①A(2,3)，B(4,5)；
②C(－2,3)，D(2，－1)；
③P(－3,1)，Q(－3,10)．
解 ①存在．直线AB的斜率kAB＝eq \f(5－3,4－2)＝1，
则直线AB的倾斜角α满足tan α＝1，
又0°≤α<180°，
所以倾斜角α＝45°.
②存在．直线CD的斜率kCD＝eq \f(－1－3,2－－2)＝－1，
则直线CD的倾斜角α满足tan α＝－1，
又0°≤α<180°，
所以倾斜角α＝135°.
③不存在．因为xP＝xQ＝－3，
所以直线PQ的斜率不存在，倾斜角α＝90°.
(2)求经过两点A(a,2)，B(3,6)的直线的斜率．
解 当a＝3时，斜率不存在；
当a≠3时，直线的斜率k＝eq \f(4,3－a).
反思感悟 求直线的斜率的两种方法
(1)利用定义：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则k＝tan α.
(2)利用斜率公式：k＝eq \f(y2－y1,x2－x1)(x1≠x2)．
跟踪训练2 (1)若直线的倾斜角为120°，则直线的斜率为 ．
答案 －eq \r(3)
(2)若过点P(－2，m)，Q(m,4)的直线的斜率为1，则m的值为 ．
答案 1
解析 由斜率公式k＝eq \f(4－m,m＋2)＝1，得m＝1.
(3)已知直线l的方向向量的坐标为(1，eq \r(3))，则直线l的倾斜角为 ．
答案 eq \f(π,3)
解析 设直线l的斜率为k，
则k＝eq \r(3)，所以直线的倾斜率为eq \f(π,3).
三、倾斜角和斜率的应用
问题4 当直线的倾斜角由0°逐渐增大到180°，其斜率如何变化？为什么？
提示 当倾斜角为锐角时，斜率为正，而且斜率随着倾斜角的增大而增大；当倾斜角为钝角时，斜率为负，而且斜率随着倾斜角的增大而增大．
知识梳理
设直线的倾斜角为α，斜率为k.
例3 已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点．
(1)求直线l的斜率k的取值范围；
(2)求直线l的倾斜角α的取值范围．
解 如图，由题意可知kPA＝eq \f(4－0,－3－1)＝－1，kPB＝eq \f(2－0,3－1)＝1，
(1)要使l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．
(2)由题意可知直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，
所以α的取值范围是45°≤α≤135°.
反思感悟 倾斜角和斜率的应用
(1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系．
(2)涉及直线与线段有交点问题常通过数形结合利用公式求解．
跟踪训练3 已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2)．
(1)求直线AB和AC的斜率；
(2)若点D在线段BC(包括端点)上移动时，求直线AD的斜率的变化范围．
解 (1)由斜率公式可得直线AB的斜率kAB＝eq \f(2－3,－4－3)＝eq \f(1,7).直线AC的斜率kAC＝eq \f(－2－3,0－3)＝eq \f(5,3).故直线AB的斜率为eq \f(1,7)，直线AC的斜率为eq \f(5,3).
(2)如图所示，当D由B运动到C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，所以直线AD的斜率的变化范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,7)，\f(5,3))).
1．知识清单：
(1)直线的倾斜角及其范围．
(2)直线斜率的定义和斜率公式．
2．方法归纳：数形结合思想．
3．常见误区：忽视倾斜角范围，图形理解不清．
1．(多选)下列说法正确的是( )
A．若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°
B．若k是直线的斜率，则k∈R
C．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率
D．任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角
答案 ABC
2．若经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角为45°，则m等于( )
A．2 B．1 C．－1 D．－2
答案 A
解析 由题意知，tan 45°＝eq \f(2－3,1－m)，得m＝2.
3．已知经过点P(3，m)和点Q(m，－2)的直线的斜率为2，则m的值为( )
A．－1 B．1 C．2 D.eq \f(4,3)
答案 D
解析 由eq \f(m－－2,3－m)＝2，得m＝eq \f(4,3).
4．经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是 ．(其中m≥1)
答案 0°<α≤90°
解析 当m＝1时，倾斜角α＝90°；当m>1时，tan α＝eq \f(3－2,m－1)>0，∴0°<α<90°.故0°<α≤90°.
课时对点练
1．下面选项中，两点确定的直线的斜率不存在的是( )
A．(4,2)与(－4,1) B．(0,3)与(3,0)
C．(3，－1)与(2，－1) D．(－2,2)与(－2,5)
答案 D
解析 D项，因为x1＝x2＝－2，所以直线垂直于x轴，倾斜角为90°，斜率不存在．
2．(多选)已知直线斜率的绝对值为eq \r(3)，则直线的倾斜角可以为( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
答案 BC
解析 由题意得直线的斜率为eq \r(3)或－eq \r(3)，故直线的倾斜角为60°或120°.
3．已知点A(eq \r(3)，1)，B(3eq \r(3)，3)，则直线AB的倾斜角是( )
A．60° B．30°
C．120° D．150°
答案 B
解析 kAB＝eq \f(3－1,3\r(3)－\r(3))＝eq \f(\r(3),3)，
∴tan θ＝eq \f(\r(3),3)且0°≤θ＜180°，
∴θ＝30°.
4．若某直线的斜率k∈(－∞，eq \r(3)]，则该直线的倾斜角α的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(π,2)))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π)) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，π))
答案 C
解析 ∵直线的斜率k∈(－∞，eq \r(3)]，
∴k≤tan eq \f(π,3)，
∴该直线的倾斜角α的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π)).
5．如图，若直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则( )
A．k1＜k3＜k2 B．k3＜k1＜k2
C．k1＜k2＜k3 D．k3＜k2＜k1
答案 A
解析 设直线l1，l2，l3的倾斜角分别为α1，α2，α3，
则由图知0°＜α3＜α2＜90°＜α1＜180°，
所以tan α1＜0，tan α2＞tan α3＞0，
即k1＜0，k2＞k3＞0.
6．直线l过点A(1,2)，且不过第四象限，则直线l的斜率的取值范围是( )
A．[0,2] B．[0,1]
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0))
答案 A
解析 如图所示，当直线l在l1的位置时，k＝tan 0°＝0；当直线l在l2的位置时，k＝eq \f(2－0,1－0)＝2，故直线l的斜率的取值范围是[0,2]．
7．已知点A(1,2)，若在坐标轴上存在一点P，使直线PA的倾斜角为135°，则点P的坐标为 ．
答案 (3,0)或(0,3)
解析 由题意知，kPA＝－1，
若点P在x轴上，设点P的坐标为P(m,0)(m≠1)，
则eq \f(0－2,m－1)＝－1，
解得m＝3，即P(3,0)．
若点P在y轴上，设点P的坐标为P(0，n)，
则eq \f(n－2,0－1)＝－1，
解得n＝3，即P(0,3)．
综上，点P的坐标为(3,0)或(0,3)．
8．若经过点A(1－t,1＋t)和点B(3,2t)的直线的倾斜角为钝角，则实数t的取值范围是 ．
答案 (－2,1)
解析 由题意知，kAB＝eq \f(2t－1＋t,3－1－t)＝eq \f(t－1,t＋2).
因为直线的倾斜角为钝角，
所以kAB＝eq \f(t－1,t＋2)<0，
解得－29．已知直线l经过两点A(－1，m)，B(m,1)，问：当m取何值时：
(1)直线l与x轴平行？
(2)直线l与y轴平行？
(3)直线l的方向向量的坐标为(3,1)．
(4)直线的倾斜角为45°？
(5)直线的倾斜角为锐角？
解 (1)若直线l与x轴平行，
则直线l的斜率k＝0，
∴m＝1.
(2)若直线l与y轴平行，
则直线l的斜率不存在，
∴m＝－1.
(3)直线l的方向向量的坐标为(3,1)，故k＝eq \f(1,3)，
即eq \f(1－m,m＋1)＝eq \f(1,3)，
解得m＝eq \f(1,2).
(4)由题意可知，直线l的斜率k＝1，
即eq \f(m－1,－1－m)＝1，解得m＝0.
(5)由题意可知，直线l的斜率k>0，
即eq \f(m－1,－1－m)>0，
解得－110.如图所示，菱形OBCD的顶点O与坐标原点重合，OB边在x轴的正半轴上，已知∠BOD＝60°，求菱形OBCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率．
解 在菱形OBCD中，OD∥BC，∠BOD＝60°，
所以直线OD，BC的倾斜角相等，都为60°，
所以kOD＝kBC＝tan 60°＝eq \r(3).
因为CD∥OB，且OB在x轴上，
所以直线OB，CD的倾斜角相等，都为0°，
所以kOB＝kCD＝0，
由菱形的性质，知∠COB＝30°，∠OBD＝60°，
所以直线OC，BD的倾斜角分别为30°，120°，
所以kOC＝tan 30°＝eq \f(\r(3),3)，kBD＝tan 120°＝－eq \r(3).
11．如果直线l先沿x轴负方向平移2个单位长度，再沿y轴正方向平移2个单位长度后，又回到原来的位置，那么直线l的斜率是( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
答案 B
解析 设A(a，b)是直线l上任意一点，
则平移后得到点A ′(a－2，b＋2)，
于是直线l的斜率k＝kAA′＝eq \f(b＋2－b,a－2－a)＝－1.
12．已知点A(2,3)，B(－3，－2)，若直线l过点P(1,1)，且与线段AB始终没有交点，则直线l的斜率k的取值范围是( )
A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(k\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(3,4)2或k<\f(3,4)))))
C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(k\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(k>\f(3,4))))) D．{k|k<2}
答案 A
解析 ∵kAP＝eq \f(3－1,2－1)＝2，kBP＝eq \f(－2－1,－3－1)＝eq \f(3,4)，如图，
∵直线l与线段AB始终没有交点，
∴斜率k的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，2)).
13．已知直线l的倾斜角的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(3π,4)))，则直线l的斜率的取值范围是 ．
答案 (－∞，－1]∪[1，＋∞)
解析 当倾斜角α＝eq \f(π,2)时，l的斜率不存在；
当α∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))时，l的斜率k＝tan α∈[1，＋∞)；
当α∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,4)))时，l的斜率k＝tan α∈(－∞，－1]．
14．已知O(O为坐标原点)是等腰直角三角形OAB的直角顶点，点A在第一象限，∠AOy＝15°，则斜边AB所在直线的斜率为 ．
答案 eq \f(\r(3),3)或－eq \r(3)
解析 设直线AB与x轴的交点为C，(图略)
则∠ACO＝180°－∠A－∠AOC＝180°－45°－105°＝30°，
或∠ACO＝180°－∠A－∠AOC＝180°－45°－75°＝60°.
所以kAB＝tan 30°＝eq \f(\r(3),3)或kAB＝tan 120°＝－eq \r(3).
15．直线l的方向向量为(－1,2)，直线l的倾斜角为α，则tan 2α的值是( )
A.eq \f(4,3) B．－eq \f(4,3)
C.eq \f(3,4) D．－eq \f(3,4)
答案 A
解析 ∵直线l的方向向量为m＝(－1,2)，
∴直线l的斜率等于－2，
∴tan α＝－2，tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)＝eq \f(－4,1－4)＝eq \f(4,3).
16．已知实数x，y满足方程x＋2y＝6，当1≤x≤3时，求eq \f(y－1,x－2)的取值范围．
解 eq \f(y－1,x－2)的几何意义是过M(x，y)，N(2,1)两点的直线的斜率．
因为点M在函数x＋2y＝6的图象上，且1≤x≤3，
所以可设该线段为AB，且Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(5,2)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(3,2)))，
又kNA＝－eq \f(3,2)，kNB＝eq \f(1,2)，
所以eq \f(y－1,x－2)的取值范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(3,2)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞)).
α的大小
0°
0°<α<90°
90°
90°<α<180°
k的范围
k＝0
k>0
不存在
k<0
k的增减性
随α的增大而增大
随α的增大而增大