选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程本章综合与测试学案设计

这是一份选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程本章综合与测试学案设计，共16页。学案主要包含了定义法，几何法，寻求齐次方程求离心率，求离心率的取值范围等内容，欢迎下载使用。


一、定义法
例1 直线y＝－eq \r(3)x与椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)交于A，B两点，以线段AB为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆C的离心率为( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(3)－1,2) C.eq \r(3)－1 D．4－2eq \r(3)
答案 C
解析 以线段AB为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，也必过椭圆的左焦点，过这两个焦点及A，B两点可作一个矩形，直线y＝－eq \r(3)x的倾斜角为120°，所以矩形的宽是c，长是eq \r(3)c，由椭圆定义知矩形的长宽之和等于2a，即c＋eq \r(3)c＝2a，所以e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2,\r(3)＋1)＝eq \r(3)－1.
反思感悟 根据椭圆或双曲线的定义，求出a，c或列出关于a，c的等式，得到关于e的方程，进而求出e.
跟踪训练1 设F1，F2分别为双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝eq \f(9,4)ab，则该双曲线的离心率为__________．
答案 eq \f(5,3)
解析 不妨设P为双曲线右支上一点，
|PF1|＝r1，|PF2|＝r2.
根据双曲线的定义，得r1－r2＝2a，
又r1＋r2＝3b，故r1＝eq \f(3b＋2a,2)，r2＝eq \f(3b－2a,2).
又r1·r2＝eq \f(9,4)ab，所以eq \f(3b＋2a,2)·eq \f(3b－2a,2)＝eq \f(9,4)ab，
解得eq \f(b,a)＝eq \f(4,3)(负值舍去)，
故e＝eq \f(c,a)＝eq \r(\f(a2＋b2,a2))＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2＋1)
＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))2＋1)＝eq \f(5,3).
二、几何法
例2 设F1，F2分别是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P在椭圆C上，若线段PF1的中点在y轴上，∠PF1F2＝30°，则椭圆的离心率为( )
A.eq \f(\r(3),3) B.eq \f(\r(3),6) C.eq \f(1,3) D.eq \f(1,6)
答案 A
解析 如图，设PF1的中点为M，连接PF2.
因为O为F1F2的中点，
所以OM为△PF1F2的中位线．
所以OM∥PF2，
所以∠PF2F1＝∠MOF1＝90°.
因为∠PF1F2＝30°，
所以|PF1|＝2|PF2|，|F1F2|＝eq \r(3)|PF2|.
由椭圆定义得2a＝|PF1|＋|PF2|＝3|PF2|，
即a＝eq \f(3|PF2|,2)，
2c＝|F1F2|＝eq \r(3)|PF2|，
即c＝eq \f(\r(3)|PF2|,2)，
则e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3)|PF2|,2)·eq \f(2,3|PF2|)＝eq \f(\r(3),3).
反思感悟 涉及到焦点三角形的题目往往利用圆锥曲线的定义及三角形中的正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等来求得eq \f(c,a)的值．
跟踪训练2 设F1，F2是双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P是C上一点．若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为________．
答案 eq \r(3)
解析 根据双曲线的对称性，不妨设点P在第一象限，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|PF1|＋|PF2|＝6a，,|PF1|－|PF2|＝2a，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|PF1|＝4a，,|PF2|＝2a.))
又∵|F1F2|＝2c，∴|PF2|最小．
在△PF1F2中，由余弦定理，
得eq \f(4a2＋4c2－4a2,2×4a×2c)＝cs 30°，∴2eq \r(3)ac＝3a2＋c2.
等式两边同除以a2，得e2－2eq \r(3)e＋3＝0，
解得e＝eq \r(3).
三、寻求齐次方程求离心率
例3 (1)已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，A，B分别为椭圆的左顶点和上顶点，F为右焦点，且AB⊥BF，则椭圆的离心率为________．
答案 eq \f(\r(5)－1,2)
解析 在△ABF中，|AB|＝eq \r(a2＋b2)，|BF|＝a，|AF|＝a＋c.
由AB⊥BF得|AB|2＋|BF|2＝|AF|2，
即a2＋b2＋a2＝(a＋c)2，整理得a2＋b2＝c2＋2ac，
将b2＝a2－c2代入，得a2－ac－c2＝0，
即e2＋e－1＝0，解得e＝eq \f(－1±\r(5),2).
因为0(2)已知双曲线E：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是________．
答案 2
解析 如图，由题意知|AB|＝eq \f(2b2,a)，|BC|＝2c.
又2|AB|＝3|BC|，
∴2×eq \f(2b2,a)＝3×2c，
即2b2＝3ac，
∴2(c2－a2)＝3ac，
两边同除以a2并整理得2e2－3e－2＝0，
解得e＝2(负值舍去)．
反思感悟 利用定义以及图形中的几何关系来建立关于参数a，b，c的关系式，结合a，b，c之间的关系，化简为参数a，c的关系式进行求解．
跟踪训练3 已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F恰好是双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点，且两条曲线的交点的连线过点F，则该双曲线的离心率为( )
A.eq \r(2) B．2
C.eq \r(2)＋1 D.eq \r(2)－1
答案 C
解析 如图所示，∵两条曲线交点的连线过点F，
∴两条曲线交点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，±p))，
代入双曲线方程得eq \f(\f(p2,4),a2)－eq \f(p2,b2)＝1，
又eq \f(p,2)＝c，∴eq \f(c2,a2)－4×eq \f(c2,b2)＝1，
化简得c4－6a2c2＋a4＝0，
∴e4－6e2＋1＝0，∴e2＝3＋2eq \r(2)＝(1＋eq \r(2))2，
∴e＝eq \r(2)＋1.
四、求离心率的取值范围
例4 已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右顶点到其渐近线的距离不大于eq \f(2\r(5),5)a，则离心率e的取值范围为( )
A．[eq \r(3)，＋∞) B．[eq \r(5)，＋∞)
C．(1，eq \r(3)] D．(1，eq \r(5)]
答案 D
解析 依题意得，点(a,0)到渐近线bx＋ay＝0的距离不大于eq \f(2\r(5),5)a，
∴eq \f(|ba＋0|,\r(b2＋a2))≤eq \f(2\r(5),5)a，
解得e≤eq \r(5).
又e>1，∴1反思感悟 求离心率范围的常用思路
(1)通过几何方法如点的坐标、三角形中的不等关系等转化为求离心率的取值范围．
(2)通过代数方法如基本不等式、函数最值求得离心率的取值范围．
跟踪训练4 已知F1(－c,0)，F2(c,0)为椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆上一点，且eq \(PF1,\s\up6(→))·eq \(PF2,\s\up6(→))＝c2，则此椭圆离心率的取值范围是________．
答案 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)，\f(\r(2),2)))
解析 设P(x，y)，
则eq \(PF1,\s\up6(→))·eq \(PF2,\s\up6(→))＝(－c－x，－y)·(c－x，－y)＝x2－c2＋y2＝c2，
将y2＝b2－eq \f(b2,a2)x2代入上式，
解得x2＝eq \f(2c2－b2a2,c2)＝eq \f(3c2－a2a2,c2).
又x2∈[0，a2]，∴2c2≤a2≤3c2，
∴e＝eq \f(c,a)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)，\f(\r(2),2))).
1．知识清单：
(1)圆锥曲线的离心率的求法．
(2)圆锥曲线的离心率的范围问题．
2．方法归纳：定义法、数形结合．
3．常见误区：忽略离心率的范围导致出错．
1．已知双曲线x2－eq \f(y2,3)＝1，则离心率等于( )
A．3 B.eq \f(\r(6),2) C.eq \f(\r(5),2) D．2
答案 D
解析 由双曲线方程可知c2＝4，
所以e＝eq \f(c,a)＝2.
2．(多选)已知双曲线E的中心在原点，对称轴为坐标轴，渐近线方程为y＝±2x，则双曲线E的离心率为( )
A.eq \f(\r(5),2) B.eq \r(5) C.eq \f(5\r(3),3) D.eq \f(3\r(5),5)
答案 AB
解析 若双曲线焦点在x轴上，
由渐近线方程为y＝±2x，得eq \f(b,a)＝2，
∴e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2)＝eq \r(5)；
若双曲线焦点在y轴上，由渐近线方程为y＝±2x，得eq \f(a,b)＝2，
∴e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2)＝eq \f(\r(5),2).
3．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的一条弦所在的直线方程是x－y＋5＝0，弦的中点坐标是M(－4,1)，则椭圆的离心率是( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(\r(3),2) D.eq \f(\r(5),5)
答案 C
解析 设直线与椭圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别代入椭圆方程，由点差法可知yM＝－eq \f(b2,a2k)xM，代入k＝1，M(－4,1)，解得eq \f(b2,a2)＝eq \f(1,4)，e＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2)＝eq \f(\r(3),2).
4．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，P是椭圆C上一点(不在坐标轴上)，Q是∠F1PF2的平分线与x轴的交点，若|QF2|＝2|OQ|，则椭圆离心率的取值范围是________．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，1))
解析 ∵|QF2|＝2|OQ|，∴|QF2|＝eq \f(2,3)c，|QF1|＝eq \f(4,3)c.
∵PQ是∠F1PF2的平分线，
∴eq \f(|QF1|,|QF2|)＝eq \f(|PF1|,|PF2|)＝2，则|PF1|＝2|PF2|，
∴|PF1|＋|PF2|＝3|PF2|＝2a，解得|PF2|＝eq \f(2a,3).
由a－ceq \f(1,3).
又0课时对点练
1．设双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,9)＝1(a>0)的两焦点之间的距离为10，则双曲线的离心率为( )
A.eq \f(3,5) B.eq \f(4,5) C.eq \f(5,4) D.eq \f(5,3)
答案 C
解析 因为双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,9)＝1(a>0)的两焦点之间的距离为10，所以2c＝10，c＝5，所以a2＝c2－9＝16，所以a＝4.所以离心率e＝eq \f(5,4).
2．如果椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq \f(\r(3),2)，那么双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的离心率为( )
A.eq \f(\r(5),2) B.eq \f(5,4) C.eq \r(2) D．2
答案 A
解析 由椭圆的离心率为eq \f(\r(3),2)，得eq \f(a2－b2,a2)＝eq \f(3,4)，
∴a2＝4b2.∴在双曲线中，e2＝eq \f(a2＋b2,a2)＝eq \f(5b2,4b2)＝eq \f(5,4).
∴双曲线的离心率e＝eq \f(\r(5),2).
3．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A是椭圆短轴的一个顶点，且cs∠F1AF2＝eq \f(3,4)，则椭圆的离心率e等于( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(1,4) D.eq \f(\r(2),4)
答案 D
解析 设椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的焦距为2c(c>0)，
则椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦点F1的坐标为(－c,0)，右焦点F2的坐标为(c,0)，
依题意，不妨设点A的坐标为(0，b)，在△F1AF2中，由余弦定理得，
|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1|·|AF2|·cs∠F1AF2，
∵cs∠F1AF2＝eq \f(3,4)，
∴4c2＝2a2－2a2×eq \f(3,4)＝eq \f(1,2)a2，
∴e2＝eq \f(c2,a2)＝eq \f(1,8)，
解得e＝eq \f(\r(2),4).
4．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦点为F，点A是椭圆C的上顶点，直线l：y＝2x与椭圆C交于M，N两点．若点A到直线l的距离是1，且|MF|＋|NF|＝6，则椭圆C的离心率是( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(\r(5),3) C.eq \f(2\r(5),3) D.eq \f(2,3)
答案 D
解析 由椭圆方程可得，A(0，b)，
因为点A到直线l：y＝2x的距离是1，
所以eq \f(|b|,\r(22＋1))＝1，
解得b＝eq \r(5)；
记椭圆的右焦点为F1，连接MF1，NF1，
由椭圆的对称性可得，|MF1|＝|NF|，
再由椭圆的定义可得，2a＝|MF1|＋|MF|＝|NF|＋|MF|＝6，
所以a＝3，则c＝eq \r(9－5)＝2，
故离心率为e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2,3).
5. 已知F1，F2是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF2与圆x2＋y2＝b2相切于点Q，且点Q为线段PF2的中点，则eq \f(5a2＋2e2,3b)(其中e为椭圆C的离心率)的最小值为( )
A.eq \f(5\r(3),3) B.eq \f(5\r(2),3) C.eq \r(5) D.eq \f(2\r(5),3)
答案 B
解析 如图，连接PF1，OQ，
由OQ为△F1PF2的中位线，可得OQ∥PF1，|OQ|＝eq \f(1,2)|PF1|，由圆x2＋y2＝b2，可得|OQ|＝b，即有|PF1|＝2b，由椭圆的定义可得|PF1|＋|PF2|＝2a，
可得|PF2|＝2a－2b，
又OQ⊥PF2，可得PF1⊥PF2，
即(2b)2＋(2a－2b)2＝(2c)2，
即b2＋a2－2ab＋b2＝c2＝a2－b2，
整理得2a＝3b，
即b＝eq \f(2,3)a，c＝eq \r(a2－b2)＝eq \f(\r(5),3)a，
所以e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(5),3)，
则eq \f(5a2＋2e2,3b)＝eq \f(5a2＋\f(10,9),2a)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5a＋\f(10,9a)))≥eq \f(1,2)·2eq \r(5a·\f(10,9a))＝eq \f(5\r(2),3).
当且仅当5a＝eq \f(10,9a)，即a＝eq \f(\r(2),3)时，取得最小值eq \f(5\r(2),3).
6．(多选)在平面直角坐标系xOy中，椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上存在点P，使得|PF1|＝3|PF2|，其中F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率可能为( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,2) C．3eq \r(5)－6 D.eq \f(3,4)
答案 BCD
解析 设椭圆的焦距为2c(c>0)，
由椭圆的定义可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|PF1|＝3|PF2|，,|PF1|＋|PF2|＝2a，))
解得|PF1|＝eq \f(3a,2)，|PF2|＝eq \f(a,2)，
由题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(a,2)≥a－c，,\f(3a,2)≤a＋c，))解得e＝eq \f(c,a)≥eq \f(1,2)，
又0所以该椭圆离心率的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))，故符合条件的选项为BCD.
7．已知直线y＝a与双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线交于点P，双曲线C的左、右顶点分别为A1，A2，若|PA2|＝eq \f(\r(5),2)|A1A2|，则双曲线C的离心率为________．
答案 eq \r(2)或eq \f(\r(10),3)
解析 若渐近线的方程为y＝eq \f(b,a)x，
则点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2,b)，a)).
因为|PA2|＝eq \f(\r(5),2)|A1A2|，
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2,b)－a))2＋a2＝5a2，
则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,b)－1))2＝4，所以eq \f(a,b)＝3，
从而e＝eq \r(1＋\f(b2,a2))＝eq \f(\r(10),3).
若渐近线的方程为y＝－eq \f(b,a)x，
则点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a2,b)，a))，同理可得e＝eq \r(2).
8．已知F1 ，F2 是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且|PF1|>|PF2| ，线段PF1的垂直平分线过F2 ，若椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2 ，则eq \f(2,e1)＋eq \f(e2,2)的最小值为________．
答案 6
解析 设椭圆对应的参数为a1，b1，c，双曲线对应的参数为a2，b2，c，
由于线段PF1的垂直平分线过F2，
所以有|F1F2|＝|PF2|＝2c.
根据双曲线和椭圆的定义有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|PF1|＋2c＝2a1，,|PF1|－2c＝2a2，))
两式相减得到4c＝2(a1－a2)，即a1－a2＝2c，
所以eq \f(2,e1)＋eq \f(e2,2)＝eq \f(2a1,c)＋eq \f(c,2a2)＝4＋eq \f(2a2,c)＋eq \f(c,2a2)
≥4＋2eq \r(\f(2a2,c)·\f(c,2a2))＝6，当且仅当c＝2a2时，等号成立，即最小值为6.
9．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，若双曲线上存在一点P，使eq \f(sin∠PF1F2,sin∠PF2F1)＝eq \f(a,c)，求双曲线的离心率的取值范围．
解 分析知P不是双曲线的顶点．
在△PF1F2中，由正弦定理，得
eq \f(|PF2|,sin∠PF1F2)＝eq \f(|PF1|,sin∠PF2F1).
又eq \f(sin∠PF1F2,sin∠PF2F1)＝eq \f(a,c)，
所以eq \f(a,|PF2|)＝eq \f(c,|PF1|)，即|PF1|＝eq \f(c,a)|PF2|，
所以点P在双曲线的右支上，
由双曲线的定义，知|PF1|－|PF2|＝2a，
即eq \f(c,a)|PF2|－|PF2|＝2a，得|PF2|＝eq \f(2a2,c－a).
由双曲线的几何性质，知|PF2|>c－a，则eq \f(2a2,c－a)>c－a，
即c2－2ac－a2<0，所以e2－2e－1<0，
解得－eq \r(2)＋1又e>1，所以双曲线离心率的取值范围为(1，eq \r(2)＋1)．
10.如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，A1，A2，B1，B2分别为椭圆的左、右、下、上顶点，F2为其右焦点，直线B1F2与A2B2交于点P，若∠B1PA2为钝角，求该椭圆的离心率的取值范围．
解 设椭圆的标准方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，F2(c,0)．
由题意，得A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)，
则eq \(B2A2,\s\up6(—→))＝(a，－b)，eq \(F2B1,\s\up6(—→))＝(－c，－b)．
因为∠B1PA2为向量eq \(B2A2,\s\up6(—→))与eq \(F2B1,\s\up6(—→))的夹角，且∠B1PA2为钝角，
所以eq \(B2A2,\s\up6(—→))·eq \(F2B1,\s\up6(—→))<0，所以b2－ac<0.
又b2＝a2－c2，所以a2－ac－c2<0，
即1－e－e2<0，解得eeq \f(－1＋\r(5),2)，
因为e∈(0,1)，所以eq \f(－1＋\r(5),2)即该椭圆的离心率的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－1＋\r(5),2)，1)).
11．已知椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于eq \f(4,5)，则椭圆E的离心率的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(3),2))) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(3,4)))
C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，1)) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，1))
答案 A
解析 设左焦点为F0，连接F0A，F0B，则四边形AFBF0为平行四边形．
∵|AF|＋|BF|＝4，
∴|AF|＋|AF0|＝4，
∴a＝2.
设M(0，b)，则eq \f(4b,5)≥eq \f(4,5)，∴1≤b＜2.
离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \r(\f(c2,a2))＝eq \r(\f(a2－b2,a2))＝eq \r(\f(4－b2,4))∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(3),2)))，
故选A.
12．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上一点，且PF2⊥x轴，直线PF1与C的另一个交点为Q，若|PF1|＝4|F1Q|，则C的离心率为( )
A.eq \f(2\r(5),5) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(\r(15),5) D.eq \f(\r(21),7)
答案 D
解析 由题意，可将点P的坐标代入椭圆C的方程得eq \f(c2,a2)＋eq \f(|PF2|2,b2)＝1，
解得|PF2|＝eq \f(b2,a).
如图所示，过Q点作QE⊥x轴，垂足为点E，
设Q(x0，y0)，
根据题意及图可知，Rt△PF2F1∽Rt△QEF1，
∵eq \f(|PF1|,|F1Q|)＝4，∴eq \f(|F1F2|,|EF1|)＝eq \f(|PF2|,|QE|)＝4，
∴|EF1|＝eq \f(|F1F2|,4)＝eq \f(2c,4)＝eq \f(c,2)，
∴x0＝－c－eq \f(c,2)＝－eq \f(3c,2).
又∵y0＝－|QE|＝－eq \f(|PF2|,4)＝－eq \f(b2,4a).
∴点Q的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3c,2)，－\f(b2,4a))).
将点Q的坐标代入椭圆方程，得eq \f(9c2,4a2)＋eq \f(b2,16a2)＝1.
结合b2＝a2－c2，解得e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(21),7).
13．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上一点A关于原点的对称点为B点，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF＝α，且α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,3)))，则该椭圆的离心率的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，\r(3)－1)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，\f(\r(3),2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)，\f(\r(6),3)))
答案 A
解析 椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上一点A关于原点的对称点为B点，F为其右焦点，设左焦点为F′.
∴|AF′|＋|AF|＝2a，
根据对称关系知四边形AF′BF为矩形，
∴|AB|＝|FF′|＝2c.
由于AF⊥BF，∠ABF＝α，
∴|AF|＝2csin α，|AF′|＝2ccs α，
∴2csin α＋2ccs α＝2a，
∴e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,sin α＋cs α)＝eq \f(1,\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4))))，
由于α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,3)))，故α＋eq \f(π,4)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(7π,12)))，
∴eq \f(\r(2)＋\r(6),4)∴eq \f(\r(2),2)即离心率的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，\r(3)－1)).
14．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的内接△ABC的顶点B为短轴的一个端点，右焦点为F，线段AB的中点为K，且eq \(CF,\s\up6(→))＝2eq \(FK,\s\up6(→))，则椭圆离心率的取值范围是________．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(3),3)))
解析 由题意可设B(0，b)，F(c,0)，线段AB的中点为K，且eq \(CF,\s\up6(→))＝2eq \(FK,\s\up6(→))，
可得F为△ABC的重心，设A(x1，y1)，C(x2，y2)，
由重心坐标公式可得，x1＋x2＋0＝3c，y1＋y2＋b＝0，
设AC的中点为M(x，y)，可得x＝eq \f(x1＋x2,2)＝eq \f(3c,2)，y＝eq \f(y1＋y2,2)＝－eq \f(b,2)，
由题意可得点M在椭圆内，可得eq \f(9c2,4a2)＋eq \f(1,4)<1，
由e＝eq \f(c,a)，可得e2所以015．分别将椭圆C1的长轴、短轴和双曲线C3的实轴、虚轴都增加m个单位长度(m>0)，得到椭圆C2和双曲线C4.记椭圆C1，C2和双曲线C3，C4的离心率分别是e1，e2，e3，e4，则( )
A．e1>e2，e3B．e1>e2，e3与e4的大小关系不确定
C．e1e4
D．e1答案 B
解析 设m＝2k，则e1＝eq \f(c1,a1)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b1,a1)))2)，e2＝eq \f(c2,a2)＝eq \r(\f(a1＋k2－b1＋k2,a1＋k2))＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b1＋k,a1＋k)))2)，
因为0由比例性质可知eq \f(b1,a1)所以e1>e2；
e3＝eq \f(c3,a3)＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b3,a3)))2)，
e4＝eq \f(c4,a4)＝eq \r(\f(a3＋k2＋b3＋k2,a3＋k2))＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b3＋k,a3＋k)))2)，
因为eq \f(b3,a3)与1的大小不确定，
所以eq \f(b3,a3)和eq \f(b3＋k,a3＋k)的大小也不确定，
即无法判断e3，e4的大小．
综上，e1>e2，e3与e4的大小关系不确定．
16.如图，已知在梯形ABCD中，|AB|＝2|CD|，点E分有向线段eq \(AC,\s\up6(→))所成的比为λ，双曲线经过C，D，E三点，且以A，B为焦点．当eq \f(2,3)≤λ≤eq \f(3,4)时，求双曲线离心率e的取值范围．
解 由题意可知CD⊥y轴．
∵双曲线经过C，D，且以A，B为焦点，由双曲线的对称性知C，D关于y轴对称．
依题意，记A(－c,0)，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,2)，h))，E(x0，y0)，其中c＝eq \f(1,2)|AB|为双曲线的半焦距，h是梯形的高．
由定比分点坐标公式得x0＝eq \f(λ－2c,21＋λ)，y0＝eq \f(λh,1＋λ).
设双曲线的方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1，则离心率e＝eq \f(c,a).
∵点C，E在双曲线上，
∴将点C的坐标代入双曲线方程得eq \f(c2,4a2)－eq \f(h2,b2)＝1，①
将点E的坐标代入双曲线方程得eq \f(c2,4a2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(λ－2,1＋λ)))2－eq \f(h2,b2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(λ,1＋λ)))2＝1.②
再将e＝eq \f(c,a)代入①得eq \f(e2,4)－eq \f(h2,b2)＝1，
∴eq \f(h2,b2)＝eq \f(e2,4)－1，③
将e＝eq \f(c,a)代入②，得eq \f(e2,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(λ－2,1＋λ)))2－eq \f(h2,b2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(λ,1＋λ)))2＝1.④
将③式代入④式，整理得eq \f(e2,4)(4－4λ)＝1＋2λ，
∴λ＝1－eq \f(3,e2＋2).
由题设eq \f(2,3)≤λ≤eq \f(3,4)，得eq \f(2,3)≤1－eq \f(3,e2＋2)≤eq \f(3,4)，
解得eq \r(7)≤e≤eq \r(10).
∴双曲线离心率的取值范围是[eq \r(7)，eq \r(10)]．