高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程本章综合与测试学案及答案

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导语
在上节中，我们已经掌握了抛物线焦点弦的一些性质：
设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(1)x1·x2＝eq \f(p2,4)，y1·y2＝－p2；
(2)以弦AB为直径的圆与准线相切；
(3)|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(2p,sin2α) (α是直线AB的倾斜角，α≠0°)；
(4)eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2,p)为定值(F是抛物线的焦点)．
一、x1·x2＝eq \f(p2,4)，y1·y2＝－p2的应用
例1 已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，若eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝－12，则抛物线C的方程为( )
A．x2＝8y B．x2＝4y
C．y2＝8x D．y2＝4x
答案 C
解析 设抛物线为y2＝2px(p>0)，直线AB为x＝my＋eq \f(p,2)，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1x2＝eq \f(p2,4)，y1y2＝－p2，
得eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝eq \f(p2,4)－p2＝－eq \f(3,4)p2＝－12，
得p＝4(舍负)，即抛物线C的方程为y2＝8x.
反思感悟 通过抛物线的特殊性质，脱离于传统的联立方程组求解，较为迅速的得到结果．
跟踪训练1 过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点作一条直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq \f(y1y2,x1x2)＝____.
答案 －4
解析 方法一 抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，
设直线AB的方程为x＝my＋eq \f(p,2)，
将直线AB的方程与抛物线的方程联立，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝my＋\f(p,2)，,y2＝2px，))
消去x得y2－2mpy－p2＝0，
由根与系数的关系得y1y2＝－p2.
由于点A，B均在抛物线上，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y\\al(2,1)＝2px1，,y\\al(2,2)＝2px2，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＝\f(y\\al(2,1),2p)，,x2＝\f(y\\al(2,2),2p)，))
因此，eq \f(y1y2,x1x2)＝eq \f(y1y2,\f(y\\al(2,1),2p)·\f(y\\al(2,2),2p))＝eq \f(4p2,y1y2)＝－eq \f(4p2,p2)＝－4.
方法二 由焦点弦的性质可得x1·x2＝eq \f(p2,4)，y1·y2＝－p2，
故eq \f(y1y2,x1x2)＝－4.
二、|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(2p,sin2α)的应用
例2 抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线的方程．
解 依题意可设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，则直线方程为y＝－x＋eq \f(p,2).
设直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
则|AB|＝eq \f(2p,sin2135°)，
∴eq \f(2p,\f(1,2))＝8，∴p＝2，
故所求的抛物线方程为y2＝4x.
当抛物线方程设为y2＝－2px(p>0)时，同理可求得抛物线方程为y2＝－4x.
综上，抛物线方程为y2＝±4x.
反思感悟 利用|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(2p,sin2α) (α是直线AB的倾斜角，α≠0°)求解焦点弦的长度问题．
跟踪训练2 经过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F，倾斜角为30°的直线l与C交于A，B两点，若线段AB的中点M的横坐标为7，那么p＝________.
答案 2
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵AB的中点M的横坐标为7，∴x1＋x2＝14，
∴14＋p＝eq \f(2p,sin230°)，∴p＝2 .
三、 eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2,p)为定值的应用
例3 过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于( )
A．4 B.eq \f(9,2) C．5 D．6
答案 B
解析 因为|AF|＝2|BF|，eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(1,2|BF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(3,2|BF|)＝eq \f(2,p)＝1，解得|BF|＝eq \f(3,2)，|AF|＝3，
故|AB|＝|AF|＋|BF|＝eq \f(9,2).
反思感悟 将求弦长问题通过焦半径与p之间的关系，转化为焦半径问题．
跟踪训练3 如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且|AF|＝4，则线段AB的长为( )
A．5 B．6
C.eq \f(16,3) D. eq \f(20,3)
答案 C
解析 如图，过点A作AD⊥l，|AD|＝|AF|＝eq \f(1,2)|AC|＝4，|OF|＝eq \f(p,2)＝4×eq \f(1,4)＝1，所以p＝2，
因为eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2,p)，|AF|＝4，
所以|BF|＝eq \f(4,3)，
所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝4＋eq \f(4,3)＝eq \f(16,3).
四、以弦AB为直径的圆与准线相切的应用
例4 抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，M为抛物线上一点．若△OFM的外接圆与抛物线的准线相切(O为坐标原点)，且外接圆的面积为9π，则p等于( )
A．2 B．4 C．6 D．8
答案 B
解析 ∵△OFM的外接圆与抛物线的准线相切，
∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径．
∵外接圆的面积为9π，
∴外接圆的半径为3.
又∵圆心在OF的垂直平分线上，|OF|＝eq \f(p,2)，
∴eq \f(p,2)＋eq \f(p,4)＝3，∴p＝4.
反思感悟 把焦点三角形的外接圆转化为以弦AB为直径的圆与准线相切，进行问题的求解．
跟踪训练4 已知抛物线x2＝2py(p>0)，直线l过它的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，则以AB为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是( )
A．相离 B．相切
C．相交 D．与p的取值有关
答案 B
1．知识清单：抛物线焦点弦性质的应用．
2．方法归纳：转化法．
3．常见误区：对焦点弦的性质记忆混淆，导致出错．
1．过抛物线C：y＝eq \f(1,8)x2的焦点F的直线交抛物线C于A，B两点，线段AB的中点为Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，\f(5,2)))，则|AB|等于( )
A.eq \f(81,16) B.eq \f(41,8) C．13 D．9
答案 D
解析 由题意可得抛物线的标准形式为x2＝8y，
所以准线方程为y＝－2，
由题意可得A，B的纵坐标之和为eq \f(5,2)×2＝5，
所以弦长|AB|＝5＋4＝9.
2．过抛物线C：y2＝8x的焦点F的直线交抛物线C于A，B两点，若|AF|＝6，则|BF|等于( )
A．9或6 B．6或3 C．9 D．3
答案 D
解析 方法一 设点A为第一象限内的点，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1>0，y1>0，
则由题意可得F(2,0)，|AF|＝x1＋2＝6，
则x1＝4，由yeq \\al(2,1)＝8x1，得y1＝4eq \r(2)，
所以kAB＝eq \f(4\r(2),4－2)＝2eq \r(2)，
直线AB的方程为y＝2eq \r(2)(x－2)，
将直线AB的方程代入y2＝8x化简得x2－5x＋4＝0，
所以x2＝1，所以|BF|＝x2＋2＝3.
方法二 由抛物线焦点弦的性质可得，eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2,p)，
所以eq \f(1,|BF|)＝eq \f(1,2)－eq \f(1,6)＝eq \f(1,3)，可得|BF|＝3.
3．过抛物线y2＝8x的焦点作直线l交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则|AB|＝________.
答案 10
解析 由题意知抛物线y2＝8x的焦点为F(2,0)，p＝4，
设A，B两点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
AB的中点的横坐标为3，即eq \f(x1＋x2,2)＝3，
∴x1＋x2＝6，抛物线的焦点弦|AB|＝x1＋x2＋p＝10.
4．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，则PQ中点M到抛物线准线的距离为________．
答案 4
解析 由抛物线的方程y2＝4x，可得p＝2，故它的焦点F(1,0)，准线方程为x＝－1.
由中点坐标公式可得PQ的中点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)))，
由于x1＋x2＝6，则M到准线的距离为eq \f(x1＋x2,2)＋1＝4.
课时对点练
1．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq \f(y1y2,x1x2)的值一定等于( )
A．－4 B．4
C．p2 D．－p2
答案 A
2．已知AB是过抛物线2x2＝y的焦点的弦．若|AB|＝4，则AB中点的纵坐标是( )
A．1 B．2 C.eq \f(5,8) D.eq \f(15,8)
答案 D
解析 如图所示，设线段AB的中点为P(x0，y0)，分别过A，P，B三点作准线l的垂线，垂足分别为A′，Q，B′，由题意得|AA′|＋|BB′|＝|AB|＝4，|PQ|＝eq \f(|AA′|＋|BB′|,2)＝2.又|PQ|＝y0＋eq \f(1,8)，∴y0＋eq \f(1,8)＝2，∴y0＝eq \f(15,8).
3．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F作斜率为1的直线l交抛物线C于P，Q两点，则
eq \f(1,|PF|)＋eq \f(1,|QF|)的值为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(7,8) C．1 D．2
答案 C
解析 由抛物线焦点弦的性质可得，eq \f(1,|PF|)＋eq \f(1,|QF|)＝eq \f(2,p)＝1.
4．已知F为抛物线C：y2＝6x的焦点，过点F的直线l与C相交于A，B两点，且|AF|＝3|BF|，则|AB|等于( )
A．6 B．8 C．10 D．12
答案 B
解析 ∵|AF|＝3|BF|，且p＝3，
∴eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(4,3|BF|)＝eq \f(2,p)＝eq \f(2,3)，
∴|BF|＝2，|AF|＝6，
∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝8.
5．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点，若|AF|＝4，|BF|＝1，则p等于( )
A.eq \f(16,5) B．2 C.eq \f(8,5) D．1
答案 C
解析 由抛物线焦点弦的性质可得，eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2,p)，
由|AF|＝4，|BF|＝1，
得eq \f(2,p)＝eq \f(1,4)＋1＝eq \f(5,4)，
解得p＝eq \f(8,5).
6．(多选)已知抛物线y2＝2px(p>0)，过抛物线的焦点F作直线与抛物线交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且抛物线的准线与x轴的交点为M，则以下结论正确的是( )
A．x1x2＝eq \f(p2,4) B.eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝－eq \f(3,4)p2
C．∠AMB＝90° D.eq \f(1,|FA|)＋eq \f(1,|FB|)＝eq \f(2,p)
答案 ABD
解析 由抛物线焦点弦的性质知ABD正确．
∵M点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))，故eq \(MA,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1＋\f(p,2)，y1))，eq \(MB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(p,2)，y2))，eq \(MA,\s\up6(→))·eq \(MB,\s\up6(→))＝x1x2＋eq \f(p,2)(x1＋x2)＋eq \f(p2,4)＋y1y2＝m2p2.
当m≠0时，eq \(MA,\s\up6(→))·eq \(MB,\s\up6(→))≠0，即∠AMB≠90°，故C错误．
7．过抛物线y2＝2x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，若|AB|＝eq \f(25,12)，|AF|<|BF|，则|AF|＝________.
答案 eq \f(5,6)
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1显然直线AB的斜率存在，
设AB的方程为y＝keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))(k≠0)，
将直线方程与抛物线方程联立，
消去y得k2x2－(k2＋2)x＋eq \f(1,4)k2＝0，①
则x1＋x2＝eq \f(k2＋2,k2).
因为|AB|＝p＋(x1＋x2)＝1＋eq \f(k2＋2,k2)＝eq \f(25,12)，
所以k2＝24，方程①即12x2－13x＋3＝0，
解得x1＝eq \f(1,3)，x2＝eq \f(3,4)，
故|AF|＝x1＋eq \f(p,2)＝eq \f(1,3)＋eq \f(1,2)＝eq \f(5,6).
8．已知直线l：y＝x－1经过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，且与抛物线C交于A，B两点，则|AB|＝______.
答案 8
解析 设直线AB的倾斜角为α，则sin α＝eq \f(\r(2),2)，由题意知，直线l：y＝x－1过点(1,0)，所以eq \f(p,2)＝1，解得p＝2，则|AB|＝eq \f(2p,sin2α)＝eq \f(4,\f(1,2))＝8.
9.已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点．
(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；
(2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离．
解 (1)方法一 因为直线l的倾斜角为60°，
所以其斜率k＝tan 60°＝eq \r(3).
又Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，0)).
所以直线l的方程为y＝eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2))).
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝6x，,y＝\r(3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))，))
消去y，得x2－5x＋eq \f(9,4)＝0.
若设A(x1，y1)，B(x2，y2)．则x1＋x2＝5，
而|AB|＝|AF|＋|BF|＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1＋\f(p,2)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(p,2)))＝x1＋x2＋p.
所以|AB|＝5＋3＝8.
方法二 因为抛物线y2＝6x，
所以p＝3，
又直线l的倾斜角α＝60°，
所以|AB|＝eq \f(2p,sin2α)＝eq \f(6,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)))2)＝8.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知，
|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋eq \f(p,2)＋x2＋eq \f(p,2)＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3＝9，
所以x1＋x2＝6，于是线段AB的中点M的横坐标是3，又准线方程是x＝－eq \f(3,2)，
所以M到准线的距离等于3＋eq \f(3,2)＝eq \f(9,2).
10．已知点P(1，m)是抛物线C：y2＝2px(p>0)上的点，F为抛物线的焦点，且|PF|＝2，过焦点F的直线l与抛物线C相交于不同的两点A，B.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若|AB|＝8，求直线l的斜率．
解 (1)由题意|PF|＝1＋eq \f(p,2)＝2，p＝2，
∴抛物线方程为y2＝4x.
(2)方法一 由(1)知焦点为F(1,0)，
若直线l斜率不存在，则|AB|＝4，不合题意，
因此设直线l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx－1，,y2＝4x，))得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝eq \f(2k2＋4,k2)，
|AB|＝x1＋x2＋2＝eq \f(2k2＋4,k2)＋2＝8，
解得k＝1或k＝－1.
方法二 若直线l的斜率不存在，则|AB|＝4，不合题意，
设直线l的倾斜角为α，
根据焦点弦的性质，|AB|＝eq \f(2p,sin2α)，
代入可得sin2α＝eq \f(2p,|AB|)＝eq \f(1,2)，
即α＝45°或135°，则k＝tan α＝±1.
11．(多选)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，过点F的直线与抛物线交于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，点P在l上的射影为P1，则下列说法正确的是( )
A．若x1＋x2＝6，则|PQ|＝8
B．以PQ为直径的圆与准线l相切
C．设M(0,1)，则|PM|＋|PP1|≥eq \r(2)
D．过点M(0,1)与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2条
答案 ABC
解析 对于选项A，因为p＝2，所以x1＋x2＋2＝|PQ|，则|PQ|＝8，故A正确；
对于选项B，由抛物线焦点弦的性质可知，B正确；
对于选项C，因为F(1,0)，所以|PM|＋|PP1|＝|PM|＋|PF|≥|MF|＝eq \r(2)，故C正确；
对于选项D，显然直线x＝0，y＝1与抛物线只有一个公共点，设过M的直线方程为y＝kx＋1(k≠0)，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋1，,y2＝4x，))可得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0，令Δ＝0，则k＝1，所以直线y＝x＋1与抛物线也只有一个公共点，此时有三条直线符合题意，故D错误．
12．(多选)已知抛物线y2＝2px(p>0)上三点A(x1，y1)，B(1,2)，C(x2，y2)，F为抛物线的焦点，则下列说法正确的是( )
A．抛物线的准线方程为x＝－1
B．若eq \(FA,\s\up6(→))＋eq \(FB,\s\up6(→))＋eq \(FC,\s\up6(→))＝0，则2|eq \(FB,\s\up6(→))|＝|eq \(FA,\s\up6(→))|＋|eq \(FC,\s\up6(→))|
C．若A，F，C三点共线，则y1y2＝－1
D．若|AC|＝6，则AC的中点到y轴距离的最小值为2
答案 ABD
解析 把点B(1,2)代入抛物线y2＝2px，得p＝2，所以抛物线的准线方程为x＝－1，故A正确；
因为A(x1，y1)，B(1,2)，C(x2，y2)，F(1,0) ，所以eq \(FA,\s\up6(→))＝(x1－1，y1)，eq \(FB,\s\up6(→))＝(0,2)，eq \(FC,\s\up6(→))＝(x2－1，y2)，又由eq \(FA,\s\up6(→))＋eq \(FB,\s\up6(→))＋eq \(FC,\s\up6(→))＝0，得x1＋x2＝2，
所以|eq \(FA,\s\up6(→))|＋|eq \(FC,\s\up6(→))|＝x1＋1＋x2＋1＝4＝2|eq \(FB,\s\up6(→))| ，故B正确；
因为A，F，C三点共线，所以直线AC是焦点弦，所以y1y2＝－p2＝－4，故C不正确；
设AC的中点为M(x0，y0)，
因为|AF|＋|CF|≥|AC|，|AF|＋|CF|＝x1＋1＋x2＋1＝2x0＋2，
所以2x0＋2≥6，得x0≥2，
即AC的中点到y轴距离的最小值为2，故D正确．
13．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为( )
A.eq \f(3\r(3),4) B.eq \f(9\r(3),8) C.eq \f(63,32) D.eq \f(9,4)
答案 D
解析 易知抛物线中p＝eq \f(3,2)，焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，0))，
直线AB的斜率k＝eq \f(\r(3),3)，
故直线AB的方程为y＝eq \f(\r(3),3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,4)))，
由抛物线的性质可得弦长|AB|＝eq \f(2p,sin230°)＝12，
又O到直线AB的距离d＝eq \f(p,2)·sin 30°＝eq \f(3,8)，
∴S△OAB＝eq \f(1,2)|AB|·d＝eq \f(9,4).
14．过抛物线y2＝4x焦点F的直线交抛物线于A，B两点，交其准线于点C，且A，C位于x轴同侧．若|AC|＝2|AF|，则|BF|等于( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案 C
解析 抛物线y2＝4x的焦点F(1,0)，准线方程l：x＝－1，设准线l与x轴交于点H，不妨设点A在第四象限，过A和B分别作AD⊥l，BE⊥l，垂足分别为D，E，如图，由抛物线的定义可知|AF|＝|AD|，|BF|＝|BE|，又|AC|＝2|AF|，所以|AC|＝2|AD|，则∠ACD＝eq \f(π,6).
所以直线AB的倾斜角为eq \f(π,3)，
因为|HF|＝p＝2，eq \f(|HF|,|AD|)＝eq \f(|CF|,|AC|)＝eq \f(3,2)，
所以|AF|＝|AD|＝eq \f(4,3).
又|AB|＝eq \f(2p,sin2\f(π,3))＝eq \f(4,\f(3,4))＝eq \f(16,3)，
即|AF|＋|BF|＝eq \f(16,3)，所以|BF|＝4.
15．(多选)已知点F是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，AB，CD是经过点F的弦且AB⊥CD，AB的斜率为k，且k>0，C，B两点在x轴上方，则下列结论中正确的是( )
A.eq \(OC,\s\up6(→))·eq \(OD,\s\up6(→))＝－eq \f(3,4)p2
B．四边形ACBD面积的最小值为16p2
C.eq \f(1,|AB|)＋eq \f(1,|CD|)＝eq \f(1,2p)
D．若|AF|·|BF|＝4p2，则直线CD的斜率为－eq \r(3)
答案 ACD
解析 如图所示，
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，设直线AB的方程x＝eq \f(1,k)y＋eq \f(p,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的倾斜角为θ(θ≠0)，
∴y1y2＝－p2，x1x2＝eq \f(p2,4)，
|AB|＝eq \f(2p,sin2θ)，
设C(x3，y3)，D(x4，y4)，
同理可得y3y4＝－p2，x3x4＝eq \f(p2,4)，|CD|＝eq \f(2p,cs2θ).
对于A，eq \(OC,\s\up6(→))·eq \(OD,\s\up6(→))＝x3x4＋y3y4＝eq \f(p2,4)－p2＝－eq \f(3p2,4)，故正确；
对于B，四边形ACBD的面积S＝eq \f(1,2)|CD|·|AB|＝eq \f(4p2,2sin2θ·cs2θ)＝eq \f(8p2,sin22θ)，故其最小值为8p2，故错误；
对于C，eq \f(1,|AB|)＋eq \f(1,|CD|)＝eq \f(sin2θ,2p)＋eq \f(cs2θ,2p)＝eq \f(1,2p)，故正确；
对于D，若|AF|·|BF|＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1＋\f(p,2)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(p,2)))＝x1x2＋eq \f(p,2)(x1＋x2)＋eq \f(p2,4)＝4p2，则eq \f(p,2)(x1＋x2)＝eq \f(7p2,2)，
∴x1＋x2＝7p，即7p＋p＝eq \f(2p,sin2θ)，
∴sin2θ＝eq \f(1,4)，sin θ＝eq \f(1,2)(舍负)，
又k>0，∴θ＝eq \f(π,6)，
则直线CD的倾斜角为eq \f(2π,3)，其斜率为－eq \r(3)，故正确．
16．已知抛物线C的顶点为原点，焦点F与圆x2＋y2－2x＝0的圆心重合．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)设定点A(3,2)，当P点在C上何处时，|PA|＋|PF|的值最小，并求最小值及点P的坐标；
(3)若弦MN过焦点F，求证：eq \f(1,|FM|)＋eq \f(1,|FN|)为定值．
解 (1)由已知易得F(1,0)，
则所求抛物线C的标准方程为y2＝4x.
(2)设点P在抛物线C的准线上的射影为点B，
根据抛物线定义知|PF|＝|PB|，要使|PA|＋|PF|的值最小，必P，A，B三点共线.
可得P(x1，2)，22＝4x1⇒x1＝1，即P(1,2). 此时|PA|＋|PF|＝2＋2＝4.
(3)因为MN 为焦点弦，
所以eq \f(1,|FM|)＋eq \f(1,|FN|)＝eq \f(2,p).
又p＝2，所以eq \f(1,|FM|)＋eq \f(1,|FN|)＝1.