高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程本章综合与测试学案设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程本章综合与测试学案设计，共8页。学案主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．已知A为抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p等于( )
A．2 B．3 C．6 D．9
答案 C
解析 设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知|AF|＝xA＋eq \f(p,2)＝12，即12＝9＋eq \f(p,2)，解得p＝6.
2．设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，若F到直线y＝eq \r(3)x的距离为eq \r(3)，则p为( )
A．2 B．4 C．2eq \r(3) D．4eq \r(3)
答案 B
解析 依题意得，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，
因为F到直线y＝eq \r(3)x的距离为eq \r(3)，
所以eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\r(3)×\f(p,2))),\r(3＋1))＝eq \r(3)，
所以|p|＝4，因为p>0，所以p＝4.
3．已知双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的eq \r(2)倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为( )
A.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,4)＝1 B.eq \f(y2,4)－eq \f(x2,4)＝1
C.eq \f(y2,4)－eq \f(x2,8)＝1 D.eq \f(x2,8)－eq \f(y2,4)＝1
答案 B
解析 由题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,2a＋2b＝\r(2)×2c，,a2＋b2＝c2，))
解得a＝2，b＝2.易知双曲线的焦点在y轴上，
所以双曲线的标准方程为eq \f(y2,4)－eq \f(x2,4)＝1.
4．古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2均在x轴上，C的面积为2eq \r(3)π，过点F1的直线交C于点A，B，且△ABF2的周长为8.则C的标准方程为( )
A.eq \f(x2,4)＋y2＝1 B.eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,4)＝1
C.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 D.eq \f(x2,16)＋eq \f(4y2,3)＝1
答案 C
解析 因为△ABF2的周长为8，
所以|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝8⇒|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝8⇒(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝8，
由椭圆的定义可知，|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，
所以2a＋2a＝8⇒a＝2，
由题意可得abπ＝2eq \r(3)π，
解得b＝eq \r(3)，
因为椭圆的焦点在x轴上，
所以C的标准方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.
5．2020年3月9日，我国在西昌卫星发射中心用长征三号运载火箭，成功发射北斗系统第54颗导航卫星．第54颗导航卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆．设地球半径为R，若其近地点、远地点离地面的距离大约分别是eq \f(1,15)R，eq \f(1,3)R，则第54颗导航卫星运行轨道(椭圆)的离心率是( )
A.eq \f(2,5) B.eq \f(1,5) C.eq \f(2,3) D.eq \f(1,9)
答案 D
解析 如图，以运行轨道的中心为原点，
长轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系，
令地心F2为椭圆的右焦点，
设标准方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，
则地心F2的坐标为(c,0)，其中a2＝b2＋c2.
由题意，得a－c＝R＋eq \f(1,15)R，a＋c＝R＋eq \f(1,3)R，
解得2a＝eq \f(12,5)R,2c＝eq \f(4,15)R，所以e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,9).
6．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为( )
A.eq \f(x2,5)－eq \f(y2,4)＝1 B.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1
C.eq \f(x2,3)－eq \f(y2,6)＝1 D.eq \f(x2,6)－eq \f(y2,3)＝1
答案 A
解析 双曲线的一条渐近线方程为y＝eq \f(b,a)x，
即bx－ay＝0，
x2＋y2－6x＋5＝0变形为(x－3)2＋y2＝4，
∴圆心为(3,0)，r＝2，
∴eq \f(|3b|,\r(a2＋b2))＝2，
∴3b＝2c，∴9(c2－a2)＝4c2，
∵c＝3，∴a2＝5，b2＝4，
∴双曲线方程为eq \f(x2,5)－eq \f(y2,4)＝1.
二、多项选择题
7．设椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,3)＝1的右焦点为F，直线y＝m(0A．|AF|＋|BF|为定值
B．△ABF的周长的取值范围是[6,12]
C．当m＝eq \f(\r(3),2)时，△ABF为直角三角形
D．当m＝1时，△ABF的面积为eq \r(6)
答案 ACD
解析 设椭圆的左焦点为F′，
则|AF′|＝|BF|，∴|AF|＋|BF|＝|AF|＋|AF′|＝6为定值，A正确；
△ABF的周长为|AB|＋|AF|＋|BF|，
∵|AF|＋|BF|为定值6，
|AB|的取值范围是(0,6)，
∴△ABF的周长的取值范围是(6,12)，B错误；
将y＝eq \f(\r(3),2)与椭圆方程联立，
可解得Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3\r(3),2)，\f(\r(3),2)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3\r(3),2)，\f(\r(3),2)))，又∵F(eq \r(6)，0)，
∴eq \(AF,\s\up6(→))·eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(6)＋\f(3\r(3),2)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(6)－\f(3\r(3),2)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)))2＝0，
∴△ABF为直角三角形，C正确；
将y＝1与椭圆方程联立，解得A(－eq \r(6)，1)，B(eq \r(6)，1)，
∴S△ABF＝eq \f(1,2)×2eq \r(6)×1＝eq \r(6)，D正确．
8．下列判断正确的是( )
A．抛物线y2＝x与直线x＋y－eq \r(2)＝0仅有一个公共点
B．双曲线x2－y2＝1与直线x＋y－eq \r(2)＝0仅有一个公共点
C．若方程eq \f(x2,4－t)＋eq \f(y2,t－1)＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则eq \f(5,2)D．若方程eq \f(x2,4－t)＋eq \f(y2,t－1)＝1表示焦点在y轴上的双曲线，则t>4
答案 BD
解析 对于A，抛物线方程y2＝x与直线方程x＋y－eq \r(2)＝0联立，消去x，可得y2＋y－eq \r(2)＝0，Δ＝1＋4eq \r(2)>0，所以抛物线y2＝x与直线x＋y－eq \r(2)＝0有两个公共点，故A错误；
对于B，双曲线x2－y2＝1的渐近线方程为y＝±x，直线x＋y－eq \r(2)＝0与渐近线y＝－x平行，故双曲线x2－y2＝1与直线x＋y－eq \r(2)＝0仅有一个公共点，故B正确；
对于C，若方程eq \f(x2,4－t)＋eq \f(y2,t－1)＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则4－t>t－1>0，解得1对于D，若方程eq \f(x2,4－t)＋eq \f(y2,t－1)＝1表示焦点在y轴上的双曲线，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4－t<0，,t－1>0，))解得t>4，故D正确．
三、填空题
9．设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为________．
答案 (x－1)2＋y2＝4
解析 抛物线y2＝4x中，2p＝4，p＝2，焦点F(1,0)，准线l的方程为x＝－1，
以F为圆心，且与l相切的圆的方程为 (x－1)2＋y2＝22，即(x－1)2＋y2＝4.
10．已知双曲线eq \f(x2,m)－eq \f(y2,m＋6)＝1(m>0)的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的标准方程为________．
答案 eq \f(x2,2)－eq \f(y2,8)＝1
解析 由题意可得，a2＝m，b2＝m＋6，
则实轴长为2eq \r(m)，虚轴长为2eq \r(m＋6)，
由题意有2eq \r(m)×2＝2eq \r(m＋6)，
解得m＝2，
代入eq \f(x2,m)－eq \f(y2,m＋6)＝1，可得双曲线方程为eq \f(x2,2)－eq \f(y2,8)＝1.
11．设P是抛物线y2＝2x上任意一点，则点P到直线x－y＋3＝0的距离的最小值为________，点P的坐标为________．
答案 eq \f(5\r(2),4) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))
解析 方法一 设P(x0，y0)是y2＝2x上任意一点，
则点P到直线x－y＋3＝0的距离
d＝eq \f(|x0－y0＋3|,\r(2))＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(y\\al(2,0),2)－y0＋3)),\r(2))＝eq \f(|y0－12＋5|,2\r(2))，
当y0＝1时，dmin＝eq \f(5\r(2),4)，
此时点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)).
方法二 设与抛物线相切且与直线x－y＋3＝0平行的直线方程为x－y＋m＝0(m≠3)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＋m＝0，,y2＝2x，))
得y2－2y＋2m＝0，
因为Δ＝(－2)2－4×2m＝0，
所以m＝eq \f(1,2).
所以平行直线的方程为x－y＋eq \f(1,2)＝0，
此时点到直线的最短距离转化为两平行线之间的距离，
则dmin＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(3－\f(1,2))),\r(2))＝eq \f(5\r(2),4)，此时点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)).
12．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的焦距为2c，右顶点为A，抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c，且|AF|＝c，则双曲线的渐近线方程为________．
答案 y＝±x
解析 由已知|OA|＝a，|AF|＝c，
|OF|＝eq \f(p,2)＝b，
把y＝－eq \f(p,2)＝－b代入双曲线方程eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1，得x2＝2a2，
所以直线y＝－eq \f(p,2)被双曲线截得的线段长为2eq \r(2)a，
从而2eq \r(2)a＝2c，c＝eq \r(2)a，
所以a2＋b2＝2a2，
所以a＝b，所以所求渐近线方程为y＝±x.
四、解答题
13．已知双曲线过点(3，－2)，且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若点M在双曲线上，F1，F2为左、右焦点，且|MF1|＋|MF2|＝6eq \r(3)，试判断△MF1F2的形状．
解 (1)椭圆方程可化为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1，
焦点在x轴上，且c＝eq \r(9－4)＝eq \r(5)，
故设双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，
则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(9,a2)－\f(4,b2)＝1，,a2＋b2＝c2，))解得a2＝3，b2＝2.
所以双曲线的标准方程为eq \f(x2,3)－eq \f(y2,2)＝1.
(2)不妨设M点在右支上，则有|MF1|－|MF2|＝2eq \r(3) ，
又|MF1|＋|MF2|＝6eq \r(3)，
故解得|MF1|＝4eq \r(3)，|MF2|＝2eq \r(3)，
又|F1F2|＝2eq \r(5)，
因此在△MF1F2中，|MF1|边最长，
而cs ∠MF2F1＝eq \f(|MF2|2＋|F1F2|2－|MF1|2,2|F1F2||MF2|)<0 ，
所以∠MF2F1为钝角，故△MF1F2为钝角三角形．
14．设O为坐标原点，动点M在椭圆C：eq \f(x2,2)＋y2＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足eq \(NP,\s\up6(→))＝eq \r(2)eq \(NM,\s\up6(→)).
(1)求点P的轨迹方程；
(2)设点Q在直线x＝－3上，且eq \(OP,\s\up6(→))·eq \(PQ,\s\up6(→))＝1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
(1)解 设P(x，y)，M(x0，y0)，
则N(x0，0)，eq \(NP,\s\up6(→))＝(x－x0，y)，eq \(NM,\s\up6(→))＝(0，y0)，
由eq \(NP,\s\up6(→))＝eq \r(2)eq \(NM,\s\up6(→))得x0＝x，y0＝eq \f(\r(2),2)y.
因为M(x0，y0)在C上，所以eq \f(x2,2)＋eq \f(y2,2)＝1.
因此点P的轨迹方程为x2＋y2＝2.
(2)证明 由题意知F(－1,0)，设Q(－3，t)，P(m，n)，
则eq \(OQ,\s\up6(→))＝(－3，t)，eq \(PF,\s\up6(→))＝(－1－m，－n)，eq \(OQ,\s\up6(→))·eq \(PF,\s\up6(→))＝3＋3m－tn，eq \(OP,\s\up6(→))＝(m，n)，eq \(PQ,\s\up6(→))＝(－3－m，t－n)．
由eq \(OP,\s\up6(→))·eq \(PQ,\s\up6(→))＝1，得－3m－m2＋tn－n2＝1，
又由(1)知m2＋n2＝2，故3＋3m－tn＝0.
所以eq \(OQ,\s\up6(→))·eq \(PF,\s\up6(→))＝0，
即eq \(OQ,\s\up6(→))⊥eq \(PF,\s\up6(→)).又过点P存在唯一直线垂直于OQ，
所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
15．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)经过点P(1,2)．过点Q(0，1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N.
(1)求直线l的斜率的取值范围；
(2)设O为原点，eq \(QM,\s\up6(→))＝λeq \(QO,\s\up6(→))，eq \(QN,\s\up6(→))＝μeq \(QO,\s\up6(→))，求证：eq \f(1,λ)＋eq \f(1,μ)为定值．
(1)解 因为抛物线y2＝2px经过点P(1,2)，
所以4＝2p，解得p＝2，
所以抛物线的方程为y2＝4x.
由题意可知直线l的斜率存在且不为0，
设直线l的方程为y＝kx＋1(k≠0)．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝4x，,y＝kx＋1，))得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.
依题意得，Δ＝(2k－4)2－4×k2×1>0，
解得k<0或0故直线l不过点(1，－2)．从而k≠－3.
所以直线l斜率的取值范围是(－∞，－3)∪(－3,0)∪(0,1)．
(2)证明 设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由(1)知x1＋x2＝－eq \f(2k－4,k2)，x1x2＝eq \f(1,k2).
直线PA的方程为y－2＝eq \f(y1－2,x1－1)(x－1)．
令x＝0，得点M的纵坐标为yM＝eq \f(－y1＋2,x1－1)＋2＝eq \f(－kx1＋1,x1－1)＋2.
同理得点N的纵坐标为yN＝eq \f(－kx2＋1,x2－1)＋2.
由eq \(QM,\s\up6(→))＝λeq \(QO,\s\up6(→))，eq \(QN,\s\up6(→))＝μeq \(QO,\s\up6(→))，
得λ＝1－yM，μ＝1－yN.
所以eq \f(1,λ)＋eq \f(1,μ)＝eq \f(1,1－yM)＋eq \f(1,1－yN)
＝eq \f(x1－1,k－1x1)＋eq \f(x2－1,k－1x2)
＝eq \f(1,k－1)·eq \f(2x1x2－x1＋x2,x1x2)
＝eq \f(1,k－1)·eq \f(\f(2,k2)＋\f(2k－4,k2),\f(1,k2))＝2.
所以eq \f(1,λ)＋eq \f(1,μ)为定值．