2020-2021学年3.5 探索与表达规律教案及反思

3.5.2 探索与表达规律教案

教学目标：

1．能利用字母表示及其代数式运算解释具体问题中蕴含的一般规律或现象．

2．能综合所学知识解决实际问题和数学问题，发展学生应用数学的意识，培养学生的实践能力和创新意识．

3．在解决问题的过程中体验归纳、分析、猜想、抽象还有类比、转化等思维方法，发展学生抽象思维能力，培养学生良好的思维品质．

4．通过对实际问题中规律的探索，体验“从特殊到一般、再到特殊”的辩证思想，激发学生的探究热情和对数学的学习热情．

教学重点、难点：

重点：探索实际问题中蕴涵的关系和规律．

难点：用字母、符号表示一般规律．

教法与学法指导：

由于学生对生活中熟悉的日历及其简单图形的规律的探索，在学生的头脑中已经基本形成了探索规律的方法和技巧，为本节课的顺利完成做好了铺垫．虽然规律的发现相对较难，但学生完全可以通过“做数学”开展独立探索或小组合作学习完成学习任务．所以，本节课教师先从复习上节课学生感兴趣的几个规律入手，在引入到学生较为感兴趣的数字游戏，设置悬念，为学生提供了充分的探索规律的活动，让学生在经历符号化的过程后，进一步体会用字母表示数和用代数式表示规律的含义和方法，进一步体会“从特殊到一般、再到特殊”的辩证思想．本节内容具有较强的趣味性、挑战性和探索性，是一节极好的培养学生数学兴趣和爱好的数学活动课，更是一节培养学生学会研究数学问题的探究课．

课前准备：多媒体课件

教学过程：

一、复习回顾，引入新课

（多媒体出示：）

师：我们上节课研究了日历的哪些规律？

（生回答合理就应予以鼓励．）

师：其实在我们周围的生活中存在着大量的数学信息，希望同学们做生活的有心人。下面我们来做一个数字游戏，只要你按照我说的去做，我就可以猜出你心中所想的的数，同学们信不信？（教师的情绪一定要高涨．）

生：不信．

师：（多媒体出示）请你任意想一个数，将这个数减去1后乘以2，再减去3，然后加上5，将最后的结果告诉老师.让老师猜猜你心中想的那个数是几？

（学生开始在心中默默计算．）

师：谁来试一试。

生：10

师：5

生：48

师：24

……

（学生诧异）

师：同学们一定想知道老师是怎么猜到的？这个游戏的奥秘在哪里？

（学生积极参与，跃跃欲试.）

[板书课题：3.5 探索与表达规律（2）]

设计意图：由此问学生复习加深日历的一些规律如3×3的正方形、2×2的正方形、H、N、M、W、I、X型等，并同时调动起了学生的积极性.

实际效果：通过数字游戏创设问题情境，目的是让学生在玩中形成认知冲突，激发学生的学

习兴趣和探究欲望，为本节课作好情感、方法和思维铺垫，同时也让学生呼之欲出由“任意”想到“字母表示数”．结果是学生的情绪特别高涨，只是猜测推理有些慢，无从入手．

二、合作探究、展示交流

师：大家要想明白这个原理，我们先解决一下课本99页的这个数字游戏.请大家看大屏幕：（多媒体出示）

师：大家都在心里想一到两个两位数，按照上述规则计算一下，然后把你的结果告诉同位，互相猜测一下彼此心里所想的两位数，探讨一下你心里所想先后两数之间它们有什么关系？你会有什么发现吗？

生：动起来，而且气氛有些活跃.

师：你能用语言描述你的发现吗？ 

生：经过探讨后得出：结果为原两位数与15的和.

师：你能用字母表示并借助代数式运算解释其中的道理吗？

（生分组讨论后展示）

生：用a、b分别表示一个两位数的十位数字和个位数字，那么这个两位数可以表示为10a+b，则5(2a+3)+b=10a+b+15. 

生：规律：结果为原两位数与15的和.

生：原来这么简单！（有的同学开始叫出来）

设计意图：一是给学生自主探究的时间和空间，让学生学会独立思考问题的习惯，再次经历探索数量关系、运用符号表示规律、通过计算验证规律的过程，进一步发展其符号感.二是给学生交流表达的机会，让学生明确说理的方法和技巧，并能对简单的规律进行解释.虽然刚开始学生无从入手，一旦老师开了头学生立马明确了方向.

实际效果：联系学生实际学数学，学生就会感到熟悉，设置有戏疑难让学生感到既新奇又急于解决，学生就会感到有事做，就会感到自身的价值。因此，学生就有了对该问题探究的欲望，也有了想解开数学神秘的好奇心，更有了想往后面学习的情感储备和思维、灵感储备.

师：大家不是认为这个游戏简单吗，那么请大家自己解决刚开始老师说的那个数字游戏，可以讨论.

（生分组讨论后很快找到规律，并展示）

生：可以设这个数为a，则可得：2(a-1)-3+5=2a-2-3+5=2a.

设计意图：趁着学生情绪高涨，趁热打铁很容易就解决了这个数字游戏，并且加深了学生的理解和记忆.

师：你能设计类似的数字游戏并解释其中的道理吗？

要求生以小组为单位设计游戏，鼓励学生大胆设想，也可猜年龄和电话号码等.

小组1：（小组长展示）我们由1号学生随便想一个两位数，将十位数字加上5，然后乘以10，再把所得新数减去50，最后把得到的新数加上个位数字.最后将结果告诉我们，我们就知道1号学生心里想的两位数了，结果还是原数.

原理是：（小组长在黑板写下式子）用a、b分别表示一个两位数的十位数字和个位数字，那么这个两位数可以表示为10a+b，则10(a+5)-50+b=10a+50-50+b=10a+b. 

小组2：（3号学生展示）我们是由4号学生随便想一个数，并将此数字乘以2加3，然后乘以5减5，最后再除以10.最后告诉我们结果，我们很轻松就知道同伴所想的数了，结果比原数大1.

原理是：（3号学生在黑板写下式子）用a表示这个数，则

［5(2 a +3)-5］÷10=（10 a +15-5）÷10=（10 a +10）÷10=a+1

小组3：（1号学生展示）我们设计的是猜电话号码游戏，就是我设计的：1、2位是3 的5倍，3、4位是3 的32倍，5、6、7位是445，8、9位是3 的25倍，10、11位是3 的27倍多1.结果大家很容易猜出来了是15964457582.是您的号码.

原理是：（1号学生在黑板开始计算）1、2位是3×5=15，3、4位是3×32=96，5、6、7位是445，8、9位是3×25=75倍，10、11位是3×27+1=82，所以是15964467582.

（由于是数学老师的电话号码，游戏又比较容易，小组3的展示惹得下面学生哈哈大笑，不过课堂气氛变得更融洽了.）

设计意图：这个设计数字游戏具有较强的开放性，同时又体现了设计过程是解释过程的逆向思维——往往需要先设计好代数式及其简化结果，再由此赋予鲜活的背景。所以有利于培养学生的创造性思维和创新意识.再者活跃了课堂气氛，激发了学生的求知欲，并巩固新知.三是通过学生合作、交流、展示表达，提高了学生的综合能力.

三、训练反馈、应用提升

师：下面大家再跟着老师做两个数字游戏.

1.P100随堂练习，摆棋子游戏.（多媒体出示）

有三堆棋子，数目相等，每堆至少有4枚. 从左堆中取出3枚放入中堆，从右堆取出4枚放入中堆，再从中堆中取出与左堆剩余棋子数相同的棋子数放入左堆，这时中堆的棋子数是多少？请做一做，并解释其中的道理.

生：情绪激动，跃跃欲试.（生每个桌上有课前准备的棋子.）

师：请每位同学们自己动手试试，找出其中奥妙.

生：很快发现无论开始每堆摆几枚，只要数目相等，按规则取拿之后，结果中堆的棋子数都是10，也就是说结果与你开始摆的棋子数目无关.

小组代表：列代数式、进行代数式运算，验证规律，解开游戏的奥秘：

第一堆            第二堆              第三堆

第一步 分发三堆数目相同的棋子      a                 a                   a

第二步 从左堆中取出3枚放入中堆    a-3               a+3                 a

第三步 从右堆取出4枚放入中堆      a-3               a+3+4               a-4

第四步 从中堆取出与左堆剩余棋子    a-3              (a+3+4)-(a-3)=10     a-4

数目相等的棋子放入左堆

设计意图：通过玩这个游戏，课堂气氛空前的热烈，都在积极地活动.同时通过合作学习，锻炼了学生的合作意识，促进了学生发散思维的形成.

2.（多媒体出示）破译密码 L dp d vwxghqw. 你能看出这些字母代表什么意思吗？如果给你一把破译它的“钥匙”x-3，联想英文字母表中字母的顺序，你再试试能不能解读它.

（答案：英文字母表中，字母是按以下顺序排列的：

a b c d e f g h I j k l m n o p r s t u v w x y z

如果规定a又接在z的后面，使26个字母排成圈，并能想到x-3可能代表“把一个字母换成字母表中从它向前移动3位的字母”，按这个规律就有：

L dp d vwxghqw. 变成  I am a student.

这样，就能解读它的意思了.）

3.你能否自己设计一个类似的密码游戏呢？

设计意图：通过游戏调动学生的积极性，并巩固和应用新知.效果还是不错的.

四、课堂小结，反思提升

师：请同学们谈谈学习本节课的收获和体会，包括基本知识和基本方法.请用自己的语言表述.

生：学生发言非常积极，而且能够准确全面的表述，达到了预期的目的.

设计意图：让学生自己回顾本节课的主要内容，促进学生由“被动状态”向相应的“主动状态”转变，让学生准确全面的表述自己的观点，既巩固了新知又培养了及时归纳总结的习惯.

五、达标检测，反馈矫正

A组  基础巩固题

    1．观察下列球的排列规律(其中●是实心球，○是空心球)：

●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●……，从第1个球起到第2012个球止，共有实心球__________个．

2．下图一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，……，第n(n是正整数)个图案中由__________个基础图形组成．

B组 能力挑战题

1.下列图案是运河古城窗格的一部分，其中“○”代表窗纸上所贴的剪纸，则第n个图中所贴剪纸“○”的个数为__________．

2.用棋子按如图方式摆正方形:

（1）照这样的规律摆下去，摆第4个正方形需要多少颗棋子？

（2）探究：摆第n个正方形需要多少颗棋子？

(师生共同反馈矫正.)

六、布置作业，拓展延伸

必做题：课本第100页，习题3.9 第1、2、3题.

选择题：

美国学生的怪题

蓬蓬国王为了获得贫穷老百姓的支持，图一个“乐善好施”的好名声，决定施舍每个男人1美元，每个女人40美分（1美元等于100美分）.为了不使他花费过多，这位陛下盘算来盘算去，最后想出了一个妙法，决定将他的直升机于正午12时在一个贫困的山村着陆.因为他十分清楚，在那个时刻，村庄里有60％的男人都外出打猎去了.该村庄里共有成年人口3085人，儿童忽略不计，女性比男性多.请问，这位“精打细算”的国王要施舍掉多少钱？

（答案：山村里究竟有多少男人，多少女人，题中没有说明，条件残缺不全，这道题能做吗？

假定村庄里有l000个男人．那么因为60％的男人都打猎去了，所以国工只能碰到400个男人，再加上料理家务的2085个女人，所以国王施舍的钱应当是1×400＋0.4×2085=400+834=1234（美元）.如果村庄里只有500个男人，那么国王能碰到的男人只有500×（1-0.6）=200（人），他的开销应是1×200＋0.4×2585=1234（美元）.假定这个村庄里一个男人也没有，国王碰到的全是女人，他的施舍支出竟然还是1234美元！三种情况下所得答数竟然完全一样！

听说这道题出自一位著名数学教育家之手.美国的孩子很喜欢做这一类刁钻古怪的开放性问题.

这真是一道怪题！试试看用代数方法能不能揭穿这道题的怪异之处.设村庄里有男人x人，那么女人有（3085-x）人，国工施舍的钱数为：（1-0.6）x＋0.4（3085-x）=0.4x＋1234-0.4x=1234（美元）.原来国王施舍的钱数与村庄里的男人数无关！）

板书设计

教学反思

本节课说是带领学生做数字游戏，其实就是探索数字规律．几个问题的设置确确实实带动了学生的积极性，课堂气氛热烈，时常有精彩的表现，出现欲罢不能的场面．尤其在谈本节课的收获与体会时，同学们畅所欲言，一位平时数学成绩较差的同学谈到：过去认为数学枯燥、乏味，没想到数学原来如此有趣．有的学生发出感叹：生活中处处有数学．不过关键是教师要指导学生如何入手，学生一旦明确方法，积极性和解题速度就上来了，且小组间探讨情绪高涨．可以说是一节较好地体现了以生为本的新理念和“动手实践、自主探索、合作交流”新要求的课．

需要注意的：课堂气氛一旦热烈，容易失控，教师要适时把握课堂情绪可时间，否则完不成预定的教学任务．不要为了完成教学任务而加快教学速度，急于给出结论，让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考，掩盖了其他学生的疑问．

在今后的教学中要恰到好处地给足学生的时间和空间，给他们“做数学”的过程，让他们亲身经历实践、观察、猜想、归纳、验证、交流的过程，并在此过程中鼓励学生大胆尝试，从中获得成功的经验，激发学生的学习热情．