人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）巩固练习

课时作业36　用二分法求方程的近似解

时间：45分钟

——基础巩固类——

1．函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的变号零点的个数为(　D　)

A．0　　　　　B．1　　　　　C．2　　　　　D．3

解析：函数f(x)的图象通过零点时穿过x轴，则必存在变号零点．根据图象得函数f(x)有3个变号零点．故选D.

2．下列关于函数f(x)，x∈[a，b]的命题中，正确的是(　A　)

A．若x0∈[a，b]且满足f(x0)＝0，则x0是f(x)的一个零点

B．若x0是f(x)在[a，b]上的零点，则可以用二分法求x0的近似值

C．函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根，但f(x)＝0的根不一定是函数f(x)的零点

D．用二分法求方程的根时，得到的都是近似解

解析：使用“二分法”必须满足“二分法”的使用条件，B不正确；f(x)＝0的根也一定是函数f(x)的零点，C不正确；用二分法求方程的根时，得到的也可能是精确解，D不正确，只有A正确．

3．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是(　A　)

A．[－2,1]   B．[－1,0]

C．[0,1]   D．[1,2]

解析：∵f(－2)＝－3<0，f(1)＝6>0，f(－2)·f(1)<0，故可以取区间[－2,1]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算．故选A.

4．用二分法求函数y＝f(x)在区间(2,4)上的唯一零点的近似值时，验证f(2)·f(4)<0，取区间(2,4)的中点x1＝＝3，计算得f(2)·f(x1)<0，则此时零点x0所在的区间是(　B　)

A．(2,4)  B．(2,3)

C．(3,4)  D．无法确定

解析：∵f(2)·f(4)<0，f(2)·f(3)<0，∴f(3)·f(4)>0，∴x0∈(2,3)．

5．设函数y＝x2与y＝x－2的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是(　B　)

A．(0,1)  B．(1,2)

C．(2,3)  D．(3,4)

解析：令f(x)＝x2－x－2，

因f(1)＝1－1－2＝1－2<0，

f(2)＝22－0＝4－1>0，

故x0∈(1,2)，故选B.

6．已知二次函数f(x)＝x2－x－6在区间[1,4]上的图象是一条连续的曲线，且f(1)＝－6<0，f(4)＝6>0.由零点存在性定理可知函数在[1,4]内有零点．用二分法求解时，取(1,4)的中点a，则f(a)＝－2.25.

解析：(1,4)的中点为2.5.

f(2.5)＝2.52－2.5－6＝－2.25.

7．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：

据此数据，可得方程 3x－x－4＝0的一个近似解(精确度0.01)可取1.562_5.

解析：由f(1.562 5)＝0.003>0，f(1.556 2)＝－0.029<0，方程3x－x－4＝0的一个近似解在(1.556 2,1.562 5)上，且满足精确度0.01，所以所求近似解可取1.562 5.

8．在26枚崭新的金币中，有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点)，现在只有一台天平，则应用二分法的思想，最多称4次就可以发现这枚假币．

解析：将26枚金币平均分成两份，放在天平上，则假币一定在质量小的那13枚金币里面；从这13枚金币中拿出1枚，然后将剩下的12枚金币平均分成两份，放在天平上，若天平平衡，则假币一定是拿出的那一枚；若不平衡，则假币一定在质量小的那6枚金币里面；将这6枚金币平均分成两份，放在天平上，则假币一定在质量小的那3枚金币里面；从这3枚金币中任拿出2枚放在天平上，若天平平衡，则剩下的那一枚即是假币；若不平衡；则质量小的那一枚即是假币．综上可知，最多称4次就可以发现这枚假币．

9．证明方程6－3x＝2x在区间[1,2]内有唯一一个实数解，并求出这个实数解．(精确度0.1)

证明：设函数f(x)＝2x＋3x－6，

因为f(1)＝－1<0，f(2)＝4>0，

又因为f(x)是增函数，所以函数f(x)＝2x＋3x－6在区间[1,2]内有唯一的零点，

则方程6－3x＝2x在区间[1,2]内有唯一一个实数解，

设该解为x0，则x0∈[1,2]，

取x1＝1.5，f(1.5)≈1.33>0，f(1)·f(1.5)<0，

所以x0∈(1,1.5)，

取x2＝1.25，f(1.25)≈0.128>0，f(1)·f(1.25)<0，

所以x0∈(1,1.25)．

取x3＝1.125，f(1.125)≈－0.444<0，

f(1.125)·f(1.25)<0，

所以x0∈(1.125,1.25)，

取x4＝1.187 5，f(1.187 5)≈－0.16<0，

f(1.187 5)·f(1.25)<0，

所以x0∈(1.187 5,1.25)，

因为|1.25－1.187 5|＝0.062 5<0.1，

所以1.187 5可作为这个方程的实数解．

——能力提升类——

10．已知图象连续不断的函数y＝f(x)在区间(0,0.1)上有唯一零点，如果用“二分法”求这个零点(精确度为0.01)的近似值，则应将区间(0,0.1)等分的次数至少为(　B　)

A．3  B．4

C．5  D．6

解析：由<0.01，得2n>10，

所以n的最小值为4，故选B.

11．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：

那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似解(精确到0.1)为(　C　)

A．1.2  B．1.3

C．1.4  D．1.5

解析：依据题意，因为f(1.375)＝－0.260，

且f(1.437 5)＝0.162，

故可取[1.375,1.437 5]内任一数值作为近似解．

又由题意，近似解精确到0.1，

故方程的一个近似解为1.4，故选C.

12．已知x0是函数f(x)＝2x＋的一个零点，若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，求证：f(x1)<0，f(x2)>0.

证明：∵f(x)＝2x＋，

∴f(x)的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)．

∴设x1，x2∈(1，＋∞)，且x1<x2，

∴f(x1)－f(x2)＝(2x1－2 x2)＋

＝(2 x1－2 x2)＋<0，

∴f(x)在(1，＋∞)上是增函数．

同理可得f(x)在(－∞，1)上也是增函数．

又∵x0是f(x)的一个零点，且x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，∴f(x1)<0，f(x2)>0.