2021年山东省青岛市中考数学学业水平模拟试卷（一） 解析版

这是一份2021年山东省青岛市中考数学学业水平模拟试卷（一） 解析版，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，作图题请用直尺，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）﹣4的相反数（ ）
A．4B．﹣4C．D．﹣
2．（3分）下列4个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）2020年6月，北斗系统最后一颗全球组网卫星发射后成功入轨，可为全球用户提供定位、导航服务．2020年8月3日，有关部门表示，2020年我国卫星导航与位置服务产业产值预计将超过4000亿元．把4000亿元用科学记数法表示为（ ）
A．4×1012元B．4×1010元C．4×1011元D．4000×108元
4．（3分）如图所示的几何体的左视图是（ ）
A．B．C．D．
5．（3分）如图，△ABC的3个顶点都在格点上，将△ABC先向下平移1个单位长度，再关于原点O中心对称，得到△A'B'C'，则点A的对应点A'的坐标是（ ）
A．（5，5）B．（﹣4，﹣5）C．（﹣5，﹣4）D．（﹣5，﹣5）
6．（3分）如图，在⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若∠DBA＝40°，则∠BAC的度数是（ ）
A．40°B．30°C．15°D．10°
7．（3分）如图，将矩形ABCD沿BE，DF折叠，使点A，C的对应点A'，C′分别落在对角线BD上，连接EF，交BD于点O．若AB＝6，AD＝8，则OE的长度是（ ）
A．B．C．2D．2
8．（3分）一次函数y＝acx+b与二次函数y＝ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．（3分）计算：（﹣）×＝ ．
10．（3分）甲、乙、丙、丁4位同学5次数学测验成绩统计如表所示．如果从这4位同学中选出1位同学参加数学竞赛，那么应选 （填“甲”“乙”“丙”或“丁”）去．
11．（3分）如图，正方形ABCD的两个顶点B，D在反比例函数y＝的图象上，对角线AC，BD的交点恰好是坐标原点O．已知正方形的面积为2，则k的值是 ．
12．（3分）已知二次函数y＝x2﹣ax+4的图象与直线y＝ax有且只有1个交点，则a的值为 ．
13．（3分）如图，已知正方形ABCD的边长为5，对角线AC，BD交于点O，点E为BC边上一点，连接DE，取DE的中点F，连接OF，CF．若OF＝1.5，则点O到CF的距离为 ．
14．（3分）如图是一些全部由相同的小正方体拼成的“幻方组合体”的俯视图．它们每行、每列、每条对角线上的小正方体块数都相同．若将A，B，C…视为不同的组合体，则要把组合体A变成其他的“幻方组合体”，至少要移动 块小正方体．
三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹.
15．（4分）如图，已知△ABC，AC＞AB，求作一个△PBC，使PB＝PC，且∠BPC＝∠A．（保留作图痕迹，不写作法．）
四、解答题（本大题共9小题，共74分）
16．（8分）（1）计算：（a﹣）÷．
（2）解不等式组：．
17．（6分）随着新冠肺炎疫情形势逐渐好转，各地陆续开学．某校设立4个服务岗：①卫生服务岗，②防护服务岗，③就餐服务岗，④活动服务岗．王老师和张老师报名参加了服务工作，学校将报名的老师们随机分配到4个服务岗．
（1）王老师被分配到“卫生服务岗”的概率为 ；
（2）用列表或画树状图的方法求王老师和张老师被分配到同一个服务岗的概率．
18．（6分）如图，一个水池的两端分别为A，B两点，在岸上选一点C，使点C能直接到达A，B两点，连接AC，BC．若BC＝221m，∠ABC＝58°，∠ACB＝45°，求A，B两点之间的距离（结果保留整数）．（参考数据：sin58°≈0.85，cs58°≈0.53，tan58°≈1.60．）
19．（6分）某小区建成后，少数住户在8月份入住，大部分住户选择从9月份起陆续入住，至9月21日该小区住户全部入住．小丽统计了该小区9月份30天的垃圾量（单位：千克）．
（1）该小区9月份的垃圾量的平均数为 ．
（2）若这个小区9月份前7天的垃圾量的方差为s12，中间14天的垃圾量的方差为s22，后9天的垃圾量的方差为s32，请直接写出s12，s22，s32的大小关系．
（3）若这个小区8月31日的垃圾量为50千克，入住户数为30，估计该小区共有 户住户．
（4）请你通过计算估计该小区10月份的垃圾总量．
20．（8分）某学校为进一步做好疫情防控工作，计划购进A，B两种口罩．已知每箱A种口罩比每箱B种口罩多10包，每箱A种口罩和每箱B种口罩的价格分别是630元和600元，而每包A种口罩和每包B种口罩的价格分别是这一批口罩平均每包价格的0.9倍和1.2倍．
（1）求这一批口罩平均每包的价格是多少元．
（2）如果购进A，B两种口罩共5500包，最多购进3500包A种口罩，为了使总费用最低，应购进A种口罩和B种口罩各多少包？总费用最低是多少元？
21．（8分）如图，在▱ABCD中，点E是对角线AC，BD的交点，过点E作两条互相垂直的直线，分别与AB，BC，CD，DA相交于点P，M，Q，N．
（1）求证：△BEP≌△DEQ．
（2）依次连接P，M，Q，N这4个点，四边形PMQN是何特殊四边形？请说明理由．
22．（10分）如图，一座温室实验室的横截面由抛物线和矩形OAA'B组成，矩形的长是16m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y＝﹣x2+bx+c表示，CD为一排平行于地面的加湿管．
（1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶到地面的距离．
（2）若加湿管的长度至少是12m，加湿管与拱顶的距离至少是多少米？
（3）若在加湿管上方还要再安装一排恒温管（两排管道互相平行），且恒温管与加湿管相距1.25m，恒温管的长度至少是多少米？
23．（10分）相传古印度一座梵塔圣殿中铸有一片巨大的黄铜板，之上树立了3根宝石柱，其中一根宝石柱上插有中心有孔的64个大小两两相异的1寸厚的金盘，小金盘压着较大的金盘．如图，把这些金盘全部一个一个地从1柱移动到3柱上去，移动过程中不允许大金盘压小金盘，不得把金盘放到柱子之外．
[问题提出]
如果将这64个金盘按上述要求全部从1柱移动到3柱，至少需要移动多少次？
设h（n）是把n个金盘从1柱移动到3柱过程中的最少移动次数．
[问；题探究]
探究一：当n＝1时，显然h（1）＝1．
探究二：当n＝2时，如图①．
探究三：当n＝3时，如图②．
探究四：当n＝4时，先用h（3）的方法把较小的3个金盘移动到2柱，再将最大金盘移动到3柱，最后再用h（3）的方法把较小的3个金盘从2柱移动到3柱，完成，即h（4）＝ （直接写出结果）．
…
[初级模型]
若将x个金盘按要求全部从1柱移动到3柱，至少需要移动a次；将（x+1）个金盘按要求全部从1柱移动到3柱，至少需要移动 次（用含a的代数式表示）．
[自主探究]
仿照“问题探究”中的方法，将6个金盘按要求全部从1柱移动到3柱，至少需要多少次？（写出必要的计算过程．）
[最终模型]
综合收集到的数据探索规律可知：将64个金盘按上述要求全部从1柱移动到3柱，至少需要移动 次．
[问题变式]
若在原来条件的基础上，再添加1个条件：每次只能将金盘向相邻的柱子移动（即：2柱的金盘可以移动到1柱或3柱，但1柱或3柱的金盘只能移动到2柱），则移动完64个金盘至少需要移动 次．
24．（12分）在如图所示的平面直角坐标系中，直线AB：y＝﹣x+b经过点A（0，8），与x轴相交于点B．直线CD从与直线AB重合的位置开始，以每秒5个单位长度的速度沿x轴正方向平移，且平移过程中四边形ABCD始终为平行四边形．同时，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿y轴向点O运动，连接PB．作BE⊥CD于E．设运动时间为t（秒）（0＜t≤3）．
（1）求直线AB的函数关系式和点B的坐标．
（2）设五边形APBED的面积为S（平方单位），写出S与t的函数关系式，并求出当t为何值时，五边形APBED的面积为68平方单位．
（3）若点E关于x轴的对称点为F，当t为何值时，F，B，P三点共线？
（4）连接PE，交AB于点G，当t为何值时，点G是AB的中点？
2021年山东省青岛市中考数学学业水平模拟试卷（一）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）﹣4的相反数（ ）
A．4B．﹣4C．D．﹣
【分析】根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答．
【解答】解：﹣4的相反数4．
故选：A．
2．（3分）下列4个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．据此进行分析即可．
【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
3．（3分）2020年6月，北斗系统最后一颗全球组网卫星发射后成功入轨，可为全球用户提供定位、导航服务．2020年8月3日，有关部门表示，2020年我国卫星导航与位置服务产业产值预计将超过4000亿元．把4000亿元用科学记数法表示为（ ）
A．4×1012元B．4×1010元C．4×1011元D．4000×108元
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．据此解答即可．
【解答】解：4000亿元＝400000000000元＝4×1011元，
故选：C．
4．（3分）如图所示的几何体的左视图是（ ）
A．B．C．D．
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
【解答】解：从左向右看，得到的几何体的左视图是中间无线条的矩形．
故选：D．
5．（3分）如图，△ABC的3个顶点都在格点上，将△ABC先向下平移1个单位长度，再关于原点O中心对称，得到△A'B'C'，则点A的对应点A'的坐标是（ ）
A．（5，5）B．（﹣4，﹣5）C．（﹣5，﹣4）D．（﹣5，﹣5）
【分析】由题意可得点A的坐标为A（5，5），根据平移的性质可得，将△ABC先向下平移1个单位长度后点A的对应点坐标为（5，4），再根据关于原点中心对称的点的横坐标和纵坐标均互为相反数判断即可．
【解答】解：由题意可知A的坐标为A（5，5），
将△ABC先向下平移1个单位长度后点A的对应点坐标为（5，4）．
再作关于原点O的中心对称图形，得到△A′B′C′，则点A的对应点A′的坐标是（﹣5，﹣4）．
故选：C．
6．（3分）如图，在⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若∠DBA＝40°，则∠BAC的度数是（ ）
A．40°B．30°C．15°D．10°
【分析】连接AD，根据圆周角、弧的关系得到∠DAC＝40°，根据直角三角形的两锐角互余得到∠DAB＝50°，再根据角的和差即可得解．
【解答】解：连接AD，
∵D是的中点，
∴＝，
∴∠DBA＝∠DAC，
∵∠DBA＝40°，
∴∠DAC＝40°，
∵AB是直径，
∴∠D＝90°，
∴∠DAB+∠DBA＝90°，
∴∠DAB＝50°，
∴∠BAC＝∠DAB﹣∠DAC＝10°，
故选：D．
7．（3分）如图，将矩形ABCD沿BE，DF折叠，使点A，C的对应点A'，C′分别落在对角线BD上，连接EF，交BD于点O．若AB＝6，AD＝8，则OE的长度是（ ）
A．B．C．2D．2
【分析】首先通过ASA证明△ABE≌△CDF，得AE＝CF，可得四边形BFDE是平行四边形，在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD＝10，得OD＝5，在Rt△A'DE中，由勾股定理得：A'E2+42＝（8﹣A'E）2，解得：A'E＝3，再利用勾股定理求OE即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠C＝90°，AB∥CD，AD∥BC，AD＝BC＝8，AB＝CD＝6，
∴∠ABD＝∠CDB，
∵将矩形ABCD沿BE，DF折叠，使点A，C的对应点A'，C′分别落在对角线BD上，
∴∠ABE＝∠EBD＝，∠CDF＝∠FDB＝∠CDB，
∴∠ABE＝∠CDF，
在△ABE与△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴AE＝CF，
∴AD﹣AE＝BC﹣CF，
∴DE＝BF，
∵AD∥BC，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴OD＝OB，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD＝＝＝10，
∴OD＝，
由折叠性质可得：A'B＝AB＝6，∠BA'E＝∠A＝90°，
∴∠EA'D＝90°，A'D＝BD﹣A'B＝10﹣6＝4，
∴OA'＝OD﹣A'D＝5﹣4＝1，
由折叠性质得：AE＝A'E，
∴DE＝AD﹣AE＝AD﹣A'E＝8﹣A'E，
在Rt△A'DE中，由勾股定理得：
∴A'E2+42＝（8﹣A'E）2，
解得：A'E＝3，
在Rt△A'OE中，由勾股定理得：OE＝＝＝，
故选：B．
8．（3分）一次函数y＝acx+b与二次函数y＝ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】先由二次函数y＝ax2+bx+c的图象得到字母系数的正负，再与一次函数y＝acx+b的图象相比较看是否一致．
【解答】解：A、由抛物线可知，a＞0，b＜0，c＞0，则ac＞0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项不合题意；
B、由抛物线可知，a＞0，b＞0，c＞0，则ac＞0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项符合题意；
C、由抛物线可知，a＜0，b＞0，c＞0，则ac＜0，由直线可知，ac＜0，b＜0，故本选项不合题意；
D、由抛物线可知，a＜0，b＜0，c＞0，则ac＜0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项不合题意．
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．（3分）计算：（﹣）×＝ 9 ．
【分析】先化简括号内的式子，然后根据乘法分配律计算即可．
【解答】解：（﹣）×
＝（2﹣）×
＝2×﹣×
＝12﹣3
＝9，
故答案为：9．
10．（3分）甲、乙、丙、丁4位同学5次数学测验成绩统计如表所示．如果从这4位同学中选出1位同学参加数学竞赛，那么应选 乙 （填“甲”“乙”“丙”或“丁”）去．
【分析】先找到四人中平均数大的，即成绩好的；再从平均成绩好的人中选择方差小，即成绩稳定的，从而得出答案．
【解答】解：∵四位同学中乙、丙的平均成绩较高，且S乙2＜S丙2，
∴乙的成绩比丙的成绩更加稳定，
综上，乙的成绩高且稳定，
故答案为：乙．
11．（3分）如图，正方形ABCD的两个顶点B，D在反比例函数y＝的图象上，对角线AC，BD的交点恰好是坐标原点O．已知正方形的面积为2，则k的值是 ﹣ ．
【分析】根据正方形的性质得到四边形OMBN的面积，再根据反比例函数系数k的几何意义即可求出答案．
【解答】解：根据正方形的性质可知，
S四边形OMBN＝S正方形ABCD＝×2＝|k|，
∵k＜0，
∴k＝﹣，
故答案为：﹣．
12．（3分）已知二次函数y＝x2﹣ax+4的图象与直线y＝ax有且只有1个交点，则a的值为 ±2 ．
【分析】根据二次函数y＝x2﹣ax+4的图象与直线y＝ax有且只有1个交点，可知方程x2﹣ax+4＝ax有两个相等的实数根，从而可以得到a的值．
【解答】解：令x2﹣ax+4＝ax，
∴x2﹣2ax+4＝0，
∵二次函数y＝x2﹣ax+4的图象与直线y＝ax有且只有1个交点，
∴Δ＝（﹣2a）2﹣4×1×4＝0，
解得a＝±2，
故答案为：±2．
13．（3分）如图，已知正方形ABCD的边长为5，对角线AC，BD交于点O，点E为BC边上一点，连接DE，取DE的中点F，连接OF，CF．若OF＝1.5，则点O到CF的距离为 ．
【分析】根据正方形的性质得到CD＝BC＝5，BO＝DO，∠DBC＝45°，AC⊥BD，求得∠DOC＝90°，OC＝CD＝，根据三角形的中位线定理得到OF＝BE，OF∥BE，求得BE＝3，得到CF＝DE＝，过F作FH⊥OC于H，则△OFH是等腰直角三角形，设点O到CF的距离为x，根据三角形的面积公式即可得到答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝BC＝5，BO＝DO，∠DBC＝45°，AC⊥BD，
∴∠DOC＝90°，OC＝CD＝，
∵点F是DE的中点，
∴OF＝BE，OF∥BE，
∴∠DOF＝∠DBC＝45°，
∴∠FOC＝45°，
∵OF＝1.5，
∴BE＝3，
∴CE＝5﹣3＝2，
∴DE＝＝＝，
∴CF＝DE＝，
过F作FH⊥OC于H，
则△OFH是等腰直角三角形，
∴FH＝OF＝，
设点O到CF的距离为x，
∵S△COF＝OC•FH＝CF•x，
∴x＝＝，
∴点O到CF的距离为，
故答案为：．
14．（3分）如图是一些全部由相同的小正方体拼成的“幻方组合体”的俯视图．它们每行、每列、每条对角线上的小正方体块数都相同．若将A，B，C…视为不同的组合体，则要把组合体A变成其他的“幻方组合体”，至少要移动 6 块小正方体．
【分析】根据观察，可知正中间数为5，行列对角线上的三个数之和均为15，先把8与2固定，固定左下角的数，从而确定移动的个数．
【解答】解：根据观察，可知正中间数为5，行列对角线上的三个数之和均为15，
令两数8与2固定，设左下角为x则可填数如图所示：
由各数大于0且互不相等，
可知x可取4，6，
x取4时，即为A组合体，
x取6时，A需要移动6块小正方体．
故答案为：6．
三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹.
15．（4分）如图，已知△ABC，AC＞AB，求作一个△PBC，使PB＝PC，且∠BPC＝∠A．（保留作图痕迹，不写作法．）
【分析】作△ABC的外接圆⊙O，作线段BC的垂直平分线在BC的上方交⊙O于点P，作点P关于BC的对称点P′，连接PB，PC，P′B．P′C，即可．
【解答】解：如图，点P，点P′即为所求．
四、解答题（本大题共9小题，共74分）
16．（8分）（1）计算：（a﹣）÷．
（2）解不等式组：．
【分析】（1）先算括号内的减法，把除法变成乘法，最后算乘法即可；
（2）先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
【解答】解：（1）原式＝•
＝•
＝；
（2），
解不等式①，得x≤1，
解不等式②，得x＜4，
所以不等式组的解集是x≤1．
17．（6分）随着新冠肺炎疫情形势逐渐好转，各地陆续开学．某校设立4个服务岗：①卫生服务岗，②防护服务岗，③就餐服务岗，④活动服务岗．王老师和张老师报名参加了服务工作，学校将报名的老师们随机分配到4个服务岗．
（1）王老师被分配到“卫生服务岗”的概率为 ；
（2）用列表或画树状图的方法求王老师和张老师被分配到同一个服务岗的概率．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到王老师和张老师被分配到一个服务岗的结果，再利用概率公式求解即可．
【解答】解：（1）∵设立了四个“服务岗”，而“卫生服务岗”是其中之一，
∴P（王老师被分配到“卫生服务岗”）＝，
故答案为：；
（2）根据题意列表如下：
共有16种等可能的结果，其中王老师和张老师被分配到同一个服务岗的结果数为4，
所以王老师和张老师被分配到同一个服务岗的概率＝＝．
18．（6分）如图，一个水池的两端分别为A，B两点，在岸上选一点C，使点C能直接到达A，B两点，连接AC，BC．若BC＝221m，∠ABC＝58°，∠ACB＝45°，求A，B两点之间的距离（结果保留整数）．（参考数据：sin58°≈0.85，cs58°≈0.53，tan58°≈1.60．）
【分析】通过作高，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系，列方程求解即可．
【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D，
在Rt△ACD中，
∵∠ACB＝45°，
∴AD＝CD，
设AB＝xm，
在Rt△ADB中，
∵sin∠ABC＝，
∴AD＝AB•sin58°≈0.85x，
又∵cs∠ABC＝，
∴BD＝AB•cs58°≈0.53x，
又∵BC＝221m，即CD+BD＝221m，
∴0.85x+0.53x＝221，
解得，x≈160（m），
答：AB的长约为160m．
19．（6分）某小区建成后，少数住户在8月份入住，大部分住户选择从9月份起陆续入住，至9月21日该小区住户全部入住．小丽统计了该小区9月份30天的垃圾量（单位：千克）．
（1）该小区9月份的垃圾量的平均数为 173千克 ．
（2）若这个小区9月份前7天的垃圾量的方差为s12，中间14天的垃圾量的方差为s22，后9天的垃圾量的方差为s32，请直接写出s12，s22，s32的大小关系．
（3）若这个小区8月31日的垃圾量为50千克，入住户数为30，估计该小区共有 150 户住户．
（4）请你通过计算估计该小区10月份的垃圾总量．
【分析】（1）利用加权平均数公式求解即可．
（2）根据折线图的波动大小判断即可．
（3）设9月份该小区共有x户，则有＝，解方程，可得结论．
（4）用样本估计总体的思想解决问题．
【解答】解：（1）该小区9月份的垃圾量的平均数＝（80×7+170×14+250×9）＝173（千克）．
故答案为：174千克．
（2）观察折线统计图以及根据方差反映的是波动的大小可知：S12＞S22＞S32．
（3）设9月份该小区共有x户，则有＝，
解得x＝150．
答：估计该小区共有150户住户．
故答案为：150．
（4）10月份的垃圾总量约为250×31＝7750（千克）．
答：估计该小区10月份的垃圾总量为7750千克．
20．（8分）某学校为进一步做好疫情防控工作，计划购进A，B两种口罩．已知每箱A种口罩比每箱B种口罩多10包，每箱A种口罩和每箱B种口罩的价格分别是630元和600元，而每包A种口罩和每包B种口罩的价格分别是这一批口罩平均每包价格的0.9倍和1.2倍．
（1）求这一批口罩平均每包的价格是多少元．
（2）如果购进A，B两种口罩共5500包，最多购进3500包A种口罩，为了使总费用最低，应购进A种口罩和B种口罩各多少包？总费用最低是多少元？
【分析】（1）设这一批口罩平均每包的价格是x元，根据“每箱A种口罩比每箱B种口罩多10包，每箱A种口罩和每箱B种口罩的价格分别是630元和600元，而每包A种口罩和每包B种口罩的价格分别是这一批口罩平均每包价格的0.9倍和1.2倍”列分式方程解答即可；
（2）设购进A种口罩t包，这批口罩的总费用为w元，根据题意得出w与t的函数关系式，再根据t的取值范围以及一次函数的性质解答即可．
【解答】解：（1）设这一批口罩平均每包的价格是x元，根据题意得：
，
解得x＝20，
经检验，x＝20是原方程的解，并符合题意，
答：这一批口罩平均每包的价格是20元；
（2）由（1）可知，A种口罩每包价格为20×0.9＝18（元），
B种口罩每包价格为20×1.2＝24（元），
设购进A种口罩t包，这批口罩的总费用为w元，根据题意得：
w＝18t+24（5500﹣t）＝﹣6t+132000，
∵w是t的一次函数，k＝﹣6＜0，
∴w随t的增大而减小，
由∵t≤3500，
∴当t＝3500时，w最小，
此时B种口罩有：5500﹣3500＝2000（包），w＝﹣6×3500+132000＝111000，
答：购进A种口罩3500包，B种口罩2000包时，能使总费用最低，总费用最低是111000元．
21．（8分）如图，在▱ABCD中，点E是对角线AC，BD的交点，过点E作两条互相垂直的直线，分别与AB，BC，CD，DA相交于点P，M，Q，N．
（1）求证：△BEP≌△DEQ．
（2）依次连接P，M，Q，N这4个点，四边形PMQN是何特殊四边形？请说明理由．
【分析】（1）由ASA证△PBE≌△QDE即可；
（2）由全等三角形的性质得出EP＝EQ，同理△BME≌△DNE（ASA），得出EM＝EN，证出四边形PMQN是平行四边形，由对角线PQ⊥MN，即可得出结论．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴EB＝ED，AB∥CD，
∴∠EBP＝∠EDQ，
在△PBE和△QDE中，
，
∴△PBE≌△QDE（ASA）；
（2）四边形PMQN是菱形，理由如下：
∵△PBE≌△QDE，
∴EP＝EQ，
同理：△BME≌△DNE（ASA），
∴EM＝EN，
∴四边形PMQN是平行四边形，
∵PQ⊥MN，
∴四边形PMQN是菱形．
22．（10分）如图，一座温室实验室的横截面由抛物线和矩形OAA'B组成，矩形的长是16m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y＝﹣x2+bx+c表示，CD为一排平行于地面的加湿管．
（1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶到地面的距离．
（2）若加湿管的长度至少是12m，加湿管与拱顶的距离至少是多少米？
（3）若在加湿管上方还要再安装一排恒温管（两排管道互相平行），且恒温管与加湿管相距1.25m，恒温管的长度至少是多少米？
【分析】（1）根据已知条件，用待定系数法求函数解析式，并用二次函数的性质求最值即可；
（2）先求出C点横坐标x＝2，再代入（1）中解析式求出y＝5.75，然后用8﹣5.75即可；
（3）先用求出y＝5.75+1.25＝7，先后代入解析式解方程，再求值即可．
【解答】解：（1）将点（0，4），（16，4）分别代入y＝﹣x2+bx+c中，
得：，
解得：，
∴y＝﹣x2+x+4＝﹣（x﹣8）2+8，
∵﹣＜0，
∴当x＝8时，y有最大值，最大值为8，
∴抛物线的函数关系式为y＝﹣x2+x+4，拱顶到地面的距离为8米；
（2）由题意得：8﹣12÷2＝2（米），
将x＝2代入y＝﹣x2+x+4中，
解得：y＝5.75，
8﹣5.75＝2.25（米），
∴加湿管与拱顶的距离至少是2.25米；
（3）5.75+1.25＝7（米），
由题意得：y≤7，
当﹣x2+x+4＝7时，
解得：x1＝4，x2＝12，
∵a＝﹣＜0，抛物线开口向下，
∴当y≤7时，x≤4或x≥12，
12﹣4＝8，
∴恒温管的长度至少是8米．
23．（10分）相传古印度一座梵塔圣殿中铸有一片巨大的黄铜板，之上树立了3根宝石柱，其中一根宝石柱上插有中心有孔的64个大小两两相异的1寸厚的金盘，小金盘压着较大的金盘．如图，把这些金盘全部一个一个地从1柱移动到3柱上去，移动过程中不允许大金盘压小金盘，不得把金盘放到柱子之外．
[问题提出]
如果将这64个金盘按上述要求全部从1柱移动到3柱，至少需要移动多少次？
设h（n）是把n个金盘从1柱移动到3柱过程中的最少移动次数．
[问；题探究]
探究一：当n＝1时，显然h（1）＝1．
探究二：当n＝2时，如图①．
探究三：当n＝3时，如图②．
探究四：当n＝4时，先用h（3）的方法把较小的3个金盘移动到2柱，再将最大金盘移动到3柱，最后再用h（3）的方法把较小的3个金盘从2柱移动到3柱，完成，即h（4）＝ 15 （直接写出结果）．
…
[初级模型]
若将x个金盘按要求全部从1柱移动到3柱，至少需要移动a次；将（x+1）个金盘按要求全部从1柱移动到3柱，至少需要移动 （2a+1） 次（用含a的代数式表示）．
[自主探究]
仿照“问题探究”中的方法，将6个金盘按要求全部从1柱移动到3柱，至少需要多少次？（写出必要的计算过程．）
[最终模型]
综合收集到的数据探索规律可知：将64个金盘按上述要求全部从1柱移动到3柱，至少需要移动 （264﹣1） 次．
[问题变式]
若在原来条件的基础上，再添加1个条件：每次只能将金盘向相邻的柱子移动（即：2柱的金盘可以移动到1柱或3柱，但1柱或3柱的金盘只能移动到2柱），则移动完64个金盘至少需要移动 （364﹣1） 次．
【分析】[问题探究]根据前3次的探究可以得出探究4；
[初级模型]根据前4次的探究可以得到（x+1）个金盘移动的次数；
[自主探究]根据前面的探究得出规律，然后得出结论；
[最终模式]根据自主探究得出规律即可；
[问题变式]先把n＝2时得出结论，再用相同的方法得出h（3），然后找出规律得出结论．
【解答】解：[问题探究]探究四：先用h（3）的方法把较小的3个盘移到2柱（需移动7次），
再将最大盘移到3柱（需移动1次），
最后用h（3）的方法把较小的3个盘从2柱移到3柱（需移动7次），
所以共需要7×2+1＝15次，
故答案为：15；
[初级模型]
由探究二可知，若将1个金盘按要求全部从1柱移动到2柱，需要1次，
则将2个金盘按要求全部从1柱移动到3柱，则需要1×2+1＝3次；
由探究三可知，若将2个金盘按要求全部从1柱移动到2柱，需要3次，
则将3个金盘按要求全部从1柱移动到3柱，则需要3×2+1＝7次；
由探究四可知，若将3个金盘按要求全部从1柱移动到2柱，需要7次，
则将4个金盘按要求全部从1柱移动到3柱，则需要7x2+1＝15次；
故若将x个金盘按要求全部从1柱移动到2柱，需要a次，
则将（x+1）个金盘按要求全部从1柱移动到3柱，则需要（2a+1）次，
故答案为：（2a+1）；
[自主探究]
h（4）＝15，
h（5）＝2h（4）＝2×15+1＝31，
h（6）＝2h（5）+1＝63，
∴至少需要63次；
[最终模式]
h（1）＝1，
h（2）＝3＝22﹣1，
h（3）＝7＝23﹣1，
h（4）＝15＝24﹣1，
．
h（64）＝264﹣1，
故答案为：264﹣1；
[问题变式]
每次只能将盘子向相邻的柱子移动，
故当n＝2时，小盘移到2柱，需要1次，再将小盘移到3柱，需要1次；
将大盘移到2柱，需要1次，再将小盘移到2柱，需要1次，再将小盘移到1柱，需要1次，
将大盘移到3柱，需要1次，将小盘移到2柱，需要1次，再将小盘移到3柱，需要1次；
所以两个盘子需要了8次，
故h（2）＝8；
按照相同的思路可得：h（3）＝26；
∵h（2）＝8＝32﹣1，
h（3）＝26＝33﹣1，
∴h（64）＝364﹣1．
故答案为：（364﹣1）．
24．（12分）在如图所示的平面直角坐标系中，直线AB：y＝﹣x+b经过点A（0，8），与x轴相交于点B．直线CD从与直线AB重合的位置开始，以每秒5个单位长度的速度沿x轴正方向平移，且平移过程中四边形ABCD始终为平行四边形．同时，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿y轴向点O运动，连接PB．作BE⊥CD于E．设运动时间为t（秒）（0＜t≤3）．
（1）求直线AB的函数关系式和点B的坐标．
（2）设五边形APBED的面积为S（平方单位），写出S与t的函数关系式，并求出当t为何值时，五边形APBED的面积为68平方单位．
（3）若点E关于x轴的对称点为F，当t为何值时，F，B，P三点共线？
（4）连接PE，交AB于点G，当t为何值时，点G是AB的中点？
【分析】（1）把点A的坐标代入解析式求解即可得解析式，再令y＝0，求解可得点B的坐标；
（2）根据面积的和差关系可得解析式，根据题意列出方程，求解并检验即可得到答案；
（3）根据相似三角形的判定与性质列出分式方程，求解可得答案；
（4）作EH⊥BC于H，GM⊥AO于M，GN⊥EH于N，根据相似三角形的判定与性质列出分式方程，求解可得答案．
【解答】解：（1）∵直线AB：y＝﹣x+b经过点A（0，8），
∴8＝﹣×02+b，
∴b＝8，
∴直线AB解析式为：y＝﹣x+8，
令y＝0，则﹣x+8＝0，
∴x＝6，
∴B（6，0）．
（2）S＝S四边形AOCD﹣S△POB﹣S△BCE
＝﹣﹣，
即S＝﹣6t2+46t，
由题意得，﹣6t2+46t＝68，
∴t1＝（舍去），t2＝2，
答：当t＝2时，五边形APBED的面积为68平方单位．
（3）∵∠PBO＝∠FBC，∠FBC＝∠EBC，
∴∠PBO＝∠EBC，
∴△PBO∽△CBE，
∴＝，
即，
∴t＝，
经检验，t＝是分式方程的解，且符合题意，
答：当t＝时，F，B，P三点共线．
（4）如图，作EH⊥BC于H，GM⊥AO于M，GN⊥EH于N，
由题意得，△PGM∽△EGN，
∴＝，
即，
∴t＝，
经检验，t＝是分式方程的解，且符合题意，
答：当t＝时，点G是AB的中点．
甲
乙
丙
丁
平均分
85
90
90
85
方差
50
42
50
42
时段
1﹣7日
8﹣21日
22﹣30日
平均数
80
170
250
甲
乙
丙
丁
平均分
85
90
90
85
方差
50
42
50
42
①
②
③
④
①
（①，①）
（②，①）
（③，①）
（④，①）
②
（①，②）
（②，②）
（③，②）
（④，②）
③
（①，③）
（②，③）
（③，③）
（④，③）
④
（①，④）
（②，④）
（③，④）
（④，④）
时段
1﹣7日
8﹣21日
22﹣30日
平均数
80
170
250