高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质综合训练题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质综合训练题，共13页。试卷主要包含了下列函数中是奇函数的为，判断下列函数的奇偶性等内容，欢迎下载使用。

题组一 函数奇偶性及其图象特征
1.已知函数f(x)=mx2+nx+2m+n是偶函数,其定义域为[m+1,-2n+2],则( )
A.m=0,n=0B.m=-3,n=0
C.m=1,n=0D.m=3,n=0
2.(2021天津部分区高一上期中)下列函数中是奇函数的为( )
A. f(x)=x2+1B. f(x)=x+2x
C. f(x)=x2+xD. f(x)=2x+1
3.若y=f(x)(x∈R)是奇函数,则下列坐标表示的点一定在y=f(x)图象上的是( )
A.(a,-f(a))B.(-a,-f(a))
C.(-a,-f(-a))D.(a, f(-a))
4.已知y=f(x),x∈(-a,a),F(x)=f(x)+f(-x),则F(x)( )
A.是奇函数 B.是偶函数
C.既是奇函数又是偶函数 D.是非奇非偶函数
5.(2021山西太原高一上期中)已知f(x)是定义在[-6,6]上的奇函数,且f(5)>f(2),则f(-2)与f(-5)的大小关系是: f(-2) f(-5).(填“>”“=”或“<”)
6.(2020山东济南高一上期末)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈[0,+∞)时, f(x)=x2+2x,则f(-1)= .
7.(2020北京通州高一上期末)能说明“若f(x)是奇函数,则f(x)的图象一定过原点”是假命题的一个函数是f(x)= .
8.(2021天津第二南开学校高一上期中)判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=xx2+2;
(2)f(x)=1+x+1-x.
题组二 函数奇偶性的综合运用
9.(2021天津河东高一上期中)设偶函数f(x)的定义域为R,当x∈[0,+∞)时, f(x)是增函数,则f(-2), f(π), f(-3)的大小关系是( )
A. f(π)>f(-3)>f(-2) B. f(π)>f(-2)>f(-3)
C. f(π)10.(2021江苏南通如东高一上期中)已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则满足f(2x-1)A.-∞,34 B.14,34 C.-∞,14∪34,+∞ D.0,34
11.(2021北京人大附中高一上期中)若定义在R上的函数f(x)=(x+2)(x-a)是偶函数,则f(3)= .
12.(2021天津部分区高一上期中)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时, f(x)=x(1+x).
(1)画出函数f(x)的图象;
(2)求函数f(x)的解析式.
13.(2021山东省实验中学高一上期中)已知函数f(x)=1-2x.
(1)若函数g(x)=f(x)-a为奇函数,求a的值;
(2)试判断函数f(x)在(0,+∞)上的单调性,并用定义证明.
能力提升练
题组一 函数的奇偶性
1.()已知F(x)=(x3-2x)f(x),且f(x)是定义在R上的奇函数,f(x)不恒等于零,则F(x)为( )
A.奇函数 B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数
2.()已知f(x+y)=f(x)+f(y)对任意实数x,y都成立,则函数f(x)是( )
A.奇函数 B.偶函数
C.既是奇函数,也是偶函数 D.既不是奇函数,也不是偶函数
3.()函数f(x)=-4x2+12x4的大致图象是( )
4.(2020黑龙江哈三中高一上第一次阶段性验收,)下列函数是偶函数的是( )
A.f(x)=x3-1x B.f(x)=1-x2|x-2|-2
C.f(x)=(x-1)1+x1-x D.f(x)=|2x+5|+|2x-5|
5.(2020河南郑州高一上期末,)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+4)=f(x)恒成立,且f(1)=1,则f(3)+f(4)+f(5)的值为( )

A.-1B.1 C.2 D.0
6.(2021山东省实验中学高一上期中,)设函数f(x)的定义域为(-1,1),且满足:
①x∈(-1,0)时, f(x)>0;
②f(x)+f(y)=fx+y1+xy,x,y∈(-1,1).
则f(x)是 函数(填“奇”或“偶”),且f(x)在定义域上是 函数(填“增”或“减”).
7.()判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=x2-1+1-x2;
(2)f(x)=2x2+2xx+1;
(3)f(x)=x(1-x)(x<0),x(1+x)(x>0).
题组二 函数奇偶性的综合运用
8.(2021山东淄博高一上期中,)已知偶函数f(x)在(-∞,0]上单调递减,且f(4)=0,则不等式xf(x)>0的解集为( )
A.(-4,0)∪(4,+∞)
B.(-∞,-4)∪(0,4)
C.(-4,0)∪(0,4)
D.(-∞,-4)∪(4,+∞)
9.(2021江苏徐州一中高一上期中,)已知f(x)是定义在R上的奇函数,对任意两个正数x1,x2,都有f(x1)-f(x2)x1-x2<0,且f(2)=0,则满足(x-1)f(x)>0的x的取值范围是( )
A.(-∞,-2)∪(0,1)∪(2,+∞)
B.(-2,0)∪(1,2)
C.(-2,1)∪(2,+∞)
D.(-∞,-2)∪(1,2)
10.(多选)(2021江苏徐州六县高一上期中,)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(-∞,0)时, f(x)=-x2+2x,则下列说法正确的是( )
A.当x∈(0,+∞)时, f(x)=x2-2x
B.函数f(x)在定义域R上为增函数
C.不等式f(3x-2)<3的解集为(-∞,1)
D.不等式f(x)-x2+x-1>0恒成立
11.(2021山东临沂部分学校高一上期中,)已知函数y=f(x),y=g(x)的定义域为R,且y=f(x)+g(x)为偶函数,y=f(x)-g(x)为奇函数,若f(2)=2,则g(-2)= .
12.(2021北京人大附中高一上期中,)奇函数f(x)的定义域为(-1,1), f(x)在第一象限的图象是圆心在原点,半径为1的圆弧,如图所示,则不等式f(x)13.(2020北京西城高一上期末,)已知函数f(x)=|x|+1x2-1.
(1)证明:f(x)为偶函数;
(2)用定义证明:f(x)是(1,+∞)上的减函数;
(3)当x∈[-4,-2]时,求f(x)的值域.
14.(2021北京交大附中高一上期中,)已知函数f(x)=ax2+bx+1(a,b为实数),x∈R.
(1)若f(-1)=0,且函数f(x)的值域为[0,+∞),求f(x)的解析式;
(2)在(1)的条件下,当x∈[-2,2]时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,求实数k的取值范围;
(3)若f(x)为偶函数,且a>0,设F(x)=f(x),x>0,-f(x),x<0,mn<0,m+n>0,判断F(m)+F(n)是否大于零,请说明理由.
15.(2021江苏徐州六县高一上期中,)已知函数f(x)是定义在(-2,2)上的奇函数,满足f(1)=15,当-2(1)求函数f(x)的解析式;
(2)判断f(x)的单调性,并利用定义证明;
(3)解不等式f(2x-1)+f(x)<0.
答案全解全析
基础过关练
1.B 由f(x)=mx2+nx+2m+n是偶函数,得n=0.又函数的定义域为[m+1,-2n+2],所以m+1=2n-2,则m=-3.
2.B 选项A中, f(x)是偶函数;选项B中, f(x)是奇函数;选项C、D中, f(x)是非奇非偶函数.故选B.
3.B ∵f(x)为奇函数,∴f(-a)=-f(a),
∴点(-a,-f(a))在函数y=f(x)的图象上.
4.B ∵x∈(-a,a),其定义域关于原点对称,且F(-x)=f(-x)+f(x)=F(x),∴F(x)是偶函数.
5.答案 >
解析 因为f(x)是定义在[-6,6]上的奇函数,所以f(5)=-f(-5), f(2)=-f(-2),
若f(5)>f(2),则-f(-5)>-f(-2),变形可得f(-2)>f(-5).
6.答案 -3
解析 因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈[0,+∞)时, f(x)=x2+2x,
所以f(-1)=-f(1)=-(12+2×1)=-3.
7.答案 1x(答案不唯一)
解析 举出x=0不在定义域内的奇函数即可,如f(x)=1x,答案不唯一.
8.解析 (1)易知f(x)=xx2+2的定义域为R,
任取x∈R,都有f(-x)=-xx2+2=-f(x),
故f(x)为奇函数.
(2)由f(x)=1+x+1-x,得1+x≥0,1-x≥0,解得-1≤x≤1,即函数的定义域为[-1,1],
任取x∈[-1,1],都有f(-x)=1-x+1+x=f(x),
故f(x)是偶函数.
9.A 由函数f(x)是偶函数知, f(-3)=f(3), f(-2)=f(2),又x∈[0,+∞)时f(x)是增函数,∴f(π)>f(3)>f(2),∴f(π)>f(-3)>f(-2),故选A.
10.B ∵f(x)为偶函数,
∴f(-x)=f(x)=f(|x|),
∴f(2x-1)又函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,
∴|2x-1|<12,即-12<2x-1<12,
∴1411.答案 5
解析 因为函数f(x)=(x+2)(x-a)是定义在R上的偶函数,
所以f(-1)=f(1),即-1-a=3(1-a),解得a=2,所以f(3)=5,故答案为5.
12.解析 (1)函数f(x)的图象如图所示:
(2)由题意可知,当x=0时, f(0)=0;
当x<0时,-x>0,∴f(-x)=-x(1-x),
又f(-x)=-f(x),∴f(x)=x(1-x).
故函数f(x)的解析式为f(x)=x(1+x),x≥0,x(1-x),x<0.
13.解析 (1)由已知得g(x)=f(x)-a=1-a-2x,∵g(x)是奇函数,
∴g(-x)=-g(x),
即1-a-2-x=-1-a-2x,
解得a=1.
(2)函数f(x)在(0,+∞)上是增函数.
证明如下:任取x1,x2∈(0,+∞),且x1则f(x1)-f(x2)=1-2x1-1-2x2
=2(x1-x2)x1x2,
∵00,
从而2(x1-x2)x1x2<0,∴f(x1)∴函数f(x)在(0,+∞)上是增函数.
能力提升练
1.B 依题意得F(x)的定义域为R,且F(-x)=(-x3+2x)f(-x)=(x3-2x)f(x)=F(x),所以F(x)为偶函数,故选B.
2.A 易知f(x)的定义域为R.
令x=y=0,得f(0)=f(0)+f(0),
所以f(0)=0.
令y=-x,得f(x-x)=f(x)+f(-x)=0,所以f(-x)=-f(x),所以f(x)是奇函数,故选A.
3.D 易知函数f(x)=-4x2+12x4是偶函数,排除选项B,C;当x=2时, f(2)=-1532<0,对应点在第四象限,故排除A.故选D.
4.D 在选项A中,f(x)=x3-1x(x≠0), f(-x)=-x3+1x,f(-x)=-f(x),是奇函数;在选项B中,f(x)=1-x2|x-2|-2=1-x2-x(-1≤x≤1,x≠0),f(-x)=1-x2x, f(-x)=-f(x),是奇函数;在选项C中,f(x)=(x-1)·1+x1-x(-1≤x<1),是非奇非偶函数;在选项D中,f(x)=|2x+5|+|2x-5|(x∈R), f(-x)=|-2x+5|+|-2x-5|=|2x+5|+|2x-5|, f(x)=f(-x),是偶函数,故选D.
5.D ∵f(x)是R上的奇函数, f(1)=1,
∴f(-1)=-f(1)=-1, f(0)=0.
依题意得f(3)=f(-1+4)=f(-1)=-1,
f(4)=f(0+4)=f(0)=0,f(5)=f(1+4)=f(1)=1.
因此, f(3)+f(4)+f(5)=-1+0+1=0,故选D.
陷阱提示 在有关奇函数f(x)的求值问题中,要注意当f(x)在x=0处有意义时, f(0)=0这个特殊情况,否则可能会出现已知条件不足,导致问题解决不了的情况.
6.答案 奇;减
解析 f(x)+f(y)=fx+y1+xy,
令x=y=0,则f(0)+f(0)=f(0),所以f(0)=0,
令y=-x,则f(x)+f(-x)=f(0)=0,又因为x∈(-1,1),
所以f(x)为奇函数.
任取x1,x2∈(-1,0),且x1因为-10,
所以x1-x21-x1x2<0,因为x1-x21-x1x2+1=(1+x1)(1-x2)1-x1x2>0,所以x1-x21-x1x2>-1,
所以-1由条件①得fx1-x21-x1x2>0,
所以f(x1)-f(x2)>0,
所以f(x)在(-1,0)上是减函数,
又f(x)为奇函数,
在(-1,0)上f(x)>0,
所以f(x)在(-1,1)上是减函数.
7.解析 (1)依题意得x2-1≥0,且1-x2≥0,即x=±1,
因此函数f(x)的定义域为{-1,1},关于原点对称,且f(x)=0.
∵f(-x)=-f(x), f(-x)=f(x),
∴f(x)既是奇函数又是偶函数.
(2)函数f(x)的定义域是(-∞,-1)∪(-1,+∞),不关于原点对称,
∴f(x)是非奇非偶函数.
(3)易得函数f(x)的定义域是D=(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.任取x∈D,
当x>0时,-x<0,∴f(-x)=(-x)[1-(-x)]=-x(1+x)=-f(x);
当x<0时,-x>0,∴f(-x)=-x(1-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数.
8.A 因为偶函数f(x)在(-∞,0]上单调递减,且f(4)=0,
所以根据偶函数的对称性可知, f(x)在(0,+∞)上单调递增,且f(-4)=0,
由xf(x)>0可得x>0,f(x)>0或x<0,f(x)<0,
即x>0,x>4或x<0,-4解得x>4或-49.B 因为f(x)对任意两个正数x1,x2,都有f(x1)-f(x2)x1-x2<0,
所以f(x)在(0,+∞)上单调递减,
根据奇函数的性质可知, f(0)=0, f(x)在(-∞,0)上单调递减且f(-2)=0,
由(x-1)f(x)>0可得x>1,f(x)>0或x<1,f(x)<0,
解得1故选B.
10.BC 对于A:已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(-∞,0)时, f(x)=-x2+2x,当x>0时,-x<0,则f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x,所以f(x)=x2+2x,故A错误;
对于B:易得f(x)=-x2+2x(x≤0),x2+2x(x>0),所以函数f(x)在定义域R上为增函数,故B正确;
对于C:不等式f(3x-2)<3等价于f(3x-2)对于D:当x≤0时, f(x)=-x2+2x, f(x)-x2+x-1=-2x2+3x-1=(-2x+1)(x-1)<0,故D错误.故选BC.
11.答案 2
解析 因为y=f(x)+g(x)为偶函数,y=f(x)-g(x)为奇函数,
所以f(-2)+g(-2)=f(2)+g(2)①,
f(-2)-g(-2)=g(2)-f(2)②,
由①②可得, f(2)=g(-2),若f(2)=2,则g(-2)=2.故答案为2.
12.答案 -22,0∪22,1
解析 因为奇函数f(x)的定义域为(-1,1),且f(x)在第一象限的图象是圆心在原点,半径为1的圆弧,所以函数f(x)的图象如图所示,
当f(x)=x时,解得x=22或x=-22,
由图知,不等式f(x)故答案为-22,0∪22,1.
13.解析 (1)证明:函数f(x)的定义域是{x|x∈R,且x≠±1},任取x∈{x|x∈R,且x≠±1},
都有f(-x)=|-x|+1(-x)2-1=|x|+1x2-1=f(x),
∴f(x)是偶函数.
(2)证明:当x>1时, f(x)=|x|+1x2-1=x+1x2-1=1x-1,任取x1,x2∈(1,+∞),且x1则f(x1)-f(x2)=1x1-1-1x2-1=x2-x1(x1-1)(x2-1),
∵10,x2-1>0,x2-x1>0,
∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
∴f(x)在(1,+∞)上是减函数.
(3)由(1)(2)知函数f(x)在[-4,-2]上是增函数,
∴f(x)min=f(-4)=|-4|+1(-4)2-1=13,
f(x)max=f(-2)=|-2|+1(-2)2-1=1,
∴所求值域为13,1.
14.解析 (1)由f(-1)=0可得a-b+1=0,
又函数的值域为[0,+∞),
所以a>0,Δ=b2-4a=0,所以a=1,b=2,
故函数f(x)的解析式为f(x)=x2+2x+1.
(2)由(1)可得g(x)=f(x)-kx=x2+(2-k)·x+1,
其图象开口向上,对称轴为直线x=k-22,
因为函数g(x)在区间[-2,2]上单调,
所以k-22≤-2或k-22≥2,
解得k≤-2或k≥6,
故k的取值范围为(-∞,-2]∪[6,+∞).
(3)F(m)+F(n)大于零,理由如下:
因为f(x)是偶函数,所以f(x)=ax2+1,
则F(x)=ax2+1,x>0,-ax2-1,x<0.
不妨设m>n,则n<0,m>0,又a>0,
所以F(m)+F(n)=f(m)-f(n)=(am2+1)-(an2+1)=a(m2-n2)=a(m+n)(m-n)>0,
故F(m)+F(n)大于零.
15.解析 (1)因为函数f(x)是定义在(-2,2)上的奇函数,
所以f(0)=0,即b4=0,解得b=0.
因为f(1)=15,所以f(-1)=-15=-a5,所以a=1,
所以当-2当x∈[0,2)时,-x∈(-2,0],
则f(x)=-f(-x)=--xx2+4=xx2+4.
综上所述, f(x)=xx2+4(-2(2)函数f(x)在(-2,2)上为增函数.证明如下:
任取x1,x2∈(-2,2),且x1则f(x1)-f(x2)=x1x12+4-x2x22+4
=x1x22+4x1-x2x12-4x2(x12+4)(x22+4)
=x1x2(x2-x1)-4(x2-x1)(x12+4)(x22+4)
=(x2-x1)(x1x2-4)(x12+4)(x22+4),
因为-20,x1x2-4<0,
所以(x2-x1)(x1x2-4)(x12+4)(x22+4)<0,
即f(x1)故f(x)=xx2+4在(-2,2)上为增函数.
(3)因为函数f(x)是定义在(-2,2)上的奇函数,
所以f(2x-1)+f(x)<0等价于f(x)<-f(2x-1)=f(1-2x),
由(2)知f(x)=xx2+4在(-2,2)上为增函数,
则x<1-2x,-2故原不等式的解集为x|-12