人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.5 函数的应用（二）当堂达标检测题

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4.5.3　函数模型的应用
基础过关练
题组一　利用已知函数模型解决问题
1.(2020山东青岛胶州高一期末)大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回出生地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v(单位:m/s)可以表示为v=12log3Q100,其中Q表示鱼的耗氧量的单位数.当一条鲑鱼的游速为32 m/s时,它的耗氧量的单位数为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.900 B.1 600 C.2 700 D.8 100
2.根据统计,一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位:分钟)为f(x)= cx,x0)
C.y=max+n(m>0,a>0,且a≠1)
D.y=mlogax+n(m>0,a>0,且a≠1)
10.现测得(x,y)的两组值为(1,2),(2,5),有两个拟合模型可供选用,甲:y=x2+1,乙:y=3x-1,若又测得(x,y)的一组对应值为(3,10.2),则应选用　　　　作为拟合模型较好. 
11.下表是某款车的车速与刹车后的停车距离的一组数据,试分别就y=a·ekx,y=axn,y=ax2+bx+c三种函数关系建立数学模型,并探讨最佳模拟函数,根据最佳模拟函数求车速为120 km/h时刹车后的停车距离.
车速(km/h)
10
15
30
40
50
停车距离(m)
4
7
12
18
25
车速(km/h)
60
70
80
90
100
停车距离(m)
34
43
54
66
80






能力提升练
题组一　利用已知函数模型解决问题　　　　　　 　　　　　 　　　　　
1.()Logistic模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位:天)的Logistic模型:I(t)=K1+e-0.23(t-53),其中K为最大确诊病例数.当I(t*)=0.95K时,标志着已初步遏制疫情,则t*约为(ln 19≈2.9) (　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.60 B.63 C.66 D.69
2.(2020北京房山高一期末,)当强度为x的声音对应的等级为f(x)分贝时,有f(x)=10lg xA0(其中A0为常数).装修时电钻发出的声音约为100分贝,普通室内谈话的声音约为60分贝.则装修时电钻发出的声音强度与普通室内谈话的声音强度的比值为 (　　)
A.53 B.1053 C.104 D.e4
3.(2020陕西咸阳高一期末,)在一定的储存温度范围内,某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储存温度x(单位:℃)之间满足函数关系y=ekx+b(e=2.718 28…为自然对数的底数,k,b为常数),若该食品在0 ℃时的保鲜时间为120小时,在30 ℃时的保鲜时间为15小时,则该食品在20 ℃时的保鲜时间为 (　　)
A.30小时 B.40小时 C.50小时 D.80小时
4.(2020山东泰安一中高一上期中,)山东新旧动能转换综合试验区是党的十九大后获批的首个区域性国家发展战略综合试验区,也是中国第一个以新旧动能转换为主题的区域发展战略综合试验区.泰安某高新技术企业决定抓住发展机遇,加快企业发展.已知该企业的年固定成本为500万元,每生产设备x(x>0)台,需另投入成本y1万元.若年产量不足80台,则y1=12x2+40x;若年产量不小于80台,则y1=101x+8 100x-2 180.每台设备售价为100万元,通过市场分析,该企业生产的设备能全部售完.
(1)写出年利润y(万元)关于年产量x(台)的关系式;
(2)当年产量为多少台时,该企业所获年利润最大?






题组二　建立函数模型解决问题
5.()某山区为加强环境保护,绿色植被的面积每年都比上一年增长10.4%,那么,经过x年,绿色植被的面积可增长为原来的y倍,则函数y=f(x)的图象大致为(　　)

6.(2021黑龙江大庆铁人中学高三上期中,)某化工厂生产一种溶液,按市场要求,杂质含量不能超过0.1%,若开始时含杂质2%,每过滤一次可使杂质含量减少14,要使产品达到市场要求,则至少应过滤的次数为(已知:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1) (　　)
A.8 B.9 C.10 D.11
7.(2020福建龙岩高一上期末,)原有一片面积为a的森林,计划每年砍伐一些树,且每年砍伐面积的百分比相等.经计算,当砍伐到原面积的一半时,所用时间是10年,为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的14,已知到今年为止,森林的剩余面积为原面积的22.
(1)求每年砍伐面积的百分比;
(2)到今年为止,已经砍伐了多少年?
(3)今后最多还能砍伐多少年?











8.()为了落实国务院“提速降费”的要求,某市移动公司欲下调移动用户消费资费.已知该公司共有移动用户10万人,人均月消费50元.经测算,若人均月消费下降x%,则用户人数会增加x8万人.
(1)若要保证该公司月总收入不减少,试求x的取值范围;
(2)为了布局“5G网络”,该公司拟投入资金进行5G网络基站建设,投入资金方式为每位用户月消费中固定划出2元进入基站建设资金,若使该公司总盈利最大,试求x的值.(总盈利资金=总收入资金-总投入资金)










题组三　拟合函数模型解决问题
9.(2020湖南宁乡一中高一月考,)某品牌电脑投放市场的第一个月销售了100台,第二个月销售了200台,第三个月销售了400台,第四个月销售了790台,则下列函数模型中能较好地反映销售量y与投放市场月数x之间关系的是 (　　)
A.y=100x B.y=50x2-50x+100 C.y=50×2x D.y=100log2x+100
10.(2020河北石家庄二中高一上月考,)如图①是某公共汽车线路收支差额y(元)与乘客量x(人)的图象.






由于目前本条线路亏损,公司有关人员提出了两种扭亏为赢的方案,根据图①上点A、点B以及射线AB上的点的实际意义,用文字说明图②方案是　　　　　,图③方案是　　　　　　　　. 
11.(2020辽宁大连高一上期中,)某纪念章从2019年10月1日起开始上市,通过市场调查,得到该纪念章每枚的市场价y(单位:元)与上市时间x(单位:天)的数据如下:
上市时间x(天)
4
10
36
市场价y(元)
90
51
90
(1)根据上表数据,从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系并说明理由:①y=ax+b;②y=ax2+bx+c(a≠0);③y=logax+b(a>0,且a≠1).
(2)利用你选取的函数,求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格.







12.(2020安徽安庆高一期末,)某科研团队对某一生物生长规律进行研究,发现其生长蔓延的速度越来越快,开始在某水域投放一定面积的该生物,经过2个月其覆盖面积为18平方米,经过3个月其覆盖面积达到27平方米.该生物覆盖面积y(单位:平方米)与经过月份x(x∈N)的关系有两个函数模型y=k·ax(k>0,a>1)与y=px+q(p>0)可供选择.
(1)试判断哪个函数模型更合适,并求出该模型的函数解析式;
(2)问约经过几个月,该水域中此生物的覆盖面积是当初投放时的1 000倍?(参考数据:2≈1.41,3≈1.73,lg 2≈0.30,lg 3≈0.48)







答案全解全析
基础过关练
1.C　当v=32时,32=12log3Q100,即log3Q100=3,故Q100=33=27,所以Q=2 700.故选C.
2.C　显然a>4,则由题意可得c4=30,ca=5,
解得c=60,a=144,故选C.
3.解析　(1)第一年投入的资金为200×(1+10%)万元,
第二年投入的资金为200×(1+10%)+200×(1+10%)×10%=200(1+10%)2万元,
……
故第x年(2019年为第一年)该企业投入的资金y(万元)与x的函数关系式为y=200(1+10%)x,其定义域为{x∈N*|x≤10}.
(2)由200(1+10%)x>400可得1.1x>2,即x>lg2lg1.1≈0.3010.041≈7.3,
即企业从第8年(2019年为第一年)开始,每年投入的资金将超过400万元.
4.解析　(1)根据题意,得45p0=p0e-k,
∴e-k=45,∴p(t)=p045t.
(2)由p(t)=p045t≤11 000 p0,得45t≤10-3,两边取对数并整理得t(1-3lg 2)≥3,∴t≥30.
因此,至少需过滤30个小时.
5.A　设这种商品的原价为a,则两次提价后的价格为a(1+10%)2=1.12·a,
又进行两次降价后的价格为1.12·a(1-10%)2=(1+0.1)2(1-0.1)2·a=0.992a