人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质同步测试题

5.4.3　正切函数的性质与图象

基础过关练

题组一　正切(型)函数的定义域、值域

1.已知x∈[0,2π],则函数y=+的定义域为 (　　)

A.  B.   C. D.

2.(2020山东枣庄高一下期末)函数y=tan 的定义域为　　　　. 

3.函数y=tan,x∈的值域为　　　　. 

4.已知函数y=-tan2x+4tan x+1,x∈,则其值域为　　　　. 

题组二　正切(型)函数的图象及其应用

5.函数y=tan在一个周期内的图象是 (　　)

6.函数f(x)=tan 2ωx(ω>0)的图象与直线y=2相交,相邻的两个交点间的距离为,则f的值是 (　　)

A.- B. C.1   D.

7.(多选)与函数y=tan的图象不相交的直线是 (　　)

A.x= B.x=- C.x= D.x=-

8.根据正切函数的图象,写出使不等式3+tan 2x≥0成立的x的取值集合.

题组三　正切(型)函数的周期性、奇偶性、单调性、图象的对称性

9.(2020河南洛阳高一下质量检测)y=tan 2x的最小正周期是 (　　)

A.  B.π C.2π D.3π

10.函数f(x)=sin xtan x (　　)

A.是奇函数           B.是偶函数

C.是非奇非偶函数    D.既是奇函数又是偶函数

11.函数y=2tan3x-的图象的对称中心不可能是 (　　)

A. B.

C. D.

12.函数y=2tan的一个单调递减区间是 (　　)

A. B.

C. D.

13.函数y=tan的最小正周期是　　　　,单调递增区间是　　　　　　　　. 

14.已知函数f(x)=3tan.

(1)求f(x)的定义域、值域;

(2)探究f(x)的周期性、奇偶性、单调性和图象的对称性.

能力提升练

题组一　正切(型)函数的定义域、值域

1.(2020吉林五地六校高一上期末联考,)函数y=的定义域是　　　　　　　. 

2.()函数y=的值域为　　　　. 

题组二　正切(型)函数的图象及其应用

3.(2020北京人大附中高一下阶段检测,)函数y=cos x·|tan x|的大致图象是 (　　)

4.(2020江西南昌八一中学、洪都中学等六校高一上期末联考,)设函数f(x)=(k∈Z),g(x)=sin|x|,则方程f(x)-g(x)=0在区间[-3π,3π]上的解的个数是              (　　)

A.7  B.8 C.9  D.10

5.(多选)()已知函数f(x)=则 (　　)

A. f(x)的值域为(-1,+∞)

B. f(x)的单调递增区间为(k∈Z)

C.当且仅当kπ-<x≤kπ(k∈Z)时,f(x)≤0

D. f(x)的最小正周期是2π

题组三　正切(型)函数性质的综合应用

6.(2020山东潍坊高一下期末,)若函数f(x)=tanωx+(ω>0)的最小正周期为π,则 (　　)

A. f(2)>f(0)>f

B. f(0)>f(2)>f

C. f(0)>f>f(2)

D. f>f(0)>f(2)

7.(2020河南鹤壁高级中学高一月考,)已知函数f(x)=mtan x-ksin x+2(m,k∈R),若f=1,则f= (　　)

A.1  B.-1 C.3  D.-3

8.(多选)()下列关于函数y=tan的说法正确的是 (　　)

A.在区间上单调递增

B.最小正周期是π

C.图象关于点成中心对称

D.图象关于直线x=成轴对称

9.(2020河南南阳高一下期末,)若不等式sin x-tan x+|tan x+sin x|-k≤0在x∈上恒成立,则k的取值范围是　　　　. 

10.()已知函数f(x)=x2+2xtan θ-1,其中θ≠+kπ,k∈Z.

(1)当θ=-,x∈[-1,]时,求函数f(x)的最大值与最小值;

(2)若函数g(x)=为奇函数,求θ的值;

(3)求使y=f(x)在区间[-1,]上是单调函数的θ的取值范围.

答案全解全析

基础过关练

1.C　由题意知∴函数的定义域为,故选C.

2.答案　

解析　解不等式≠kπ+(k∈Z),可得x≠2kπ+π(k∈Z),

因此,函数y=tan 的定义域为{x|x≠2kπ+π,k∈Z}.

3.答案　(-1,)

解析　∵x∈,

∴x-∈,

∴tan∈(-1,),

∴函数的值域为(-1,).

4.答案　[-4,4]

解析　∵-≤x≤,∴-1≤tan x≤1.

令tan x=t,则t∈[-1,1].

∴y=-t2+4t+1=-(t-2)2+5,t∈[-1,1].

易知函数在[-1,1]上单调递增,

∴当t=-1,即x=-时,ymin=-4,

当t=1,即x=时,ymax=4.

故所求函数的值域为[-4,4].

5.A　当x=时,tan=0,故排除C,D;当x=时,tan=tan ,无意义,故排除B.故选A.

6.A　∵函数f(x)=tan 2ωx(ω>0)的图象与直线y=2相交,相邻的两个交点间的距离为,

∴该函数的最小正周期为=,∴ω=1,

∴f(x)=tan 2x,则f=tan =-.故选A.

7.AD　令2x-=+kπ,k∈Z,得x=+,k∈Z,

∴直线x=+,k∈Z与函数y=tan2x-的图象不相交,

结合选项可知A、D符合.故选AD.

8.解析　如图所示,在同一平面直角坐标系中画出函数y=tan x,x∈的图象和直线y=-.

由图得,在区间内,不等式tan x≥-的解集是,

∴在函数y=tan x的定义域xx≠kπ+,k∈Z内,不等式tan x≥-的解集是.

令kπ-≤2x<kπ+(k∈Z),得-≤x<+(k∈Z),

∴使不等式3+tan 2x≥0成立的x的取值集合是.

9.A　y=tan 2x的最小正周期是T=.故选A.

10.B　f(x)的定义域为xx≠+kπ,k∈Z,关于原点对称,

又f(-x)=sin(-x)·tan(-x)=sin x·tan x=f(x),∴f(x)为偶函数.

11.D　对于函数y=2tan,令3x-=,k∈Z,得x=+,k∈Z,

所以函数y=2tan的图象的对称中心为,k∈Z,

取k=0,得对称中心为;

取k=-20,得对称中心为;

取k=7,得对称中心为.令+=,得k=∉Z,故对称中心不可能是.

12.C　y=2tan=-2tan.

令-+kπ<2x-<+kπ,k∈Z,

得-+<x<+,k∈Z.

令k=1,得<x<,故选C.

13.答案　;,k∈Z

解析　因为y=tan,所以T=.

令-+kπ<3x+<+kπ,k∈Z,

得-<x<+,k∈Z,

所以函数y=tan的单调递增区间是,k∈Z.

14.解析　(1)令x-≠+kπ,k∈Z,得x≠2kπ+,k∈Z,

∴f(x)的定义域为xx≠+2kπ,k∈Z,值域为R.

(2)f(x)为周期函数,由于f(x)=3tan=3tan=3tan=f(x+2π),

∴f(x)的最小正周期T=2π.易知f(x)的定义域不关于原点对称,故f(x)为非奇非偶函数.

令-+kπ<x-<+kπ,k∈Z,得-+2kπ<x<+2kπ,k∈Z,

∴函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z,无单调递减区间.

令x-=(k∈Z),得x=kπ+(k∈Z),∴函数f(x)的图象的对称中心是(k∈Z).

能力提升练

1.答案　

解析　要使函数有意义,则lotan x≥0,即lotan x≥lo1,

∴0<tan x≤1,∴kπ<x≤kπ+,k∈Z,

∴该函数的定义域是xkπ<x≤kπ+,k∈Z.

2.答案　(-∞,-1)∪(1,+∞)

解析　当-<x<0时,-1<tan x<0,所以<-1;

当0<x<时,0<tan x<1,所以>1.

即当x∈∪时,

函数y=的值域是(-∞,-1)∪(1,+∞).

3.C　依题意,y=cos x·|tan x|=由此判断出正确的选项为C.

故选C.

4.A　在同一平面直角坐标系中作出函数f(x)与g(x)在区间[-3π,3π]上的图象,如图所示.由图知:f(x)-g(x)=0在[-3π,3π]上解的个数为7,故选A.

陷阱分析　作图时要注意到当0<x<时,sin x<tan x,此时正弦曲线与正切曲线没有交点.

5.AD　当tan x>sin x,即kπ<x<kπ+(k∈Z)时, f(x)=tan x∈(0,+∞);

当tan x≤sin x,即kπ-<x≤kπ(k∈Z)时,f(x)=sin x∈(-1,1).

综上, f(x)的值域为(-1,+∞),故A正确;

f(x)的单调递增区间是和2kπ+π,2kπ+(k∈Z),故B错误;

当x∈(k∈Z)时,f(x)>0,故C错误;

结合f(x)的图象可知f(x)的最小正周期是2π,故D正确.

故选AD.

6.C　由函数f(x)=tan(ω>0)的最小正周期为π,

可得=π,解得ω=1,即f(x)=tan,

令-+kπ<x+<+kπ,k∈Z,

得-+kπ<x<+kπ,k∈Z,

当k=1时,<x<,即函数f(x)在上单调递增,

又f(0)=f(π),f=f=f,

且π>π>>2>,

所以f(0)>f>f(2).故选C.

7.C　解法一:∵f(x)=mtan x-ksin x+2(m,k∈R), f=1,∴f=mtan-ksin+2=m-k+2=1,

∴m-k=-1,

∴f=mtan-ksin+2=-m+k+2=3.

解法二:令g(x)=f(x)-2=mtan x-ksin x,易知g(x)为奇函数,

∴g=-g=-=-(1-2)=1,

即f-2=1,∴f=3.

8.BC　令kπ-<x+<kπ+,k∈Z,得kπ-<x<kπ+,k∈Z,显然不满足上述关系式,故A中说法错误;显然该函数的最小正周期为π,故B中说法正确;令x+=,k∈Z,得x=-,k∈Z,当k=1时,得x=,故C中说法正确;正切曲线没有对称轴,因此函数y=tan的图象也没有对称轴,故D中说法错误.故选BC.

9.答案　[2,+∞)

解析　∵tan x+sin x=+sin x=,x∈,

∴sin x>0,1+cos x>0,cos x<0,

∴tan x+sin x<0,

∴ sin x-tan x+|tan x+sin x|=sin x-tan x-tan x-sin x=-2tan x,

∵不等式sin x-tan x+|tan x+sin x|-k≤0在x∈上恒成立,

∴k≥-2tan x在x∈上恒成立,

∴k≥(-2tan x)max=2.

故k的取值范围是[2,+∞).

10.解析　(1)当θ=-时, f(x)=x2-x-1=-.

∵x∈[-1,],且f(x)的图象开口向上,

∴当x=时, f(x)min=-;

当x=-1时,f(x)max=.

(2)由题可知g(x)=x-+2tan θ,

∵g(x)为奇函数,

∴0=g(-x)+g(x)=-x++2tan θ+x-+2tan θ=4tan θ,

∴tan θ=0,∴θ=kπ,k∈Z.

(3)函数f(x)的图象的对称轴为直线x=-tan θ.

∵f(x)在区间[-1,]上是单调函数,

∴-tan θ≥或-tan θ≤-1,即tan θ≤-或tan θ≥1,

∴-+kπ<θ≤-+kπ或+kπ≤θ<+kπ,k∈Z,

故θ的取值范围是-+kπ,-+kπ∪+kπ,+kπ,k∈Z.