数学必修 第一册1.1 集合的概念精练

第一章　集合与常用逻辑用语

1.1　集合的概念

基础过关练

题组一　集合的概念与元素的特性　　　　　　 　　　　　 　　　　　

1.(2021四川成都第七中学高一上阶段测试)下列元素不能组成集合的是 (　　)

A.不超过20的质数

B.π的近似值

C.方程x2=1的实数根

D.函数y=x2,x∈R的最小值

2.已知集合S中的三个元素a,b,c是△ABC的三条边长,那么△ABC一定不是 (　　)

A.锐角三角形          B.直角三角形

C.钝角三角形          D.等腰三角形

3.(多选)下面四个说法错误的是 (　　)

A.10以内的质数组成的集合是{2,3,5,7}

B.由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,1,2}

C.方程x2-2x+1=0的解集是{1,1}

D.0与{0}表示同一个集合

题组二　元素与集合的关系

4.(2021江西宜春一中高一上月考)给出下列关系:

①12∈R;②2∈Q;③|-3|∈N;④|-3|∈Z;⑤0∉N.

其中正确的个数为 (　　)

A.1       B.2        C.3          D.4

5.(2021福建三明第一中学高一上月考)下列说法正确的是 (　　)

A.N中最小的数是1

B.若-a∉N*,则a∈N*

C.若a∈N*,b∈N*,则a+b的最小值是2

D.x2+4=4x的实数解组成的集合中含有2个元素

6.已知集合A仅含有三个元素2,4,6,且当a∈A时,6-a∈A,那么a的值为 (　　)

A.2          B.2或4                 C.4                 D.6

7.用符号“∈”或“∉”填空:

(1)设集合B是小于的所有实数的集合,则2　　　　B,1+　　　　B; 

(2)设集合D是由满足方程y=x2的有序实数对(x,y)组成的集合,则-1　　D,(-1,1)　　D. 

8.(2020辽宁抚顺一中高一月考)给出下列说法:

①0∈N*;②如果a,b∈Z,则a-b∈Z;③所有正方形构成的集合是有限集;④如果a∈N,则-a∉N.其中正确的是　　　　.(填序号) 

题组三　集合的表示方法

9.(2021天津实验中学高一上月考)集合{x∈N|x-3<2}用列举法表示正确的是 (　　)

A.{1,2,3,4}     B.{1,2,3,4,5}

C.{0,1,2,3,4,5} D.{0,1,2,3,4}

10.(2021湖北黄石高一上调研)集合{x|x+y=4,x∈N,y∈N*}可用列举法表示为　　　　. 

11.(1)用列举法表示方程组 的解组成的集合;

 (2)用描述法表示不等式-1<2x+3<9的解集.

12.用适当的方法表示下列集合:

(1)所有能被3整除的数组成的集合;

(2)图中阴影部分的点(含边界)的坐标组成的集合;

(3)满足方程x=|x|,x∈Z的所有x的值组成的集合B.

能力提升练

题组一　集合的概念与元素的特性

1.()由实数x,-x,|x|,,-所组成的集合最多含(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　

A.2个元素    B.3个元素

C.4个元素    D.5个元素

2.(2021天津第四十三中学高一上检测,)由三个数a,,1组成的集合与由a2,a+b,0组成的集合是同一个集合,则a2 021+b2 020的值为　　　　. 

3.(2021天津实验中学高一上检测,)已知a,b,c均为非零实数,集合A=,则集合A中元素的个数为　　　　. 

题组二　元素与集合的关系

4.()已知集合P={x|x=2k,k∈Z},Q={x|x=2k+1,k∈Z},M={x|x=4k+1,k∈Z},且a∈P,b∈Q,则 (　　)

A.a+b∈P                        B.a+b∈Q

C.a+b∈M                        D.a+b不属于P,Q,M中的任意一个

5.(2021湖南长沙南雅中学高一上检测,)已知集合A={12,a2+4a,a-2},-3∈A,则a=(　　)

A.-1 B.-3或1 C.3   D.-3

6.(多选)()实数1是下面哪个集合中的元素 (　　)

A.整数集Z        B.{x|x=|x|}

C.{x∈N|-1<x<1} D.

7.(2020海南海口中学高一月考,)已知集合A={1,2},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x+y∈A},则集合B中所含元素的个数为　　　　. 

8.(2020北京丰台高一上月考,)已知集合A中有且仅有2个元素,并且实数a满足a∈A,且4-a∈A.若a∈N,4-a∈N,则A=　　　　. 

9.()集合A是由形如m+n(m∈Z,n∈Z)的数构成的,试分别判断a=-,b=,c=(1-2)2与集合A的关系.

题组三　集合的综合问题

10.(2020浙江宁波高一月考,)已知有限集A={a1,a2,…,an}(n≥2,n∈N*),如果A中的元素ai(i=1,2,3,…,n)满足a1·a2·…·an=a1+a2+…+an,就称A为“复活集”,给出下列结论:

①集合是“复活集”;

②若a1,a2∈R,且{a1,a2}是“复活集”,则a1a2>4;

③若a1,a2∈N*,则{a1,a2}不可能是“复活集”.

其中所有正确结论的序号有　　　　. 

11.()已知集合A={x|ax2+2x+1=0,a∈R}.

(1)若1∈A,用列举法表示A;

(2)当集合A中有且仅有一个元素时,求a的值组成的集合B.

12.(2020上海金山中学高一期中,)设数集A由实数构成,且满足:若x∈A(x≠1且x≠0),则∈A.

(1)若2∈A,试证明A中还有另外两个元素;

(2)集合A能否只含有两个元素?请说明理由;

(3)若A中元素个数不超过8,所有元素的和为,且A中有一个元素的平方等于所有元素的积,求集合A中的所有元素.

答案全解全析

基础过关练

1.B　对于选项A,由“不超过20”和“质数”这两个标准可以明确数值为2、3、5、7、11、13、17、19,故不超过20的质数可以组成集合;对于选项B,因为π是无限不循环小数,在没有明确近似值的精确度的情况下,无法确定π的近似值是多少,所以选项B中元素不能组成集合;对于选项C,因为方程x2=1的实数根是明确的两个数值1和-1,所以方程x2=1的实数根可以组成集合;对于选项D,由二次函数的性质可知,函数y=x2,x∈R的最小值是明确的数值0,所以函数y=x2,x∈R的最小值可以组成集合.故选B.

2.D　因为集合中的元素必须是互异的,所以三角形的三条边长两两不相等,故选D.

3.CD　10以内的质数组成的集合是{2,3,5,7},故A中说法正确;由集合中元素的无序性知{1,2,3}和{3,1,2}相等,且都可以表示由1,2,3组成的集合,故B中说法正确;方程x2-2x+1=0的解集应为{1},故C中说法错误;由集合的表示方法知“0”不是集合,故D中说法错误.故选CD.

4.D　根据元素与集合的关系,可知①②③④正确,⑤错误.故选D.

5.C　最小的自然数是0,故A错误;

当a=0时,-a∉N*,且a∉N*,故B错误;

若a∈N*,b∈N*,则a,b的最小值都是1,当a,b都取最小值时,a+b取得最小值,故C正确;

x2+4=4x的实数解为x1=x2=2,故x2+4=4x的实数解组成的集合中含有1个元素,故D错误.

故选C.

6. B　若a=2,则6-2=4,4∈A;若a=4,则6-4=2,2∈A;若a=6,则6-6=0,0∉A.因此a=2或a=4.

故选B.

7.答案　(1)∉;∈　(2)∉;∈

解析　(1)∵2=>,∴2∉B.∵(1+)2=3+2<3+2×4=11,∴1+<,∴1+∈B.

(2)∵集合D中的元素是有序实数对(x,y),而-1不是有序实数对,∴-1∉D.

又(-1)2=1,∴(-1,1)∈D.

8.答案　②

解析　0∉N*,故①错;易知②正确;③中所有正方形构成的集合是无限集;当a=0时,-a=0∈N,④

错误.

9.D　由题意得x<5,且x∈N,∴集合为{0,1,2,3,4}.故选D.

10.答案　{0,1,2,3}

解析　由题意可得y的可能取值为1,2,3,4,对应的x的值为3,2,1,0.故答案为{0,1,2,3}.

11.解析　(1)由解得或所以方程组的解组成的集合为{(0,1),(1,0)}.

(2)因为-1<2x+3<9,所以-2<x<3,

所以不等式的解集为{x|-2<x<3}.

12.解析　(1){x|x=3n,n∈Z}.

(2)(x,y)-1≤x≤2,-≤y≤1,且xy≥0.

(3)因为x=|x|,所以x≥0.又因为x∈Z,所以B={x|x∈N}.

能力提升练

1.A　由于=|x|,-=-x,并且在x,-x,|x|中,当x>0时,|x|=x,当x<0时,|x|=-x,当x=0时,|x|=x=-x=0,三者中至少有2个相等,所以由集合中元素的互异性可知,该集合中最多含2个元素.故选A.

归纳升华　判断集合中元素的个数时,一定要检验所求变量的值是否满足集合中元素的互异性.

2.答案　-1

解析　∵三个数a,,1可组成集合,∴a≠0,a≠1,

∵由三个数a,,1组成的集合与由a2,a+b,0组成的集合是同一个集合,

∴=0,即b=0,∴解得a=-1,

∴a2 021+b2 020=(-1)2 021+0=-1.

故答案为-1.

3.答案　2

解析　当a>0,b>0时,ab>0,x=++=1+1+1=3;

当a>0,b<0时,ab<0,x=++=1-1-1=-1;

当a<0,b<0时,ab>0,x=++=-1-1+1=-1;

当a<0,b>0时,ab<0,x=++=-1+1-1=-1,

故x的所有值构成的集合为{-1,3},集合A中元素的个数为2.

4. B　∵a∈P,∴a=2k1,k1∈Z.∵b∈Q,∴b=2k2+1,k2∈Z.∴a+b=2(k1+k2)+1=2k+1∈Q(k∈Z).

故选B.

易错警示　注意理解集合中元素的确定性,即元素满足的特定要求及元素的表示形式.

5.D　∵-3∈A,∴-3=a2+4a或-3=a-2.

若-3=a2+4a,则a=-1或a=-3,

当a=-1时,a2+4a=a-2=-3,不满足集合中元素的互异性,故舍去;当a=-3时,集合A={12,-3,-5},满足题意,故a=-3成立;

若-3=a-2,则a=-1,由上述讨论可知,不满足题意,故舍去.

综上所述,a=-3.

故选D.

解题模板　由集合中元素的特性求参数的值(或取值范围)的步骤:

6.ABD　1是整数,因此实数1是整数集Z中的元素;由x=|x|,得x≥0,因此实数1是集合{x|x=|x|}中的元素;实数1不满足-1<x<1,因此实数1不是集合{x∈N|-1<x<1}中的元素;当x=1时,=0,因此实数1是集合中的元素.

故选ABD.

7.答案　1

解析　因为A={1,2},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x+y∈A},

所以B={(1,1)},所以集合B中只有一个元素,故答案是1.

8.答案　{1,3}或{0,4}

解析　因为a∈N,4-a∈N,所以a=0,1,2,3,4.当a=0时,4-a=4∈N(或a=4时,4-a=0∈N),集合{0,4}满足题意;当a=1时,4-a=3∈N(或a=3时,4-a=1∈N),集合{1,3}满足题意;当a=2时,4-a=2∈N,这时不存在满足题意的集合A.

综上所述,A={1,3}或{0,4}.

9.解析　∵a=-=0+(-1)×,而0,-1∈Z,∴a∈A.

∵b===+,而,∉Z,∴b∉A.

∵c=(1-2)2=13+(-4)×,而13,-4∈Z,∴c∈A.

方法技巧　对于某些不能直接表示的集合,判断元素与集合的关系时,只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可,此时应明确的是已知集合的元素具有什么特征,即该集合中元素要符合哪种表达式或满足哪些条件.

10.答案　①③

信息提取　“复活集”中的元素满足a1·a2·…·an=a1+a2+…+an.

数学建模　以集合中的新定义为情境,构建集合新概念模型,按照“复活集”中n个元素的积与和相等对给出的结论进行推理判断.

解析　①×=+=-1,故①正确.

②不妨设a1+a2=a1a2=t,则由根与系数的关系知a1,a2是一元二次方程x2-tx+t=0的两个不相等的实数根,由Δ>0,可得t2-4t>0,解得t<0或t>4,故②错误.

③根据集合中元素的互异性知a1≠a2,不妨设a1<a2(a1,a2∈N*),由a1a2=a1+a2<2a2,可得a1<2.

∵a1∈N*,∴a1=1.于是1+a2=1×a2,无解,即不存在满足条件的“复活集”,故③正确.

11.解析　(1)若1∈A,则1是方程ax2+2x+1=0的实数根,

∴a+2+1=0,解得a=-3,

∴方程为-3x2+2x+1=0,

解得x=1或x=-,

∴A=.

(2)当a=0时,方程ax2+2x+1=0即2x+1=0,

解得x=-,此时A=;

当a≠0时,若集合A中有且仅有一个元素,

则方程ax2+2x+1=0有两个相等的实数根,∴解得a=1,此时A={-1}.

综上,当a=0或a=1时,集合A中有且仅有一个元素,∴a的值组成的集合B={0,1}.

12.解析　(1)证明:由题意可知

若2∈A,则=-1∈A.

∵-1∈A,∴=∈A.

∵∈A,∴=2∈A,

∴若2∈A,则A中还有另外两个元素-1,.

(2)集合A不是双元素集合.理由如下:

若x∈A,则∈A,则=∈A,且x≠,≠,x≠,故集合A中至少有3个元素,∴集合A不能只含有两个元素.

(3)由(2)可知,若x∈A,则x,,都为A中的元素,且x··=-1<0,

∴A中元素的个数不为3,又∵A中元素的个数不超过8,∴A中有6个元素.

设m∈A(m≠x),则m,,都为A中的元素,此时A=,所有元素的积为1,∴=1或=1,∴x=2或x=,∴+2-1+m++=,解得m=-或m=3或m=,

∴A中的所有元素为,2,-1,-,3,.