人教A版 (2019)必修 第一册第三章 函数概念与性质3.1 函数的概念及其表示同步练习题

第三章　函数的概念与性质

3.1　函数的概念及其表示

3.1.1　函数的概念

基础过关练

题组一　函数的概念及其表示　　　　　　 　　　　　 　　　　　

1.函数y=f(x)的图象与直线x=a(a∈R)的交点 (　　)

A.至多有一个     B.至少有一个

C.有且仅有一个 D.有两个以上

2.下列各图中,可表示函数y=f(x)的图象的是 (　　)

3.(2021北京交大附中高一上期中)下面四组函数中, f(x)与g(x)表示同一个函数的是 (　　)

A. f(x)=,g(x)=x-1

B. f(x)=|x|,g(x)=

C. f(x)=,g(x)=()2

D. f(x)=x0,g(x)=1

题组二　函数的定义域与区间表示

4.(2020北京西城高一上期末)函数y=+的定义域是(　　)

A.[0,1)                 B.(1,+∞)

C.(0,1)∪(1,+∞)        D.[0,1)∪(1,+∞)

5.(2020河南洛阳一高高一上月考)函数f(x)= 的定义域为M,g(x)= 的定义域为N,则M∩N=(　　)

A.[-1,+∞)     B.

C.      D.

6.若周长为定值a的矩形,它的面积S是这个矩形的一边长x的函数,则这个函数的定义域是 (　　)

A.(a,+∞)    B.      C.    D.

题组三　函数值及函数的值域

7.(2021北京八中高一上期中)若f(x)=,则f(0)= (　　)

A.1    B.    C.0    D.-1

8.(2021河北张家口一中高一上期中)若集合A={x|y=},B={y|y=},则 (　　)

A.A=B      B.A∩B=⌀       C.A∩B=A   D.A∪B=A

9.(2019浙江温州十校高一上期末)已知函数f(x)=,则f(x)的值域是 (　　)

A.    B.        C.       D.(0,+∞)

10.(2020北京丰台高一上期中联考)已知函数y=f(x)的图象如图所示,则该函数的值域为　　　　.  

11.(2021北京房山高一上期中)已知函数f(x)=+,则f(x)的定义域是　　　　, f(1)=　　　　. 

12.已知函数f(x)=x2+x-1.

(1)求f(2), f ;

(2)若f(x)=5,求x的值.

能力提升练

题组一　函数的概念及其应用　　　　　　 　　　　　 　　　　　

1.(2021北京丰台高一上期中,)在下列四组函数中,表示同一个函数的是 (　　)

A.y=1,y=               B.y=·,y=

C.y=x,y=            D.y=|x|,y=()2

2.(多选)(2021浙江杭州高级中学高一上期中,)下列对应关系f,能构成从集合M到集合N的函数的是              (　　)

A.M=,N={-6,-3,1}, f=-6, f(1)=-3, f=1

B.M=N={x|x≥-1}, f(x)=2x+1

C.M=N={1,2,3}, f(x)=2x+1

D.M=Z,N={-1,1}, f(x)=

3.(2020黑龙江哈三中高一上第一次阶段性验收,)若集合A={0,1,3,m},B={1,4,a4,a2+3a},其中m∈N*,a∈N*, f:x→y=3x+1,x∈A,y∈B是从定义域A到值域B的一个函数,则m+a=　　　　. 

题组二　函数的定义域与区间表示

4.(2019山东泰安一中高一上检测,)函数 f(x)=的定义域为 (　　)

A.[3,+∞) B.[3,4)∪(4,+∞)     C.(3,+∞)     D.[3,4)

5.(2020河南南阳一中高一上月考,)已知函数f(x-2)的定义域为[0,2],则函数f(2x-1)的定义域为(　　)

A.[-2,0] B.[-1,3]    C.   D.

6.(2020吉林长春第二中学高一期中,)已知f(x)的定义域为[-2,2],且函数g(x)=,则g(x)的定义域为              (　　)

A.          B.(-1,+∞)     

C.∪(0,3)    D.

7.(2020甘肃兰州一中高一月考,)若函数f(x)=的定义域为R,则实数m的取值范围是 (　　)

A.[0,8) B.(8,+∞)      C.(0,8)    D.(-∞,0)∪(8,+∞)

8.()已知函数y=(a<0,且a为常数)在区间(-∞,1]上有意义,求实数a的取值范围.

题组三　函数值及函数的值域

9.()已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y∈R),且f(1)=2,则f(-3)等于 (　　)

A.2    B.3    C.6   D.9

10.(多选)()下列函数中,满足f(2x)=2f(x)的是 (　　)

A. f(x)=x-|x|    B. f(x)=x+1      C. f(x)=-x        D. f(x)=x2

11.(多选)()若一系列函数的解析式和值域相同,但其定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,例如函数y=x2,x∈[1,2]与函数y=x2,x∈[-2,-1]为“同族函数”,下面函数解析式中能够被用来构造“同族函数”的是              (　　)

A. f(x)=     B. f(x)=|x|      C. f(x)=      D. f(x)=|x-1|

12.(2019湖南长沙长郡中学高一上第一次模块检测,)函数y=2-的值域是　　　　. 

13.(2021浙江杭州高级中学高一上期中,)求下列两个函数的值域.

(1)y=;(2)y=x+.

答案全解全析

基础过关练

1.A　由函数的定义可知,若函数y=f(x)在x=a处有意义,则函数图象与直线x=a有一个交点;若函数y=f(x)在x=a处无意义,则函数图象与直线x=a没有交点,故函数图象与直线x=a至多有一个交点.

2.D　由函数的定义可知,对定义域内的任意一个变量x,都存在唯一确定的函数值y与之对应.A中,当x=0时,有两个y与x对应;B中,当x>0时,有两个y与x对应;C中,当x=0时,有两个y与x对应;D中,对任意x都只有唯一确定的y与之对应.故选D.

3.B　选项A中两个函数定义域不同,前者是{x|x≠-1},后者是全体实数,故不是同一个函数;选项C中两个函数定义域不同,前者是全体实数,后者是非负数,故不是同一个函数;选项D中两个函数定义域不同,前者是{x|x≠0},后者是全体实数,故不是同一个函数;选项B中两个函数的定义域和对应关系都相同,是同一个函数.故选B.

4.D　依题意,解得x≥0且x≠1,即函数的定义域为[0,1)∪(1,+∞),故选D.

5.B　要使函数f(x)=有意义,则1-2x>0,解得x<,所以M=,

要使函数g(x)=有意义,则x+1≥0,解得x≥-1,所以N={x|x≥-1},

因此M∩N=,故选B.

6.D　依题意知,矩形的一边长为x,则该边的邻边长为=-x,由得0<x<,故这个函数的定义域是.

7.A　∵f(x)=,∴f(0)==1.故选A.

8.C　由x-1≥0得x≥1,∴A={x|y=}=[1,+∞).由x-1≥0得≥0,∴B={y|y=}=[0,+∞).故A⫋B,从而A∩B=A,故选C.

9.C　由于x2≥0,所以x2+2≥2,所以0<≤,故选C.

10.答案　[-4,3]

解析　由题图易知函数的值域为[-4,3].

11.答案　[-1,0)∪(0,+∞);+1

解析　由题意得,解得x≥-1且x≠0,

所以f(x)的定义域是[-1,0)∪(0,+∞).

f(1)=+=+1.

12.解析　(1)f(2)=22+2-1=5,

f=+-1=.

(2)∵f(x)=x2+x-1=5,∴x2+x-6=0,解得x=2或x=-3.

能力提升练

1.C　函数y=1的定义域为R,而函数y=的定义域为{x|x≠0},这两个函数的定义域不同,故不是同一个函数,故排除A;函数y=·的定义域为{x|x≥1},而函数y=的定义域为{x|x≥1或x≤-1},这两个函数的定义域不同,故不是同一个函数,故排除B;函数y=x与函数y==x具有相同的定义域、对应关系,故是同一个函数,C正确;函数y=|x|的定义域为R,而函数y=()2 的定义域为{x|x≥0},这两个函数的定义域不同,故不是同一个函数,故排除D.故选C.

解题模板　判断两个函数是不是同一个函数,要观察两个方面,一是两个函数的定义域是否相同,二是两个函数的对应关系是否相同.

2.ABD　由函数的定义知,A正确;B中,任取x∈M,都有x≥-1,从而2x+1≥-1,因此集合M中的每一个元素在集合N中都有唯一的元素与之对应,故B正确;

C中,取x=3∈M, f(x)=2×3+1=7∉N,故C不正确;D中,M=Z,N={-1,1},当x为奇数时, f(x)=-1,当x为偶数时, f(x)=1,满足函数的定义,故D正确.故选ABD.

3.答案　7

解析　∵A={0,1,3,m},B={1,4,a4,a2+3a},m∈N*,a∈N*, f:x→y=3x+1,

∴f(0)=1, f(1)=4, f(3)=10, f(m)=3m+1.

当a4=10时,a=±,不满足a∈N*,

当a2+3a=10时,a=2或a=-5(舍去),故a=2.

因此f(m)=3m+1=a4=16,∴m=5,

从而m+a=7,故答案为7.

4.B　要使函数f(x)有意义,需满足即

因此函数f(x)的定义域为{x|x≥3,且x≠4}.故选B.

5.D　∵函数f(x-2)的定义域为[0,2],即0≤x≤2,∴-2≤x-2≤0,

即函数f(x)的定义域为[-2,0].

则-2≤2x-1≤0,∴-≤x≤.

故函数f(2x-1)的定义域为.故选D.

6.A　要使函数g(x)=有意义,需满足即

∴-<x≤3.因此函数g(x)的定义域为,故选A.

7.A　∵函数f(x)的定义域为R,∴不等式mx2-mx+2>0的解集为R.

①当m=0时,2>0恒成立,满足题意;

②当m≠0时,则解得0<m<8.

综上可得,实数m的取值范围是[0,8).

故选A.

8.解析　要使函数y=(a<0,且a为常数)有意义,需满足ax+1≥0.

又∵a<0,∴x≤-,∴函数y=(a<0,且a为常数)的定义域为.

∵函数y=(a<0,且a为常数)在区间(-∞,1]上有意义,

∴(-∞,1]⊆,

∴-≥1,∴-1≤a<0.

故实数a的取值范围是[-1,0).

9.C　解法一:定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y∈R),

令x=y=0,得f(0)=f(0)+f(0)+0,

解得f(0)=0;

令x=1,y=-1,得f(0)=f(1)+f(-1)-2,

解得f(-1)=0;

令x=y=-1,得f(-2)=f(-1)+f(-1)+2=2;

令x=-2,y=-1,得f(-3)=f(-2)+f(-1)+4=6.

解法二:因为f(1)=2,所以f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)+2×1×1=6,

所以f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)+2×1×2=12.

令x=y=0,得f(0)=f(0)+f(0)+0,即f(0)=0,所以f(0)=f[3+(-3)]=f(3)+f(-3)+2×3×(-3)=0,所以f(-3)=6.

10.AC　在A中, f(2x)=2x-|2x|=2(x-|x|)=2f(x),满足f(2x)=2f(x),选项A正确;

在B中, f(2x)=2x+1,2f(x)=2(x+1)=2x+2,不满足f(2x)=2f(x),选项B错误;

在C中, f(2x)=-2x=2(-x)=2f(x),满足f(2x)=2f(x),选项C正确;

在D中, f(2x)=(2x)2=4x2,2f(x)=2x2,不满足f(2x)=2f(x),选项D错误.

故选AC.

11.ABD　在选项A中,当x∈(-1,0)和x∈(0,1)时, f(x)=的值域都是(1,+∞),所以可构造“同族函数”,A正确;在选项B中,当x∈(-1,0)和x∈(0,1)时, f(x)=|x|的值域都是(0,1),所以可构造“同族函数”,B正确;

在选项C中,对任意x1≠x2,都有≠,因此定义域不同时函数的值域一定不相同,故不可能成为“同族函数”,所以C错误;在选项D中,当x∈[0,1]和x∈[1,2]时, f(x)=|x-1|的值域都是[0,1],所以可构造“同族函数”,D正确.故选ABD.

12.答案　[0,2]

解析　∵-x2+4x=-(x-2)2+4≤4,且-x2+4x≥0,∴0≤-x2+4x≤4,∴0≤≤2,∴-2≤-≤0,∴0≤2-≤2,故函数y=2-的值域是[0,2].

13.解析　(1)易知函数的定义域为R.

由y=得(y-2)x2-(y-1)x+y-1=0,

当y=2时,x=1,故y=2是值域中的值;

当y≠2时,Δ=[-(y-1)]2-4×(y-2)(y-1)≥0,

化简得(y-1)(3y-7)≤0,解得1≤y≤.

故函数y=的值域为.

(2)令t=,则t≥0,x=,

则y=+t=(t2+2t)-=(t+1)2-1(t≥0).

由函数y=(t+1)2-1(t≥0)得y≥-,

故函数y=x+的值域为.

解题模板　二次分式函数的值域的求法——判别式法:将二次分式函数去分母后,构成一个关于x的一元二次方程,依题意此方程有实数解,从而使其判别式非负.解题时还要注意两点:一是分母为0的x的值要单独考虑,二是x的二次项系数为0要单独考虑.