高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数本章综合与测试测试题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数本章综合与测试测试题，共15页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

本章达标检测
(满分:150分;时间:120分钟)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)　　　　　　 　　　　　 　　　　　
1.函数y=2sin12x+π4的周期,振幅,初相分别是 (　　)
A.π4,2,π4 B.4π,-2,-π4
C.4π,2,π4 D.2π, 2,-π4
2.sin 2 020°属于区间 (　　)
A.-1,-12 B.-12,0
C.0,12 D.12,1
3.若0<α<π2,-π2<β<0,cosπ4+α=13,cosπ4-β2=33,则cosα+β2=(　　)
A.33 B.-33
C.539 D.-69
4.函数f(x)=xsinx2|x|+cosx在[-π,π]上的图象大致为 (　　)

5.已知函数f(x)=sin2xsinx+2,则f(x)的最大值为 (　　)
A.-2 B.-1 C.0 D.1
6.已知扇形的周长为C,当该扇形的面积取得最大值时,圆心角为 (　　)
A.12 rad B.1 rad C.32 rad D.2 rad
7.已知函数f(x)=A1sin(ω1x+φ1)(A1>0,ω1>0),g(x)=A2sin(ω2x+φ2)(A2>0,ω2>0)的图象如图所示,为得到函数g(x)的图象,只需先将函数f(x)图象上各点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,再 (　　)


A.向右平移π6个单位长度
B.向右平移π3个单位长度
C.向左平移π6个单位长度
D.向左平移π3个单位长度
8.若函数f(x)=sin 2x与g(x)=2cos x都在区间(a,b)上单调递减,则b-a的最大值是 (　　)
A.π4 B.π3 C.π2 D.2π3
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.
在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)
9.下列结论正确的是 (　　)
A.-7π6是第三象限角
B.若圆心角为π3的扇形的弧长为π,则该扇形的面积为3π2
C.若角α的终边上有一点P(-3,4),则cos α=-35
D.若角α为锐角,则角2α为钝角
10.最小正周期为π的函数有(　　)
A.y=cos2x2 B.y=|sin x| C.y=cos|2x| D.y=tan2x-π4
11.将函数f(x)=3cos2x+π3-1的图象向左平移π3个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到函数g(x)的图象,则下列关于函数g(x)的说法正确的是 (　　)
A.最小正周期为π
B.图象关于点π4,0对称
C.图象关于y轴对称
D.在区间π2,π上单调递增
12.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示,下列说法错误的是 (　　)

A. f(x)的图象关于直线x=-2π3对称
B. f(x)的图象关于点-5π12,0对称
C.将函数y=3sin 2x-cos 2x 的图象向左平移π2个单位长度得到函数f(x)的图象
D.若方程f(x)=m在-π2,0上有两个不相等的实数根,则m的取值范围是(-2,-3]

三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)
13.sin 15°cos 15°=　　　　. 
14.已知函数f(x)=3cos2x2+12sin x-32, f(α)=13,则sin2α+π6=　　　　. 
15.函数f(x)=-sin x·cos x+sin x+cos x-1在区间0,3π4上的值域为　　　　. 
16.已知sin θ+cos θ=15,θ∈(0,π),则sin θcos(π-θ)=　　　　;tan θ=　　　　.(本小题第一空2分,第二空3分) 



四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)在条件①2sinA-cosA3sinA+4cosA=17;②4sin2A=4cos A+1;③sin Acos Atan A=12中任选一个,补充在下面的问题中,并求解.
已知角A为锐角,　　　　. 
(1)求角A的大小;
(2)求sin(π+A)cos2 021π2-A的值.
注:如果选择多个条件分别解答,则按第一个解答计分.








18.(本小题满分12分)如图,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边作两个锐角α,β,它们的终边分别与单位圆相交于P,Q两点,P,Q的纵坐标分别为35,45.
(1)求cos α的值;
(2)求α+β.











19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=2sin2x+sin2x+π6.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)若x∈-π2,π12,求f(x)的值域.









20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=2sin2x+π3.
(1)求f(x)的最小正周期T;
(2)求f(x)的单调递增区间;
(3)在给定的坐标系中作出函数f(x)x∈-π6,-π6+T的简图,并直接写出函数f(x)在区间π6,2π3上的取值范围.







21.(本小题满分12分)当我们所处的北半球为冬季的时候,新西兰的惠灵顿市恰好是盛夏,因此北半球的人们冬天愿意去那里旅游,下面是一份惠灵顿机场提供的月平均气温统计表.
x(月份)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
t(℃)
17.3
17.9
17.3
15.8
13.7
11.6
10.06
9.5
10.06
11.6
13.7
15.8
(1)根据这个统计表提供的数据,为惠灵顿市的月平均气温作出一个函数模型;
(2)当自然气温不低于13.7 ℃时,惠灵顿市最适宜旅游,试根据你所确定的函数模型,确定惠灵顿市的最佳旅游时间.






22.(本小题满分12分)如图,已知单位圆O,A(1,0),B(0,1),点D在圆上,且∠AOD=π4,点C从点A沿劣弧AB运动到点B,作BE⊥OC于点E,设∠COA=θ.
(1)当θ=5π12时,求线段DC的长;
(2)△OEB的面积与△OCD的面积之和为S,求S的最大值.











答案全解全析
一、单项选择题
1.C　由题意知,周期T=2π12=4π,振幅为2,在12x+π4中,令x=0,求得初相为π4.
故选C.
2.A　∵sin 2 020°=sin(360°×6-140°)
=-sin 140°=-sin 40°,
∵sin 40°∈12,1,
∴sin 2 020°=-sin 40°∈-1,-12.故选A.
3.C　cosα+β2
=cosπ4+α-π4-β2
=cosπ4+αcosπ4-β2+sinπ4+α·sinπ4-β2,
易知π4+α∈π4,3π4,π4-β2∈π4,π2,又cosπ4+α=13,cosπ4-β2=33,
所以sinπ4+α=223,sinπ4-β2=63,
则cosα+β2=13×33+223×63=539,故选C.
4.C　易知函数f(x)=xsinx2|x|+cosx的定义域为R,且f(-x)=-xsin(-x)2|-x|+cos(-x)=xsinx2|x|+cosx=f(x),
故f(x)是偶函数,排除A,B.
当x=π2时, fπ2=π22π2>0,∴图象在x轴的上方,排除D.故选C.
5.D　f(x)=sin2xsinx+2=sin x+2+4sinx+2-4,
令t=sin x+2,则t∈[1,3],y=t+4t-4,
由对勾函数的性质可知y=t+4t-4在[1,2]上单调递减,在[2,3]上单调递增,
当t=1时,y=1,t=3时,y=13,
所以函数f(x)的最大值为1.故选D.
易错警示　求二次式除以一次式的分式形式函数的最大(小)值,常用换元法,解题时要注意新元的范围,如本题中t∈[1,3],解题时防止因忽视范围导致解题错误.
6.D　设扇形的圆心角为α rad,半径为r,
则S扇形=12αr2,
由C=2r+αr,得r=C2+α,且0<α<2π,
∴S扇形=12α·C2+α2=C2α2α2+8α+8
=C28+2α+8α,
又2α+8α≥22α·8α=8,当且仅当2α=8α,即α=2时,“=”成立,
所以S扇形的最大值为C216,对应圆心角为α=2.故选D.
7.A　由题图1可知A1=2,函数的周期为T=π-(-π)=2π,则ω1=2πT=1,
当x=π2时,ω1x+φ1=1×π2+φ1=2kπ+π2(k∈Z),则φ1=2kπ(k∈Z),
令k=0,可得φ1=0,则f(x)=2sin x,
同理可得g(x)=2sin2x-π3.
将函数f(x)图象上各点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,所得图象对应的函数解析式为y=2sin 2x,而g(x)=2sin2x-π3=2sin 2x-π6,
故只需将y=2sin 2x的图象向右平移π6个单位长度即可得到函数g(x)的图象.
8.C　函数f(x)=sin 2x的最小正周期为π,g(x)=2cos x的最小正周期为2π,因此在区间[0,2π]内研究它们的单调递减区间.
由题意,函数f(x)=sin 2x在π4,3π4,5π4,7π4上单调递减,函数g(x)=2cos x在(0,π)上单调递减,
因此函数f(x)=sin 2x与g(x)=2cos x都在区间π4,3π4上单调递减,
则bmax=3π4,amin=π4,所以b-a的最大值为3π4-π4=π2,故选C.
二、多项选择题
9.BC　选项A中,-7π6=-2π+5π6,是第二象限角,A错误;选项B中,设该扇形的半径为r,则π3·r=π⇒r=3,∴S扇形=12×π3×32=3π2,B正确;选项C中,(-3)2+42=5,
∴cos α=-35,C正确;选项D中,α=30°是锐角,但2α=60°不是钝角,D错误.故选BC.
10. BC　选项A中,y=cos2x2=1+cosx2,最小正周期T=2π,A错误;选项B中,由图象(图略)知,
y=|sin x|的最小正周期为π,B正确;选项C中,y=cos|2x|=cos 2x,最小正周期为T=2π2=π,C正确;选项D中,最小正周期为T=π2,D错误.故选BC.
11.ABC　将函数f(x)=3cos2x+π3-1 的图象向左平移π3个单位长度,
可得y=3cos(2x+π)-1=-3cos 2x-1 的图象,
再向上平移1个单位长度,得到函数g(x)=-3cos 2x的图象.
关于函数g(x),它的最小正周期为2π2=π,故A正确;
令x=π4,求得g(x)=0,可得它的图象关于点π4,0对称,故B正确;
易知g(x)是偶函数,故它的图象关于y轴对称,故C正确;
当x∈π2,π时,2x∈(π,2π),y=cos 2x单调递增,故g(x)=-3cos 2x单调递减,故D错误.
故选ABC.
12.ABC　由题中函数的图象可得A=2,14·2πω=π3-π12,故ω=2.
由五点法可得2×π3+φ=π,故φ=π3,所以f(x)=2sin2x+π3.
当x=-2π3时, f(x)=0,故A中说法不正确;
当x=-5π12时, f(x)=-2,故B中说法不正确;
将函数y=3sin 2x-cos 2x=2sin2x-π6的图象向左平移π2个单位长度得到函数
y=2sin2x+π2-π6=2sin2x+5π6的图象,故C中说法不正确;
当x∈-π2,0时,2x+π3∈[ -2π3,π3],
因为2sin-2π3=-3,2sin-π2=-2,
所以方程f(x)=m在-π2,0上有两个不相等的实数根时,m的取值范围是(-2,-3],所以D中说法正确.故选ABC.
三、填空题
13.答案　14
解析　sin 15°cos 15°=12sin 30°=14.
14.答案　-79
解析　由题知f(x)=3×1+cosx2+12sin x-32=12sin x+32cos x=sinx+π3.
∵f(α)=13,∴sinα+π3=13,
∴cos2α+2π3=1-2sin2α+π3=79.
又∵2α+2π3=π2+2α+π6,
∴sin2α+π6=sin2α+2π3-π2
=-cos2α+2π3=-79.
15.答案　-12,0
解析　令t=sin x+cos x=2sinx+π4,∵x∈0,3π4,∴x+π4∈π4,π,
∴t∈[0,2].
∵t=sin x+cos x,∴t2=1+2sin x·cos x,
∴sin x·cos x=t2-12.
∴g(t)=-t2-12+t-1=-12t2+t-12
=-12(t-1)2,t∈[0,2].
∵g(0)=-12, g(2)=2-32,
∴g(0) ∴当t∈[0,2],g(t)max=g(1)=0,
g(t)min=g(0)=-12,
∴所求值域为-12,0.
16.答案　1225;-43
解析　∵sin θ+cos θ=15,
∴(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ=125,
即sin θcos θ=-1225.
∴sin θcos(π-θ)=-sin θcos θ=1225,
(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ=4925.
∵θ∈(0,π),sin θcos θ=-1225<0,
∴sin θ>0,cos θ<0,即sin θ-cos θ>0,
∴sin θ-cos θ=75.
由sinθ+cosθ=15,sinθ-cosθ=75,解得sinθ=45,cosθ=-35,
∴tan θ=-43.
故答案为1225;-43.
四、解答题
17.解析　选择条件①.
(1)由2sinA-cosA3sinA+4cosA=17,可得14sin A-7cos A=3sin A+4cos A,可得sin A=cos A,即tan A=1, (3分)
因为A为锐角,所以A=π4. (5分)
(2)sin(π+A)cos2 021π2-A
=(-sin A)cos1 010π+π2-A
=-sin2A (8分)
=-12. (10分)
选择条件②.
(1)由4sin2A=4cos A+1,可得4(1-cos2A)=4cos A+1,即4cos2A+4cos A-3=0,解得cos A=12或cos A=-32(舍去), (3分)
因为A为锐角,所以A=π3. (5分)
(2)sin(π+A)cos2 021π2-A
=(-sin A)cos1 010π+π2-A
=-sin2A (8分)
=-34. (10分)
选择条件③.
(1)因为sin Acos Atan A=sin2A=12,
所以sin A=22或sin A=-22, (2分)
又因为A为锐角,所以sin A=22,可得A=π4. (5分)
(2)sin(π+A)cos 2 021π2-A
=(-sin A)cos1 010π+π2-A
=-sin2A (8分)
=-12. (10分)
18.解析　(1)由题意可得sin α=35,cos α=1-sin2α=45. (4分)
(2)由题意可得sin β=45, (6分)
∴cos β=1-sin2β=35, (8分)
∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β
=45×35-35×45=0, (10分)
又∵α+β∈(0,π),
∴α+β=π2. (12分)
易错警示　已知三角函数值求角,要注意三角函数名称的选择,本题中由于α+β∈(0,π),因此求α+β的余弦较好,若选正弦则无法确定α+β的值.
19.解析　(1)f(x)=2sin2x+sin2x+π6
=1-cos 2x+32sin 2x+12cos 2x (2分)
=32sin 2x-12cos 2x+1
=sin2x-π6+1, (4分)
可得最小正周期T=2π2=π. (6分)
(2)∵x∈-π2,π12,
∴2x-π6∈-7π6,0, (8分)
∴sin2x-π6∈-1,12, (10分)
∴f(x)的值域为0,32. (12分)
20.解析　(1)f(x)的最小正周期为T=2π2=π.(3分)
(2)令-π2+2kπ≤2x+π3≤π2+2kπ,k∈Z,得-5π12+kπ≤x≤π12+kπ,k∈Z. (6分)
所以f(x)的单调递增区间是-5π12+kπ,π12+kπ,k∈Z. (7分)
(3)函数f(x)x∈-π6,-π6+T的简图如图所示.

(10分)
函数f(x)在区间π6,2π3上的取值范围是[-2,3]. (12分)
21.解析　(1)以月份x为横坐标,气温t为纵坐标作出散点图,并以光滑的曲线连接各散点,得到如图所示的曲线.

由于月平均气温是以12个月为周期变化的,故依散点图所绘制的图象可以考虑用t=Acos(ωx+φ)+kA>0,ω>0,|φ|<π2来模拟. (3分)
由最高气温为17.9 ℃,最低气温为9.5 ℃,
得A=17.9-9.52=4.2,k=17.9+9.52=13.7. (5分)
显然2πω=12,故ω=π6. (6分)
又x=2时,y取得最大值,所以由五点法可得π6×2+φ=0,得φ=-π3,
所以t=4.2cosπx6-π3+13.7为惠灵顿市的月平均气温的一个函数模型. (8分)
(2)作直线t=13.7与函数图象交于(5,13.7),(11,13.7)两点.这说明在每年的十一月初至第二年的四月末气温不低于13.7 ℃,是惠灵顿市的最佳旅游时间. (12分)
22.解析　(1)因为θ=5π12,所以∠COD=5π12+π4=2π3,又OC=OD=1, (2分)
所以易得DC=2×1×sin π3=3. (4分)
(2)因为∠COA=θ,所以∠OBE=θ,所以OE=sin θ,BE=cos θ,S△OEB=12sin θcos θ. (6分)
因为∠AOD=π4,∠COA=θ,
所以∠COD=θ+π4.
取CD的中点H,连接OH,

则OH⊥CD,∠DOH=θ+π42,
所以DH=sinθ+π42,OH=cosθ+π42,
所以S△OCD=cosθ+π42sinθ+π42
=12sinθ+π4=24(sin θ+cos θ). (8分)
△OEB的面积与△OCD的面积之和S=12sin θcos θ+24(sin θ+cos θ), (9分)
令t=sin θ+cos θ,θ∈0,π2,则t∈[1,2],且sin θcos θ=t2-12, (10分)
所以S=t2-14+24t=14(t2+2t-1)
=14t+222-38,
因为t∈[1,2],所以当t=2时,S取得最大值,最大值为34. (12分)